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第2课时　指数函数的图象与性质的应用
学习目标　1.能够利用指数函数的图象和性质比较大小、解不等式.2.掌握指数函数图象和性质的综合应用.
一、利用指数函数性质比较大小
例1　(课本例1)利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8-0.1与0.8-0.2；
(2)2.5a与2.5a+1.
解　(1)因为0.8-0.1与0.8-0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y=0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为-0.1>-0.2，所以0.8-0.1<0.8-0.2.
(2)因为2.5a与2.5a+1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y=2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a例1　比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5与1.53.2；
(2)与；
(3)1.50.3与0.81.2.
解　(1)∵函数y=1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，
∴1.52.5<1.53.2.
(2)指数函数y=与y=的图象(如图)，
由图知>.
(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1，
而0.81.2<0.80=1，
∴1.50.3>0.81.2.
反思感悟　比较指数式大小的3种类型及处理方法
跟踪训练1　比较下列各组数的大小：
(1)0.8-0.1与1.250.2；
(2)1.70.3与0.93.1；
(3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1).
解　(1)∵0<0.8<1，
∴y=0.8x在R上是减函数.
∵-0.2<-0.1，
∴0.8-0.2>0.8-0.1，
而0.8-0.2==1.250.2，
即0.8-0.1<1.250.2.
(2)∵1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，
∴1.70.3>0.93.1.
(3)a0.5与a0.6可看作指数函数y=ax的两个函数值.
当0∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6；
当a>1时，函数y=ax在R上是增函数.
∵0.5<0.6，∴a0.5综上所述，当0a0.6；
当a>1时，a0.5二、利用指数函数性质解不等式
例2　(1)(课本例2)已知实数a，b满足>，试判断6a与6b的大小.
解　因为函数y=在实数集R上是减函数，所以由>可知a例2　(1)若不等式<成立，则实数x的取值范围是　　　　.
答案　(-3，1)
解析　由于<等价于<5-x，
又y=5x为增函数，
故x2+x-3<-x，
即x2+2x-3<0，解得-3即实数x的取值范围是(-3，1).
(2)解关于x的不等式：a2x+1≤ax-5(a>0且a≠1).
解　①当0∵a2x+1≤ax-5，
∴2x+1≥x-5，解得x≥-6.
②当a>1时，y=ax在R上是增函数，
∵a2x+1≤ax-5，
∴2x+1≤x-5，解得x≤-6.
综上所述，当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤-6}.
反思感悟　指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法：
当a>1时，f(x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1=a0(a>0且a≠1)，a-x=(a>0且a≠1)等.
跟踪训练2　(1)已知不等式≤3x<27，则x的取值范围为(　　)
A. B.
C.R D.
答案　A
解析　由题意可得≤3x<33，再根据函数y=3x在R上是增函数，可得-≤x<3.
(2)已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x，则x的取值范围是　　　　.
答案　
解析　∵a2+a+2=+>1，
∴(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x x>1-x x>.
∴x的取值范围为.
三、指数函数图象和性质的综合运用
例3　已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
解　(1)由题意，得f(0)==0，
所以a=1，所以f(x)=，
该函数是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x1f(x2)-f(x1)=-
=.
因为x1所以-<0，(1+)(1+)>0，
所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)所以该函数在定义域R上是减函数.
(2)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0，
得f(t2-2t)<-f(2t2-k).
因为f(x)是奇函数，所以f(t2-2t)由(1)知，f(x)是减函数，所以t2-2t>k-2t2，
即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立，
所以Δ=4+12k<0，得k<-，故实数k的取值范围为.
反思感悟　解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.
跟踪训练3　设a>0，函数f(x)=+是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)在[0，1]上的值域.
解　(1)由f(x)=f(-x)，得+=+，
即4x+=0，
所以=0，
根据题意，可得-a=0，
又a>0，所以a=1.
(2)由(1)可知f(x)=4x+，
设任意的x1，x2∈[0，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=+--
=(-.
因为0≤x1所以-<0.
又因为x1+x2>0，所以>1，
所以1->0，所以f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增.
所以函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)=4+=；最小值为f(0)=1+1=2.
故f(x)在[0，1]上的值域为.
1.知识清单：
(1)利用指数函数性质比较大小.
(2)利用指数函数性质解不等式.
(3)指数函数图象和性质的综合应用.
2.方法归纳：转化与化归、分类讨论、数形结合.
3.常见误区：研究y=af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是01.(多选)下列判断正确的是(　　)
A.2.72.5>2.73 B.0.62<0.63
C.π2> D.0.90.3>0.90.5
答案　CD
解析　∵y=2.7x是增函数，且2.5<3，
∴2.72.5<2.73，故A错误；
∵y=0.6x是减函数，且2<3，
∴0.62>0.63，故B错误；
∵y=πx是增函数，且2>，∴π2>，故C正确；
∵y=0.9x是减函数，且0.3<0.5，
∴0.90.3>0.90.5，故D正确.
2.如果f(x)=，x∈R，那么f(x)是(　　)
A.奇函数且在(0，+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0，+∞)上单调递增
C.奇函数且在(0，+∞)上单调递减
D.偶函数且在(0，+∞)上单调递减
答案　D
解析　由x∈R且f(-x)=f(x)知f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)=单调递减.
3.函数f(x)=+的定义域为(　　)
A.(-3，0]
B.(-3，1]
C.(-∞，-3)∪(-3，0]
D.(-∞，-3)∪(-3，1]
答案　A
解析　由题意知，自变量x应满足
解得
所以函数f(x)的定义域为(-3，0].
4.设0的解集为　　　　.
答案　(1，+∞)
解析　因为0所以y=ax在R上是减函数，
又因为>，
所以2x2-3x+2<2x2+2x-3，
解得x>1.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共50分
1.若2x+1<1，则x的取值范围是(　　)
A.(-1，1) B.(-1，+∞)
C.(0，1)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)
答案　D
解析　∵2x+1<1=20，且y=2x是增函数，
∴x+1<0，∴x<-1.
