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1.2　常用逻辑用语
1.2.1　命题与量词
学习目标　1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.
【引入】 “命题”这个词在新闻报道中经常可以见到.例如:“从最直接的生态保护方式植树造林，到多种更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保‘新命题’.”
我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗 我们这节课就可以揭开它们的面纱!
一、命题及命题的真假判断
探究1 下列语句的表述形式有什么特点 你能判断它们的真假吗
(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点;
(2)2+4=6;
(3)若x2=1，则x=1;
(4)2是质数.
提示　都是陈述句，其中(1)(2)(4)为真，(3)为假.
温馨提示　(1)能判断真假的陈述语句才是命题，一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
(2)一个命题不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题.
(3)命题可用小写英文字母表示，如p，q….
例1 (1)下列语句是命题的是(　　)
A.2 025是一个大数
B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C.y=kx+b(k≠0)是一次函数吗
D.a≤15
(2)(多选)对于下列命题，其中为假命题的是(　　)
A.所有的素数都是奇数
B. x∈{y|y是无理数}，x3是无理数
C.在平面直角坐标系中，至少有一个二次函数的图象与y轴不相交
D.命题“至少有一个整数n，使得n2+n为奇数”的否定
答案　(1)B　(2)ABC
解析　(1)对于A，“2 025是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误;
对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，是命题，B正确;
对于C，“y=kx+b(k≠0)是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误;
对于D，“a≤15”无法判断真假，不是命题，D错误.
(2)最小的素数是2，而2不是奇数，故A是假命题;
令x=，则x是无理数，而x3==2是有理数，故B是假命题;
二次函数y=ax2+bx+c，令x=0代入均有y=c，故二次函数的图象与y轴相交，故C是假命题;
由n2+n=n(n+1)知，当n为奇数时，(n+1)为偶数，当n为偶数时，(n+1)为奇数，所以n(n+1)不可能为奇数;故命题“至少有一个整数n，使得n2+n为奇数”是假命题，则命题的否定为真命题.故选ABC.
思维升华　(1)一般地，判定一个语句是不是命题，关键看这个语句是否具备两个特征:一是陈述句，二能判断真假.
(2)判断命题真假性的两个技巧
①真命题:判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论.
②假命题:判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可.
训练1 (1)(多选)下列命题正确的是(　　)
A.在一个三角形中至少有两个锐角
B.在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C.如果两个角互余，那么它们的补角也互余
D.两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
(2)下列语句:①是无限循环小数;②x2-3x+2=0;③当x=4时，2x>0;④一个数不是合数就是质数.其中是命题的是　　　　(填序号).
答案　(1)AB　(2)①③④
解析　(1)由于三角形内角和为180°，故内角中最多有一个钝角，即在一个三角形中至少有两个锐角，A正确;
根据垂径定理知在圆中，垂直于弦的直径平分弦，B正确;
不妨取30°和60°互余，它们的补角为150°和120°，这两角不互余，C错误;
两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等，两条不平行的直线被第三条直线所截，同位角不相等，D错误.
(2)①是陈述句，且能判断真假，故①是命题;
②语句中含有变量x，没有给x赋值前，无法判断语句的真假，故不是命题;
③是陈述句，且能判断真假，故③是命题;④是陈述句，且能判断真假，故④是命题.
二、全称量词命题与存在量词命题
探究2 观察下列命题，它们之间有什么关系呢
(1)任意给定实数x，x2≥0;
(2)存在有理数x，使得3x-2=0;
(3)每一个有理数都能写成分数的形式;
(4)所有的自然数都大于或等于零;
(5)实数范围内，至少有一个x使得有意义;
(6)方程x2=2在实数范围内有两个解.
提示　命题(1)(3)(4)陈述的是指定集合中的所有元素都具有某种特定性质;命题(2)(5)(6)陈述的是指定集合中的某些元素具有某种特定性质.
全称量词 存在量词
量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题，称为全称量词命题 含有存在量词的命题，称为存在量词命题
命题 形式 “对集合M中的所有元素x，r(x)”，可简记为“ x∈M，r(x)” “存在集合M中的元素x，s(x)”，可简记为“ x∈M，s(x)”
温馨提示　(1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.
(2)要判定全称量词命题“ x∈M，r(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证r(x)成立;要判定其是假命题，只需举出一个反例即可.
(3)要判断存在量词命题“ x∈M，s(x)”是真命题，只需要在限定集合M中找到一个元素x0，使s(x0)成立即可;要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明s(x)都不成立.
例2 (1)(链接教材P26例题)(多选)下列命题正确的有(　　)
A.“非负数的平方是正数”是含有全称量词的真命题
B.“三角形外角和为360°”是含有全称量词的真命题
C.“至少存在一个实数x，使得|x|≥0”是含有存在量词的真命题
D.“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是存在量词命题
(2)下列命题，是全称量词命题的是　　　　，是存在量词命题的是　　　　(填序号).
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
答案　(1)BC　(2)①②③　④
解析　(1)对于A，因为02=0，不是正数，故A错误;
对于B，“三角形外角和为360°”的含义是“所有三角形外角和为360°”，是含有全称量词的命题，且为真命题，故B正确;
对于C，∵|0|≥0，∴“至少存在一个实数x，使得|x|≥0”是含有存在量词的真命题，故C正确;
对于D，“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”的含义是“所有能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”，是全称量词命题，故D错误.
(2)④含有存在量词:至少有一个，为存在量词命题，①②③含有全称量词:任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题.
思维升华　(1)判断全称量词命题真假的思维过程
(2)判断存在量词命题真假的思维过程
训练2 (1)下列命题中是全称量词命题，且为真命题的是(　　)
A. a，b∈R，a2+b2<0
B.菱形的两条对角线相等
C. x0∈R，=x0
D.一次函数的图象是直线
(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A. x<0，使得|x|>0
B. x≥0，都有|x|=x
C.已知集合A={x|x=2k}，B={y|y=3k}，则对于 k∈N*，都有A∩B=
D. x∈R，使得方程x2+2x+5=0成立
答案　(1)D　(2)AB
解析　(1)对于A， a，b∈R，a2+b2<0为全称量词命题，但是a2+b2≥0，故是假命题，故A错误;
对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误;
对于C，是存在量词命题，故C错误;
对于D，既是全称量词命题也是真命题，故D正确.
(2)对于A，当x<0时，|x|=-x>0，A正确;
对于B，当x≥0时，|x|=x，B正确;
对于C，当k∈N*时，A∩B={x|x=6k}，C错误;
对于D，∵Δ=4-20=-16<0，∴ x∈R，方程x2+2x+5=0都不成立，D错误.
三、依据含量词命题的真假求参数的范围
例3 已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，且B≠ ，若命题p:“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
解　因为命题p:“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠ ，
所以解得2≤m≤3.
即m的取值范围为{m|2≤m≤3}.
迁移1 (变条件)把本例中的命题p改为“ x∈A，x∈B”，求m的取值范围.
