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(共59张PPT)
第1课时
充分条件、必要条件
第一章　 1.2.3　充分条件、必要条件
<<<
1.理解充分条件、必要条件的定义.
2.会判断充分条件、必要条件.
3.会根据充分条件、必要条件求参数的取值范围.
学习目标
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.下面我们将进一步探究“若p，则q”形式的命题中p和q的关系.
导 语
一、充分条件、必要条件的判断
二、充分条件与必要条件的应用
课时对点练
随堂演练
内容索引
充分条件、必要条件的判断
一
观察下面几个命题，你能把它们变成“如果p，那么q”的形式吗？你能得到什么？
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(4)平行四边形的两组对边分别相等；
(5)平行四边形的一组对边平行且相等；
(6)平行四边形的两条对角线互相平分.
问题
提示　(1)如果四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.
(2)如果四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.
(3)如果四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.
(4)如果四边形是平行四边形，那么四边形的两组对边分别相等.
(5)如果四边形是平行四边形，那么四边形的一组对边平行且相等.
(6)如果四边形是平行四边形，那么四边形的两条对角线互相平分.
由此可见，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，即使结论成立的条件并不唯一.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，即所获得的结论也不唯一.
1.充分条件与必要条件
命题真假 “如果p，那么q”是真命题 “如果p，那么q”是假命题
推出关系 p q p　q
条件关系 p是q的 条件，q是p的 条件 p不是q的 条件，q不是p的 条件

充分
必要
充分
必要
2.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
(2)数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
3.充分条件、必要条件与集合的关系
A={x|p(x)}，B={x|q(x)}
A B p(x)是q(x)的充分条件， q(x)是p(x)的必要条件 A B p(x)不是q(x)的充分条件
q(x)不是p(x)的必要条件
B A q(x)是p(x)的充分条件， p(x)是q(x)的必要条件 B A q(x)不是p(x)的充分条件，
p(x)不是q(x)的必要条件
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若a∈N，则a∈R；
例 1
角度1　充分条件的判断
由于N　R，所以p q，
所以p是q的充分条件.
解
(2)若x>1，则x2>1；
由x>1可以推出x2>1.
因此p q，所以p是q的充分条件.
解
(3)若(a-2)(a-3)=0，则a=3；
(4)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC.
由三角形中大角对大边可知，
若∠A>∠B，
则BC>AC.
因此p q，所以p是q的充分条件.
解
由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3，
因此p　q，所以p不是q的充分条件.
解
充分条件的两种判定方法
(1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件.
(2)命题判断法：
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.
反
思
感
悟
　　　判断下列各题中，p是不是q的必要条件：
(1)p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形；
例 2
角度2　必要条件的判断
(2)p：x-1=q：x=1；
当x=1时，x-1==0，所以q p，
所以p是q的必要条件.
解
直角三角形不一定是等腰三角形，
因此q　p，所以p不是q的必要条件.
解
(3)p：-1≤x≤5，q：-2≤x≤5；
(4)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形.
等边三角形一定是等腰三角形，所以q p，
所以p是q的必要条件.
解
设A=[-2，5]，B=[-1，5]，
则B　A，所以q　p，所以p不是q的必要条件.
解
必要条件的判定方法
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p q和q p是否成立，最后得出结论.
(2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围 大范围，大范围　小范围.
(3)传递法：由递推式的传递性：p1 p2 p3 … pn，则pn是p1的必要条件.
反
思
感
悟
　　　　　在下列各题中，分析p与q的关系：
(1)p：x>2同时y>3，q：x+y>5；
跟踪训练 1
由于p q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件.
解
(2)p：α为锐角，q：α=45°；
由于q p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件.
解
(3)p：(x+1)(x-2)=0，q：x+1=0.
由于q p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件.
解
二
充分条件与必要条件的应用
已知A=B={x|0是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围.
例 3
若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B.
因为A≠ ，则<解得m>0，
要使A B，应有解得0所以实数m的取值范围是{m|0解
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
反
思
感
悟
已知集合M={x|a-1跟踪训练 2
因为q是p的必要条件，所以M N.
于是解得-2≤a≤7.
故a的取值范围为{a|-2≤a≤7}.
解
1.知识清单：
(1)充分条件的判断.
(2)必要条件的判断.
(3)充分条件与必要条件的应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值.
随堂演练
三
1
2
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4
1.已知p：(a+b)(a-b)=0，q：a=b，则p是q的
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
√
因为(a+b)(a-b)=0　a=b，所以p　q.
又因为a=b (a+b)(a-b)=0，即q p，所以p是q的必要条件.
解析
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2.在△ABC中，“∠A+∠C<90°”是“△ABC是钝角三角形”的
A.充分条件 B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件 D.无法判断
√
因为在△ABC中，由∠A+∠C<90°可得∠B>90°，故可以推出△ABC是钝角三角形.由△ABC是钝角三角形不能推出∠A+∠C<90°，如∠A为钝角，则∠A+∠C>90°.所以“∠A+∠C<90°”是“△ABC是钝角三角形”的充分条件.
解析
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3.设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是
A.x>3 B.x<3 C.x>4 D.x<4
√
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4.已知p：5x-1>a，q：x>1，若q是p的必要条件，则实数a的取值范围是
A.(4，+∞) B.[4，+∞)
C.(-∞，4) D.(-∞，4]
由5x-1>a，得x>要使q是p的必要条件，需有≥1，解得a≥4，即实数a的取值范围是[4，+∞).
解析
√
课时对点练
四
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A A A CD ACD 必要 题号 8 11 12 13 14 15
答案 (-∞，1] A A 必要 {m|m≥-3} C
对一对
答案
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(1)∵四边形的四个角相等　四边形是正方形，而四边形是正方形 四边形的四个角相等，∴p是q的必要条件.
(2)画出维恩图(如图).结合图形可知，A∩B=A A B UB UA，反之也成立.∴p是q的充分条件，且p是q的必要条件.
9.
答案
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(3)若方程x2-2x-2m=0有实根，
则Δ=4+8m≥0，解得m≥-.
∵m≥- m≥-1，
而m≥-1　m≥-
∴p是q的充分条件.
10.
答案
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记A={x|x>2或x<-1}，由4x+m<0，得x<-
记B=.
由题意得B A，则-≤-1，
即m≥4，
此时x<-≤-1 x>2或x<-1，
即“4x+m<0”是“x>2或x<-1”的充分条件，
所以实数m的取值范围是[4，+∞).
16.
答案
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(1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件，
则只要 {x|x<-1或x>3}，
故只需-≤-1，即m≥2.
故存在实数m≥2，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件，
则只要{x|x<-1或x>3} 这是不可能的.
故不存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
基础巩固
1.下列选项中，p是q的充分条件的是
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x2>1，q：x>1
D.p：a>b，q：>
√
根据充分条件的概念逐一判断，
只有ab≠0 a≠0.
解析
答案
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2.a<0，b<0的一个必要条件是
A.a+b<0 B.a-b>0
C.>1 D.<-1
√
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a<0，b<0 a+b<0.
解析
3.已知a∈N+，则“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
√
若a=3，则a与8的最小公倍数是24；若正整数a与8的最小公倍数是24，则a的可能取值为3，6，12，24，故“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的充分条件，但不是必要条件.
解析
答案
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4.下列说法中，q不是p的必要条件的是
A.p：a，b均是无理数，q：a+b也是无理数
B.p：A B，q：A∩B=A
C.p：a>b，c>0，q：ac>bc
D.p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A=∠B
√
答案
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A中，若a，b均是无理数，则a+b可能是有理数，如a=1-b=1+；所以q不是p的必要条件；
B中，因为p q，所以q是p的必要条件；
C中，因为p q，所以q是p的必要条件；
D中，因为对顶角相等，即p q，所以q是p的必要条件.
解析
5.(多选)下列选项中，可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是
A.a≤0 B.a>0 C.a<-1 D.a<-2
√
答案
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√
因为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一正根和一负根，
所以解得a<0.选项中a<-1 a<0，a<-2 a<0.
解析
6.(多选)下列命题中为真命题的是
A.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B.“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件
C.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件
D.“x>3”是“x2>4”的充分条件
√
√
√
答案
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m是有理数 m是实数，故A正确；
当B　A时，x∈A　x∈A∩B，故B不正确；
x=3 x2-2x-3=0，故C正确；
x>3 x2>4，故D正确.
解析
7.已知△ABC，△A1B1C1，这两个三角形的对应角相等是△ABC≌ △A1B1C1的　　　　条件.(填“充分”或“必要”)
答案
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必要
这两个三角形的对应角相等　△ABC≌△A1B1C1，反之，△ABC≌ △A1B1C1 ∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1.所以这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的必要条件.
解析
8.已知条件p：1-x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是　　　 　.
p：x>1，若p是q的充分条件，则p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1.
解析
答案
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(-∞，1]
9.下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：四边形的四个角相等，q：四边形是正方形；
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∵四边形的四个角相等　四边形是正方形，而四边形是正方形 四边形的四个角相等，∴p是q的必要条件.
解
(2)p：A∩B=A，q： UB UA；
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画出维恩图(如图).
结合图形可知，A∩B=A A B UB UA，反之也成立.
∴p是q的充分条件，且p是q的必要条件.
解
(3)p：x2-2x-2m=0有实根，q：m≥-1.
答案
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若方程x2-2x-2m=0有实根，
则Δ=4+8m≥0，解得m≥-.
∵m≥- m≥-1，
而m≥-1　m≥-
∴p是q的充分条件.
解
10.是否存在实数m，使“4x+m<0”是“x>2或x<-1”的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案
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记A={x|x>2或x<-1}，由4x+m<0，得x<-记B=.
由题意得B A，则-≤-1，即m≥4，
此时x<-≤-1 x>2或x<-1，
即“4x+m<0”是“x>2或x<-1”的充分条件，
所以实数m的取值范围是[4，+∞).
解
11.如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么
A.丙是甲的充分不必要条件
B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙是甲的既不充分也不必要条件
√
综合运用
答案
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如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙 甲.
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙 乙，但乙　丙.
综上，有丙 乙 甲，甲　丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
解析
12.设m，n∈R，当mn≥0时，m n=m+n；当mn<0时，m n=|m+n|.例如-6 4=2，则“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a b=-1”的
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
√
答案
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当a=0，b=-1或a=-1，b=0时，ab=0，则a b=-1+0=-1，当a b=-1时，根据题意可知ab≥0，所以a+b=-1，故只要满足ab≥0且a+b=-1即可，显然不止a=0，b=-1或a=-1，b=0这种情况，比如a=b=-a=-b=-等也满足，所以“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a b=-1”的充分条件，但不是必要条件.
解析
13.若p：-2答案
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必要
若a=-1，b=则Δ=a2-4b<0，关于x的方程x2+ax+b=0无实根，故p　q.
若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，且0于是0<-a<2，0所以p是q的必要条件，但不是q的充分条件.