2.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B=，则A∩B等于(　　)
A.{1，2，3} B.{0，1，2}
C.{-1，0，1} D.{-1，0，1，2}
答案　C
解析　由<2x<4，解得-2所以B={x|-2又A={-2，-1，0，1，2}，所以A∩B={-1，0，1}.
3.已知函数f(x)=2x-2-x+5，若f(m)=4，则f(-m)等于(　　)
A.4 B.6 C.-4 D.-6
答案　B
解析　设g(x)=f(x)-5=2x-2-x，x∈R，
则g(-x)=2-x-2x=-g(x)，即g(x)是奇函数，
故g(m)+g(-m)=0，即f(m)-5+f(-m)-5=0，即f(m)+f(-m)=10，
因为f(m)=4，所以f(-m)=6.
4.函数y=ax(a>0且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=2ax-1在[0，1]上的最大值是(　　)
A.6 B.1 C.3 D.
答案　C
解析　函数y=ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0+a1=3，解得a=2，因此函数y=2ax-1=4x-1在[0，1]上是增函数，当x=1时，ymax=3.
5.已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
答案　C
解析　因为函数y=0.8x是R上的减函数，
且0.7<0.9，
所以a=0.80.7>0.80.9=b.
又因为a=0.80.7<0.80=1，c=1.20.8>1.20=1，
所以c>a，故c>a>b.
6.已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1)，且f(-2)>f(-3)，则a的取值范围是(　　)
A.a>0 B.a>1
C.a<1 D.0答案　D
解析　因为-2>-3，f(-2)>f(-3)，
又f(x)=a-x=，所以>，
所以>1，所以07.(5分)不等式23-2x<0.53x-4的解集为　　　　.
答案　{x|x<1}
解析　原不等式可化为23-2x<24-3x，
因为函数y=2x是增函数，
所以3-2x<4-3x，解得x<1，
则不等式的解集为{x|x<1}.
8.(5分)函数y=的定义域是　　　　.
答案　[4，+∞)
解析　由题意得2x-1-8≥0，即2x-1≥8=23，
∴x-1≥3，解得x≥4.
9.(10分)比较下列各题中数的大小：
(1)1.11.1，1.10.9；(2分)(2)0.1-0.2，0.10.9；(2分)
(3)30.1，π0.1；(2分)(4)1.70.1，0.91.1；(2分)
(5)0.70.8，0.80.7.(2分)
解　(1)因为y=1.1x是增函数，1.1>0.9，
故1.11.1>1.10.9.
(2)因为y=0.1x是减函数，-0.2<0.9，
故0.1-0.2>0.10.9.
(3)指数函数y=3x与y=πx的大致图象如图，由图知30.1<π0.1.
(4)因为1.70.1>1.70=1，0.91.1<0.90=1，
故1.70.1>0.91.1.
(5)取中间值0.70.7，由指数函数y=0.7x和y=0.8x的图象(图略)可知0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(同理，也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7).
10.(12分)已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x-1)解　设f(x)=ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)=8，所以a3=8，即a=2，所以f(x)=2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)=，
因此由g(2x-1)得2x-1>3x，解得x<-1.
所以x的取值范围为(-∞，-1).
11.设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则(　　)
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
答案　D
解析　40.9=21.8，80.48=21.44，=21.5，
由于y=2x在R上是增函数，
所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2.
12.已知函数f(x)=且对于任意的x1，x2，都有>0(x1≠x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，2] B.(1，3]
C.[1，+∞) D.
答案　B
解析　依题意可知函数f(x)=
在(-∞，+∞)上是增函数，
则解得1故实数a的取值范围是(1，3].
13.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2x-2，则不等式x[f(x)-2f(-x)]<0的解集是(　　)
A.(-1，1)
B.(-1，0)∪(0，1)
C.(-∞，-1)∪(1，+∞)
D.(-∞，-3)∪(-1，1)∪(3，+∞)
答案　B
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以x[f(x)-2f(-x)]=x[f(x)+2f(x)]<0，即xf(x)<0，
当x>0时，f(x)=2x-2为增函数，
令f(x)=0可得x=1，
结合函数为奇函数，可作出f(x)的图象，如图所示，
由xf(x)<0可得或
由图象解得0故原不等式的解集为(-1，0)∪(0，1).
14.(5分)若函数f(2x)的定义域为[0，2]，则函数f(41-x)的定义域为　　　　.
答案　[0，1]
解析　对于f(2x)，因为0≤x≤2，
所以由y=2x的单调性得20≤2x≤22，
即1≤2x≤4，
对于f(41-x)，有1≤41-x≤4，
即40≤41-x≤41，
由y=4x的单调性得0≤1-x≤1，解得0≤x≤1，
所以f(41-x)的定义域为[0，1].
15.设x<0，且1A.0C.1答案　B
解析　∵1∴0又当x=-1时，<，
即b>a，∴016.(13分)已知函数f(x)=x3.
(1)求函数的定义域；(3分)
(2)讨论f(x)的奇偶性；(5分)
(3)求证：对定义域内的所有x，f(x)>0.(5分)
(1)解　要使函数f(x)有意义，则2x-1≠0，即x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)解　由(1)知f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(x)=x3=·x3，
∴f(-x)=·(-x)3
=·(-x)3=·x3=f(x)，
∴函数f(x)是偶函数.
(3)证明　∵函数f(x)是偶函数，
∴只要证明当x>0时，f(x)>0即可.
当x>0时，2x-1>0，此时x3>0，
即f(x)>0成立，
∴对定义域内的所有x，f(x)>0.4.1.2　指数函数的性质与图象
第1课时　指数函数的概念、性质与图象
学习目标　1.理解指数函数的概念，了解底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求简单的函数的定义域、值域.
导语
同学们，让我们来做个小游戏吧！将一张A4纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(假设原面积为1)与折叠的次数有什么关系？今天让我们探究一下这个问题.
一、指数函数的概念
指数函数的定义
一般地，函数y=ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
注意点：
指数函数解析式的三个特征
(1)ax的系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数a.
(3)自变量x为指数.
