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学习目标　1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.2.会求简单函数的反函数.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题.
导语
在研究函数问题的过程中，我们经常遇到同底数的指数函数和对数函数，例如函数y=2x与y=log2x，它们究竟有着怎样的关系呢？今天我们从它们的图象、性质等方面一起去探讨这一类函数.
一、反函数的概念
问题1　在同一平面直角坐标系内，画出函数y=2x与y=log2x的图象，观察两函数图象的关系.
提示　
知识梳理　反函数的概念
(1)一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.此时，称y=f(x)存在反函数.
(2)反函数的记法：函数y=f(x)的反函数记作y=f -1(x).
注意点：
同底的指数函数与对数函数互为反函数.
例1　(课本例1)分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数.
(1)
x 1 2 3 4 5
f(x) 0 0 1 3 5
(2)
x 1 2 3 4 5
g(x) -1 0 1 -2 5
解　(1)因为f(x)=0时，x=1或x=2，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在.
(2)因为对g(x)的值域{-1，0，1，-2，5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，所以g(x)的反函数g-1(x)存在，而且反函数可以表示如下.
x -2 -1 0 1 5
g-1(x) 4 1 2 3 5
例1　判定下列函数是否存在反函数.
(1)
x 1 2 3 4 5
f(x) 2 3 4 5 6
(2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A，B，C.
解　(1)因为对f(x)的值域{2，3，4，5，6}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此f(x)的反函数
f -1(x)存在.
(2)由图可知函数y=f(x)的定义域为{-1，1，2}，值域为{-1，1，-2}，且对值域中的任意一个值，在定义域中都有唯一的x值与之对应，所以y=f(x)存在反函数.
反思感悟　判定存在反函数的方法
(1)用定义：若函数y=f(x)值域中任意一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在.
(2)用单调性：若函数y=f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在.
二、求反函数
问题2　函数y=2x+1，你能用y表示x吗？你能把函数解析式y=中的x和y互换吗？
提示　x+1=log2y，x=-1+log2y；x=.
例2　(课本例2)判断f(x)=2x+2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f -1(x)的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出f(x)与f -1(x)的函数图象.
解　因为f(x)=2x+2是增函数，所以任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数.
令y=2x+2，对调其中的x和y得x=2y+2，解得y=x-1，因此f -1(x)=x-1.
f(x)与f -1(x)的函数图象如图所示.
例2　求下列函数的反函数：
(1)f(x)=log2x；
(2)f(x)=；
(3)f(x)=5x+1.
解　(1)令y=log2x，得x=2y且y∈R，
∴f -1(x)=2x，x∈R.
(2)令y=，得x=loy且y>0，
∴f -1(x)=lox，x>0.
(3)令y=5x+1，得x=且y∈R，
∴f -1(x)=，x∈R.
反思感悟　(1)求反函数时，要先确定原函数的值域.
(2)求反函数解析式的两种方法：
①可以通过对调y=f(x)中的x与y，然后从x=f(y)中求出y，得到反函数y= f -1(x).
②从y=f(x)反解得到x= f -1(y)，然后把x= f -1(y)中的x，y对调得到y= f -1(x).
(3)最后要注明反函数的定义域.
跟踪训练1　求下列函数的反函数：
(1)f(x)=+1(x≥0)；
(2)f(x)=(x≠1).
解　(1)令y=+1，x≥0，
∴y≥1且x=(y-1)2.
∴f(x)=+1(x≥0)的反函数为
f -1(x)=(x-1)2，
x∈[1，+∞).
(2)令y==，
∴y=2+.
∴y≠2且x=.
∴f(x)=(x≠1)的反函数为f -1(x)=，x∈(-∞，2)∪(2，+∞).
三、互为反函数的图象与性质的应用
问题3　函数y=2x的定义域和值域与y=log2x的定义域和值域关系如何？
提示　y=2x的定义域与y=log2x的值域相同，y=2x的值域与y=log2x的定义域相同.
知识梳理
1.反函数的性质
(1)y=f(x)的定义域与y= f -1(x)的值域相同，y=f(x)的值域与y= f -1(x)的定义域相同，y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称.