解　因为命题p:“ x∈A，x∈B”是真命题，
所以A∩B≠ ，因为B≠ ，所以m≥2.
所以
解得2≤m≤4.
即m的取值范围是{m|2≤m≤4}.
迁移2 (变条件)把本例中的命题p改为“ x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题 若存在，求出实数m的取值范围;若不存在，说明理由.
解　因为命题p:“ x∈A，x∈B”是真命题，
所以A B，B≠ ，
所以解得m∈ ，
所以不存在实数m，使命题p是真命题.
思维升华　含量词命题的真假求参数取值范围
把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
训练3 分别求满足下列条件的实数a的取值范围:
(1)“ x∈[a，+∞)，x2≥1”是真命题;
(2)“ x∈(-∞，a]，x2=1”是假命题.
解　(1)∵x2≥1，即x≥1或x≤-1，
且原命题为真命题，
∴a的取值范围是[1，+∞).
(2)∵x2=1，即x=±1，且原命题为假命题，
∴a的取值范围是(-∞，-1).
【课堂达标】
1.下列语句中是命题的是(　　)
A.x2-2x-3>0
B.π不是无限不循环小数
C.直线与平面相交
D.在线段AB上任取一点
答案　B
解析　根据命题的概念，必须能够判断真假，其中A，C，D均不能判断真假，B选项满足题意是命题.
2.(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A.0∈N
B.“六边形的内角和为720°”是全称量词命题
C.∈Q
D.“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是存在量词命题
答案　AB
解析　0∈N， Q，故A正确，C错误;
“六边形的内角和为720°”是全称量词命题，故B正确;
“每个水分子都由两个氢原子和一个氧原子构成”是全称量词命题，D错误.
3.设a∈R，若x>1，则x>a为真命题，则a的取值范围是　　　　.
答案　(-∞，1]
解析　由题知x>1，则x>a为真命题，则{x|x>1} {x|x>a}，故a≤1.
4.下列命题中:
①任意一个自然数都是正整数;②有的菱形是正方形;③凸多边形的外角和等于360°.
其中是全称量词命题的是　　　　(填序号).
答案　①③
解析　①任意一个自然数都是正整数，“任意一个”是全称量词，命题是全称量词命题;
②有的菱形是正方形，“有的”是存在量词，命题为存在量词命题;
③凸多边形的外角和等于360°，命题是全称量词命题.
课时精练
一、基础巩固
1.下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A.锐角三角形的内角都是锐角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
答案　B
解析　A，C是全称量词命题;“至少”，“存在”是存在量词，故B，D是存在量词命题，存在x=0，使得x2≤0，不存在负数使得>2，故D是假命题，B是真命题.
2.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(　　)
A.每一个二次函数的图象都是开口向上
B.存在一条直线与两条相交直线都平行
C.对任意c≤0，若a≤b+c，则a≤b
D.存在一个实数x，使得x2-3x+6=0
答案　C
解析　A选项是全称量词命题，二次函数的图象有开口向上的，也有开口向下的，A是假命题;
B选项是存在量词命题;
C选项是全称量词命题，对任意c≤0，若a≤b+c，则a≤b+c≤b，即a≤b，C是真命题;
D选项是存在量词命题.
3.下列命题中不正确的是(　　)
A.对于任意的实数a，二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称
B.存在一个无理数，它的立方是无理数
C.存在整数x，y，使得2x+4y=5
D.每个正方形都是平行四边形
答案　C
解析　对于A，对于任意的实数a，二次函数y=x2+a图象的对称轴为y轴，A正确;
对于B，无理数，且为无理数，B正确;
对于C，若x，y为整数，则2x，4y均为偶数，
所以，2x+4y也为偶数，则2x+4y=5不成立，C错误;
对于D，每个正方形都是平行四边形，D正确.
4.(多选)王维，字摩诘，号摩诘居士，唐代山水田园派诗人、画家.北宋苏轼在《书摩诘蓝田烟雨图》中评价道:“味摩诘之诗，诗中有画;观摩诘之画，画中有诗”.在王维所做的五言绝句《相思》中，以下诗句不可以作为命题的是(　　)
A.红豆生南国 B.春来发几枝
C.愿君多采撷 D.此物最相思
答案　BCD
解析　对于A，红豆生南国，是陈述句，是正确的，这句诗是命题;
对于B，春来发几枝，是疑问句，这句诗不是命题;
对于C，愿君多采撷，是祈使句，这句诗不是命题;
对于D，此物最相思，是感叹句，这句诗不是命题.
5.(多选)若“ x∈M，|x|>x”为真命题，“ x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　)
A.(-∞，-5) B.(-3，-1)
C.(3，+∞) D.[0，3]
答案　AB
解析　“ x∈M，|x|>x”为真命题，则x<0，“ x∈M，x>3”为假命题，则“ x∈M，x≤3”为真命题.
由上可知，集合M的元素均为负数，
∴集合M可以是选项A，B.
6.下列命题中是真命题的有　　　　.
①mx2+2x-1=0是一元二次方程;
②函数y=2x-1的图象与x轴有一个交点;
③互相包含的两个集合相等;
④空集是任何集合的真子集.
答案　②③
解析　①中，当m=0时，mx2+2x-1=0是一元一次方程，①错误;
②中，令y=0，则2x-1=0，x=，
所以函数y=2x-1的图象与x轴有一个交点，②正确;
③中，互相包含的两个集合相等，③正确;④中，空集不是本身的真子集，④错误.
7.对于三个集合A，B，C，命题“若A∩B= ，C A，则B∩C= ”是　　　　命题.(填“真”或“假”)
答案　真
解析　若A∩B= ，则A，B没有公共元素，
由C A可知，C中的元素都是A中的元素，
故B，C没有公共元素，即B∩C= ，
所以命题“若A∩B= ，C A，则B∩C= ”是真命题.
8.根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为　　　　.
13+23=(1+2)2，
13+23+33=(1+2+3)2，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2，
13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2，
……
答案　 n∈N+，13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.
解析　根据已知条件的规律可得， n∈N+，
13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.
9.判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
(1)对所有的正实数t，为正，且(2)存在实数x，使得x2-3x-4=0;
(3)存在实数对(x，y)，使得3x-4y-5>0;
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
解　(1)为全称量词命题，且为假命题，
如取t=1，则(2)为存在量词命题，且为真命题，
因为判别式Δ=b2-4ac=25>0.
(3)为存在量词命题，且为真命题，
如取实数对(2，0)，则3x-4y-5>0成立.
(4)为全称量词命题，且为真命题，
根据角平分线的性质可判断.
10.已知命题“ x∈[-3，2]，3a+x-2=0”为真命题，求实数a的取值范围.
解　由3a+x-2=0，得-3a+2=x，
∵-3≤x≤2，
∴-3≤-3a+2≤2，即0≤a≤，
故实数a的取值范围是.