例1　(1)下列函数中是指数函数的是(　　)
A.y=2·3x B.y=
C.y=3x D.y=(-2)x
答案　C
解析　A中，3x的系数不是1，故A不是指数函数；B中，的指数是x+1，不是自变量x，故B不是指数函数；C中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；D中，底数-2<0，故D不是指数函数.
(2)已知函数f(x)是指数函数，且f=，则f(3)=　　　　.
答案　125
解析　设f(x)=ax(a>0且a≠1)，由f=得===，
所以a=5，即f(x)=5x，所以f(3)=53=125.
反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)看形式：判断其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式.
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数.
跟踪训练1　若函数y=a2(2-a)x是指数函数，则(　　)
A.a=1或-1 B.a=1
C.a=-1 D.a>0且a≠1
答案　C
解析　因为函数y=a2(2-a)x是指数函数，
所以即a=-1.
二、指数函数的图象和应用
问题1　用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y=2x与y=的图象.
x -2 -1 0 1 2
y=2x
y=
提示　
(1)　　1　2　4　4　2　1　　
(2)y=2x和y=的图象如图所示.
问题2　比一比y=2x与y=的图象有哪些相同点？有哪些不同点？
提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y=2x与y=这两个底数互为倒数的函数的图象关于y轴对称.
问题3　再选取底数，a=3，a=4，a=，a=，在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势.
提示　
知识梳理
函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 定义域为R
值域 值域为(0，+∞)
过定点 过定点(0，1)
函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，00时，01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称
注意点：
(1)函数图象只出现在x轴上方.
(2)当x=0时，有a0=1，故指数函数过定点(0，1).
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴.
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
例2　(1)下列几个函数的图象如图所示：①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx.则a，b，c，d与0和1的关系是(　　)
A.0B.0C.0D.1答案　B
解析　由指数函数图象和底数的关系知当底数大于1时，底数越大，图象越靠近y轴，因此得到c>d>1，当底数大于0小于1时，底数越小，图象越靠近y轴，因此得到1>a>b>0，所以0(2)若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　)
A.00 B.a>1，且b>0
C.01，且b<0
答案　C
解析　函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象是由函数y=ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0，1).若经过第二、三、四象限，则需将函数y=ax(0反思感悟　(1)解决指数函数图象问题的注意点
①熟记当底数a>1和0②在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
(2)与指数函数相关的定点问题
由指数函数y=ax(a>0，且a≠1)过定点(0，1)，可令所给函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可.
跟踪训练2　(1)函数y=ax-3+3(a>0且a≠1)的图象过定点　　　　.
答案　(3，4)
解析　因为指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0，1)，
所以在函数y=ax-3+3中，
令x-3=0，得x=3，此时y=1+3=4，
即函数y=ax-3+3的图象过定点(3，4).
(2)函数y=a|x|(a>1)的图象是(　　)
答案　B
解析　当x>0时，y=ax，排除D；
因为a>1，所以y=ax在(0，+∞)上是增函数，排除C；
又当x=0时，函数y=a0=1，即函数过定点(0，1)，排除A；
所以选项B的图象符合.
三、与指数函数有关的定义域(值域)问题
例3　求下列函数的定义域、值域：
(1)y=32x+1；(2)y=23-x；(3)y=.
解　(1)函数的定义域为R，
∵x∈R，∴2x+1∈R，
∴函数y=32x+1的值域为(0，+∞).
(2)函数的定义域为R，
∵x∈R，∴3-x∈R，
∴函数y=23-x的值域为(0，+∞).
(3)由x-1≠0得x≠1，
∴函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，
∴≠0，≠1，
∴函数的值域为(0，1)∪(1，+∞).
延伸探究1　将例3(2)的函数解析式变为y=，则该函数在R上的值域为　　　　；
在(0，3)上的值域为　　　　.
答案　(0，2]　
解析　令t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，则t≥-1，
又函数y=在[-1，+∞)上单调递减，
故值域为(0，2]；
当x∈(0，3)时，t∈[-1，3)，函数y=在[-1，3)上单调递减，
则y≤=2，且y>=，即函数在(0，3)上的值域为.
延伸探究2　将例3(2)的函数解析式变为f(x)=(a>0，且a≠1)，求此函数的值域.
解　f(x)的定义域是R，
因为-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4，
所以当a>1时，函数f(x)的值域为(0，a4]，
当0反思感悟　y=af(x)(a>0且a≠1)型的定义域与值域的求法
(1)形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)形如y=af(x)(a>0且a≠1)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论.
1.知识清单：
(1)指数函数的概念.
(2)指数函数的图象和应用.
(3)与指数函数有关的定义域(值域)问题.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：
(1)在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0(a>0且a≠1).
(2)形如函数y=af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)=0.
1.若函数y=(k+2)ax+2-b(a>0且a≠1)是指数函数，则k+b等于(　　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
答案　B
解析　由题意可知解得
所以k+b=1.
2.函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：中的一个，则a，b，c，d的值分别是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而>>>，所以a，b，c，d的值分别是.
3.函数y=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　　　.
答案　(-1，3)
解析　令x+1=0，得x=-1，
此时y=1+2=3，
即函数y=ax+1+2的图象过定点(-1，3).
4.函数y=的定义域为　　　　，值域为　　　　.
答案　{x|x≥2}　{y|0解析　由x-2≥0，得x≥2，
所以y=的定义域为{x|x≥2}，
又因为≥0，0<<1，
所以0<≤1，
即y=的值域为{y|0课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.(多选)若函数f(x)=·ax(a>0且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　)
A.a=8 B.f(0)=-3
C.f=2 D.a=4
答案　AC
解析　因为函数f(x)是指数函数，所以a-3=1，所以a=8，所以f(x)=8x，所以f(0)=1，f==2，故B，D错误，A，C正确.
2.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示，则(　　)
A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.0答案　C
3.函数y=-1的定义域是(　　)
A.R B.{x|x≠1}
C.{x|x≠0} D.{x|x≠0且x≠1}
答案　C
解析　要使y=-1有意义，
只需有意义，即x≠0.