(2)如果y=f(x)是单调函数，那么它的反函数y= f -1(x)一定存在，此时，如果y=f(x)是增函数，则y=f -1(x)也是增函数；如果y=f(x)是减函数，则y= f -1(x)也是减函数.
2.指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数.
(2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
注意点：
(1)原函数与反函数定义域与值域的关系.
(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.
例3　(1)若函数y=f(x)的图象位于第一、二象限，则它的反函数y= f -1(x)的图象位于(　　)
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第二、三象限 D.第一、四象限
答案　D
解析　结合函数与反函数关于直线y=x对称，
即可得出反函数位于第一、四象限.
(2)若函数g(x)是函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为　　　　.
答案　
解析　函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的值域为，
因为函数g(x)是其反函数，
所以函数g(x)的定义域为.
反思感悟　互为反函数的函数图象关于直线y=x对称，所以若点(a，b)在函数y=f(x)的图象上，则点(b，a)必在其反函数y= f -1(x)的图象上.
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)=ax+b的图象过点(1，7)，其反函数f -1(x)的图象过点(4，0)，则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=4x+3 B.f(x)=3x+4
C.f(x)=5x+2 D.f(x)=2x+5
答案　A
解析　∵f(x)的反函数图象过点(4，0)，
∴f(x)的图象过点(0，4)，
又f(x)=ax+b的图象过点(1，7)，
∴联立方程组解得
故f(x)=4x+3.
(2)若函数y=的图象关于直线y=x对称，则a的值为　　　　.
答案　-1
解析　由y=可得x=，
则原函数的反函数是y=，
∴=，得a=-1.
1.知识清单：
(1)反函数的图象与原函数图象之间的关系.
(2)求函数的反函数.
(3)互为反函数的图象与性质的应用.
2.方法归纳：数形结合、转化与化归.
3.常见误区：不是所有函数都有反函数；y=f(x)与y= f -1(x)互为反函数.
1.函数y=lox(x>0)的反函数是(　　)
A.y=，x>0 B.y=，x∈R
C.y=x2，x∈R D.y=2x，x∈R
答案　B
解析　互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同.
2.已知函数f(x)=3x-1，则它的反函数y= f -1(x)的大致图象是(　　)
答案　C
解析　由f(x)=3x-1可得f -1(x)=log3x+1，
∴图象为C.
3.(多选)已知函数f(x)在其定义域内单调递增，且f(1)=-1，若f(x)的反函数为f -1(x)，则(　　)
A.f -1(-1)=1
B.f -1(x)在定义域内单调递增
C.f -1(1)=1
D.f -1(x)在定义域内单调递减
答案　AB
解析　由反函数的性质可知，f- 1(-1)=1且f- 1(x)在定义域内单调递增.
4.已知f(x)=2x+b的反函数为 f -1(x)，若y=f -1(x)的图象过点Q(5，2)，则b=　　　　.
答案　1
解析　因为f -1(x)的图象过Q(5，2)，
所以f(x)的图象过点(2，5)，
则f(2)=5，
即22+b=5，解得b=1.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.已知y=的反函数为y=f(x)，若f(x0)=-，则x0等于(　　)
A.-2 B.-1 C.2 D.
答案　C
解析　∵y=的反函数是f(x)=lox，
∴f(x0)=lox0=-.
∴x0===2.
2.已知函数f(x)=1+2lg x，则f(1)+f -1(1)等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　根据题意，f(1)=1+2lg 1=1，
若f(x)=1+2lg x=1，解得x=1，
则f -1(1)=1，
故f(1)+f -1(1)=1+1=2.
3.(多选)函数y=1+ax(a>0且a≠1)的反函数的图象可能是(　　)
答案　AC
解析　方法一　先画出y=1+ax的图象，由反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称可画出反函数的图象.
方法二　因为函数y=1+ax(a>0且a≠1)过(0，2)，所以它的反函数必过(2，0)点.
4.设f(x)=3x+9，则其反函数的定义域是(　　)
A.(0，+∞) B.(9，+∞)
C.(10，+∞) D.(-∞，+∞)
答案　B
解析　∵3x>0，∴f(x)=3x+9>9，
因此其反函数的定义域为(9，+∞).