二、综合运用
11.(多选)已知集合A={x|x≥0}，集合B={x|x>1}，则下列命题正确的是(　　)
A. x∈A，x∈B B. x∈B，x A
C. x∈A，x∈B D. x∈B，x∈A
答案　AD
解析　∵A={x|x≥0}，B={x|x>1}，
∴B A;
∴ x∈A，x∈B; x∈B，x∈A.
故选AD.
12.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为　　　　.
答案　(答案不唯一)
解析　存在两个不相等的正数a，b，
如a=，b=，使得a-b=ab是真命题.
13.(1)已知命题“ x∈[1，2]，2x-1-m≥0”为真命题，求实数m的取值范围;
(2)若(1)中的“ ”改为“ ”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解　(1)∵“ x∈[1，2]，2x-1-m≥0”成立，
∴2x-1-m≥0在x∈[1，2]上恒成立.
又y=2x-1-m在[1，2]上的最小值为1-m.
∴1-m≥0.解得m≤1.
∴实数m的取值范围是(-∞，1].
(2)∵“ x∈[1，2]，2x-1-m≥0”成立，
∴2x-1-m≥0在x∈[1，2]上有解.
函数y=2x-1-m在[1，2]上的最大值是2×2-1-m=3-m.
∴3-m≥0，故m≤3.
∴实数m的取值范围是(-∞，3].
三、拓展提高
14.(多选)设非空集合P，Q满足P∩Q=Q，且P≠Q，则下列选项中错误的是(　　)
A. x∈Q，有x∈P
B. x∈P，使得x Q
C. x∈Q，使得x P
D. x Q，有x∈P
答案　CD
解析　因为P∩Q=Q，所以Q P，
又因为P≠Q，所以Q P.
A中，因为Q P，所以 x∈Q，有x∈P，故A正确;
B中，因为Q P，所以 x∈P，使得x Q，故B正确;
C中，因为Q P，所以不存在x∈Q，使得x P，故C不正确;
D中，若Q={1，2}，P={1，2，3}，显然4 Q，4 P，故D不正确.1.2.1　命题与量词
学习目标　1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.
导语
在我们的日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题.无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理.因此，正确使用逻辑用语和逻辑关系是现代社会公民应该具备的基本素质.
一、命题及命题的真假判断
问题1　下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？
(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
(2)2+4=6；
(3)若x2=1，则x=1；
(4)2是质数.
提示　都是陈述句，其中(1)(2)(4)为真，(3)为假.
知识梳理
注意点：
(1)能判断真假的陈述语句才是命题，疑问句、祈使句、感叹句一定不是命题.
(2)一个命题不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题.
(3)命题可用小写英文表示，如p，q，….
例1　(1)下列语句为命题的是(　　)
A.x-1=0 B.2+3=8
C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树
答案　B
解析　A中x不确定，x-1=0的真假无法判断；B中2+3=8是命题，且是假命题；C中不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.
(2)(多选)下列命题中为真命题的是(　　)
A.若x+y>0，则x>0且y>0
B.矩形的对角线相等
C.若m≥1，则m+3<4的解集是R
D.若a+7是无理数，则a是无理数
答案　BD
解析　对于A，当x=-1，y=2时，有x+y>0，但x<0，y>0，故A为假命题；对于B，矩形的对角线相等，故B为真命题；对于C，若m≥1，则m+3<4的解集是 ，故C为假命题；对于D，若a+7是无理数，则a是无理数，故D为真命题.
反思感悟　(1)一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.
(2)判断命题真假性的两个技巧
①真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论.
②假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可.
二、全称量词命题与存在量词命题
问题2　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x+1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数.
提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.
知识梳理
全称量词 存在量词
量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个
符号
命题 含有全称量词的命题，称为全称量词命题 含有存在量词的命题，称为存在量词命题
命题 形式 “对集合M中的所有元素x，r(x)”，可简记为“ x∈M，r(x)” “存在集合M中的元素x，s(x)”，可简记为“ x∈M，s(x)”
注意点：
(1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.
(2)要判定全称量词命题“ x∈M，r(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证r(x)成立；要判定其是假命题，只需举出一个反例即可.
(3)要判断存在量词命题“ x∈M，s(x)”是真命题，只需要在限定集合M中找到一个元素x0，使s(x0)成立即可；要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的每一个元素x，证明s(x)都不成立.
例2　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假.
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数a，b，若a(4)存在一个实数x，使得x2+2x+3=0.
解　(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题.
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题.
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题.
(3)存在a=-5，b=-3，a(-3)2，所以该命题是假命题.
(4)由于x∈R，则x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，因此使得x2+2x+3=0的实数x不存在，所以该命题是假命题.
反思感悟　(1)判断全称量词命题真假的思维过程
(2)判断存在量词命题真假的思维过程
跟踪训练　(课本例题)判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2+1>0；
(2) x∈N≥1；
(3) x∈Z，x3<1；
(4) x∈Q，x2=3.
解　(1)由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2+1≥1>0.
因此命题“ x∈R，x2+1>0”是真命题.
(2)由于0∈N，而且当x=0时≥1不成立.
因此命题“ x∈N≥1”是假命题.
(3)由于-1∈Z，而且当x=-1时，有(-1)3<1.
因此命题“ x∈Z，x3<1”是真命题.
(4)由于使x2=3成立的数只有和-而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3.
因此命题“ x∈Q，x2=3”是假命题.
跟踪训练　判断下列命题的真假.
(1) x∈R，|x|+1≥1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3) x∈N，x2>0.
解　(1)因为 x∈R，|x|≥0，所以|x|+1≥1，所以命题是真命题.
(2)真命题，如梯形.
(3)因为0∈N，02=0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题.
三、依据含量词命题的真假求参数的范围
例3　已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠ ，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
解　由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，因为B≠ ，所以
解得≤m≤3.
即m的取值范围为.
延伸探究1　将本例中的命题p改为“ x∈A，x∈B”，求出实数m的取值范围.
解　由于命题p：“ x∈A，x∈B”是真命题，所以A B，
因为B≠ ，所以解得m≥9.
即m的取值范围为{m|m≥9}.
延伸探究2　把本例中的命题p改为“ x∈A，x∈B”，求实数m的取值范围.
解　p为真命题，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，所以6-m≤m+3，即m≥.
当m≥时，6-m≤m+3≥
故∈B，
所以A∩B≠ ，满足题意，
故m的取值范围为.
反思感悟　含量词命题的真假求参数取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，通过列不等式(组)求解.
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，若方程为一元二次方程，则可借助根的判别式来求解.
1.知识清单：
(1)命题及其真假判断.
(2)全称量词命题与存在量词命题.
(3)依据含量词命题的真假求参数的范围.
2.方法归纳：转化与化归、分离参数法.
3.常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”.
1.(多选)下列命题中正确的是(　　)
A.存在一个实数，使-2x2+x-4=0
B.所有的质数都是奇数
C.存在偶数2n是7的倍数
D.至少存在一个正整数，能被5和7整除
答案　CD
解析　A中方程-2x2+x-4=0无实根，故A不正确；B中2是质数，但不是奇数，故B不正确；C，D正确.