4.若函数y=(1-2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.(-∞，0)
C. D.
答案　B
解析　∵y=(1-2a)x是R上的增函数，
则1-2a>1，∴a<0.
5.函数y=的值域是(　　)
A.(-∞，1) B.(-∞，0)∪(0，+∞)
C.(-1，+∞) D.(-∞，-1)∪(0，+∞)
答案　D
解析　由知，当-1<2x-1<0时，
y∈(-∞，-1)；当2x-1>0时，y∈(0，+∞)；
综上，函数的值域是(-∞，-1)∪(0，+∞).
6.在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=的图象只可能是(　　)
答案　A
解析　根据指数函数的定义，可知a，b同号且不相等，∴-<0，可排除B，D；由选项C中二次函数的图象，可知a-b>0，a<0，∴>1，∴指数函数y=单调递增，故C不正确，排除C，故选A.
7.(5分)函数y=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点　　　　.
答案　(2，2)
解析　∵a0=1，∴当x=2时，ax-2+1=2，
∴函数y=ax-2+1必经过点(2，2).
8.(5分)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0，则实数a的值等于　　　　.
答案　-3
解析　由已知，得f(1)=2；
又当x>0时，f(x)=2x>1，
而f(a)+f(1)=0，
∴f(a)=-2，即a≤0，
∴a+1=-2，解得a=-3.
9.(10分)求下列函数的定义域和值域.
(1)y=；(5分)
(2)y=5-x-1.(5分)
解　(1)由1-x≥0，得x≤1.
∴定义域为(-∞，1].
设t=≥0，则3t≥30=1，
∴值域为[1，+∞).
(2)定义域为R，
∵5-x>0，∴5-x-1>-1，
∴值域为(-1，+∞).
10.(10分)画出函数y=|2x-1|的图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值.
解　函数图象如图所示，定义域为R；值域为{y|y≥0}；单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；最小值为0，无最大值.
11.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.任取x>0，均有3x>2x
B.y=()-x是增函数
C.y=2|x|的最小值为1
D.在同一坐标系中，y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称
答案　ACD
解析　任取x>0，均有3x>2x，故A正确；
y=()-x=是减函数，故B错误；
y=2|x|的最小值为1，故C正确；
在同一坐标系中，y=2x与y=2-x=的图象关于y轴对称，故D正确.
12.函数y=ax-a(a>0且a≠1)的大致图象可能是(　　)
答案　C
解析　如果函数的图象是A，那么由1-a=1，得a=0，这与a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B，那么由a1-a<0，得0<0，这是不可能的，故B不可能；如果函数的图象是C，那么由0<1-a<1，得013.(5分)函数y=0.的定义域为　　　　　　　　，值域为　　　　　　　　.
答案　{x|x≠±1}　(0，1)∪
解析　由x2-1≠0，得x≠±1，
∴函数y=0.的定义域为{x|x≠±1}.
∵x2-1≥-1且x2-1≠0，
∴≤-1或>0，
∴0<0.<1或0.≥，
∴函数y=0.的值域为(0，1)∪.
14.(5分)若关于x的方程=k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　　　　.
答案　(0，1)
解析　由题意知，y=与y=k的图象有两个不同的交点，
又y=
=
如图所示，
所以015.(多选)已知实数a，b满足=，给出下面几种关系，则其中可能成立的是(　　)
A.0C.a答案　BCD
解析　在同一坐标系中作出函数y=与函数y=的图象，如图所示，
若=>1，
则a若0<=<1，则0若==1，则b=a=0.
16.(12分)已知函数f(x)=ax+b(a>0，且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；(3分)
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(4分)
(3)在(1)中，若|f(x)|=m有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.(5分)
解　(1)由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)，所以
又因为a>0，且a≠1，
所以
(2)由题图②知f(x)单调递减，所以0又f(0)<0，即a0+b<0，所以b<-1.
故a的取值范围为(0，1)，
b的取值范围为(-∞，-1).
(3)由(1)知f(x)=()x-3，则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示，要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根，则m=0或m≥3.
故实数m的取值范围为{0}∪[3，+∞).(共70张PPT)
第2课时
指数函数的图象与性质的应用
第四章　4.1.2　指数函数的性质与图象
<<<
1.能够利用指数函数的图象和性质比较大小、解不等式.
2.掌握指数函数图象和性质的综合应用.
学习目标
一、利用指数函数性质比较大小
二、利用指数函数性质解不等式
课时对点练
三、指数函数图象和性质的综合运用
随堂演练
内容索引
利用指数函数性质比较大小
一
　(课本例1)利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8-0.1与0.8-0.2；
例 1
因为0.8-0.1与0.8-0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y=0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为-0.1>-0.2，所以0.8-0.1<0.8-0.2.
解
(2)2.5a与2.5a+1.
因为2.5a与2.5a+1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y=2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a解
　比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5与1.53.2；
例 1
∵函数y=1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，
∴1.52.5<1.53.2.
解
(2)与；
指数函数y=与y=的图象(如图)，
由图知>.
解
(3)1.50.3与0.81.2.
由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1，
而0.81.2<0.80=1，
∴1.50.3>0.81.2.
解
比较指数式大小的3种类型及处理方法
反
思
感
悟
　比较下列各组数的大小：
(1)0.8-0.1与1.250.2；
跟踪训练 1
∵0<0.8<1，
∴y=0.8x在R上是减函数.
∵-0.2<-0.1，
∴0.8-0.2>0.8-0.1，
而0.8-0.2==1.250.2，
即0.8-0.1<1.250.2.
解
(2)1.70.3与0.93.1；
∵1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，
∴1.70.3>0.93.1.
解
(3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1).
a0.5与a0.6可看作指数函数y=ax的两个函数值.
当0∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6；
当a>1时，函数y=ax在R上是增函数.
∵0.5<0.6，∴a0.5综上所述，当0a0.6；
当a>1时，a0.5解
二
利用指数函数性质解不等式
(1)(课本例2)已知实数a，b满足>，试判断6a与6b的大小.
例 2
因为函数y=在实数集R上是减函数，所以由>可知a解
(1)若不等式<成立，则实数x的取值范围是　　　　.