5.函数y=2x+1的图象与函数y=log2x-1的图象(　　)
A.关于直线y=x对称
B.关于y轴对称
C.关于x轴对称
D.关于原点对称
答案　A
解析　y=2x+1的反函数满足x=2y+1，x>0，化简可得log2x=log22y+1=y+1，
所以y=log2x-1，因为互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，
即y=2x+1的图象与y=log2x-1的图象关于直线y=x对称.
6.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，则a+b等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案　B
解析　f(x)=loga(x+b)的反函数为f -1(x)=ax-b，又f(x)的图象过点(2，1)，
∴f -1(x)的图象过点(1，2)，
∴解得或
又a>0，∴∴a+b=4.
7.(5分)已知f(x)的图象经过点(2，3)，f(x)的反函数为f -1(x)，则 f -1(x-2)的图象必经过点　　　　.
答案　(5，2)
解析　由题意可得f(2)=3，则f -1(3)=2，
即f -1(5-2)=2，
故函数f -1(x-2)的图象必过点(5，2).
8.(5分)若点既在f(x)=2ax+b的图象上，又在其反函数的图象上，则a+b=　　　　.
答案　
解析　由题意知均在函数f(x)=2ax+b的图象上，故有
∴∴a+b=-+=.
9.(10分)求下列函数的反函数：
(1)y=3x-1(x∈R)；(3分)
(2)y=1+ln(x-1)(x>1)；(3分)
(3)y=(x∈R且x≠-1).(4分)
解　(1)函数y=3x-1，当x∈R时，y>0.
方法一　∵x-1=log3y，
∴x=1+log3y，x，y互换得反函数为
y=1+log3x(x>0).
方法二　对y=3x-1中的x，y互换得x=3y-1，
∴y-1=log3x，
即反函数为y=1+log3x(x>0).
(2)由y=1+ln(x-1)，得x=ey-1+1，
又由x>1，知y∈R，
∴反函数为y=ex-1+1(x∈R).
(3)y==1+(x∈R，且x≠-1)，
∴y∈R且y≠1.
∵y=，x，y互换得x=，
∴反函数为y=(x∈R，且x≠1).
10.(11分)已知函数f(x)=loga(2-x)(a>1).
(1)求函数f(x)的定义域、值域；(3分)
(2)求函数f(x)的反函数f -1(x)；(4分)
(3)判断并证明f -1(x)的单调性.(4分)
解　(1)要使函数f(x)有意义，需满足2-x>0，即x<2，
故函数f(x)的定义域为(-∞，2)，值域为R.
(2)由y=loga(2-x) ，得2-x=ay，
即x=2-ay.
∴f -1(x)=2-ax(x∈R).
(3)f- 1(x)在R上是减函数.
证明如下：任取x1，x2∈R且x1∵f -1(x2)-f- 1(x1)=2--2+
=-，
∵a>1，x1∴<，
即-<0，
∴f- 1(x2)∴y=f- 1(x)在R上是减函数.
11.若函数y=x+在x∈(0，a)上存在反函数，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，4) B.(0，2]
C.(2，4] D.[2，+∞)
答案　B
解析　若函数y=x+在x∈(0，a)上存在反函数，
则函数y=x+在x∈(0，a)上单调即可，
又因为函数y=x+在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，
所以(0，a) (0，2)，所以实数a的取值范围为(0，2].
12.已知函数y=f(x)的定义域是[-1，1]，其图象如图所示，则不等式-1≤f -1(x)≤的解集是(　　)
A.
B.
C.[-2，0)∪
D.[-1，0]∪
答案　C
解析　由题意，可得-1≤f -1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域.
当-1≤x<0时，由题图可知f(x)∈[-2，0)，
当0≤x≤时，由题图可知f(x)∈，
故不等式-1≤f- 1(x)≤的解集为[-2，0)∪.
13.(多选)已知函数f(x)=ax(a>1)，其反函数为y=f -1(x)，实数t满足f- 1(t)<1-tA.-1 B. C. D.