解析
14.已知集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={x|x+m≥0}，p：x∈A，q：x∈B，并且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　.
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由已知可得A={y|y=(x-1)2+3，x∈R}={y|y≥3}，B={x|x≥-m}.
因为q是p的必要条件，所以p q，所以A B，所以-m≤3，即m≥-3，所以实数m的取值范围是{m|m≥-3}.
解析
{m|m≥-3}
15.集合A={x|-1A.{b|-2≤b<0} B.{b|0C.{b|-2拓广探究
√
答案
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A={x|-1B={x|-a因为“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件，
所以-1≤b-1<1或-1解得-2解析
16.(1)是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件；
答案
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欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件，
则只要 {x|x<-1或x>3}，
故只需-≤-1，即m≥2.
故存在实数m≥2，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.
解
(2)是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
答案
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欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件，
则只要{x|x<-1或x>3}
这是不可能的.
故不存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
解
第一章　 1.2.3　充分条件、必要条件
<<<第二课时　充要条件
学习目标　1.理解充要条件的概念.2.能够判定条件的充分性、充要性.3.会进行简单的充要条件的证明.
【引入】 同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如:老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说:“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.老张愣了片刻，又道了句:“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.你知道张三、李四走的原因吗.让我们共同探讨吧!
一、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断
探究1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等;
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0;
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.
提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题;命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题;命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
探究2 你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗
提示　判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题的真假性，原命题为真，逆命题为假，则p是q的充分不必要条件;原命题为假，逆命题为真，则p是q的必要不充分条件;原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件;原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.
1.一般地，如果p q且q p，则称p是q的充分不必要条件.
2.如果p q且q p，则称p是q的必要不充分条件.
3.如果p q且q p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p q.
温馨提示　判断方法:①确定哪个是条件，哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断条件是结论的什么条件.
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件 q是p的什么条件 (在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答)
(1)p:x为自然数，q:x为整数;
(2)p:a<2，q:a<1;
(3)p:同位角相等，q:两直线平行;
(4)p:四边形的两条对角线相等，q:四边形是平行四边形.
解　(1)x为自然数，则x为整数，但x为整数，不妨令x=-1，则x不是自然数，
故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件;
(2)a<2 a<1，而a<1 a<2，
故p是q的必要不充分条件;q是p的充分不必要条件;
(3)同位角相等，可得到两直线平行，反之，两直线平行，可得到同位角相等，
p是q的充要条件;q是p的充要条件;
(4)若四边形的两条对角线相等，则四边形可能为等腰梯形，故充分性不成立，
若四边形是平行四边形但不是矩形，则两条对角线不相等，故必要性不成立.
故p是q的既不充分也不必要条件;q是p的既不充分也不必要条件.
思维升华　判断充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的四种方法
(1)定义法:直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法:即利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn;充要条件也有传递性.
训练1 (1)(多选)对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是(　　)
A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B.“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件
C.“a<5”是“a<3”的必要不充分条件
D.“a>0”是“|a|=a”的充分不必要条件
(2)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题:①s是q的充要条件;②p是q的充分不必要条件;③r是q的必要不充分条件;④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是　　　　.
答案　(1)CD　(2)①②
解析　(1)对于A，根据等式的性质，由a=b可以推出ac=bc，当c=0，ac=bc时，推不出a=b，所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A错误;
对于B，如1>-2，但12<(-2)2，所以a>b推不出a2>b2，又(-2)2>12，但-2<1，所以a2>b2推不出a>b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误;
若a<3，则a<5一定成立，但若a<5则a<3不一定成立，
所以“a<5”是“a<3”的必要不充分条件，故C正确;
由|a|=a得a≥0，由a>0可推出a≥0，a≥0不能推出a>0，
所以a>0是a≥0的充分不必要条件，
即a>0”是“|a|=a”的充分不必要条件，故D正确.
(2)由题意可得p，q，r，s的推出判断如图所示.
可得①②正确;③④错误.
二、充要条件的证明
例2 (链接教材P35例3)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证:<的充要条件是xy>0.
证明　①充分性:由xy>0及x>y，
得>，即<.
②必要性:由<，得<0，
即<0.
因为x>y，所以y-x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
思维升华　充要条件的证明思路:
一般地，证明“p成立的充要条件为q”:
(1)充分性:把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p，即q p;
(2)必要性:把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q，即p q.
训练2 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明　充分性:因为a+b+c=0，
所以c=-a-b，
代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
得ax2+bx-a-b=0，
即(x-1)(ax+a+b)=0.
所以方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1.
必要性:因为方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1，
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0(a≠0).
所以a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0.
故关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
三、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的应用
例3 (链接教材P38T5)已知p:x∈{x|-2≤x≤10}，q:x∈{x|1-m≤x≤1+m，m>0}，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解　p:x∈{x|-2≤x≤10}，
q:x∈{x|1-m≤x≤1+m，m>0}.
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1-m≤x≤1+m} {x|-2≤x≤10}，
故有解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0迁移1 (变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解　p:x∈{x|-2≤x≤10}，
q:x∈{x|1-m≤x≤1+m，m>0}，
因为p是q的充分不必要条件，
所以{x|-2≤x≤10} {x|1-m≤x≤1+m}，
所以
解得m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}.
迁移2 (变结论)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件 若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.
解　因为p:x∈{x|-2≤x≤10}，
q:x∈{x|1-m≤x≤1+m，m>0}，
若p是q的充要条件，则无解，
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
思维升华　应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
训练3 已知集合A={x|0≤x≤4}，B={x|1-a≤x≤1+a}，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的　　　　
(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分.若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由.
解　(1)当横线部分内容为“充要条件”时，
则A=B，则1-a=0且1+a=4，方程组无解.
∴不存在满足条件的a.
(2)若选①，则A B，则
或
解得a≥3，∴问题中的a存在，且a的取值范围为{a|a≥3}.
选②，则B A，
当B= 时，1-a>1+a，即a<0，满足B是A的真子集;
当B≠ 时，1-a≤1+a，即a≥0，由B是A的真子集，得
解得0≤a≤1;
综上所述，a的取值范围为{a|a≤1}.
【课堂达标】
1.已知p:0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由题意可知p q，q p，故p是q的充分不必要条件.
2.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　)
A.x<0，y<0 B.x<0，y>0
C.x>0，y>0 D.x>0，y<0
答案　B
解析　因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0.
3.若α:x≤-1或x>3，β:a-1≤x答案　(-∞，-3]∪(4，+∞)
解析　若“x≤-1或x>3”是“a-1≤x则{x|a-1≤x3}，
∴a-1>3或a+2≤-1，
解得a≤-3或a>4.
4.如果x，y∈R，那么“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的　　　　(填“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“非充分非必要”)条件.
答案　充分非必要
解析　若“xy>0”，则x，y同号，则“|x+y|=|x|+|y|”成立;
但“|x+y|=|x|+|y|”成立时，不一定有xy>0成立，如x=0，y=1，
所以“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”成立的充分非必要条件.
课时精练
一、基础巩固
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则a2+b2=c2 △ABC为直角三角形.
2.已知p:0A.1C.0答案　C
解析　对于A中，由1所以1对于B中，由-1所以-1对于C中，由0所以0对于D中，由0所以03.荀子曰:“故不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.
故选B.
4.(多选)下列命题中是真命题的是(　　)
A.x>2且y>3是x+y>5的充要条件
B.x>1是x>0的充分不必要条件
C.Δ=b2-4ac=0是ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解的充要条件
D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件
答案　BD
解析　A中，当x=1，y=6时，满足x+y>5，
但不满足x>2且y>3，
故x>2且y>3不是x+y>5的充要条件，A错误;
B中，因为x>1 x>0，但x>0 x>1，
故x>1是x>0的充分不必要条件，B正确;
C中，ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解，
则要满足Δ=b2-4ac≥0，故C错误;
D中，x，y中有一个数为有理数时，xy不一定为有理数(如1×=)，所以x或y为有理数不一定能推导出xy为有理数;
xy为有理数时，x，y可能均为无理数(如×=2)，所以xy为有理数不一定能推导出x或y为有理数，故D正确.
5.(多选)已知集合A={x|a+1A.a<7 B.a<6
C.a<5 D.a<4
答案　AB
解析　因为集合A={x|a+1B={x|x≤-2，或x≥7}，
当A= 时，a+1≥2a-3，解得a≤4，
此时A∩B= ，
当A≠ 时，a+1<2a-3，解得a>4，
若A∩B= ，则解得-3≤a≤5，
又a>4，则4则A∩B= 的充要条件为a≤5，
所以A∩B= 的必要不充分条件可能是a<7，a<6.故选AB.
6.“k>1”是“函数y=kx+c在R上函数值y随自变量x增大而增大”的　　　　.(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个)
答案　充分不必要条件
解析　若函数y=kx+c在R上函数值y随自变量x的增大而增大，则k>0，
因为“k>1” “k>0”，但“k>1” “k>0”，
所以“k>1”是“函数y=kx+c在R上函数值y随自变量x增大而增大”的充分不必要条件.
7.请写出“a>b”的一个充要条件:　　　　.
答案　a(c2+1)>b(c2+1)(答案不唯一)
解析　由不等式的性质可知，c2+1>0，
则a>b a(c2+1)>b(c2+1)，
所以a(c2+1)>b(c2+1)是“a>b”的一个充要条件.
8.已知集合P={x|-1≤x≤8}，S={x|2-2m≤x≤2+2m}，若x∈P是x∈S的充分不必要条件，则m的取值范围为　　　　.
答案　[3，+∞)
解析　根据题意，集合P是集合S的真子集;
故(两个等号不同时取到)，
解得m≥3，故m的取值范围为[3，+∞).
9.设a，b，c∈R，证明:a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c.
证明　必要性:如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，
则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，
所以a-b=0，b-c=0，c-a=0.
即a=b=c;
充分性:若a=b=c，
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca，
综上，可知a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c.
10.在①充分不必要，②必要不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数m存在，求出实数m的取值范围;若不存在，请说明理由.问题:已知集合A={x|1≤x≤5}，非空集合B={x|1-m≤x≤1+2m}.是否存在实数m，使得x∈A是x∈B的　　　　条件
解　因为集合B={x|1-m≤x≤1+2m}非空，所以1-m≤1+2m，m≥0.
选择条件①:
因为x∈A是x∈B的充分而不必要条件，
所以A是B的真子集，
所以(两个等号不同时取到)，
解得m≥2，
故实数m的取值范围是[2，+∞).
选择条件②:
因为x∈A是x∈B的必要而不充分条件，
所以B是A的真子集，
所以有m≥0且(两个等号不同时取到)，解得m=0.
综上，实数m的取值范围是{0}.
选择条件③:
因为x∈A是x∈B的充要条件，
所以有m≥0且A=B，
即此方程组无解，
则不存在实数m，使得x∈A是x∈B的充要条件.