2.(多选)下列命题中，是全称量词命题的是(　　)
A.有些自然数是偶数
B.正方形是菱形
C.能被6整除的数也能被3整除
D.对任意x∈R，y∈R，都有x2+|y|>0
答案　BCD
解析　A中含有存在量词，是存在量词命题；B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；C可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；D是全称量词命题.
3.(多选)下列命题中，是存在量词命题且是假命题的是(　　)
A. x∈R，|x|+2≤0
B.存在一个实数x，使等式x2+x+8=0成立
C.每个二次函数的图象都与x轴相交
D. x∈R，x2=x
答案　AB
解析　对于A，∵ x∈R，|x|≥0，∴|x|+2≥2，
∴不存在x∈R，使|x|+2≤0.
故该命题为存在量词命题且是假命题；
对于B，∵ x∈R，x2+x+8=+>0，
∴该命题为存在量词命题且是假命题；
对于C，该命题是全称量词命题且是假命题，如存在二次函数y=x2+x+1的图象与x轴不相交；
对于D，该命题是存在量词命题且是真命题，如当x=0或x=1时，x2=x均成立.
4.若命题“ x∈R，x2-x+a=0”为假命题，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　
解析　若命题“ x∈R，x2-x+a=0”为假命题，则一元二次方程x2-x+a=0无实数解，则Δ=1-4a<0，解得a>故a的取值范围是.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分
1.下列语句中，不是命题的是(　　)
A.空集是任何集合的子集
B.求证9是无理数；
C.若x∈R，则x2-x+1=0
D.面积相等的三角形是全等三角形
答案　B
解析　ACD是命题，B不是命题.
2.下列命题中，是存在量词命题的是(　　)
A.存在一个菱形，它的四条边不相等
B.平行四边形的对角线互相平分
C.任何一个素数是奇数
D.梯形有两边平行
答案　A
解析　对于A，命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”，含有存在量词，
则命题为存在量词命题，故A是；
对于B，命题可以叙述为“任意平行四边形的对角线互相平分”，
则命题为全称量词命题，故B不是；
对于C，命题“任何一个素数是奇数”为全称量词命题，故C不是；
对于D，命题可以叙述为“任意梯形有两边平行”，
则命题为全称量词命题，故D不是.
3.下列命题是假命题的是(　　)
A. x∈R，|x|-2x≤0
B. x∈Z，x2∈Q
C. x∈R，x2-2x+4>0
D. x∈R，x2+3x+5=0
答案　D
解析　对于A项，当x=1时，满足|x|-2x≤0，A项是真命题；
对于B项，因为 x∈Z，x2∈Z，且Z Q，所以x2∈Q，B项是真命题；
对于C项， x∈R，x2-2x+4=(x-1)2+3≥3>0，C项是真命题；
对于D项，因为x2+3x+5=+>0，所以x2+3x+5=0无解，D项是假命题.
4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B. n∈N+，2n2+5n+2能被2整除
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
答案　B
解析　A中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；对于B，令n=2，2n2+5n+2=20，能被2整除，所以B是存在量词命题又是真命题；C中，因为+(-)=0，所以C是假命题；D中，对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题.
5.(多选)已知集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，则下列命题为真命题的是(　　)
A. x∈A，x∈B
B. x∈B，x A
C. x∈A，x B
D. x∈B，x∈A
答案　AD
解析　因为集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，所以B是A的真子集，所以“ x∈A，x∈B”“ x∈B，x∈A”为真命题.
6.(多选)已知命题p： x∈R，x2+2x+2-a=0为真命题，则实数a的取值可以是(　　)
A.1 B.0 C.3 D.-3
答案　AC
解析　因为p为真命题，即方程x2+2x+2-a=0有实数根，
所以Δ=4-4(2-a)≥0，解得a≥1.
即实数a的取值范围为a≥1.
因此所有选项中只有A，C满足题意.
7.(5分)命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“ ”写成存在量词命题为　　　　　　　　.
答案　 x<0，(1+x)(1-9x)2>0
解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M，p(x)”.
8.(5分)根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为　　　　　　　　.
13+23=(1+2)2，
13+23+33=(1+2+3)2，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2，
13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2，
…
答案　 n∈N+，13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2
解析　根据已知条件的规律可得， n∈N+，13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.
9.(12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.
(1)有理数都是实数；(3分)
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3分)
(3)直角三角形中的两个锐角之和为90°；(3分)
(4) x>0，x+>2.(3分)
解　(1)命题中省略了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是全称量词命题，且为真命题.
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题.
(3)命题中省略了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的直角三角形中的两个锐角之和为90°”，是全称量词命题，且为真命题.
(4)命题中含有全称量词“ ”，是全称量词命题，当x=1时，x+=2，所以命题为假命题.
10.(9分)已知命题“ -3≤x≤2，3a+x-2=0”为真命题，求实数a的取值范围.
解　由3a+x-2=0，得-3a+2=x，
∵-3≤x≤2，
∴-3≤-3a+2≤2，即0≤a≤
故实数a的取值范围是.
11.(多选)下列命题中为真命题的是(　　)
A.若x，y∈R且x+y>2，则x，y至少有一个大于1
B. x∈R，2xC. x∈N+，x为29的约数
D.若 x∈R，x2+m≤0，则实数m的取值范围是(-∞，0]
答案　ACD
解析　对于A，假设x，y全都不大于1，即x≤1且y≤1，则x+y≤2，与条件矛盾，所以假设不成立，故A为真命题；对于B，当x=1时，2x>x2，故B为假命题；对于C，当x=1时，x为29的约数，故C为真命题；对于D， x∈R，x2+m≤0，则m≤(-x2)max=0，故D为真命题.
12.(多选)给出下列全称量词命题与存在量词命题，其中真命题是(　　)
A.设A，B为两个非空集合，若A B，则对任意x∈A，都有x∈B
B.设A，B为两个集合，若AB，则存在x∈A，使得x B
C. x是无理数，x2是有理数
D. x是无理数，x4是无理数
答案　AB
解析　对于A，非空集合A，B满足A B，则由集合包含关系的定义知，对任意x∈A，都有x∈B，A是真命题；
对于B，集合A，B满足AB，则由集合真包含关系的定义知，存在x∈A，使得x B，B是真命题；
对于C，显然π是无理数，π2也是无理数，C是假命题；
对于D，显然是无理数，()4=4却是有理数，D是假命题.
13.(5分)已知命题p： x∈R，x2-2x+k+2=0，命题q： x∈R，x2-2(k-1)x+k2-3≠0.若p是真命题，q是假命题，则实数k的取值范围为　　　　　　　　　.
答案　{k|k≤-1}
解析　若命题p为真命题，即关于x的方程x2-2x+k+2=0有实根，则Δ1=4-4(k+2)≥0，解得k≤-1.若命题q为真命题，则Δ2=4(k-1)2-4(k2-3)<0，解得k>2，故当q为假命题时，k≤2.因为p是真命题，q是假命题，所以实数k的取值范围为{k|k≤-1}.