例 2
由于<等价于<5-x，
又y=5x为增函数，
故x2+x-3<-x，
即x2+2x-3<0，解得-3即实数x的取值范围是(-3，1).
解析
(-3，1)
(2)解关于x的不等式：a2x+1≤ax-5(a>0且a≠1).
①当0∵a2x+1≤ax-5，
∴2x+1≥x-5，解得x≥-6.
②当a>1时，y=ax在R上是增函数，
∵a2x+1≤ax-5，
∴2x+1≤x-5，解得x≤-6.
综上所述，当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤-6}.
解
指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法：
当a>1时，f(x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：
1=a0(a>0且a≠1)，a-x=(a>0且a≠1)等.
反
思
感
悟
　(1)已知不等式≤3x<27，则x的取值范围为
A. B.
C.R D.
跟踪训练 2
由题意可得≤3x<33，再根据函数y=3x在R上是增函数，可得-≤x<3.
解析
√
(2)已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x，则x的取值范围是　　 　　.
∵a2+a+2=+>1，
∴(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x x>1-x x>.
∴x的取值范围为.
解析
指数函数图象和性质的综合运用
三
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
例 3
由题意，得f(0)==0，
所以a=1，所以f(x)=，
该函数是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x1f(x2)-f(x1)=-
=.
解
因为x1所以-<0，(1+)(1+)>0，
所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)所以该函数在定义域R上是减函数.
解
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0，
得f(t2-2t)<-f(2t2-k).
因为f(x)是奇函数，所以f(t2-2t)由(1)知，f(x)是减函数，所以t2-2t>k-2t2，
即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立，
所以Δ=4+12k<0，得k<-，故实数k的取值范围为.
解
解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.
反
思
感
悟
设a>0，函数f(x)=+是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值；
跟踪训练3　
由f(x)=f(-x)，得+=+，
即4x+=0，
所以=0，
根据题意，可得-a=0，
又a>0，所以a=1.
解
(2)求f(x)在[0，1]上的值域.
由(1)可知f(x)=4x+，
设任意的x1，x2∈[0，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=+--
=(-.
因为0≤x1所以-<0.
解
又因为x1+x2>0，所以>1，
所以1->0，所以f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增.
所以函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)=4+=；最小值为f(0)=1+1=2.
故f(x)在[0，1]上的值域为.
解
1.知识清单：
(1)利用指数函数性质比较大小.
(2)利用指数函数性质解不等式.
(3)指数函数图象和性质的综合应用.
2.方法归纳：转化与化归、分类讨论、数形结合.
3.常见误区：研究y=af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列判断正确的是
A.2.72.5>2.73 B.0.62<0.63
C.π2> D.0.90.3>0.90.5
√
√
1
2
3
4
∵y=2.7x是增函数，且2.5<3，
∴2.72.5<2.73，故A错误；
∵y=0.6x是减函数，且2<3，
∴0.62>0.63，故B错误；
∵y=πx是增函数，且2>，∴π2>，故C正确；
∵y=0.9x是减函数，且0.3<0.5，
∴0.90.3>0.90.5，故D正确.
解析
1
2
3
4
2.如果f(x)=，x∈R，那么f(x)是
A.奇函数且在(0，+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0，+∞)上单调递增
C.奇函数且在(0，+∞)上单调递减
D.偶函数且在(0，+∞)上单调递减
√
由x∈R且f(-x)=f(x)知f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)=单调递减.
解析
1
2
3
4
3.函数f(x)=+的定义域为
A.(-3，0]
B.(-3，1]
C.(-∞，-3)∪(-3，0]
D.(-∞，-3)∪(-3，1]
√
1
2
3
4
由题意知，自变量x应满足
解得
所以函数f(x)的定义域为(-3，0].
解析
1
2
3
4
4.设0的解集为　　　　.
(1，+∞)
因为0所以y=ax在R上是减函数，
又因为>，
所以2x2-3x+2<2x2+2x-3，
解得x>1.
解析
课时对点练
五
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C C D {x|x<1} [4，+∞)
题号 11 12 13 14 15
答案 D B B [0，1] B
对一对
9.
答案
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)因为y=1.1x是增函数，1.1>0.9，
故1.11.1>1.10.9.
(2)因为y=0.1x是减函数，-0.2<0.9，
故0.1-0.2>0.10.9.
(3)指数函数y=3x与y=πx的大致图象如图，由图知30.1<π0.1.
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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13
14
15
16
(4)因为1.70.1>1.70=1，0.91.1<0.90=1，
故1.70.1>0.91.1.
(5)取中间值0.70.7，由指数函数y=0.7x和y=0.8x的图象(图略)可知0.70.8<
0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(同理，也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8
<0.80.7).
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设f(x)=ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)=8，所以a3=8，即a=2，所以f(x)=2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)=，
因此由g(2x-1)得2x-1>3x，解得x<-1.
所以x的取值范围为(-∞，-1).
16.
答案
1
2
3
4
5
6
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15
16
(1)解　要使函数f(x)有意义，则2x-1≠0，即x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)解　由(1)知f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(x)=x3=·x3，
∴f(-x)=·(-x)3
=·(-x)3=·x3=f(x)，
∴函数f(x)是偶函数.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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15
16
(3)证明　∵函数f(x)是偶函数，
∴只要证明当x>0时，f(x)>0即可.
当x>0时，2x-1>0，此时x3>0，
即f(x)>0成立，
∴对定义域内的所有x，f(x)>0.
基础巩固
1.若2x+1<1，则x的取值范围是
A.(-1，1) B.(-1，+∞)
C.(0，1)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
15
16
∵2x+1<1=20，且y=2x是增函数，
∴x+1<0，∴x<-1.
解析
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B=，则A∩B等于
A.{1，2，3} B.{0，1，2}
C.{-1，0，1} D.{-1，0，1，2}
√
由<2x<4，解得-2所以B={x|-2又A={-2，-1，0，1，2}，所以A∩B={-1，0，1}.