二、综合运用
11.(多选)设计如图所示的四个电路图，p:“开关S闭合”，q:“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　　)
答案　BD
解析　由题知A中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分而不必要条件;
B中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件;
C中电路图，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要而不充分条件;
D中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件.
12.(多选)设全集为U，下列条件中是B A的充要条件的为(　　)
A.A∪B=A B.( UA)∩B=
C. UB UA D.A∪( UB)=U
答案　ABD
解析　对于A，当A∪B=A时，B A，
当B A时，A∪B=A，
所以A∪B=A是B A的充要条件，所以A正确，
对于B，当( UA)∩B= 时，B A，
当B A时，( UA)∩B= ，
所以( UA)∩B= 是B A的充要条件，所以B正确，
对于C，当 UB UA时，A B，所以C错误，
对于D，当A∪( UB)=U时，B A，
当B A时，A∪( UB)=U，
所以A∪( UB)=U是B A的充要条件，所以D正确.
13.已知p:x-2>0，q:ax-4>0，其中a∈R.
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
解　(1)设p:A={x|x-2>0}，即p:A={x|x>2}，q:B={x|ax-4>0}，
因为p是q的充分不必要条件，所以A B，
即解得a>2，
所以实数a的取值范围为(2，+∞).
(2)由(1)得p:A={x|x>2}，
q:B={x|ax-4>0}，
因为p是q的必要不充分条件，
所以B A，
①当a=0时，B= ，满足题意;
②当a>0时，由B A，得>2，即0③当a<0时，显然不满足题意.
综合①②③得，实数a的取值范围为[0，2).
三、拓展提高
14.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则“[x]≥[y]”是“x≥y”的　　　　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).
答案　必要不充分
解析　[x]≥[y]，即[x]>[y]或[x]=[y]，
当[x]>[y]时，可推出x>y;
但当[x]=[y]时，如x=2.1，y=2.3，此时x所以“[x]≥[y]”不能推出“x≥y”，
即充分性不成立.
当x≥y时，
即x>y或x=y，当x=y时，必有[x]=[y];
当x>y时，可推出[x]>[y]或[x]=[y]，
所以“x≥y”能推出“[x]≥[y]”，
即必要性成立.
所以“[x]≥[y]”是“x≥y”的必要不充分条件.(共55张PPT)
第二课时　充要条件
第一章 1.2　常用逻辑用语 1.2.3　充分条件、必要条件
1.理解充要条件的概念.
2.能够判定条件的充分性、充要性.
3.会进行简单的充要条件的证明.
学习目标
同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.你知道张三、李四走的原因吗.让我们共同探讨吧！
引入
课时精练
一、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断
二、充要条件的证明
三、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的应用
课堂达标
内容索引
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断
一
探究1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.
提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
探究2 你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
提示　判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题的真假性，原命题为真，逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.
1.一般地，如果p q且______，则称p是q的____________条件.
2.如果_________且q p，则称p是q的____________条件.
3.如果________且________，则称p是q的充分必要条件(简称为______条件)，记作________.
知识梳理
q p
充分不必要
p q
必要不充分
p q
q p
充要
p q
判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件.
温馨提示
指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？(在“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”中选一种作答)
(1)p：x为自然数，q：x为整数；
(2)p：a<2，q：a<1；
例1
(1)x为自然数，则x为整数，但x为整数，不妨令x＝－1，则x不是自然数，
(3)p：同位角相等，q：两直线平行；
(4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形.
(3)同位角相等，可得到两直线平行，反之，两直线平行，可得到同位角相等，p是q的充要条件；q是p的充要条件；
(4)若四边形的两条对角线相等，则四边形可能为等腰梯形，故充分性不成立，
若四边形是平行四边形但不是矩形，则两条对角线不相等，故必要性不成立.
故p是q的既不充分也不必要条件；q是p的既不充分也不必要条件.
判断充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
思维升华
(1)(多选)对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是
A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B.“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件
C.“a<5”是“a<3”的必要不充分条件
D.“a>0”是“|a|＝a”的充分不必要条件
训练1
√
√
对于A，根据等式的性质，由a＝b可以推出ac＝bc，当c＝0，ac＝bc时，推不出a＝b，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错误；
对于B，如1>－2，但12<(－2)2，所以a>b推不出a2>b2，又(－2)2>12，但－2<1，所以a2>b2推不出a>b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误；
若a<3，则a<5一定成立，但若a<5则a<3不一定成立，所以“a<5”是“a<3”的必要不充分条件，故C正确；
由|a|＝a得a≥0，由a>0可推出a≥0，a≥0不能推出a>0，所以a>0是a≥0的充分不必要条件，即a>0”是“|a|＝a”的充分不必要条件，故D正确.
(2)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是________.
①②
由题意可得p，q，r，s的推出判断如图所示.
可得①②正确；③④错误.
充要条件的证明
二
例2
思维升华
充要条件的证明思路：
一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p，即q p；
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q，即p q.
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
训练2
充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，
代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，得ax2＋bx－a－b＝0，
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的应用
三
(链接教材P38T5)已知p：x∈{x|－2≤x≤10}，q：x∈{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
例3
p：x∈{x|－2≤x≤10}，q：x∈{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}.
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0迁移1
(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
p：x∈{x|－2≤x≤10}，q：x∈{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
因为p是q的充分不必要条件，
所以{x|－2≤x≤10}?{x|1－m≤x≤1＋m}，
迁移2
(变结论)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
因为p：x∈{x|－2≤x≤10}，
思维升华
应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|1－a≤x≤1＋a}，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由？
训练3
当横线部分内容为“充要条件”时，
则A＝B，则1－a＝0且1＋a＝4，方程组无解.
∴不存在满足条件的a.
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分.若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由.
解得a≥3，∴问题中的a存在，且a的取值范围为{a|a≥3}.
选②，则B?A，
当B＝ 时，1－a>1＋a，即a<0，满足B是A的真子集；
【课堂达标】
1.已知p：0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
2.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是
A.x<0，y<0 B.x<0，y>0 C.x>0，y>0 D.x>0，y<0
√
因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0.
3.若α：x≤－1或x>3，β：a－1≤x(－∞，－3]∪(4，＋∞)
若“x≤－1或x>3”是“a－1≤x则{x|a－1≤x3}，
∴a－1>3或a＋2≤－1，
解得a≤－3或a>4.
4.如果x，y∈R，那么“xy＞0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”成立的_____________(填“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“非充分非必要”)条件.
充分非必要
若“xy＞0”，则x，y同号，则“|x＋y|＝|x|＋|y|”成立；
但“|x＋y|＝|x|＋|y|”成立时，不一定有xy＞0成立，如x＝0，y＝1，
所以“xy＞0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”成立的充分非必要条件.
【课时精练】
√
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则a2＋b2＝c2 △ABC为直角三角形.
√
2.已知p：0A.1对于A中，由1对于B中，由－1对于C中，由0对于D中，由0√
3.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.故选B.
√
4.(多选)下列命题中是真命题的是
A.x>2且y>3是x＋y>5的充要条件
B.x>1是x>0的充分不必要条件
C.Δ＝b2－4ac＝0是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数解的充要条件
D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件
A中，当x＝1，y＝6时，满足x＋y>5，
√
但不满足x>2且y>3，
故x>2且y>3不是x＋y>5的充要条件，A错误；
故x>1是x>0的充分不必要条件，B正确；
C中，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数解，
则要满足Δ＝b2－4ac≥0，故C错误；
√
5.(多选)已知集合A＝{x|a＋1A.a<7 B.a<6 C.a<5 D.a<4
√
因为集合A＝{x|a＋1当A＝ 时，a＋1≥2a－3，解得a≤4，
此时A∩B＝ ，
当A≠ 时，a＋1<2a－3，解得a>4，
又a>4，则4则A∩B＝ 的充要条件为a≤5，
所以A∩B＝ 的必要不充分条件可能是a<7，a<6.故选AB.
6.“k>1”是“函数y＝kx＋c在R上函数值y随自变量x增大而增大”的_________________.(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个)
充分不必要条件
若函数y＝kx＋c在R上函数值y随自变量x的增大而增大，则k>0，
因为“k>1” “k>0”，但“k>1” “k>0”，
所以“k>1”是“函数y＝kx＋c在R上函数值y随自变量x增大而增大”的充分不必要条件.
/
7.请写出“a>b”的一个充要条件：____________________________________.
a(c2＋1)>b(c2＋1)(答案不唯一)
由不等式的性质可知，c2＋1>0，
则a>b a(c2＋1)>b(c2＋1)，
所以a(c2＋1)>b(c2＋1)是“a>b”的一个充要条件.
[3，＋∞)
8.已知集合P＝{x|－1≤x≤8}，S＝{x|2－2m≤x≤2＋2m}，若x∈P是x∈S的充分不必要条件，则m的取值范围为___________.
根据题意，集合P是集合S的真子集；
解得m≥3，故m的取值范围为[3，＋∞).
9.设a，b，c∈R，证明：a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c.
必要性：如果a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，
则a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，
所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0.
即a＝b＝c；
充分性：若a＝b＝c，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，
所以a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，
所以a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，
综上，可知a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c.
10.在①充分不必要，②必要不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数m存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合A＝{x|1≤x≤5}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋2m}.是否存在实数m，使得x∈A是x∈B的________条件？
因为集合B＝{x|1－m≤x≤1＋2m}非空，所以1－m≤1＋2m，m≥0.
选择条件①：
因为x∈A是x∈B的充分而不必要条件，
所以A是B的真子集，
解得m≥2，
故实数m的取值范围是[2，＋∞).
选择条件②：
因为x∈A是x∈B的必要而不充分条件，
所以B是A的真子集，
综上，实数m的取值范围是{0}.
选择条件③：
因为x∈A是x∈B的充要条件，
所以有m≥0且A＝B，
则不存在实数m，使得x∈A是x∈B的充要条件.
11.(多选)设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”，q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是
√
√
由题知A中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分而不必要条件；
B中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；
C中电路图，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要而不充分条件；
D中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件.
12.(多选)设全集为U，下列条件中是B A的充要条件的为
A.A∪B＝A B.( UA)∩B＝ C. UB UA D.A∪( UB)＝U
√
√
√
对于A，当A∪B＝A时，B A，
当B A时，A∪B＝A，
所以A∪B＝A是B A的充要条件，所以A正确，
对于B，当( UA)∩B＝ 时，B A，
当B A时，( UA)∩B＝ ，
所以( UA)∩B＝ 是B A的充要条件，所以B正确，
对于C，当 UB UA时，A B，所以C错误，
对于D，当A∪( UB)＝U时，B A，
当B A时，A∪( UB)＝U，
所以A∪( UB)＝U是B A的充要条件，所以D正确.
13.已知p：x－2>0，q：ax－4>0，其中a∈R.
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
设p：A＝{x|x－2>0}，即p：A＝{x|x>2}，q：B＝{x|ax－4>0}，
因为p是q的充分不必要条件，所以A?B，
所以实数a的取值范围为(2，＋∞).