14.(5分)能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为　　　　.
答案　(答案不唯一)
解析　存在两个不相等的正数a，b，如a=b=使得a-b=ab是真命题.
15.若命题p：“ x∈[1，2]，2x2-x-m>0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞，1) B.(-1，+∞)
C.(-1，1) D.[-1，1]
答案　A
解析　由命题p：“ x∈[1，2]，2x2-x-m>0”为真命题，即对于 x∈[1，2]，m<2x2-x恒成立，得m<(2x2-x)min=1，所以m<1.
16.(10分)已知M={x|a≤x≤a+1}，
(1)若“ x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围；(5分)
(2)若“ x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围.(5分)
解　(1) x∈M，x+1>0是真命题，即a+1>0，解得a>-1，
所以实数a的取值范围是a>-1.
(2)“ x∈M，x+1>0”成立，即a+1+1>0，
解得a>-2，
所以实数a的取值范围是a>-2.(共51张PPT)
1.2.1　命题与量词
第一章 1.2　常用逻辑用语
1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.
2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.
学习目标
“命题”这个词在新闻报道中经常可以见到.例如：“从最直接的生态保护方式植树造林，到多种更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保‘新命题’.”
我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗？我们这节课就可以揭开它们的面纱！
引入
课时精练
一、命题及命题的真假判断
二、全称量词命题与存在量词命题
三、依据含量词命题的真假求参数的范围
课堂达标
内容索引
命题及命题的真假判断
一
探究1 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？
(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
(2)2＋4＝6；
(3)若x2＝1，则x＝1；
(4)2是质数.
提示　都是陈述句，其中(1)(2)(4)为真，(3)为假.
知识梳理
真假
陈述
(1)能判断真假的陈述语句才是命题，一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
(2)一个命题不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题.
(3)命题可用小写英文字母表示，如p，q….
温馨提示
√
(1)下列语句是命题的是
A.2 025是一个大数
B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C.y＝kx＋b(k≠0)是一次函数吗
D.a≤15
例1
对于A，“2 025是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误；
对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，是命题，B正确；
对于C，“y＝kx＋b(k≠0)是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误；
对于D，“a≤15”无法判断真假，不是命题，D错误.
√
(2)(多选)对于下列命题，其中为假命题的是
A.所有的素数都是奇数
B. x∈{y|y是无理数}，x3是无理数
C.在平面直角坐标系中，至少有一个二次函数的图象与y轴不相交
D.命题“至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数”的否定
√
√
最小的素数是2，而2不是奇数，故A是假命题；
二次函数y＝ax2＋bx＋c，令x＝0代入均有y＝c，故二次函数的图象与y轴相交，故C是假命题；
由n2＋n＝n(n＋1)知，当n为奇数时，(n＋1)为偶数，当n为偶数时，(n＋1)为奇数，所以n(n＋1)不可能为奇数；故命题“至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数”是假命题，则命题的否定为真命题.故选ABC.
(1)一般地，判定一个语句是不是命题，关键看这个语句是否具备两个特征：一是陈述句，二能判断真假.
(2)判断命题真假性的两个技巧
①真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论.
②假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可.
思维升华
(1)(多选)下列命题正确的是
A.在一个三角形中至少有两个锐角
B.在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C.如果两个角互余，那么它们的补角也互余
D.两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
训练1
√
√
由于三角形内角和为180°，故内角中最多有一个钝角，即在一个三角形中至少有两个锐角，A正确；
根据垂径定理知在圆中，垂直于弦的直径平分弦，B正确；
不妨取30°和60°互余，它们的补角为150°和120°，这两角不互余，C错误；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等，两条不平行的直线被第三条直线所截，同位角不相等，D错误.
①③④
①是陈述句，且能判断真假，故①是命题；
②语句中含有变量x，没有给x赋值前，无法判断语句的真假，故不是命题；
③是陈述句，且能判断真假，故③是命题；④是陈述句，且能判断真假，故④是命题.
全称量词命题与存在量词命题
二
提示　命题(1)(3)(4)陈述的是指定集合中的所有元素都具有某种特定性质；命题(2)(5)(6)陈述的是指定集合中的某些元素具有某种特定性质.
知识梳理
全称量词 存在量词
量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个
符号 ____ ____
命题 含有__________的命题，称为全称量词命题 含有__________的命题，称为存在量词命题
命题形式 “对集合M中的所有元素x，r(x)”，可简记为 “____________________” “存在集合M中的元素x，s(x)”,可简记为“______________”


全称量词
存在量词
x∈M，r(x)
x∈M，s(x)
(1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.
(2)要判定全称量词命题“ x∈M，r(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证r(x)成立；要判定其是假命题，只需举出一个反例即可.
(3)要判断存在量词命题“ x∈M，s(x)”是真命题，只需要在限定集合M中找到一个元素x0，使s(x0)成立即可；要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明s(x)都不成立.
温馨提示
√
(1)(链接教材P26例题)(多选)下列命题正确的有
A.“非负数的平方是正数”是含有全称量词的真命题
B.“三角形外角和为360°”是含有全称量词的真命题
C.“至少存在一个实数x，使得|x|≥0”是含有存在量词的真命题
D.“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是存在量词命题
例2
√
对于A，因为02＝0，不是正数，故A错误；
对于B，“三角形外角和为360°”的含义是“所有三角形外角和为360°”，是含有全称量词的命题，且为真命题，故B正确；
对于C，∵|0|≥0，∴“至少存在一个实数x，使得|x|≥0”是含有存在量词的真命题，故C正确；
对于D，“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”的含义是“所有能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”，是全称量词命题，故D错误.
(2)下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号).
①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数.
①②③
④
④含有存在量词：至少有一个，为存在量词命题，①②③含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题.
思维升华
(1)判断全称量词命题真假的思维过程
(2)判断存在量词命题真假的思维过程
√
训练2
对于A， a，b∈R，a2＋b2<0为全称量词命题，但是a2＋b2≥0，故是假命题，故A错误；
对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误；
对于C，是存在量词命题，故C错误；
对于D，既是全称量词命题也是真命题，故D正确.
√
(2)(多选)下列命题为真命题的是
A. x<0，使得|x|>0
B. x≥0，都有|x|＝x
C.已知集合A＝{x|x＝2k}，B＝{y|y＝3k}，则对于 k∈N*，都有A∩B＝
D. x∈R，使得方程x2＋2x＋5＝0成立
√
对于A，当x<0时，|x|＝－x>0，A正确；
对于B，当x≥0时，|x|＝x，B正确；
对于C，当k∈N*时，A∩B＝{x|x＝6k}，C错误；
对于D，∵Δ＝4－20＝－16<0，
∴ x∈R，方程x2＋2x＋5＝0都不成立，D错误.
依据含量词命题的真假求参数的范围
三
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ ，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
例3
因为命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠ ，
迁移1
(变条件)把本例中的命题p改为“ x∈A，x∈B”，求m的取值范围.