解析
3.已知函数f(x)=2x-2-x+5，若f(m)=4，则f(-m)等于
A.4 B.6
C.-4 D.-6
答案
1
2
3
4
5
6
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14
15
16
设g(x)=f(x)-5=2x-2-x，x∈R，
则g(-x)=2-x-2x=-g(x)，即g(x)是奇函数，
故g(m)+g(-m)=0，即f(m)-5+f(-m)-5=0，即f(m)+f(-m)=10，
因为f(m)=4，所以f(-m)=6.
解析
√
4.函数y=ax(a>0且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y=2ax-1在[0，1]上的最大值是
A.6 B.1
C.3 D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
函数y=ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0+a1=3，解得a=2，因此函数y=2ax-1=4x-1在[0，1]上是增函数，当x=1时，ymax=3.
解析
√
5.已知a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8，则a，b，c的大小关系正确的是
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为函数y=0.8x是R上的减函数，
且0.7<0.9，
所以a=0.80.7>0.80.9=b.
又因为a=0.80.7<0.80=1，c=1.20.8>1.20=1，
所以c>a，故c>a>b.
解析
√
6.已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1)，且f(-2)>f(-3)，则a的取值范围是
A.a>0 B.a>1
C.a<1 D.0答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
12
13
14
15
16
√
因为-2>-3，f(-2)>f(-3)，
又f(x)=a-x=，所以>，
所以>1，所以0解析
7.不等式23-2x<0.53x-4的解集为　　　　.
原不等式可化为23-2x<24-3x，
因为函数y=2x是增函数，
所以3-2x<4-3x，解得x<1，
则不等式的解集为{x|x<1}.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
{x|x<1}
8.函数y=的定义域是　　　　.
由题意得2x-1-8≥0，即2x-1≥8=23，
∴x-1≥3，解得x≥4.
解析
答案
1
2
3
4
5
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16
[4，+∞)
9.比较下列各题中数的大小：
(1)1.11.1，1.10.9；
答案
1
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3
4
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16
因为y=1.1x是增函数，1.1>0.9，
故1.11.1>1.10.9.
解
(2)0.1-0.2，0.10.9；
因为y=0.1x是减函数，-0.2<0.9，
故0.1-0.2>0.10.9.
解
(3)30.1，π0.1；
答案
1
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3
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15
16
指数函数y=3x与y=πx的大致图象如图，由图知30.1<π0.1.
解
(4)1.70.1，0.91.1；
因为1.70.1>1.70=1，0.91.1<0.90=1，
故1.70.1>0.91.1.
解
(5)0.70.8，0.80.7.
答案
1
2
3
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15
16
取中间值0.70.7，由指数函数y=0.7x和y=0.8x的图象(图略)可知0.70.8<0.70.7
<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(同理，也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7).
解
10.已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x-1)答案
1
2
3
4
5
6
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答案
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15
16
设f(x)=ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)=8，所以a3=8，即a=2，所以f(x)=2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)=，
因此由g(2x-1)得2x-1>3x，解得x<-1.
所以x的取值范围为(-∞，-1).
解
11.设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
综合运用
答案
1
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16
√
40.9=21.8，80.48=21.44，=21.5，
由于y=2x在R上是增函数，
所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2.
解析
答案
1
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4
5
6
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12
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16
12.已知函数f(x)=且对于任意的x1，x2，都有>0(x1≠x2)，则实数a的取值范围是
A.(1，2] B.(1，3]
C.[1，+∞) D.
答案
1
2
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6
7
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√
答案
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12
13
14
15
16
依题意可知函数f(x)=
在(-∞，+∞)上是增函数，
则解得1故实数a的取值范围是(1，3].
解析
13.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2x-2，则不等式x[f(x)-
2f(-x)]<0的解集是
A.(-1，1)
B.(-1，0)∪(0，1)
C.(-∞，-1)∪(1，+∞)
D.(-∞，-3)∪(-1，1)∪(3，+∞)
答案
1
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√
答案
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15
16
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以x[f(x)-2f(-x)]=x[f(x)+2f(x)]<0，即xf(x)<0，
当x>0时，f(x)=2x-2为增函数，
令f(x)=0可得x=1，
结合函数为奇函数，可作出f(x)的图象，如图所示，
由xf(x)<0可得或
由图象解得0故原不等式的解集为(-1，0)∪(0，1).
解析
14.若函数f(2x)的定义域为[0，2]，则函数f(41-x)的定义域为　　　　.
答案
1
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15
16
[0，1]
对于f(2x)，因为0≤x≤2，
所以由y=2x的单调性得20≤2x≤22，
即1≤2x≤4，
对于f(41-x)，有1≤41-x≤4，
即40≤41-x≤41，
由y=4x的单调性得0≤1-x≤1，解得0≤x≤1，
所以f(41-x)的定义域为[0，1].
解析
15.设x<0，且1A.0C.1拓广探究
答案
1
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16
√
∵1∴0又当x=-1时，<，
即b>a，∴0解析
16.已知函数f(x)=x3.
(1)求函数的定义域；
答案
1
2
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15
16
要使函数f(x)有意义，则2x-1≠0，即x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
解
(2)讨论f(x)的奇偶性；
答案
1
2
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4
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14
15
16
由(1)知f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(x)=x3=·x3，
∴f(-x)=·(-x)3
=·(-x)3=·x3=f(x)，
∴函数f(x)是偶函数.
解
(3)求证：对定义域内的所有x，f(x)>0.
答案
1
2
3
4
5
6
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14
15
16
∵函数f(x)是偶函数，
∴只要证明当x>0时，f(x)>0即可.
当x>0时，2x-1>0，此时x3>0，
即f(x)>0成立，
∴对定义域内的所有x，f(x)>0.
证明
第四章　4.1.2　指数函数的性质与图象
<<<(共74张PPT)
第1课时
指数函数的概念、性质与图象
第四章　4.1.2　指数函数的性质与图象
<<<
1.理解指数函数的概念，了解底数的限制条件的合理性.
2.掌握指数函数图象的性质.
3.会应用指数函数的性质求简单的函数的定义域、值域.