答案　BC
解析　∵函数f(x)=ax(a>1)，
∴反函数为y=f -1(x)=logax，
又实数t满足f -1(t)<1-t∴logat<1-t1，
当t≤0时，显然不符合题意；
当01，
logat<1-t∴0当t=1时，logat=0，1-t=0，at=a，不符合题意；
当t>1时，logat>0，1-t<0，at>a，不符合题意，
故t的取值范围为(0，1).
14.(5分)若函数f(x)=x-(x>0)的反函数为y=f- 1(x)，则关于x的不等式f -1(x)≤3的解集为　　　　.
答案　
解析　易得f(x)=x-在(0，+∞)上单调递增，值域为R.则其反函数在R上也单调递增，
又f(3)=3-=，则f -1=3，
∴f -1(x)≤3，即f -1(x)≤f -1，
∴x≤，
即关于x的不等式f -1(x)≤3的解集为.
15.已知函数f(x)=的反函数为y=f -1(x)，那么g(x)=f- 1(x-2)+2在[-2，6]上的最大值与最小值之和为(　　)
A.4 B.2 C.1 D.0
答案　A
解析　因为f(-x)==-
=-f(x)，
且函数f(x)的定义域为R，则f(x)为奇函数，
因为y=4x，y=-4-x均为R上的增函数，
则f(x)=也为R上的增函数，
由于互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，
则函数f(x)=的反函数y=f -1(x)也为定义域上的奇函数、增函数，
故g(x)=f -1(x-2)+2在[-2，6]上单调递增，且g(x)的图象关于点(2，2)对称，
因为-2+6=2×2，则g(-2)+g(6)=2×2=4，
即g(x)在[-2，6]上的最大值与最小值之和为4.
16.(12分)已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1).
(1)求定义域；(4分)
(2)若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值；(4分)
(3)求函数y=f(x)+f(-x)的值域.(4分)
解　(1)由8-2x>0，得2x<8，
解得x<3，
∴f(x)的定义域为(-∞，3).
(2)令y=f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1)，
解得x=log2(8-ay)，
对调x，y，得y=log2(8-ax).
由于函数f(x)的反函数是其本身，
∴a=2.
(3)y=f(x)+f(-x)=loga(8-2x)+loga(8-2-x)=loga[65-8(2x+2-x)].
令65-8(2x+2-x)>0，得8·(2x)2-65·2x+8<0，解得-3∴函数y=loga[65-8(2x+2-x)]的定义域为(-3，3).
∵2x+2-x=2x+≥2，当且仅当x=0时取等号，
∴0<65-8(2x+2-x)≤49，
故65-8(2x+2-x)的取值范围为(0，49].
故当a>1时，函数y=f(x)+f(-x)的值域为(-∞，loga49]；当0§4.3
指数函数与对数函数的关系
第四章　指数函数、对数函数与幂函数
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1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.
2.会求简单函数的反函数.
3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题.
学习目标
在研究函数问题的过程中，我们经常遇到同底数的指数函数和对数函数，例如函数y=2x与y=log2x，它们究竟有着怎样的关系呢？今天我们从它们的图象、性质等方面一起去探讨这一类函数.
导 语
一、反函数的概念
二、求反函数
课时对点练
三、互为反函数的图象与性质的应用
随堂演练
内容索引
反函数的概念
一
提示
在同一平面直角坐标系内，画出函数y=2x与y=log2x的图象，观察两函数图象的关系.
问题1
反函数的概念
(1)一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中 y的值，只有 x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.此时，称y=f(x)存在反函数.
(2)反函数的记法：函数y=f(x)的反函数记作 .
任意一个
唯一的
y=f -1(x)
同底的指数函数与对数函数互为反函数.
注 意 点
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　 (课本例1)分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数.
(1)
例 1
因为f(x)=0时，x=1或x=2，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在.
解
x 1 2 3 4 5
f(x) 0 0 1 3 5
(2)
x 1 2 3 4 5
g(x) -1 0 1 -2 5
因为对g(x)的值域{-1，0，1，-2，5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，所以g(x)的反函数g-1(x)存在，而且反函数可以表示如下.