因为命题p：“ x∈A，x∈B”是真命题，
迁移2
(变条件)把本例中的命题p改为“ x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
因为命题p：“ x∈A，x∈B”是真命题，
所以A B，B≠ ，
思维升华
含量词命题的真假求参数取值范围
把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
(1)“ x∈[a，＋∞)，x2≥1”是真命题；
(2)“ x∈(－∞，a]，x2＝1”是假命题.
训练3
(1)∵x2≥1，即x≥1或x≤－1，且原命题为真命题，
∴a的取值范围是[1，＋∞).
(2)∵x2＝1，即x＝±1，且原命题为假命题，
∴a的取值范围是(－∞，－1).
【课堂达标】
1.下列语句中是命题的是
A.x2－2x－3>0 B.π不是无限不循环小数
C.直线与平面相交 D.在线段AB上任取一点
√
根据命题的概念，必须能够判断真假，其中A，C，D均不能判断真假，B选项满足题意是命题.
√
√
3.设a∈R，若x>1，则x>a为真命题，则a的取值范围是___________.
(－∞，1]
由题知x>1，则x>a为真命题，则{x|x>1} {x|x>a}，故a≤1.
4.下列命题中：
①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③凸多边形的外角和等于360°.
其中是全称量词命题的是________(填序号).
①③
①任意一个自然数都是正整数，“任意一个”是全称量词，命题是全称量词命题；
②有的菱形是正方形，“有的”是存在量词，命题为存在量词命题；
③凸多边形的外角和等于360°，命题是全称量词命题.
【课时精练】
√
√
2.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是
A.每一个二次函数的图象都是开口向上
B.存在一条直线与两条相交直线都平行
C.对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b
D.存在一个实数x，使得x2－3x＋6＝0
A选项是全称量词命题，二次函数的图象有开口向上的，也有开口向下的，A是假命题；
B选项是存在量词命题；
C选项是全称量词命题，对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b＋c≤b，即a≤b，C是真命题；
D选项是存在量词命题.
√
3.下列命题中不正确的是
A.对于任意的实数a，二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称
B.存在一个无理数，它的立方是无理数
C.存在整数x，y，使得2x＋4y＝5
D.每个正方形都是平行四边形
对于A，对于任意的实数a，二次函数y＝x2＋a图象的对称轴为y轴，A正确；
所以，2x＋4y也为偶数，则2x＋4y＝5不成立，C错误；
对于D，每个正方形都是平行四边形，D正确.
√
4.(多选)王维，字摩诘，号摩诘居士，唐代山水田园派诗人、画家.北宋苏轼在《书摩诘蓝田烟雨图》中评价道：“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗”.在王维所做的五言绝句《相思》中，以下诗句不可以作为命题的是
A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思
√
√
对于A，红豆生南国，是陈述句，是正确的，这句诗是命题；
对于B，春来发几枝，是疑问句，这句诗不是命题；
对于C，愿君多采撷，是祈使句，这句诗不是命题；
对于D，此物最相思，是感叹句，这句诗不是命题.
√
5.(多选)若“ x∈M，|x|>x”为真命题，“ x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是
A.(－∞，－5) B.(－3，－1) C.(3，＋∞) D.[0，3]
√
“ x∈M，|x|>x”为真命题，则x<0，“ x∈M，x>3”为假命题，则“ x∈M，x≤3”为真命题.
由上可知，集合M的元素均为负数，
∴集合M可以是选项A，B.
6.下列命题中是真命题的有________.
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.
②③
①中，当m＝0时，mx2＋2x－1＝0是一元一次方程，①错误；
所以函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点，②正确；
③中，互相包含的两个集合相等，③正确；④中，空集不是本身的真子集，④错误.
7.对于三个集合A，B，C，命题“若A∩B＝ ，C?A，则B∩C＝ ”是________命题.(填“真”或“假”)
真
若A∩B＝ ，则A，B没有公共元素，
由C?A可知，C中的元素都是A中的元素，
故B，C没有公共元素，即B∩C＝ ，
所以命题“若A∩B＝ ，C?A，则B∩C＝ ”是真命题.
n∈N＋，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
8.根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为__________________________________________________.
13＋23＝(1＋2)2，
13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，
13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，
……
根据已知条件的规律可得， n∈N＋，
13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2.
(1)为全称量词命题，且为假命题，
(3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0；
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
(3)为存在量词命题，且为真命题，
如取实数对(2，0)，则3x－4y－5>0成立.
(4)为全称量词命题，且为真命题，
根据角平分线的性质可判断.
10.已知命题“ x∈[－3，2]，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围.
由3a＋x－2＝0，得－3a＋2＝x，
∵－3≤x≤2，
√
11.(多选)已知集合A＝{x|x≥0}，集合B＝{x|x>1}，则下列命题正确的是
A. x∈A，x∈B B. x∈B，x A
C. x∈A，x∈B D. x∈B，x∈A
√
∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，∴B?A；
∴ x∈A，x∈B； x∈B，x∈A.
故选AD.
12.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为_______________________.
存在两个不相等的正数a，b，
13.(1)已知命题“ x∈[1，2]，2x－1－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围；
∵“ x∈[1，2]，2x－1－m≥0”成立，
∴2x－1－m≥0在x∈[1，2]上恒成立.
又y＝2x－1－m在[1，2]上的最小值为1－m.
∴1－m≥0.解得m≤1.
∴实数m的取值范围是(－∞，1].
(2)若(1)中的“ ”改为“ ”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
∵“ x∈[1，2]，2x－1－m≥0”成立，
∴2x－1－m≥0在x∈[1，2]上有解.
函数y＝2x－1－m在[1，2]上的最大值是2×2－1－m＝3－m.
∴3－m≥0，故m≤3.
∴实数m的取值范围是(－∞，3].
14.(多选)设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q，且P≠Q，则下列选项中错误的是
A. x∈Q，有x∈P B. x∈P，使得x Q
C. x∈Q，使得x P D. x Q，有x∈P
√
√
因为P∩Q＝Q，所以Q P，
又因为P≠Q，所以Q?P.
A中，因为Q?P，所以 x∈Q，有x∈P，故A正确；
B中，因为Q?P，所以 x∈P，使得x Q，故B正确；
C中，因为Q?P，所以不存在x∈Q，使得x P，故C不正确；
D中，若Q＝{1，2}，P＝{1，2，3}，显然4 Q，4 P，故D不正确.(共63张PPT)
1.2.1
命题与量词
§1.2　常用逻辑用语
<<<
1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.
2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.
学习目标
在我们的日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题.无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理.因此，正确使用逻辑用语和逻辑关系是现代社会公民应该具备的基本素质.
导 语
一、命题及命题的真假判断
二、全称量词命题与存在量词命题
课时对点练
三、依据含量词命题的真假求参数的范围
随堂演练
内容索引
命题及命题的真假判断
一
提示　都是陈述句，其中(1)(2)(4)为真，(3)为假.
下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？
(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
(2)2+4=6；
(3)若x2=1，则x=1；
(4)2是质数.