学习目标
同学们，让我们来做个小游戏吧！将一张A4纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(假设原面积为1)与折叠的次数有什么关系？今天让我们探究一下这个问题.
导 语
一、指数函数的概念
二、指数函数的图象和应用
课时对点练
三、与指数函数有关的定义域(值域)问题
随堂演练
内容索引
指数函数的概念
一
指数函数的定义
一般地，函数 称为指数函数，其中a是常数， .
y=ax
a>0且a≠1
指数函数解析式的三个特征
(1)ax的系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数a.
(3)自变量x为指数.
注 意 点
<<<
　(1)下列函数中是指数函数的是
A.y=2·3x B.y=
C.y=3x D.y=(-2)x
例 1
A中，3x的系数不是1，故A不是指数函数；
B中，的指数是x+1，不是自变量x，故B不是指数函数；
C中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；
D中，底数-2<0，故D不是指数函数.
解析
√
(2)已知函数f(x)是指数函数，且f =，则f(3)=　　　　.
设f(x)=ax(a>0且a≠1)，由f =得===，
所以a=5，即f(x)=5x，所以f(3)=53=125.
解析
125
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)看形式：判断其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式.
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数.
反
思
感
悟
　若函数y=a2(2-a)x是指数函数，则
A.a=1或-1 B.a=1
C.a=-1 D.a>0且a≠1
跟踪训练 1
√
因为函数y=a2(2-a)x是指数函数，
所以即a=-1.
解析
二
指数函数的图象和应用
用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y=2x与y=的图象.
问题1
x -2 -1 0 1 2
y=2x
y=
提示　(1)　　1　2　4　4　2　1　　
(2)y=2x和y=的图象如图所示.
提示　相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y=2x与y=这两个底数互为倒数的函数的图象关于y轴对称.
比一比y=2x与y=的图象有哪些相同点？有哪些不同点？
问题2
提示　
再选取底数，a=3，a=4，a=，a=，在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势.
问题3
函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 定义域为____ 值域 值域为__________ 过定点 过定点________ R
(0，+∞)
(0，1)
a>1 0性质 函数值的变化 当x>0时， ； 当x<0时，________ 当x>0时， ；
当x<0时，_________
单调性 在R上是_______ 在R上是_______
对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 y>1
00y>1
增函数
减函数
(1)函数图象只出现在x轴上方.
(2)当x=0时，有a0=1，故指数函数过定点(0，1).
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴.
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
注 意 点
<<<
(1)下列几个函数的图象如图所示：①y=ax；②y=bx；③y=cx；
④y=dx.则a，b，c，d与0和1的关系是
A.0B.0C.0D.1例 2
√
由指数函数图象和底数的关系知当底数大于1时，底数越大，图象越靠近y轴，因此得到c>d>1，当底数大于0小于1时，底数越小，图象越靠近y轴，因此得到1>a>b>0，所以0解析
(2)若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有
A.00 B.a>1，且b>0
C.01，且b<0
函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象是由函数y=ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0，1).若经过第二、三、四象限，则需将函数y=ax(0解析
√
(1)解决指数函数图象问题的注意点
①熟记当底数a>1和0②在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
(2)与指数函数相关的定点问题
由指数函数y=ax(a>0，且a≠1)过定点(0，1)，可令所给函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可.
反
思
感
悟
(1)函数y=ax-3+3(a>0且a≠1)的图象过定点　　　　.
跟踪训练 2
(3，4)
因为指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0，1)，
所以在函数y=ax-3+3中，
令x-3=0，得x=3，此时y=1+3=4，
即函数y=ax-3+3的图象过定点(3，4).
解析
(2)函数y=a|x|(a>1)的图象是
√
当x>0时，y=ax，排除D；
因为a>1，所以y=ax在(0，+∞)上是增函数，排除C；
又当x=0时，函数y=a0=1，即函数过定点(0，1)，排除A；
所以选项B的图象符合.
解析
与指数函数有关的定义域(值域)问题
三
求下列函数的定义域、值域：
(1)y=32x+1；
例 3
函数的定义域为R，
∵x∈R，∴2x+1∈R，
∴函数y=32x+1的值域为(0，+∞).
解
(2)y=23-x；
函数的定义域为R，
∵x∈R，∴3-x∈R，
∴函数y=23-x的值域为(0，+∞).
解
(3)y=.
由x-1≠0得x≠1，
∴函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，
∴≠0，≠1，
∴函数的值域为(0，1)∪(1，+∞).
解
将例3(2)的函数解析式变为y=，则该函数在R上的值域为　　　　； 在(0，3)上的值域为　　　　.
延伸探究1
(0，2]
令t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，则t≥-1，
又函数y=在[-1，+∞)上单调递减，
故值域为(0，2]；
当x∈(0，3)时，t∈[-1，3)，函数y=在[-1，3)上单调递减，
则y≤=2，且y>=，即函数在(0，3)上的值域为.
解析
将例3(2)的函数解析式变为f(x)=(a>0，且a≠1)，求此函数的值域.
延伸探究2
f(x)的定义域是R，
因为-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4，
所以当a>1时，函数f(x)的值域为(0，a4]，
当0解
y=af(x)(a>0且a≠1)型的定义域与值域的求法
(1)形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)形如y=af(x)(a>0且a≠1)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)指数函数的概念.
(2)指数函数的图象和应用.
(3)与指数函数有关的定义域(值域)问题.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：
(1)在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0(a>0且a≠1).
(2)形如函数y=af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)=0.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若函数y=(k+2)ax+2-b(a>0且a≠1)是指数函数，则k+b等于
A.-1 B.1
C.-2 D.2
由题意可知解得
所以k+b=1.
解析
√
1
2
3
4
2.函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：中的一个，则a，b，c，d的值分别是
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而>>>，所以a，b，c，d的值分别是.
解析
1
2
3
4
3.函数y=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　　　.
令x+1=0，得x=-1，
此时y=1+2=3，
即函数y=ax+1+2的图象过定点(-1，3).
解析
(-1，3)
1
2
3
4
4.函数y=的定义域为　　　　，值域为　　 　　.