解
x -2 -1 0 1 5
g-1(x) 4 1 2 3 5
　判定下列函数是否存在反函数.
(1)
例 1
因为对f(x)的值域{2，3，4，5，6}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此f(x)的反函数f -1(x)存在.
解
x 1 2 3 4 5
f(x) 2 3 4 5 6
(2)函数y=f(x)的图象是如图所示的三点A，B，C.
由图可知函数y=f(x)的定义域为{-1，1，2}，值域为{-1，1，-2}，且对值域中的任意一个值，在定义域中都有唯一的x值与之对应，所以y=f(x)存在反函数.
解
判定存在反函数的方法
(1)用定义：若函数y=f(x)值域中任意一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在.
(2)用单调性：若函数y=f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在.
反
思
感
悟
二
求反函数
提示　x+1=log2y，x=-1+log2y；x=.
函数y=2x+1，你能用y表示x吗？你能把函数解析式y=中的x和y互换吗？
问题2
(课本例2)判断f(x)=2x+2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f -1(x)的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出f(x)与f -1(x)的函数图象.
例 2
因为f(x)=2x+2是增函数，所以任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数.
令y=2x+2，对调其中的x和y得x=2y+2，解得y=x-1，因此f -1(x)=x-1.
f(x)与f -1(x)的函数图象如图所示.
解
求下列函数的反函数：
(1)f(x)=log2x；
例 2
令y=log2x，得x=2y且y∈R，
∴f -1(x)=2x，x∈R.
解
(2)f(x)=；
令y=，得x=loy且y>0，
∴f -1(x)=lox，x>0.
解
(3)f(x)=5x+1.
令y=5x+1，得x=且y∈R，
∴f -1(x)=，x∈R.
解
(1)求反函数时，要先确定原函数的值域.
(2)求反函数解析式的两种方法：
①可以通过对调y=f(x)中的x与y，然后从x=f(y)中求出y，得到反函数y=f -1(x).
②从y=f(x)反解得到x=f -1(y)，然后把x=f -1(y)中的x，y对调得到y=f -1(x).
(3)最后要注明反函数的定义域.
反
思
感
悟
　求下列函数的反函数：
(1)f(x)=+1(x≥0)；
跟踪训练 1
令y=+1，x≥0，
∴y≥1且x=(y-1)2.
∴f(x)=+1(x≥0)的反函数为
f -1(x)=(x-1)2，
x∈[1，+∞).
解
(2)f(x)=(x≠1).
令y==，
∴y=2+.
∴y≠2且x=.
∴f(x)=(x≠1)的反函数为f -1(x)=，x∈(-∞，2)∪(2，+∞).
解
互为反函数的图象与性质的应用
三
提示　y=2x的定义域与y=log2x的值域相同，y=2x的值域与y=log2x的定义域相同.
函数y=2x的定义域和值域与y=log2x的定义域和值域关系如何？
问题3
1.反函数的性质
(1)y=f(x)的定义域与y=f -1(x)的值域相同，y=f(x)的 与y=f -1(x)的__________相同，y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于直线 对称.
(2)如果y=f(x)是单调函数，那么它的反函数y=f -1(x)一定存在，此时，如果y=f(x)是增函数，则y=f -1(x)也是增函数；如果y=f(x)是减函数，则y=
f -1(x)也是减函数.
值域
定义域
y=x
2.指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1) .
(2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象关于直线 对称.
互为反函数
y=x
(1)原函数与反函数定义域与值域的关系.
(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.
注 意 点
<<<
(1)若函数y=f(x)的图象位于第一、二象限，则它的反函数y=f -1(x)的图象位于
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第二、三象限 D.第一、四象限
例 3
结合函数与反函数关于直线y=x对称，
即可得出反函数位于第一、四象限.
解析
√
(2)若函数g(x)是函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为　　　　.
函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的值域为，
因为函数g(x)是其反函数，
所以函数g(x)的定义域为.
解析
互为反函数的函数图象关于直线y=x对称，所以若点(a，b)在函数y=f(x)的图象上，则点(b，a)必在其反函数y=f -1(x)的图象上.