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
由(1)得p：A＝{x|x>2}，q：B＝{x|ax－4>0}，
因为p是q的必要不充分条件，
所以B?A，
①当a＝0时，B＝ ，满足题意；
③当a<0时，显然不满足题意.
综合①②③得，实数a的取值范围为[0，2).
14.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则“[x]≥[y]”是“x≥y”的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).
必要不充分
[x]≥[y]，即[x]>[y]或[x]＝[y]，
当[x]>[y]时，可推出x>y；
但当[x]＝[y]时，如x＝2.1，y＝2.3，此时x所以“[x]≥[y]”不能推出“x≥y”，
即充分性不成立.
当x≥y时，
即x>y或x＝y，当x＝y时，必有[x]＝[y]；
当x>y时，可推出[x]>[y]或[x]＝[y]，
所以“x≥y”能推出“[x]≥[y]”，
即必要性成立.
所以“[x]≥[y]”是“x≥y”的必要不充分条件.(共70张PPT)
第2课时
充要条件
第一章　 1.2.3　充分条件、必要条件
<<<
1.理解充要条件的概念.
2.能够判定条件的充分、必要、充要性.
3.会进行简单的充要条件的证明.
学习目标
同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”，像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上也有很多，让我们一探究竟吧！
导 语
一、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断
二、充要条件的证明
课时对点练
三、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的应用
随堂演练
内容索引
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断
一
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.
问题1
提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；
命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
问题2
提示　首先，原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题.判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题的真假性，原命题为真，逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.
1.一般地，如果p q且 ，则称p是q的充分不必要条件.
2.如果 且q p，则称p是q的必要不充分条件.
3.如果 且 ，则称p是q的充分必要条件(简称为 条件)，记作 .
4.如果p　q且q　p，则称p是q的既不充分也不必要条件.
q　p
p　q
p q
q p
充要
p q
(1)判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件.
(2)如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表：
注 意 点
<<<
记法 A={x|p(x)}，B={x|q(x)} 关系 A　B B　A A=B A B且B A
图示
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
在下列各题中，试判断p是q的什么条件.(“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)
(1)p：x，y∈Q，q：xy∈Q；
例 1
因为x，y∈Q xy∈Q，而xy∈Q　x，y∈Q，如：当x=y=时，满足xy=2∈Q，而x，y Q，
所以p是q的充分不必要条件.
解
(2)p：x≥-2，q：-1设A={x|x≥-2}，B={x|-1因为B　A，所以p是q的必要不充分条件.
解
(3)p：a+5是无理数，q：a是无理数；
因为a+5是无理数 a是无理数，并且a是无理数 a+5是无理数，所以p是q的充要条件.
解
(4)若a，b∈R，p：a2+b2=0，q：a=b=0；
因为a2+b2=0 a=b=0，并且a=b=0 a2+b2=0，所以p是q的充要条件.
解
(5)p：|a|>|b|，q：a>b.
因为当a=-5，b=1时，|a|>|b|成立，但是a当a=1，b=-2时，a>b成立，但是|a|<|b|，所以q　p.
所以p是q的既不充分也不必要条件.
解
判断充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
反
思
感
悟
指出下列各题中，p是q的什么条件.
(1)p：q：
跟踪训练 1
由即p q，
而由
如α=1，β=5，满足但不满足α>2.
所以p是q的充分不必要条件.
解
(2)p：x≠0，q：x+|x|>0；
因为由x≠0推不出x+|x|>0，
如x=-1≠0，
但是x+|x|=0，所以p　q，由x+|x|>0可得x>0，
可推出x≠0，所以q p，所以p是q的必要不充分条件.
解
(3)p：点M(1-a，2a+6)在第四象限，q：a<1；
因为点M(1-a，2a+6)在第四象限，
所以解得a<-3.
因为(-∞，-3)　(-∞，1)，所以p q，q　p，
所以p是q的充分不必要条件.
解
(4)p：a>0且b>0，q：a+b>0且ab>0；
由a>0且b>0 a+b>0且ab>0，并且由a+b>0且ab>0 a>0且b>0，所以p是q的充要条件.
解
(5)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.
因为四边形的对角线相等　四边形是平行四边形，四边形是平行四边形　四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件.
解
二
充要条件的证明
(课本例3)在△ABC中，判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件.
例 2
因为“在三角形中，等角对等边”，所以∠B=∠C AC=AB；
又因为“在三角形中，等边对等角”，所以AC=AB ∠B=∠C.
从而∠B=∠C AC=AB，因此△ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充要条件.
解
设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，求证：关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
例 2
①充分性：
因为∠A=90°，所以a2=b2+c2，
所以x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0.
即(x+a)2-c2=0，(x+a+c)(x+a-c)=0，
所以x=-a-c或x=-a+c.
同理，x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx+c2-a2=0，
即(x+c)2-a2=0，(x+a+c)(x+c-a)=0，
所以x=-a-c或x=a-c.
所以两个方程有公共根-a-c.
证明
②必要性：
设两个方程有公共根α，
则α2+2aα+b2=0，α2+2cα-b2=0，
两式相加，得α2+(a+c)α=0，
所以α=0或α=-a-c.
若α=0，代入任一方程，得b=0，这与已知a，b，c为△ABC的三边相矛盾，
所以α=-a-c，代入任一方程，均可得a2=b2+c2，所以∠A=90°.
综上所述，关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
证明
充要条件的证明思路
一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p.
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
反
思
感
悟
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的应用
三
已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
例 3
p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1-m≤x≤1+m}　{x|-2≤x≤10}，
故有解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0解
(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
延伸探究 1
p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件，所以{x|-2≤x≤10}　{x|1-m≤x≤1+m}.
所以
解得m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
解
(变结论)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
延伸探究 2
因为p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，
若p是q的充要条件，则无解，
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
解
应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
反
思
感
悟
已知p：{x|-1跟踪训练 2
(2，+∞)
因为q是p的必要不充分条件，所以{x|-1所以m+1>3，解得m>2，即实数m的取值范围是(2，+∞).
解析
1.知识清单：
(1)充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判断.
(2)充要条件的证明.
(3)充要条件的探求.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：条件和结论辨别不清.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.设A，B，C是三个集合，则“A∩B=A∩C”是“B=C”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
由A∩B=A∩C，不一定有B=C，
反之，由B=C，一定可得A∩B=A∩C.
则“A∩B=A∩C”是“B=C”的必要不充分条件.
解析
1
2
3
4
2.设p：|x|≤3，q：-4A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
由题设，p：-3≤x≤3，q：-4解析
1
2
3
4
3.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　.
函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则-=1，即m=-2；
反之，若m=-2，
则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称.
解析
m=-2
1
2
3
4
4.已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　.
{k|k<-2}
p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，
设集合A={x|2k-1≤x≤3}，B={x|-5≤x≤3}，
因为p是q的必要不充分条件，所以B　A，
所以2k-1<-5，解得k<-2.
所以实数k的取值范围是{k|k<-2}.
解析
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A D C C BD 充分不必要 题号 8 11 12 13 14 15
答案 (-∞，-3) D B BCD {-1，1} A
对一对
答案
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9.
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16
必要性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，
则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，
所以a-b=0，b-c=0，c-a=0.
即a=b=c；
充分性：若a=b=c，
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，
9.
答案
1
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所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca，
综上可知，a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c.
10.
答案
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(1)设p：A={x|x-2>0}，
即p：A={x|x>2}，
q：B={x|ax-4>0}，
因为p是q的充分不必要条件，
所以A　B，
即解得a>2，
所以实数a的取值范围为a>2.
10.
答案
1
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(2)由(1)得p：A={x|x>2}，q：B={x|ax-4>0}，
因为p是q的必要不充分条件，所以B　A，
①当a=0时，B= ，满足题意；
②当a>0时，由B　A，得>2，
即0③当a<0时，显然不满足题意.
综合①②③得，实数a的取值范围为0≤a<2.
16.
答案
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16
必要性：若++2=
则=
即a2+a+b2+b+2ab=2，
即(a+b)2+(a+b)-2=0，
即(a+b-1)(a+b+2)=0，
因为a，b是正实数，所以a+b+2>0，所以a+b-1=0，
即a+b=1.
16.
答案
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充分性：若a+b=1，
则++2===
==.
故++2=的充要条件是a+b=1.
基础巩固
1.已知p：x≤-1或x≥3，q：x>5，则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
由{x|x>5}是{x|x≤-1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件.
解析
答案
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2.若x，y∈R，则“x2+y2≤1”是“x≤1，y≤1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
答案
1
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因为若x，y∈R，x2+y2≤1，则可得x≤1，y≤1，所以充分性成立.当x≤1，y≤1时，x2+y2≤1不一定成立，如当x=-2，y=0时，x2+y2>1，所以必要性不成立.
解析
3.已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a-b)>0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a-b)>0，比如当a0，则a-b和ab同号，当a>b>0时，满足ab(a-b)>0，当b0，故不能确定a和b的正负.故“a<0，且b<0”是“ab(a-b)>0”的既不充分也不必要条件.
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答案
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4.已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1A.{a|1C.{a|0√
因为p是q的充分不必要条件，
所以解得0所以实数a的取值范围是{a|0解析
答案
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5.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是
答案
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16
对于A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；
对于B，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；
对于C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；
对于D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.
解析
6.(多选)已知集合A={x|-1A.m≤-2 B.m<-2
C.m<2 D.-4√
√
答案
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设A∩B= 的一个充分不必要条件是p，p对应的集合为C，当A∩B= 时，m+1≤-1，解得m≤-2，所以C　(-∞，-2]，因此B，D满足条件.
解析
7.“x<0”是“|x|=-x”的　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案
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充分不必要
因为|x|=-x x≤0，{x|x<0}　{x|x≤0}，由此可知“x<0”是“|x|=-x”的充分不必要条件.
解析
8.若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是
　 .
若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件，则[-3，2)是(k，+∞)的真子集，故k<-3，即实数k的取值范围是(-∞，-3).
解析
答案
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(-∞，-3)
9.设a，b，c∈R，证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c.
答案
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必要性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，
所以a-b=0，b-c=0，c-a=0.
即a=b=c；
充分性：若a=b=c，所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，所以a2+b2+c2=ab+bc+ca，
综上可知，a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c.
证明
10.已知p：x-2>0，q：ax-4>0，其中a∈R.
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
答案
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设p：A={x|x-2>0}，即p：A={x|x>2}，q：B={x|ax-4>0}，
因为p是q的充分不必要条件，所以A　B，
即解得a>2，
所以实数a的取值范围为a>2.
解
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
答案
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由(1)得p：A={x|x>2}，q：B={x|ax-4>0}，
因为p是q的必要不充分条件，
所以B　A，
①当a=0时，B= ，满足题意；
②当a>0时，由B　A，得>2，即0③当a<0时，显然不满足题意.