{x|x≥2}
由x-2≥0，得x≥2，
所以y=的定义域为{x|x≥2}，
又因为≥0，0<<1，
所以0<≤1，
即y=的值域为{y|0解析
{y|0课时对点练
五
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 AC C C B D A (2，2) -3
题号 11 12 13 14 15
答案 ACD C {x|x≠±1}　 (0，1)∪ (0，1) BCD
对一对
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)由1-x≥0，得x≤1.
∴定义域为(-∞，1].
设t=≥0，则3t≥30=1，
∴值域为[1，+∞).
(2)定义域为R，
∵5-x>0，∴5-x-1>-1，
∴值域为(-1，+∞).
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
函数图象如图所示，定义域为R；值域为{y|y≥0}；单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；最小值为0，无最大值.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
14
15
16
(1)由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)，所以
又因为a>0，且a≠1，
所以
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)由题图②知f(x)单调递减，所以0又f(0)<0，即a0+b<0，所以b<-1.
故a的取值范围为(0，1)，
b的取值范围为(-∞，-1).
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)由(1)知f(x)=()x-3，则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示，要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根，则m=0或m≥3.
故实数m的取值范围为{0}∪[3，+∞).
基础巩固
1.(多选)若函数f(x)=·ax(a>0且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是
A.a=8 B.f(0)=-3
C.f=2 D.a=4
答案
1
2
3
4
5
6
7
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12
13
14
15
16
因为函数f(x)是指数函数，所以a-3=1，所以a=8，所以f(x)=8x，所以f(0)=1，f ==2，故B，D错误，A，C正确.
解析
√
√
2.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示，则
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
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14
15
16
A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.0√
3.函数y=-1的定义域是
A.R B.{x|x≠1}
C.{x|x≠0} D.{x|x≠0且x≠1}
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
要使y=-1有意义，
只需有意义，即x≠0.
解析
√
4.若函数y=(1-2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为
A. B.(-∞，0)
C. D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵y=(1-2a)x是R上的增函数，
则1-2a>1，∴a<0.
解析
√
5.函数y=的值域是
A.(-∞，1) B.(-∞，0)∪(0，+∞)
C.(-1，+∞) D.(-∞，-1)∪(0，+∞)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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12
13
14
15
16
由知，当-1<2x-1<0时，
y∈(-∞，-1)；当2x-1>0时，y∈(0，+∞)；
综上，函数的值域是(-∞，-1)∪(0，+∞).
解析
√
6.在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=的图象只可能是
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
答案
1
2
3
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5
6
7
8
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10
11
12
13
14
15
16
根据指数函数的定义，可知a，b同号且不相等，∴-<0，可排除B，D；
由选项C中二次函数的图象，可知a-b>0，a<0，∴>1，∴指数函数y=单调递增，故C不正确，排除C，故选A.
解析
7.函数y=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点　　　　.
∵a0=1，∴当x=2时，ax-2+1=2，
∴函数y=ax-2+1必经过点(2，2).
解析
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(2，2)
8.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0，则实数a的值等于　　　.
由已知，得f(1)=2；
又当x>0时，f(x)=2x>1，
而f(a)+f(1)=0，
∴f(a)=-2，即a≤0，
∴a+1=-2，解得a=-3.
解析
答案
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-3
9.求下列函数的定义域和值域.
(1)y=；
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由1-x≥0，得x≤1.
∴定义域为(-∞，1].
设t=≥0，则3t≥30=1，
∴值域为[1，+∞).
解
(2)y=5-x-1.
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定义域为R，
∵5-x>0，∴5-x-1>-1，
∴值域为(-1，+∞).
解
10.画出函数y=|2x-1|的图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值.
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函数图象如图所示，定义域为R；值域为{y|y≥0}；单调递减区间为
(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；最小值为0，无最大值.
解
11.(多选)下列说法中正确的是
A.任取x>0，均有3x>2x
B.y=()-x是增函数
C.y=2|x|的最小值为1
D.在同一坐标系中，y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称
√
综合运用
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√
√
任取x>0，均有3x>2x，故A正确；
y=()-x=是减函数，故B错误；
y=2|x|的最小值为1，故C正确；
在同一坐标系中，y=2x与y=2-x=的图象关于y轴对称，故D正确.
解析
答案
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12.函数y=ax-a(a>0且a≠1)的大致图象可能是
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如果函数的图象是A，那么由1-a=1，得a=0，这与a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；
如果函数的图象是B，那么由a1-a<0，得0<0，这是不可能的，故B不可能；
如果函数的图象是C，那么由0<1-a<1，得0如果函数的图象是D，那么由a1-a<0，得0<0，这是不可能的，故D不可能.
解析
13.函数y=0.的定义域为　　　 　，值域为　　 　　　　　　.
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{x|x≠±1}
(0，1)∪
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由x2-1≠0，得x≠±1，
∴函数y=0.的定义域为{x|x≠±1}.
∵x2-1≥-1且x2-1≠0，
∴≤-1或>0，
∴0<0.<1或0.≥，
∴函数y=0.的值域为(0，1)∪.
解析
14.若关于x的方程=k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　　　　.
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(0，1)
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由题意知，y=与y=k的图象有两个不同的交点，
又y=
=
如图所示，
所以0解析
15.(多选)已知实数a，b满足=，给出下面几种关系，则其中可能成立的是
A.0C.a拓广探究
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√
√
√
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在同一坐标系中作出函数y=与函数y=的图象，如图所示，
解析
若=>1，
则a若0<=<1，则0若==1，则b=a=0.
16.已知函数f(x)=ax+b(a>0，且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
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由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)，所以
又因为a>0，且a≠1，
所以
解
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
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由题图②知f(x)单调递减，所以0又f(0)<0，即a0+b<0，所以b<-1.
故a的取值范围为(0，1)，
b的取值范围为(-∞，-1).
解
(3)在(1)中，若|f(x)|=m有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.
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由(1)知f(x)=()x-3，则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示，要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根，则m=0或m≥3.
解
故实数m的取值范围为{0}∪[3，+∞).
第四章　4.1.2　指数函数的性质与图象
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