反
思
感
悟
(1)已知函数f(x)=ax+b的图象过点(1，7)，其反函数f -1(x)的图象过点(4，0)，则f(x)的解析式为
A.f(x)=4x+3 B.f(x)=3x+4
C.f(x)=5x+2 D.f(x)=2x+5
跟踪训练 2
√
∵f(x)的反函数图象过点(4，0)，
∴f(x)的图象过点(0，4)，
又f(x)=ax+b的图象过点(1，7)，
∴联立方程组解得
故f(x)=4x+3.
解析
(2)若函数y=的图象关于直线y=x对称，则a的值为　　　　.
由y=可得x=，
则原函数的反函数是y=，
∴=，得a=-1.
解析
-1
1.知识清单：
(1)反函数的图象与原函数图象之间的关系.
(2)求函数的反函数.
(3)互为反函数的图象与性质的应用.
2.方法归纳：数形结合、转化与化归.
3.常见误区：不是所有函数都有反函数；y=f(x)与y=f -1(x)互为反函数.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数y=lox(x>0)的反函数是
A.y=，x>0 B.y=，x∈R
C.y=x2，x∈R D.y=2x，x∈R
互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同.
解析
√
1
2
3
4
2.已知函数f(x)=3x-1，则它的反函数y=f -1(x)的大致图象是
由f(x)=3x-1可得f -1(x)=log3x+1，
∴图象为C.
解析
√
1
2
3
4
3.(多选)已知函数f(x)在其定义域内单调递增，且f(1)=-1，若f(x)的反函数为f -1(x)，则
A.f -1(-1)=1
B.f -1(x)在定义域内单调递增
C.f -1(1)=1
D.f -1(x)在定义域内单调递减
由反函数的性质可知，f -1(-1)=1且f -1(x)在定义域内单调递增.
解析
√
√
1
2
3
4
4.已知f(x)=2x+b的反函数为f -1(x)，若y=f -1(x)的图象过点Q(5，2)，则b=　　　　.
1
因为f -1(x)的图象过Q(5，2)，
所以f(x)的图象过点(2，5)，
则f(2)=5，
即22+b=5，解得b=1.
解析
课时对点练
五
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C AC B A B (5，2)
题号 11 12 13 14 15 答案 B C BC A
对一对
9.
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(1)函数y=3x-1，当x∈R时，y>0.
方法一　∵x-1=log3y，
∴x=1+log3y，x，y互换得反函数为
y=1+log3x(x>0).
方法二　对y=3x-1中的x，y互换得x=3y-1，
∴y-1=log3x，
即反函数为y=1+log3x(x>0).
9.
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(2)由y=1+ln(x-1)，得x=ey-1+1，
又由x>1，知y∈R，
∴反函数为y=ex-1+1(x∈R).
(3)y==1+(x∈R，且x≠-1)，
∴y∈R且y≠1.
∵y=，x，y互换得x=，
∴反函数为y=(x∈R，且x≠1).
10.
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(1)要使函数f(x)有意义，需满足2-x>0，即x<2，
故函数f(x)的定义域为(-∞，2)，值域为R.
(2)由y=loga(2-x) ，得2-x=ay，
即x=2-ay.
∴f -1(x)=2-ax(x∈R).
10.
答案
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(3)f -1(x)在R上是减函数.
证明如下：任取x1，x2∈R且x1∵f -1(x2)-f -1(x1)=2--2+=-，
∵a>1，x1∴<，
即-<0，
∴f -1(x2)∴y=f -1(x)在R上是减函数.
16.
答案
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(1)由8-2x>0，得2x<8，
解得x<3，
∴f(x)的定义域为(-∞，3).
(2)令y=f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1)，
解得x=log2(8-ay)，
对调x，y，得y=log2(8-ax).
由于函数f(x)的反函数是其本身，
∴a=2.
16.
答案
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(3)y=f(x)+f(-x)=loga(8-2x)+loga(8-2-x)=loga[65-8(2x+2-x)].
令65-8(2x+2-x)>0，得8·(2x)2-65·2x+8<0，解得-3∴函数y=loga[65-8(2x+2-x)]的定义域为(-3，3).