问题1
真假
陈述
(1)能判断真假的陈述语句才是命题，疑问句、祈使句、感叹句一定不是命题.
(2)一个命题不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题.
(3)命题可用小写英文表示，如p，q，….
注 意 点
<<<
(1)下列语句为命题的是
A.x-1=0 B.2+3=8
C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树
√
例 1
A中x不确定，x-1=0的真假无法判断；
B中2+3=8是命题，且是假命题；
C中不是陈述句，故不是命题；
D中“大”的标准不确定，无法判断真假.
解析
(2)(多选)下列命题中为真命题的是
A.若x+y>0，则x>0且y>0
B.矩形的对角线相等
C.若m≥1，则m+3<4的解集是R
D.若a+7是无理数，则a是无理数
√
√
对于A，当x=-1，y=2时，有x+y>0，但x<0，y>0，故A为假命题；
对于B，矩形的对角线相等，故B为真命题；
对于C，若m≥1，则m+3<4的解集是 ，故C为假命题；
对于D，若a+7是无理数，则a是无理数，故D为真命题.
解析
(1)一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.
(2)判断命题真假性的两个技巧
①真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论.
②假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可.
反
思
感
悟
二
全称量词命题与存在量词命题
提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.
下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x+1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数.
问题2
全称量词 存在量词
量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个
符号 ____ _____
命题 含有 的命题，称为全称量词命题 含有 的命题，称为存在量词命题
命题 形式 “对集合M中的所有元素x，r(x)”，可简记为“ ” “存在集合M中的元素x，s(x)”，可简记为“ ”


全称量词
存在量词
x∈M，r(x)
x∈M，s(x)
(1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.
(2)要判定全称量词命题“ x∈M，r(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证r(x)成立；要判定其是假命题，只需举出一个反例即可.
(3)要判断存在量词命题“ x∈M，s(x)”是真命题，只需要在限定集合M中找到一个元素x0，使s(x0)成立即可；要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的每一个元素x，证明s(x)都不成立.
注 意 点
<<<
指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假.
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数a，b，若a(4)存在一个实数x，使得x2+2x+3=0.
例 2
(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题.
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题.
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题.
(3)存在a=-5，b=-3，a(-3)2，所以该命题是假命题.
(4)由于x∈R，则x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，因此使得x2+2x+3=0的实数x不存在，所以该命题是假命题.
解
(1)判断全称量词命题真假的思维过程
反
思
感
悟
(2)判断存在量词命题真假的思维过程
(课本例题)判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2+1>0；
跟踪训练
由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2+1≥1>0.
因此命题“ x∈R，x2+1>0”是真命题.
解
(2) x∈N≥1；
由于0∈N，而且当x=0时≥1不成立.
因此命题“ x∈N≥1”是假命题.
解
(3) x∈Z，x3<1；
由于-1∈Z，而且当x=-1时，有(-1)3<1.
因此命题“ x∈Z，x3<1”是真命题.
解
(4) x∈Q，x2=3.
由于使x2=3成立的数只有和-而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3.
因此命题“ x∈Q，x2=3”是假命题.
解
判断下列命题的真假.
(1) x∈R，|x|+1≥1；
跟踪训练
因为 x∈R，|x|≥0，所以|x|+1≥1，所以命题是真命题.
解
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
真命题，如梯形.
解
(3) x∈N，x2>0.
因为0∈N，02=0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题.
解
依据含量词命题的真假求参数的范围
三
已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠ ，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
例 3
由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，因为B≠ ，所以
解得≤m≤3.
即m的取值范围为.
解
将本例中的命题p改为“ x∈A，x∈B”，求出实数m的取值范围.
延伸探究 1
由于命题p：“ x∈A，x∈B”是真命题，所以A B，
因为B≠ ，所以解得m≥9.
即m的取值范围为{m|m≥9}.
解
把本例中的命题p改为“ x∈A，x∈B”，求实数m的取值范围.
延伸探究 2
p为真命题，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，所以6-m≤m+3，即m≥.
当m≥时，6-m≤m+3≥
故∈B，
所以A∩B≠ ，满足题意，
故m的取值范围为.
解
含量词命题的真假求参数取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，通过列不等式(组)求解.
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，若方程为一元二次方程，则可借助根的判别式来求解.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)命题及其真假判断.
(2)全称量词命题与存在量词命题.
(3)依据含量词命题的真假求参数的范围.
2.方法归纳：转化与化归、分离参数法.
3.常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列命题中正确的是
A.存在一个实数，使-2x2+x-4=0
B.所有的质数都是奇数
C.存在偶数2n是7的倍数
D.至少存在一个正整数，能被5和7整除
A中方程-2x2+x-4=0无实根，故A不正确；
B中2是质数，但不是奇数，故B不正确；
C，D正确.
解析
√
√
2.(多选)下列命题中，是全称量词命题的是
A.有些自然数是偶数
B.正方形是菱形
C.能被6整除的数也能被3整除
D.对任意x∈R，y∈R，都有x2+|y|>0
A中含有存在量词，是存在量词命题；
B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；
C可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；
D是全称量词命题.
解析
√
√
√
1
2
3
4
1
2
3
4
3.(多选)下列命题中，是存在量词命题且是假命题的是
A. x∈R，|x|+2≤0
B.存在一个实数x，使等式x2+x+8=0成立
C.每个二次函数的图象都与x轴相交
D. x∈R，x2=x
√
√
1
2
3
4
对于A，∵ x∈R，|x|≥0，∴|x|+2≥2，
∴不存在x∈R，使|x|+2≤0.
故该命题为存在量词命题且是假命题；
对于B，∵ x∈R，x2+x+8=+>0，
∴该命题为存在量词命题且是假命题；
对于C，该命题是全称量词命题且是假命题，如存在二次函数y=x2+x+1的图象与x轴不相交；
对于D，该命题是存在量词命题且是真命题，如当x=0或x=1时，x2=x均成立.
解析
1
2
3
4
4.若命题“ x∈R，x2-x+a=0”为假命题，则实数a的取值范围为　　 　.
若命题“ x∈R，x2-x+a=0”为假命题，则一元二次方程x2-x+a=0无实数解，则Δ=1-4a<0，解得a>故a的取值范围是.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A D B AD AC x<0，(1+x) (1-9x)2>0 题号 8 11 12 13 14 15
答案 n∈N+，13 +23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2 ACD AB {k|k≤-1} (答案不唯一) A
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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13
14
15
16
(1)命题中省略了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是全称量词命题，且为真命题.
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题.
(3)命题中省略了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的直角三角形中的两个锐角之和为90°”，是全称量词命题，且为真命题.
(4)命题中含有全称量词“ ”，是全称量词命题，当x=1时，x+=2，所以命题为假命题.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由3a+x-2=0，得-3a+2=x，
∵-3≤x≤2，
∴-3≤-3a+2≤2，即0≤a≤
故实数a的取值范围是.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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14
15
16
(1) x∈M，x+1>0是真命题，即a+1>0，解得a>-1，
所以实数a的取值范围是a>-1.