综合①②③得，实数a的取值范围为0≤a<2.
解
11.下列命题正确的是
A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件
B.“a+b=0”是“=-1”的充要条件
C.“x≠±1”是“|x|≠1”的必要不充分条件
D.“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件
√
综合运用
答案
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答案
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由x>5 x>3，由x>3　x>5，所以“x>3”是“x>5”的必要不充分条件，故A错误；
当a=b=0时，a+b=0，但不存在，所以“a+b=0”不是“=-1”的充分条件，故B错误；
当x≠±1时，|x|≠1，反过来也成立，所以“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件，故C错误；
由A∪B=B得A B，所以A∩B=A，反之，若A∩B=A，则A B，进而得A∪B=B，故“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件，故D正确.
解析
12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2，则“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
答案
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当x1=1，x2=5时，满足x1·x2>4且x1+x2>4，但得不到x1>2且x2>2，
若x1>2且x2>2，则x1·x2>4且x1+x2>4，
所以“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的必要不充分条件.
解析
13.(多选)设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有
A.A∩B=A B.( UA)∩B=
C. UA UB D.A∪( UB)=U
答案
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√
√
√
A项，A∩B=A A B，故A错误；
由维恩图(图略)，知B，C，D正确.
解析
14.已知集合A={x|x2-4=0}，B={x|ax-2=0}，B≠ ，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为　　　　　.
答案
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依题意，A={x|x2-4=0}={2，-2}，若a=0，则B= ，不符合题意.
当a≠0时，B=由于x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以=2或=-2，解得a=1或a=-1.
综上所述，实数a的所有可能取值构成的集合为{-1，1}.
解析
{-1，1}
15.记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l=max·min则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
拓广探究
√
答案
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当△ABC是等边三角形时，a=b=c，
∴l=max·min=1×1=1.
∴“l=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件.
∵a≤b≤c，∴max=.
又∵l=1，∴min=
即==
解析
答案
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得b=c或b=a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形.
∴“l=1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件.
综上，“l=1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件.
解析
16.已知a，b是正实数，求证：++2=的充要条件是a+b=1.
答案
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必要性：若++2=
则=
即a2+a+b2+b+2ab=2，
即(a+b)2+(a+b)-2=0，
即(a+b-1)(a+b+2)=0，
因为a，b是正实数，
所以a+b+2>0，所以a+b-1=0，
即a+b=1.
证明
答案
1
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充分性：若a+b=1，
则++2=
==
==.
故++2=的充要条件是a+b=1.
证明
第一章　 1.2.3　充分条件、必要条件
<<<1.2.3　充分条件、必要条件
第1课时　充分条件、必要条件
学习目标　1.理解充分条件、必要条件的定义.2.会判断充分条件、必要条件.3.会根据充分条件、必要条件求参数的取值范围.
导语
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.下面我们将进一步探究“若p，则q”形式的命题中p和q的关系.
一、充分条件、必要条件的判断
问题　观察下面几个命题，你能把它们变成“如果p，那么q”的形式吗？你能得到什么？
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(4)平行四边形的两组对边分别相等；
(5)平行四边形的一组对边平行且相等；
(6)平行四边形的两条对角线互相平分.
提示　(1)如果四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.
(2)如果四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.
(3)如果四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.
(4)如果四边形是平行四边形，那么四边形的两组对边分别相等.
(5)如果四边形是平行四边形，那么四边形的一组对边平行且相等.
(6)如果四边形是平行四边形，那么四边形的两条对角线互相平分.
由此可见，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，即使结论成立的条件并不唯一.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，即所获得的结论也不唯一.
知识梳理
1.充分条件与必要条件
命题真假 “如果p，那么q”是真命题 “如果p，那么q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件， q是p的必要条件 p不是q的充分条件， q不是p的必要条件
2.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
(2)数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
3.充分条件、必要条件与集合的关系
A={x|p(x)}，B={x|q(x)}
A B p(x)是q(x)的充分条件， q(x)是p(x)的必要条件 A B p(x)不是q(x)的充分条件 q(x)不是p(x)的必要条件
B A q(x)是p(x)的充分条件， p(x)是q(x)的必要条件 B A q(x)不是p(x)的充分条件， p(x)不是q(x)的必要条件
角度1　充分条件的判断
例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若a∈N，则a∈R；
(2)若x>1，则x2>1；
(3)若(a-2)(a-3)=0，则a=3；
(4)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC.
解　(1)由于NR，所以p q，
所以p是q的充分条件.
(2)由x>1可以推出x2>1.
因此p q，所以p是q的充分条件.
(3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3，
因此pq，所以p不是q的充分条件.
(4)由三角形中大角对大边可知，
若∠A>∠B，
则BC>AC.
因此p q，所以p是q的充分条件.
反思感悟　充分条件的两种判定方法
(1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件.
(2)命题判断法：
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.
角度2　必要条件的判断
例2　判断下列各题中，p是不是q的必要条件：
(1)p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形；
(2)p：x-1=q：x=1；
(3)p：-1≤x≤5，q：-2≤x≤5；
(4)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形.
解　(1)直角三角形不一定是等腰三角形，
因此qp，所以p不是q的必要条件.
(2)当x=1时，x-1==0，所以q p，
所以p是q的必要条件.
(3)设A=[-2，5]，B=[-1，5]，
则BA，所以qp，所以p不是q的必要条件.
(4)等边三角形一定是等腰三角形，所以q p，
所以p是q的必要条件.
反思感悟　必要条件的判定方法
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p q和q p是否成立，最后得出结论.
(2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围 大范围，大范围小范围.
(3)传递法：由递推式的传递性：p1 p2 p3 … pn，则pn是p1的必要条件.
跟踪训练1　在下列各题中，分析p与q的关系：
(1)p：x>2同时y>3，q：x+y>5；
(2)p：α为锐角，q：α=45°；
(3)p：(x+1)(x-2)=0，q：x+1=0.
解　(1)由于p q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)由于q p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件.
(3)由于q p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件.
二、充分条件与必要条件的应用
例3　已知A=B={x|0解　若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B.
因为A≠ ，则<解得m>0，
要使A B，应有解得0所以实数m的取值范围是{m|0反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
跟踪训练2　已知集合M={x|a-1解　因为q是p的必要条件，所以M N.
于是解得-2≤a≤7.
故a的取值范围为{a|-2≤a≤7}.
1.知识清单：
(1)充分条件的判断.
(2)必要条件的判断.
(3)充分条件与必要条件的应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值.
1.已知p：(a+b)(a-b)=0，q：a=b，则p是q的(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
答案　B
解析　因为(a+b)(a-b)=0a=b，所以pq.又因为a=b (a+b)(a-b)=0，即q p，所以p是q的必要条件.
2.在△ABC中，“∠A+∠C<90°”是“△ABC是钝角三角形”的(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.无法判断
答案　A
解析　因为在△ABC中，由∠A+∠C<90°可得∠B>90°，故可以推出△ABC是钝角三角形.由△ABC是钝角三角形不能推出∠A+∠C<90°，如∠A为钝角，则∠A+∠C>90°.所以“∠A+∠C<90°”是“△ABC是钝角三角形”的充分条件.
3.设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是(　　)
A.x>3 B.x<3 C.x>4 D.x<4
答案　C
4.已知p：5x-1>a，q：x>1，若q是p的必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A.(4，+∞) B.[4，+∞)
C.(-∞，4) D.(-∞，4]
答案　B
解析　由5x-1>a，得x>要使q是p的必要条件，需有≥1，解得a≥4，即实数a的取值范围是[4，+∞).
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.下列选项中，p是q的充分条件的是(　　)
A.p：ab≠0，q：a≠0
B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x2>1，q：x>1
D.p：a>b，q：>
答案　A
解析　根据充分条件的概念逐一判断，
只有ab≠0 a≠0.
2.a<0，b<0的一个必要条件是(　　)
A.a+b<0 B.a-b>0
C.>1 D.<-1
答案　A
解析　a<0，b<0 a+b<0.
3.已知a∈N+，则“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
答案　A
解析　若a=3，则a与8的最小公倍数是24；若正整数a与8的最小公倍数是24，则a的可能取值为3，6，12，24，故“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的充分条件，但不是必要条件.
4.下列说法中，q不是p的必要条件的是(　　)
A.p：a，b均是无理数，q：a+b也是无理数
B.p：A B，q：A∩B=A
C.p：a>b，c>0，q：ac>bc
D.p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A=∠B
答案　A
解析　A中，若a，b均是无理数，则a+b可能是有理数，如a=1-b=1+；所以q不是p的必要条件；
B中，因为p q，所以q是p的必要条件；
C中，因为p q，所以q是p的必要条件；
D中，因为对顶角相等，即p q，所以q是p的必要条件.
5.(多选)下列选项中，可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　)
A.a≤0 B.a>0 C.a<-1 D.a<-2
答案　CD
解析　因为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一正根和一负根，所以解得a<0.选项中a<-1 a<0，a<-2 a<0.
6.(多选)下列命题中为真命题的是(　　)
A.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B.“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件
C.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件
D.“x>3”是“x2>4”的充分条件
答案　ACD
解析　m是有理数 m是实数，故A正确；
当BA时，x∈Ax∈A∩B，故B不正确；
x=3 x2-2x-3=0，故C正确；
x>3 x2>4，故D正确.
7.(5分)已知△ABC，△A1B1C1，这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的　　　　条件.(填“充分”或“必要”)
答案　必要
解析　这两个三角形的对应角相等△ABC≌△A1B1C1，反之，△ABC≌△A1B1C1 ∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1.所以这两个三角形的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的必要条件.
8.(5分)已知条件p：1-x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是　　　　.
答案　(-∞，1]
解析　p：x>1，若p是q的充分条件，则p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1.
9.(10分)下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：四边形的四个角相等，q：四边形是正方形；(3分)
(2)p：A∩B=A，q： UB UA；(3分)
(3)p：x2-2x-2m=0有实根，q：m≥-1.(4分)
解　(1)∵四边形的四个角相等四边形是正方形，而四边形是正方形 四边形的四个角相等，∴p是q的必要条件.
(2)画出维恩图(如图).
结合图形可知，A∩B=A A B UB UA，反之也成立.∴p是q的充分条件，且p是q的必要条件.
(3)若方程x2-2x-2m=0有实根，
则Δ=4+8m≥0，解得m≥-.
∵m≥- m≥-1，
而m≥-1m≥-
∴p是q的充分条件.
10.(11分)是否存在实数m，使“4x+m<0”是“x>2或x<-1”的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解　记A={x|x>2或x<-1}，由4x+m<0，得x<-记B=.
由题意得B A，则-≤-1，即m≥4，
此时x<-≤-1 x>2或x<-1，
即“4x+m<0”是“x>2或x<-1”的充分条件，
所以实数m的取值范围是[4，+∞).
11.如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A.丙是甲的充分不必要条件
B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙是甲的既不充分也不必要条件
答案　A
解析　如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙 甲.