∵2x+2-x=2x+≥2，当且仅当x=0时取等号，
∴0<65-8(2x+2-x)≤49，
故65-8(2x+2-x)的取值范围为(0，49].
故当a>1时，函数y=f(x)+f(-x)的值域为(-∞，loga49]；当0基础巩固
1.已知y=的反函数为y=f(x)，若f(x0)=-，则x0等于
A.-2 B.-1 C.2 D.
答案
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∵y=的反函数是f(x)=lox，
∴f(x0)=lox0=-.
∴x0===2.
解析
√
2.已知函数f(x)=1+2lg x，则f(1)+f -1(1)等于
A.0 B.1
C.2 D.3
答案
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根据题意，f(1)=1+2lg 1=1，
若f(x)=1+2lg x=1，解得x=1，
则f -1(1)=1，
故f(1)+f -1(1)=1+1=2.
解析
√
3.(多选)函数y=1+ax(a>0且a≠1)的反函数的图象可能是
答案
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方法一　先画出y=1+ax的图象，由反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称可画出反函数的图象.
方法二　因为函数y=1+ax(a>0且a≠1)过(0，2)，
所以它的反函数必过(2，0)点.
解析
4.设f(x)=3x+9，则其反函数的定义域是
A.(0，+∞) B.(9，+∞)
C.(10，+∞) D.(-∞，+∞)
答案
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∵3x>0，∴f(x)=3x+9>9，
因此其反函数的定义域为(9，+∞).
解析
√
5.函数y=2x+1的图象与函数y=log2x-1的图象
A.关于直线y=x对称
B.关于y轴对称
C.关于x轴对称
D.关于原点对称
答案
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y=2x+1的反函数满足x=2y+1，x>0，化简可得log2x=log22y+1=y+1，
所以y=log2x-1，因为互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，
即y=2x+1的图象与y=log2x-1的图象关于直线y=x对称.
解析
√
6.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，则a+b等于
A.3 B.4
C.5 D.6
答案
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f(x)=loga(x+b)的反函数为f -1(x)=ax-b，又f(x)的图象过点(2，1)，
∴f -1(x)的图象过点(1，2)，
∴解得或
又a>0，∴∴a+b=4.
解析
7.已知f(x)的图象经过点(2，3)，f(x)的反函数为f -1(x)，则f -1(x-2)的图象必经过点　　　　.
由题意可得f(2)=3，则f -1(3)=2，
即f -1(5-2)=2，
故函数f -1(x-2)的图象必过点(5，2).
解析
答案
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(5，2)
8.若点既在f(x)=2ax+b的图象上，又在其反函数的图象上，则a+b=　　　　.
由题意知均在函数f(x)=2ax+b的图象上，
故有
∴∴a+b=-+=.
解析
答案
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9.求下列函数的反函数：
(1)y=3x-1(x∈R)；
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函数y=3x-1，当x∈R时，y>0.
方法一　∵x-1=log3y，
∴x=1+log3y，x，y互换得反函数为
y=1+log3x(x>0).
方法二　对y=3x-1中的x，y互换得x=3y-1，
∴y-1=log3x，
即反函数为y=1+log3x(x>0).
解
(2)y=1+ln(x-1)(x>1)；
答案
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由y=1+ln(x-1)，得x=ey-1+1，
又由x>1，知y∈R，
∴反函数为y=ex-1+1(x∈R).
解
(3)y=(x∈R且x≠-1).
答案
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y==1+(x∈R，且x≠-1)，
∴y∈R且y≠1.
∵y=，x，y互换得x=，
∴反函数为y=(x∈R，且x≠1).
解
10.已知函数f(x)=loga(2-x)(a>1).
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
答案
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要使函数f(x)有意义，需满足2-x>0，即x<2，
故函数f(x)的定义域为(-∞，2)，值域为R.
解
(2)求函数f(x)的反函数f -1(x)；
答案
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由y=loga(2-x) ，得2-x=ay，
即x=2-ay.
∴f -1(x)=2-ax(x∈R).
解
(3)判断并证明f -1(x)的单调性.
答案
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f -1(x)在R上是减函数.
