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第3课时　反证法
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反证法
(1)定义
先提出与命题的结论　 　的假设,再从　 　出发推出　 　,从而证明命题成立的方法叫作反证法.
(2)步骤
①否定结论——假设命题的结论　 　;
相反
假设
矛盾
不成立
②推出矛盾——从　 　出发,根据已知条件,经过　 　,得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相　 　的结果;
③肯定结论——由矛盾判定假设　 　,从而证明命题成立.
假设
推理
矛盾
不成立
精讲练　新知探究
探究点一　反证法的步骤
[典例1]如图,a⊥b,c与b不垂直.
求证:a与c必相交.
证明:假设a与c不相交,则a∥c.
因为a⊥b,所以∠1=90°.
因为a∥c,所以∠2=∠1=90°.
所以b⊥c,这和“c与b不垂直”相矛盾.
所以假设错误,a与c必相交.
[变式1]对于命题“如果a>b>0,那么a2>b2”,用反证法证明,应假设( )
A.a2>b2 B.a2C.a2≥b2 D.a2≤b2
D
[变式2]如图,在同一平面内,直线a,b被直线c所截,∠1,∠2是同位角,且∠1≠∠2.求证:a与b不平行.
证明:假设a∥b,
所以∠1=∠2,这与“∠1≠∠2”相矛盾.
所以a∥b不成立,所以a与b不平行.
探究点二　反证法的应用
[典例2]用反证法证明“三角形的三个内角中,至少有一个内角小于或等于60°”.
已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的内角.
求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个小于或等于60°.
证明:假设∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°,
所以∠A+∠B+∠C>180°,
这与“三角形的内角和为180°”相矛盾.
所以假设不成立,
所以三角形的三个内角中,至少有一个内角小于或等于60°.
用反证法证明时应注意的事项
(1)周密考察原命题结论的否定事项,防止否定不当;
点睛
(2)推理过程必须完整,否则不能说明命题的真伪;
(3)要充分使用已知条件,否则推不出矛盾.
[变式3]已知△ABC中,∠B=∠C.
用反证法证明:∠B<90°.
证明:假设∠B≥90°,
因为∠B=∠C,所以∠C≥90°,
所以∠B+∠C≥180°,
所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾.
所以假设∠B≥90°不成立,
所以∠B<90°.
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第2课时　三角形的内角和与外角及直角三角形的性质与判定
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1.辅助线:为了证明的需要,在　 　上添加的线叫作辅助线,辅助线通常画成　 　线.
2.推论:由　 　或　 　直接推出的真命题.
3.三角形的内角和定理及推论
(1)定理:三角形的内角和等于　 　.
原来图形
虚
基本事实
定理
180°
(2)推论:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的　 　.
三角形的一个外角　 　与它不相邻的任意一个内角.
4.直角三角形的性质与判定
(1)性质定理:直角三角形的两个锐角　 　.
(2)判定定理:有两个角　 　的三角形是直角三角形.
和
大于
互余
互余
精讲练　新知探究
探究点一　三角形内角和定理及推论
[典例1]如图,已知D是△ABC内任意一点.
求证:∠BDC=∠1+∠2+∠A.
证明:(方法1)因为∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°(三角形内角和定理),所以∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD(等式的基本性质).
因为∠A+∠1+∠2+∠DBC+∠BCD=180°,所以∠A+∠1+∠2=180°-
∠DBC-∠BCD,所以∠BDC=∠A+∠1+∠2(等量代换).
(方法2)如图,连接AD并延长,交BC于点E.
因为∠BDE是△ABD的外角,∠CDE是△ACD的外角,所以∠BDE=∠1+∠BAD,
∠CDE=∠CAD+∠2,所以∠BDE+∠CDE=∠1+∠BAD+∠CAD+∠2.
因为∠BAD+∠CAD=∠BAC,∠BDC=∠BDE+∠CDE,所以∠BDC=∠1+∠BAC
+∠2.
[变式]如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,CE交BA的延长线于点E.求证:∠BAC>∠B.
证明:因为CE是△ABC的外角∠ACD的平分线(已知),
所以∠ACE=∠DCE(角平分线的定义).
因为∠BAC是△ACE的外角,
所以∠BAC>∠ACE(三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角),
所以∠BAC>∠DCE(等量代换).
同理,∠DCE>∠B.所以∠BAC>∠B.
探究点二　直角三角形的性质与判定
[典例2]如图,△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,点F在BA的延长线上,FD
⊥BC,垂足为点D,FD交AC于点E.求证:∠DEC=∠B.
证明:因为△ABC是直角三角形,∠BAC=90°(已知),
所以∠B+∠C=90°(直角三角形的两锐角互余).
因为FD⊥BC(已知),
所以∠EDC=90°(垂直的定义),
所以△EDC是直角三角形(直角三角形的定义),
所以∠DEC+∠C=90°(直角三角形的两锐角互余),
所以∠DEC=∠B(同角的余角相等).
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1.3　几何证明举例
第1课时　平行线的性质定理和判定定理
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1.平行线的性质定理
(1)两条平行直线被第三条直线所截,同位角　 　;
(2)两条平行直线被第三条直线所截,内错角　 　;
(3)两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角　 　.
2.平行线的判定定理
(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角　 　,那么这
两条直线平行;
相等
相等
互补
相等
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角　 　,那么这两条直线平行.
3.逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的　 　 .
和　 　,那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作它的　 　命题.
4.逆定理
如果一个定理的　 　命题也是　 　命题,那么这个逆命题叫作
原定理的逆定理.
互补
结论
条件
逆
逆
真
精讲练　新知探究
探究点一　平行线的性质定理和判定定理
[典例1]如图,AB∥CD,AE交CD于点C,∠A+∠D=180°.
求证:AE∥DF.
证明:因为AB∥CD(已知),
所以∠A=∠DCE(两直线平行,同位角相等).
因为∠A+∠D=180°(已知),
所以∠DCE+∠D=180°(等量代换),
所以AE∥DF(同旁内角互补,两直线平行).
[变式1]如图,若∠1=∠2,则下列结论错误的是( )
A.AB∥CD
B.∠ADC=∠EAB
C.∠C+∠ABC=180°
D.AD∥BC
D
[变式2]如图,∠ACE=∠FEC,∠EFB=∠A.求证:∠DBF=∠A.
证明:因为∠ACE=∠FEC(已知),
所以EF∥AD(内错角相等,两直线平行).
所以∠EFB=∠DBF(两直线平行,内错角相等).
因为∠EFB=∠A(已知),
所以∠DBF=∠A(等量代换).
探究点二　互逆命题及互逆定理
[典例2]请写出下列命题的逆命题,并判断该逆命题的真假.
(1)如果a+b=0,那么a=0,b=0;
(2)若两个角互补,则这两个角的和为180°;
(3)线段的中点到这条线段两端的距离相等.
解:(1)逆命题:如果a=0,b=0,那么a+b=0.真命题.
(2)逆命题:若两个角的和为180°,则这两个角互补.真命题.
(3)逆命题:到线段两端距离相等的点是线段的中点.假命题.
互逆命题和互逆定理中的“互换”和“包容”
点睛
(2)包容(如图).
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