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙 乙，但乙丙.
综上，有丙 乙 甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
12.设m，n∈R，当mn≥0时，m n=m+n；当mn<0时，m n=|m+n|.例如-6 4=2，则“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a b=-1”的(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
答案　A
解析　当a=0，b=-1或a=-1，b=0时，ab=0，则a b=-1+0=-1，当a b=-1时，根据题意可知ab≥0，所以a+b=-1，故只要满足ab≥0且a+b=-1即可，显然不止a=0，b=-1或a=-1，b=0这种情况，比如a=b=-a=-b=-等也满足，所以“a=0，b=-1或a=-1，b=0”是“a b=-1”的充分条件，但不是必要条件.
13.(5分)若p：-2答案　必要
解析　若a=-1，b=则Δ=a2-4b<0，关于x的方程x2+ax+b=0无实根，故pq.若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，且014.(5分)已知集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={x|x+m≥0}，p：x∈A，q：x∈B，并且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　　　.
答案　{m|m≥-3}
解析　由已知可得A={y|y=(x-1)2+3，x∈R}={y|y≥3}，B={x|x≥-m}.因为q是p的必要条件，所以p q，所以A B，所以-m≤3，即m≥-3，所以实数m的取值范围是{m|m≥-3}.
15.集合A={x|-1A.{b|-2≤b<0} B.{b|0C.{b|-2答案　C
解析　A={x|-1B={x|-a因为“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件，
所以-1≤b-1<1或-1解得-216.(12分)(1)是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件；(6分)
(2)是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.(6分)
解　(1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件，则只要 {x|x<-1或x>3}，
故只需-≤-1，即m≥2.
故存在实数m≥2，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件，则只要{x|x<-1或x>3}
这是不可能的.
故不存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.第2课时　充要条件
学习目标　1.理解充要条件的概念.2.能够判定条件的充分、必要、充要性.3.会进行简单的充要条件的证明.
导语
同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”，像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上也有很多，让我们一探究竟吧！
一、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断
问题1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.
提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
提示　首先，原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题.判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题的真假性，原命题为真，逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.
知识梳理
1.一般地，如果p q且qp，则称p是q的充分不必要条件.
2.如果pq且q p，则称p是q的必要不充分条件.
3.如果p q且q p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p q.
4.如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件.
注意点：
(1)判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件.
(2)如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表：
记法 A={x|p(x)}，B={x|q(x)}
关系 AB BA A=B A B且B A
图示
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
例1　在下列各题中，试判断p是q的什么条件.(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)
(1)p：x，y∈Q，q：xy∈Q；
(2)p：x≥-2，q：-1(3)p：a+5是无理数，q：a是无理数；
(4)若a，b∈R，p：a2+b2=0，q：a=b=0；
(5)p：|a|>|b|，q：a>b.
解　(1)因为x，y∈Q xy∈Q，而xy∈Qx，y∈Q，如：当x=y=时，满足xy=2∈Q，而x，y Q，
所以p是q的充分不必要条件.
(2)设A={x|x≥-2}，B={x|-1因为BA，所以p是q的必要不充分条件.
(3)因为a+5是无理数 a是无理数，并且a是无理数 a+5是无理数，所以p是q的充要条件.
(4)因为a2+b2=0 a=b=0，并且a=b=0 a2+b2=0，所以p是q的充要条件.
(5)因为当a=-5，b=1时，|a|>|b|成立，但是ab成立，但是|a|<|b|，所以qp.所以p是q的既不充分也不必要条件.
反思感悟　判断充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
跟踪训练1　指出下列各题中，p是q的什么条件.
(1)p：q：
(2)p：x≠0，q：x+|x|>0；
(3)p：点M(1-a，2a+6)在第四象限，q：a<1；
(4)p：a>0且b>0，q：a+b>0且ab>0；
(5)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.
解　(1)由根据不等式的性质可得即p q，
而由不能推出
如α=1，β=5，满足但不满足α>2.
所以p是q的充分不必要条件.
(2)因为由x≠0推不出x+|x|>0，
如x=-1≠0，
但是x+|x|=0，所以pq，由x+|x|>0可得x>0，
可推出x≠0，所以q p，所以p是q的必要不充分条件.
(3)因为点M(1-a，2a+6)在第四象限，
所以解得a<-3.
因为(-∞，-3)(-∞，1)，所以p q，qp，
所以p是q的充分不必要条件.
(4)由a>0且b>0 a+b>0且ab>0，并且由a+b>0且ab>0 a>0且b>0，所以p是q的充要条件.
(5)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件.
二、充要条件的证明
例2　(课本例3)在△ABC中，判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件.
解　因为“在三角形中，等角对等边”，所以∠B=∠C AC=AB；
又因为“在三角形中，等边对等角”，所以AC=AB ∠B=∠C.
从而∠B=∠C AC=AB，因此△ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充要条件.
例2　设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，求证：关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
证明　①充分性：
因为∠A=90°，所以a2=b2+c2，
所以x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0.
即(x+a)2-c2=0，(x+a+c)(x+a-c)=0，
所以x=-a-c或x=-a+c.
同理，x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx+c2-a2=0，
即(x+c)2-a2=0，(x+a+c)(x+c-a)=0，
所以x=-a-c或x=a-c.
所以两个方程有公共根-a-c.
②必要性：
设两个方程有公共根α，
则α2+2aα+b2=0，α2+2cα-b2=0，
两式相加，得α2+(a+c)α=0，
所以α=0或α=-a-c.
若α=0，代入任一方程，得b=0，这与已知a，b，c为△ABC的三边相矛盾，
所以α=-a-c，代入任一方程，均可得a2=b2+c2，所以∠A=90°.
综上所述，关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
反思感悟　充要条件的证明思路
一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p.
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
三、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的应用
例3　已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解　p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0延伸探究1　(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解　p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件，
所以{x|-2≤x≤10}{x|1-m≤x≤1+m}.
所以或
解得m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
延伸探究2　(变结论)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解　因为p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，
若p是q的充要条件，则无解，
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
反思感悟　应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练2　已知p：{x|-1答案　(2，+∞)
解析　因为q是p的必要不充分条件，所以{x|-13，解得m>2，即实数m的取值范围是(2，+∞).
1.知识清单：
(1)充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判断.
(2)充要条件的证明.
(3)充要条件的探求.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：条件和结论辨别不清.
1.设A，B，C是三个集合，则“A∩B=A∩C”是“B=C”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由A∩B=A∩C，不一定有B=C，
反之，由B=C，一定可得A∩B=A∩C.
则“A∩B=A∩C”是“B=C”的必要不充分条件.
2.设p：|x|≤3，q：-4A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由题设，p：-3≤x≤3，q：-43.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　.
答案　m=-2
解析　函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则-=1，即m=-2；反之，若m=-2，
则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称.
4.已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　　.
答案　{k|k<-2}
解析　p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，
设集合A={x|2k-1≤x≤3}，B={x|-5≤x≤3}，
因为p是q的必要不充分条件，所以BA，
所以2k-1<-5，解得k<-2.
所以实数k的取值范围是{k|k<-2}.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.已知p：x≤-1或x≥3，q：x>5，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由{x|x>5}是{x|x≤-1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件.
2.若x，y∈R，则“x2+y2≤1”是“x≤1，y≤1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为若x，y∈R，x2+y2≤1，则可得x≤1，y≤1，所以充分性成立.当x≤1，y≤1时，x2+y2≤1不一定成立，如当x=-2，y=0时，x2+y2>1，所以必要性不成立.
3.已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a-b)>0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　D
解析　已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a-b)>0，比如当a0，则a-b和ab同号，当a>b>0时，满足ab(a-b)>0，当b0，故不能确定a和b的正负.故“a<0，且b<0”是“ab(a-b)>0”的既不充分也不必要条件.
4.已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1A.{a|1C.{a|0答案　C
解析　因为p是q的充分不必要条件，
所以
解得05.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是(　　)
答案　C
解析　对于A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；对于B，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；对于C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；对于D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.
6.(多选)已知集合A={x|-1A.m≤-2 B.m<-2
C.m<2 D.-4答案　BD
解析　设A∩B= 的一个充分不必要条件是p，p对应的集合为C，当A∩B= 时，m+1≤-1，解得m≤-2，所以C(-∞，-2]，因此B，D满足条件.
7.(5分)“x<0”是“|x|=-x”的　　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案　充分不必要
解析　因为|x|=-x x≤0，{x|x<0}{x|x≤0}，由此可知“x<0”是“|x|=-x”的充分不必要条件.
8.(5分)若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　　　　.
答案　(-∞，-3)
解析　若“x>k”是“-3≤x<2”的必要不充分条件，则[-3，2)是(k，+∞)的真子集，故k<-3，即实数k的取值范围是(-∞，-3).
9.(10分)设a，b，c∈R，证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c.
证明　必要性：如果a2+b2+c2=ab+bc+ca，
则a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，
所以a-b=0，b-c=0，c-a=0.
即a=b=c；
充分性：若a=b=c，
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0，
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，
所以a2+b2+c2=ab+bc+ca，
综上可知，a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c.
10.(11分)已知p：x-2>0，q：ax-4>0，其中a∈R.
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；(5分)
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.(6分)
解　(1)设p：A={x|x-2>0}，即p：A={x|x>2}，q：B={x|ax-4>0}，
因为p是q的充分不必要条件，所以AB，
即解得a>2，
所以实数a的取值范围为a>2.
(2)由(1)得p：A={x|x>2}，
q：B={x|ax-4>0}，
因为p是q的必要不充分条件，
所以BA，
①当a=0时，B= ，满足题意；
②当a>0时，由BA，得>2，即0③当a<0时，显然不满足题意.
综合①②③得，实数a的取值范围为0≤a<2.
11.下列命题正确的是(　　)
A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件
B.“a+b=0”是“=-1”的充要条件
C.“x≠±1”是“|x|≠1”的必要不充分条件
D.“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件
答案　D
解析　由x>5 x>3，由x>3x>5，所以“x>3”是“x>5”的必要不充分条件，故A错误；当a=b=0时，a+b=0，但不存在，所以“a+b=0”不是“=-1”的充分条件，故B错误；当x≠±1时，|x|≠1，反过来也成立，所以“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件，故C错误；由A∪B=B得A B，所以A∩B=A，反之，若A∩B=A，则A B，进而得A∪B=B，故“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件，故D正确.
12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2，则“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当x1=1，x2=5时，满足x1·x2>4且x1+x2>4，但得不到x1>2且x2>2，
若x1>2且x2>2，则x1·x2>4且x1+x2>4，
所以“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的必要不充分条件.
13.(多选)设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有(　　)
A.A∩B=A B.( UA)∩B=
C. UA UB D.A∪( UB)=U
答案　BCD
解析　A项，A∩B=A A B，故A错误；
由维恩图(图略)，知B，C，D正确.