证明如下：任取x1，x2∈R且x1∵f -1(x2)-f -1(x1)=2--2+
=-，
∵a>1，x1∴<，
即-<0，
∴f -1(x2)∴y=f -1(x)在R上是减函数.
解
11.若函数y=x+在x∈(0，a)上存在反函数，则实数a的取值范围为
A.(1，4) B.(0，2]
C.(2，4] D.[2，+∞)
综合运用
答案
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√
若函数y=x+在x∈(0，a)上存在反函数，
则函数y=x+在x∈(0，a)上单调即可，
又因为函数y=x+在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，
所以(0，a) (0，2)，所以实数a的取值范围为(0，2].
解析
答案
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12.已知函数y=f(x)的定义域是[-1，1]，其图象如图所示，则不等式-1≤
f -1(x)≤的解集是
A.
B.
C.[-2，0)∪
D.[-1，0]∪
答案
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由题意，可得-1≤f -1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域.
当-1≤x<0时，由题图可知f(x)∈[-2，0)，
当0≤x≤时，由题图可知f(x)∈，
故不等式-1≤f -1(x)≤的解集为[-2，0)∪.
解析
13.(多选)已知函数f(x)=ax(a>1)，其反函数为y=f -1(x)，实数t满足f -1(t)<1-tA.-1 B.
C. D.
答案
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∵函数f(x)=ax(a>1)，
∴反函数为y=f -1(x)=logax，
又实数t满足f -1(t)<1-t∴logat<1-t1，
当t≤0时，显然不符合题意；
当01，
logat<1-t∴0解析
答案
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当t=1时，logat=0，1-t=0，at=a，不符合题意；
当t>1时，logat>0，1-t<0，at>a，不符合题意，
故t的取值范围为(0，1).
解析
14.若函数f(x)=x-(x>0)的反函数为y=f -1(x)，则关于x的不等式f -1(x)≤3的解集为　 　.
答案
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易得f(x)=x-在(0，+∞)上单调递增，值域为R.则其反函数在R上也单调递增，
又f(3)=3-=，则f-1=3，
∴f -1(x)≤3，即f -1(x)≤f -1，
∴x≤，
即关于x的不等式f -1(x)≤3的解集为.
解析
15.已知函数f(x)=的反函数为y=f -1(x)，那么g(x)=f -1(x-2)+2在[-2，6]上的最大值与最小值之和为
A.4 B.2
C.1 D.0
拓广探究
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因为f(-x)==-
=-f(x)，
且函数f(x)的定义域为R，则f(x)为奇函数，
因为y=4x，y=-4-x均为R上的增函数，
则f(x)=也为R上的增函数，
由于互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，
解析
答案
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则函数f(x)=的反函数y=f -1(x)也为定义域上的奇函数、增函数，
故g(x)=f -1(x-2)+2在[-2，6]上单调递增，且g(x)的图象关于点(2，2)对称，
因为-2+6=2×2，则g(-2)+g(6)=2×2=4，
即g(x)在[-2，6]上的最大值与最小值之和为4.
解析
16.已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1).
(1)求定义域；
答案
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由8-2x>0，得2x<8，
解得x<3，
∴f(x)的定义域为(-∞，3).
解
(2)若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值；
答案
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令y=f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1)，
解得x=log2(8-ay)，
对调x，y，得y=log2(8-ax).
由于函数f(x)的反函数是其本身，
∴a=2.
解
(3)求函数y=f(x)+f(-x)的值域.
答案
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16
y=f(x)+f(-x)=loga(8-2x)+loga(8-2-x)=loga[65-8(2x+2-x)].
令65-8(2x+2-x)>0，得8·(2x)2-65·2x+8<0，解得-3∴函数y=loga[65-8(2x+2-x)]的定义域为(-3，3).
∵2x+2-x=2x+≥2，当且仅当x=0时取等号，
∴0<65-8(2x+2-x)≤49，
故65-8(2x+2-x)的取值范围为(0，49].
故当a>1时，函数y=f(x)+f(-x)的值域为(-∞，loga49]；
当0解
第四章　指数函数、对数函数与幂函数
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