(2)“ x∈M，x+1>0”成立，
即a+1+1>0，
解得a>-2，
所以实数a的取值范围是a>-2.
基础巩固
1.下列语句中，不是命题的是
A.空集是任何集合的子集
B.求证9是无理数；
C.若x∈R，则x2-x+1=0
D.面积相等的三角形是全等三角形
√
ACD是命题，B不是命题.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
12
13
14
15
16
2.下列命题中，是存在量词命题的是
A.存在一个菱形，它的四条边不相等
B.平行四边形的对角线互相平分
C.任何一个素数是奇数
D.梯形有两边平行
√
答案
1
2
3
4
5
6
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9
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15
16
对于A，命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”，含有存在量词，
则命题为存在量词命题，故A是；
对于B，命题可以叙述为“任意平行四边形的对角线互相平分”，
则命题为全称量词命题，故B不是；
对于C，命题“任何一个素数是奇数”为全称量词命题，故C不是；
对于D，命题可以叙述为“任意梯形有两边平行”，
则命题为全称量词命题，故D不是.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.下列命题是假命题的是
A. x∈R，|x|-2x≤0
B. x∈Z，x2∈Q
C. x∈R，x2-2x+4>0
D. x∈R，x2+3x+5=0
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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13
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15
16
答案
1
2
3
4
5
6
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8
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14
15
16
对于A项，当x=1时，满足|x|-2x≤0，A项是真命题；
对于B项，因为 x∈Z，x2∈Z，且Z Q，所以x2∈Q，B项是真命题；
对于C项， x∈R，x2-2x+4=(x-1)2+3≥3>0，C项是真命题；
对于D项，因为x2+3x+5=+>0，所以x2+3x+5=0无解，D项是假命题.
解析
4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B. n∈N+，2n2+5n+2能被2整除
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
√
答案
1
2
3
4
5
6
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10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
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11
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14
15
16
A中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；
对于B，令n=2，2n2+5n+2=20，能被2整除，所以B是存在量词命题又是真命题；
C中，因为+(-)=0，所以C是假命题；
D中，对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题.
解析
5.(多选)已知集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，则下列命题为真命题的是
A. x∈A，x∈B
B. x∈B，x A
C. x∈A，x B
D. x∈B，x∈A
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
因为集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，所以B是A的真子集，所以“ x∈A，x∈B”“ x∈B，x∈A”为真命题.
解析
6.(多选)已知命题p： x∈R，x2+2x+2-a=0为真命题，则实数a的取值可以是
A.1 B.0 C.3 D.-3
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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因为p为真命题，即方程x2+2x+2-a=0有实数根，
所以Δ=4-4(2-a)≥0，解得a≥1.
即实数a的取值范围为a≥1.
因此所有选项中只有A，C满足题意.
解析
7.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“ ”写成存在量词命题为　　　 　　　　　.
存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“ x ∈M，p(x)”.
解析
答案
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x<0，(1+x)(1-9x)2>0
8.根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为
　 　　　　　.
13+23=(1+2)2，
13+23+33=(1+2+3)2，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2，
13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2，
…
根据已知条件的规律可得， n∈N+，13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.
解析
答案
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n∈N+，13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2
9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.
(1)有理数都是实数；
命题中省略了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是全称量词命题，且为真命题.
解
答案
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(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题.
解
(3)直角三角形中的两个锐角之和为90°；
命题中省略了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的直角三角形中的两个锐角之和为90°”，是全称量词命题，且为真命题.
解
答案
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(4) x>0，x+>2.
命题中含有全称量词“ ”，是全称量词命题，当x=1时，x+=2，所以命题为假命题.
解
10.已知命题“ -3≤x≤2，3a+x-2=0”为真命题，求实数a的取值范围.
答案
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由3a+x-2=0，得-3a+2=x，
∵-3≤x≤2，
∴-3≤-3a+2≤2，即0≤a≤
故实数a的取值范围是.
解
11.(多选)下列命题中为真命题的是
A.若x，y∈R且x+y>2，则x，y至少有一个大于1
B. x∈R，2xC. x∈N+，x为29的约数
D.若 x∈R，x2+m≤0，则实数m的取值范围是(-∞，0]
√
√
√
综合运用
答案
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答案
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对于A，假设x，y全都不大于1，即x≤1且y≤1，则x+y≤2，与条件矛盾，所以假设不成立，故A为真命题；
对于B，当x=1时，2x>x2，故B为假命题；
对于C，当x=1时，x为29的约数，故C为真命题；
对于D， x∈R，x2+m≤0，则m≤(-x2)max=0，故D为真命题.
解析
12.(多选)给出下列全称量词命题与存在量词命题，其中真命题是
A.设A，B为两个非空集合，若A B，则对任意x∈A，都有x∈B
B.设A，B为两个集合，若A　B，则存在x∈A，使得x B
C. x是无理数，x2是有理数
D. x是无理数，x4是无理数
√
答案
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√
答案
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对于A，非空集合A，B满足A B，则由集合包含关系的定义知，对任意x∈A，都有x∈B，A是真命题；
对于B，集合A，B满足A　B，则由集合真包含关系的定义知，存在x∈A，使得x B，B是真命题；
对于C，显然π是无理数，π2也是无理数，C是假命题；
对于D，显然)4=4却是有理数，D是假命题.
解析
13.已知命题p： x∈R，x2-2x+k+2=0，命题q： x∈R，x2-2(k-1)x+k2-3 ≠0.若p是真命题，q是假命题，则实数k的取值范围为　　　　　.
答案
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{k|k≤-1}
若命题p为真命题，即关于x的方程x2-2x+k+2=0有实根，则Δ1=4-4(k+2)≥0，解得k≤-1.
若命题q为真命题，则Δ2=4(k-1)2-4(k2-3)<0，解得k>2，故当q为假命题时，k≤2.
因为p是真命题，q是假命题，所以实数k的取值范围为{k|k≤-1}.
解析
14.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a-b=ab”是真命题的一
组有序数对(a，b)为　　　　 .
答案
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存在两个不相等的正数a，b，如a=b=使得a-b=ab是真命题.
解析
(答案不唯一)
15.若命题p：“ x∈[1，2]，2x2-x-m>0”是真命题，则实数m的取值范围是
A.(-∞，1) B.(-1，+∞)
C.(-1，1) D.[-1，1]
拓广探究
√
答案
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由命题p：“ x∈[1，2]，2x2-x-m>0”为真命题，即对于 x∈[1，2]，m<2x2-x恒成立，得m<(2x2-x)min=1，所以m<1.
解析
16.已知M={x|a≤x≤a+1}，
(1)若“ x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围；
答案
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x∈M，x+1>0是真命题，即a+1>0，解得a>-1，
所以实数a的取值范围是a>-1.
解
(2)若“ x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围.
答案
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“ x∈M，x+1>0”成立，即a+1+1>0，
解得a>-2，
所以实数a的取值范围是a>-2.
解
§1.2　常用逻辑用语
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