14.(5分)已知集合A={x|x2-4=0}，B={x|ax-2=0}，B≠ ，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为　　　　　　　　　.
答案　{-1，1}
解析　依题意，A={x|x2-4=0}={2，-2}，若a=0，则B= ，不符合题意.当a≠0时，B=由于x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以=2或=-2，解得a=1或a=-1.综上所述，实数a的所有可能取值构成的集合为{-1，1}.
15.记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l=max·min则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当△ABC是等边三角形时，a=b=c，
∴l=max·min=1×1=1.
∴“l=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件.
∵a≤b≤c，∴max=.
又∵l=1，∴min=
即=或=
得b=c或b=a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形.
∴“l=1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件.
综上，“l=1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件.
16.(12分)已知a，b是正实数，求证：++2=的充要条件是a+b=1.
证明　必要性：若++2=
则=
即a2+a+b2+b+2ab=2，
即(a+b)2+(a+b)-2=0，
即(a+b-1)(a+b+2)=0，
因为a，b是正实数，
所以a+b+2>0，所以a+b-1=0，
即a+b=1.
充分性：若a+b=1，
则++2=
==
==.
故++2=的充要条件是a+b=1.(共51张PPT)
第一课时　充分条件、必要条件
第一章 1.2　常用逻辑用语 1.2.3　充分条件、必要条件
1.理解充分条件、必要条件的定义并会判断充分条件、必要条件.
2.理解充分条件、必要条件与数学中的判定定理、性质定理的关系.
3.能从集合的角度理解充分条件、必要条件，并能根据充分条件、必要条件求参数的范围.
学习目标
“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？
(1)“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”.
(2)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”.
(3)“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”.
(4)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”，那么本节课要学习数学中的充分条件和必要条件.
引入
课时精练
一、充分条件、必要条件的判断
二、充分条件与必要条件的应用
三、充分条件与判定定理、必要条件与性质定理
课堂达标
内容索引
充分条件、必要条件的判断
一
探究1 下列“如果p，那么q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1)如果平行四边形的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形；
(2)如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等；
(3) 如果x2－4x＋3＝0，那么x＝1.
提示　在命题(1)中，由条件p通过推理可以得到结论q，它是真命题；在命题(2)(3)中，由条件p不能得出结论q，它们是假命题.
充分条件与必要条件
知识梳理
命题真假 “如果p，那么q” 是真命题 “如果p，那么q”是假命题
推出关系 p____q p q
条件关系 p是q的______条件，q是p的______条件 p不是q的______条件，q不是p的______条件

充分
必要
充分
必要
温馨提示　对于“p q”，蕴含以下多种解释：
①“如果p，那么q”形式的命题为真命题；
②由条件p可以得到结论q；
③p是q的充分条件或q的充分条件是p；
④推出为充分，被推出为必要；
⑤q是p的必要条件或p的必要条件是q；显然， p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.
温馨提示
(链接教材P33例1)判断下列各题中p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；
例1
(1)在△ABC中，由大角对大边知，则由∠B>∠C得AC>AB，即p q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)当x＝1时，(x－1)(x－2)＝0成立，即p q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(3) p：x∈Z，q：x∈R；
(4)p：x，y为无理数，q：xy为无理数.
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，结论是条件的必要条件；否则就不是充分条件也不是必要条件.
(2)命题判断法：
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.
思维升华
判断下列各题中p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：
(1)p：x2＝y2，q：x＝y；
(2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0；
训练1
若整数a能被4整除，则a是偶数，
(3)p：整数a能被4整除；q：整数a的个位数字为偶数.
∴a的个位数字为偶数，
∴p q，
∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.
充分条件与必要条件的应用
二
探究2 若A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}.
(1)如果A B，那么p是q的什么条件或q是p的什么条件；
(2)如果B A，那么p是q的什么条件或q是p的什么条件.
提示　从集合的角度理解充分条件与必要条件：
如果A B，那么p是q的充分条件或q是p的必要条件；
如果B A，那么p是q的必要条件或q是p的充分条件.
充分条件、必要条件与集合的关系
一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A B(如图所示)，那么p(x) q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件.
知识梳理
设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
例2
A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，
因为x∈A是x∈B的充分条件，
解得a≥2，故a的取值范围是[2，＋∞).
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
因为x∈A是x∈B的必要条件，所以B A，
当B＝ 时，2－a>1＋2a，
思维升华
利用充分条件与必要条件求参数的值或取值范围问题时，先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
已知p：实数x满足3a训练2
p：3a设集合A＝{x|3aq：－2≤x≤3，设集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因为p q，所以A B，
充分条件与判定定理、必要条件与性质定理
三
判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件.
(2)数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件.
知识梳理
充分
必要
(链接教材P34例2)说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，写出其中涉及的充分条件或必要条件：
(1)平行四边形的两组对角分别相等；
例3
可以看成一个性质定理，因此“四边形的两组对角分别相等”是“四边形是平行四边形”的必要条件.
(2)当ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
(3)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例.
(2)可以看成一个判定定理，“ac<0” 是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的充分条件.
(3)可以看成一个性质定理，因此“两个三角形的三边对应成比例”是“两个三角形相似”的必要条件.
思维升华
首先明确所给命题可以看作是判定定理还是性质定理，然后确定涉及的充分条件或必要条件.
用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理：
(1)形如y＝ax2(a是非零常数)的函数是二次函数；
(2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同；
(3)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
训练3
(1)“形如y＝ax2(a是非零常数)的函数”是“这个函数是二次函数”的充分条件但不是必要条件.
(2)“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的必要条件但不是充分条件.
(3)在一个平面内，“两条直线垂直于同一条直线”是“两条直线平行”的充分条件但不是必要条件.
【课堂达标】
1.设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是
A.x>3 B.x<3 C.x>4 D.x<4
√
√
由题意，∵x＝y，∴x2＝y2，A正确；
对于B，y≠0，故B错误；
对于C，x，y不能小于2，故C错误；
对于D，x，y不能等于1，故D错误.
3.若“x＝1”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围为__________.
(－∞，1)
∵“x＝1”是“x>a”的充分条件，
∴x＝1 x>a，∴a<1，
即实数a的取值范围为(－∞，1).
4.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的命题有________.
(1)若a＋5是无理数，则a是无理数；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；
(3)若(x－a)(x－b)＝0，则x＝a；
(4)若a和b都是偶数，则ab是偶数.
(1)若a＋5是无理数，则a＋5是无限不循环小数，所以a是无限不循环小数，
(1)(2)(4)
所以a是无理数，所以p q，
所以q是p的必要条件.
(2)全等三角形面积相等，所以p q，所以q是p的必要条件.
(3)若(x－a)(x－b)＝0，则x＝a或x＝b；
(4)两个偶数的乘积仍是偶数.
所以p q，
所以q是p的必要条件.
【课时精练】
√
B中，x2＝1 x＝1或x＝－1；
√
2.下列说法中，p是q的必要条件的是
A.p：a＝1，q：|a|＝1 B.p：－1C.p：ab，q：a>b＋1
要满足p是q的必要条件，即q p，只有D项中，q：a>b＋1，即a－b>1 p：a>b.
√
3.已知p：x>1，y>1，q：x＋y>2，则
A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C.p既是q的充分条件，也是q的必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
若x>1，y>1，由不等式的性质得到x＋y>2，即p是q的充分条件，
若x＋y>2不一定得到x>1，y>1，如x＝10，y＝0满足x＋y>2，但是y<1，
所以p不是q的必要条件.
√
因为1√
5.(多选)下列命题是真命题的是
A.“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B.“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C.“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D.p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件
√
∵x＞3 x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题；
∵x＝2 x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，
∴B是假命题；
∵A∩B＝B A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题；
∵ac＞bc，c<0时，a∴p不是q的必要条件，D是假命题.
6.若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则“x∈C”是“x∈A”的________条件.(填“充分”或“必要”)
必要
由A∪B＝C知，A C，故x∈A x∈C，因此“x∈C”是“x∈A”的必要条件.
7.设α：1m，α是β的充分条件,则实数m的取值范围是__________.
(－∞，1]
设A＝{x|1m}，
因为α是β的充分条件，
所以集合A是集合B的子集，所以m≤1.
1
8.设p：－m≤x≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________.
设A＝{x|－m≤x≤m}，B＝{x|－1≤x≤4}，若p是q的充分条件，则A B，
所以0所以m的最大值为1.
10.请在“①充分条件，②必要条件”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合A＝{x|－2≤x≤6}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在？
若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分条件，集合A是集合B的子集，
所以实数m的取值范围是[5，＋∞).
若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要条件，集合B是集合A的子集，
√
11.(多选)下列命题中，q是p的必要条件的为
A.p：l为⊙O的一条切线，q：直线l与⊙O有且仅有一个交点
B.p：x是无理数，q: x4也是无理数
C.p：b＝0，q：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于y轴对称
D.p：一个偶数是3的倍数，q：这个数能被6整除
√
√
对于A，若 l为⊙O的一条切线，则直线l与⊙O有且仅有一个交点，∴q是p的必要条件；
12.已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则s是q的________________条件，p是q的______________条件.
既充分又必要
必要
∵p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件.
q s r q，q s；q s r p.
则s是q的既充分又必要条件，p是q的必要条件.
13.已知集合A＝{x|－3≤x<4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}.
(1)当m＝1时，求A∩( RB)；
当m＝1时，B＝{x|1≤x≤2}，
所以 RB＝{x|x<1，或x>2}
所以A∩( RB)＝{x|－3≤x<1，或2(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围.
因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，于是得B A，
①当B＝ 时，m＋1<2m－1，解得m>2；
解得－1≤m≤2，综上所述，m≥－1.
14.设集合A＝{1，2}.
(1)请写出一个集合B＝_______________________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件；
(2)请写出一个集合B＝____________________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件.
(1)由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件，所以集合A是集合B的真子集，由此可得B＝{1，2，3}符合题意.
{1，2，3}(答案不唯一)
{1}(答案不唯一)
(2)由于“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件，所以集合B是集合A的真子集，由此可知B＝{1}符合题意.1.2.3　充分条件、必要条件
第一课时　充分条件、必要条件
学习目标　1.理解充分条件、必要条件的定义并会判断充分条件、必要条件.2.理解充分条件、必要条件与数学中的判定定理、性质定理的关系.3.能从集合的角度理解充分条件、必要条件，并能根据充分条件、必要条件求参数的范围.
【引入】 “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗
(1)“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”.
(2)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”.
(3)“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”.
(4)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”，那么本节课要学习数学中的充分条件和必要条件.
一、充分条件、必要条件的判断
探究1 下列“如果p，那么q”形式的命题中，哪些是真命题 哪些是假命题
(1)如果平行四边形的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形;
(2)如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等;
(3) 如果x2-4x+3=0，那么x=1.
提示　在命题(1)中，由条件p通过推理可以得到结论q，它是真命题;在命题(2)(3)中，由条件p不能得出结论q，它们是假命题.
充分条件与必要条件
命题真假 “如果p，那么q”是真命题 “如果p，那么q”是假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
温馨提示　对于“p q”，蕴含以下多种解释:
①“如果p，那么q”形式的命题为真命题;
②由条件p可以得到结论q;
③p是q的充分条件或q的充分条件是p;
④推出为充分，被推出为必要;
⑤q是p的必要条件或p的必要条件是q;显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.
例1 (链接教材P33例1)判断下列各题中p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件:
(1)在△ABC中，p:∠B>∠C，q:AC>AB;
(2)已知x，y∈R，p:x=1，q:(x-1)(x-2)=0;
(3) p:x∈Z，q:x∈R;
(4)p:x，y为无理数，q:xy为无理数.
解　(1)在△ABC中，由大角对大边知，
则由∠B>∠C得AC>AB，即p q，
所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)当x=1时，(x-1)(x-2)=0成立，
即p q，
所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(3)因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即p q，
所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(4)为无理数，但×=2是有理数，即p q，
所以p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
思维升华　充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法:
①确定谁是条件，谁是结论;
②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，结论是条件的必要条件;否则就不是充分条件也不是必要条件.
(2)命题判断法:
①如果命题:“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件;
②如果命题:“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.
训练1 判断下列各题中p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件:
(1)p:x2=y2，q:x=y;
(2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，q:b2-4ac≥0;
(3)p:整数a能被4整除;q:整数a的个位数字为偶数.
解　(1)若x2=y2，则x=y或x=-y，因此p q，∴p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件.
(2)若一元二次方程有实数根，则根的判别式大于或等于0，即b2-4ac≥0，
∴p q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，
∴a的个位数字为偶数，
∴p q，
∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.
二、充分条件与必要条件的应用
探究2 若A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}.
(1)如果A B，那么p是q的什么条件或q是p的什么条件;
(2)如果B A，那么p是q的什么条件或q是p的什么条件.
提示　从集合的角度理解充分条件与必要条件:
如果A B，那么p是q的充分条件或q是p的必要条件;
如果B A，那么p是q的必要条件或q是p的充分条件.
充分条件、必要条件与集合的关系
一般地，如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，且A B(如图所示)，那么p(x) q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件.
例2 设全集U=R，集合A={x|1≤x≤5}，集合B={x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
解　(1)A={x|1≤x≤5}，B={x|2-a≤x≤1+2a}，
因为x∈A是x∈B的充分条件，
所以A B，即
解得a≥2，故a的取值范围是[2，+∞).
(2)因为x∈A是x∈B的必要条件，
所以B A，
当B= 时，2-a>1+2a，
解得a<，满足要求，
当B≠ 时，2-a≤1+2a，
即a≥时，要满足
解得≤a≤1，
综上，a≤1，所以实数a的取值范围是(-∞，1].
思维升华　利用充分条件与必要条件求参数的值或取值范围问题时，先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
训练2 已知p:实数x满足3a解　p:3a设集合A={x|3aq:-2≤x≤3，设集合B={x|-2≤x≤3}.
因为p q，所以A B，
所以所以-≤a<0.
所以a的取值范围是.
三、充分条件与判定定理、必要条件与性质定理
判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
(2)数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
例3 (链接教材P34例2)说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，写出其中涉及的充分条件或必要条件:
(1)平行四边形的两组对角分别相等;
(2)当ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;
(3)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例.
解　(1)可以看成一个性质定理，因此“四边形的两组对角分别相等”是“四边形是平行四边形”的必要条件.
(2)可以看成一个判定定理，“ac<0” 是“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的充分条件.
(3)可以看成一个性质定理，因此“两个三角形的三边对应成比例”是“两个三角形相似”的必要条件.
思维升华　首先明确所给命题可以看作是判定定理还是性质定理，然后确定涉及的充分条件或必要条件.
训练3 用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理:
(1)形如y=ax2(a是非零常数)的函数是二次函数;
(2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同;
(3)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
解　(1)“形如y=ax2(a是非零常数)的函数”是“这个函数是二次函数”的充分条件但不是必要条件.
(2)“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的必要条件但不是充分条件.
(3)在一个平面内，“两条直线垂直于同一条直线”是“两条直线平行”的充分条件但不是必要条件.
【课堂达标】
1.设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是(　　)
A.x>3 B.x<3
C.x>4 D.x<4
答案　C
2.x=y的一个必要条件是(　　)
A.x2=y2 B.=1
C.= D.=
答案　A
解析　由题意，∵x=y，∴x2=y2，A正确;
对于B，y≠0，故B错误;
对于C，x，y不能小于2，故C错误;
对于D，x，y不能等于1，故D错误.
3.若“x=1”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　(-∞，1)
解析　∵“x=1”是“x>a”的充分条件，
∴x=1 x>a，∴a<1，
即实数a的取值范围为(-∞，1).
4.下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的命题有　　　　.
(1)若a+5是无理数，则a是无理数;
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等;
(3)若(x-a)(x-b)=0，则x=a;
(4)若a和b都是偶数，则ab是偶数.
答案　(1)(2)(4)
解析　(1)若a+5是无理数，则a+5是无限不循环小数，所以a是无限不循环小数，
所以a是无理数，所以p q，
所以q是p的必要条件.
(2)全等三角形面积相等，
所以p q，所以q是p的必要条件.
(3)若(x-a)(x-b)=0，则x=a或x=b;
所以p q，所以q是p的不必要条件.
(4)两个偶数的乘积仍是偶数.
所以p q，
所以q是p的必要条件.
课时精练
一、基础巩固
1.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　　)
A.若=，则x=y B.若x2=1，则x=1
C.若x=y，则= D.若x答案　A
解析　B中，x2=1 x=1或x=-1;
C中，当x=y<0时，无意义;
D中，当xy2，A正确.
2.下列说法中，p是q的必要条件的是(　　)
A.p:a=1，q:|a|=1
B.p:-1C.p:aD.p:a>b，q:a>b+1
答案　D
解析　要满足p是q的必要条件，即q p，只有D项中，q:a>b+1，即a-b>1 p:a>b.
3.已知p:x>1，y>1，q:x+y>2，则(　　)
A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C.p既是q的充分条件，也是q的必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
答案　A
解析　若x>1，y>1，由不等式的性质得到x+y>2，即p是q的充分条件，
若x+y>2不一定得到x>1，y>1，如x=10，y=0满足x+y>2，但是y<1，
所以p不是q的必要条件.
4.已知p:0A.1C.答案　C
解析　因为1因为-1因为因为5.(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A.“x>2”是“x>3”的必要条件
B.“x=2”是“x2=4”的必要条件
C.“A∪B=A”是“A∩B=B”的必要条件
D.p:a>b，q:ac>bc，p是q的必要条件
答案　AC
解析　∵x>3 x>2，“x>2”是“x>3”的必要条件，∴A是真命题;
∵x=2 x2=4，x2=4不能推出x=2，“x=2”不是“x2=4”的必要条件，∴B是假命题;
∵A∩B=B A∪B=A，“A∪B=A”是“A∩B=B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，
∴C是真命题;
∵ac>bc，c<0时，a∴p不是q的必要条件，D是假命题.
6.若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则“x∈C”是“x∈A”的　　　　条件.(填“充分”或“必要”)
答案　必要
解析　由A∪B=C知，A C，故x∈A x∈C，因此“x∈C”是“x∈A”的必要条件.
7.设α:1m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是　　　　.
答案　(-∞，1]
解析　设A={x|1m}，
因为α是β的充分条件，
所以集合A是集合B的子集，所以m≤1.
8.设p:-m≤x≤m(m>0)，q:-1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为　　　　.
答案　1
解析　设A={x|-m≤x≤m}，B={x|-1≤x≤4}，若p是q的充分条件，则A B，
又m>0，
所以
所以0所以m的最大值为1.
9.指出下列各题中，p是q的什么条件
(1)p:x2=2x+1，q:x=;
(2)p:a2+b2=0，q:a+b=0;
(3)p:(x-1)2+(y-2)2=0，
q:(x-1)(y-2)=0.
解　(1)∵x2=2x+1 x=±，x= x2=2x+1，∴p是q的必要条件.
(2)∵a2+b2=0 a=b=0 a+b=0，a+b=0 /a2+b2=0，∴p是q的充分条件.
(3)∵(x-1)2+(y-2)2=0 x=1且y=2 (x-1)(y-2)=0，
而(x-1)(y-2)=0 /(x-1)2+(y-2)2=0，∴p是q的充分条件.
10.请在“①充分条件，②必要条件”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由.已知集合A={x|-2≤x≤6}，B={x|1-m≤x≤1+m，m>0}，若x∈A是x∈B成立的　　　　条件，判断实数m是否存在
解　若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分条件，集合A是集合B的子集，
则有解得m≥5，
所以实数m的取值范围是[5，+∞).
若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要条件，集合B是集合A的子集，
则有解得0所以实数m的取值范围是(0，3].
二、综合运用
11.(多选)下列命题中，q是p的必要条件的为(　　)
A.p:l为☉O的一条切线，q:直线l与☉O有且仅有一个交点
B.p:x是无理数，q: x4也是无理数
C.p:b=0，q:二次函数y=ax2+bx+c的图象关于y轴对称
D.p:一个偶数是3的倍数，q:这个数能被6整除
答案　ACD
解析　对于A，若 l为☉O的一条切线，则直线l与☉O有且仅有一个交点，∴q是p的必要条件;
对于B，若x=是无理数，则x4=9不是无理数，∴q不是p的必要条件;
对于C，b=0时二次函数y=ax2+c的图象关于y轴对称，∴q是p的必要条件;
对于D，若一个偶数是3的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除，故能被6整除，
∴q是p的必要条件.
12.已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则s是q的　　　　　条件，p是q的　　　　条件.
答案　既充分又必要　必要
解析　∵p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件.
q s r q，q s;q s r p.
则s是q的既充分又必要条件，p是q的必要条件.
13.已知集合A={x|-3≤x<4}，B={x|2m-1≤x≤m+1}.
(1)当m=1时，求A∩( RB);
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围.
解　(1)当m=1时，B={x|1≤x≤2}，
所以 RB={x|x<1，或x>2}
所以A∩( RB)={x|-3≤x<1，或2(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，于是得B A，
①当B= 时，m+1<2m-1，解得m>2;
②当B≠ 时，由B A得
解得-1≤m≤2，综上所述，m≥-1.
三、拓展提高
14.设集合A={1，2}.
(1)请写出一个集合B=　　　　，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件;
(2)请写出一个集合B=　　　　，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件.
答案　(1){1，2，3}(答案不唯一)　(2){1}(答案不唯一)
解析　(1)由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件，所以集合A是集合B的真子集，由此可得B={1，2，3}符合题意.
(2)由于“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件，所以集合B是集合A的真子集，由此可知B={1}符合题意.

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