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广东省深圳市盐田区2024-2025学年八年级下学期数学期末教学质量检测
一、选择题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．（2025八下·盐田期末） 近几年，我国人工智能技术迅猛发展，各种AI工具层出不穷，包含Al聊天、AI搜索、Al编程、Al绘画等多项功能.下列Al工具图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·盐田期末） 若 ， 则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·盐田期末） 若分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·盐田期末） 某校开展劳动实践课程，测量公园假山两点A，B之间的距离.如图所示，在地面上取一点C，使C到A，B两点均可直接到达，找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为28m，则假山两点A，B之间的距离为（　　）
A．14 m B．28 m C．46 m D．56 m
5．（2025八下·盐田期末） 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八下·盐田期末） 海盗船是游乐园中的热门项目.巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验.小明绘制了海盗船在不同时刻的摆荡状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在一个图中哪个位置？（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
7．（2025八下·盐田期末） 一个烧杯内盛有250克糖水（糖完全溶解），其中含糖20克.为了将糖水的含糖百分比提高到原来的2倍，小丽根据这一情景列出方程，则未知数x表示的意义是（　　）
A．加入的水量 B．蒸发掉的水量
C．增加的糖量 D．减少的糖量
8．（2025八下·盐田期末） 如图，四边形 ABCD 中，， ，，BC 边上一点 E 满足 ，连接 D，E.现将 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C' 处.若 ，，则点 E 到 AB 边的距离为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
9．（2025八下·盐田期末）因式分解： =　 　．
10．（2025八下·盐田期末） 如图，一次函数 ($a，b$为常数，) 的图象分别与轴，轴交于点 ，，则关于的不等式 的解集为 　 　.
11．（2025八下·盐田期末） 已知关于x的分式方程有增根，则m的值是 　 　.
12．（2025八下·盐田期末） 如图，点P在正六边形的边FE上运动，若，写出一个符合条件的x的值为 　 　.
13．（2025八下·盐田期末） 如图，在中，，，，M是BC边上一动点，连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转到线段AN，连接CN，当线段CN最短时，线段BM的长度为 　 　.
三、解答题(本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
14．（2025八下·盐田期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来.
15．（2025八下·盐田期末）先化简，再求值，其中．
16．（2025八下·盐田期末） 如图是一个由 24 个全等的正三角形组成的正六边形网格，正三角形的顶点称为格点.
（1） 已知线段 AB 经过平移后，点 A 的对应点为图中的 点，请画出平移后的线段 （，，均在格点上）；
（2） 请画出线段 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转 后的线段 ；
（3） 已知点 M 在格点上，请在网格中（包含边界）找一个格点 N，连接 MN，使得直线 MN 平分四边形 的面积.
17．（2025八下·盐田期末） 某学校为开展“阳光体育”活动，计划采购一批羽毛球拍和乒乓球拍.已知一副羽毛球拍的价格是一副乒乓球拍价格的倍，用1600元购买乒乓球拍的数量比购买羽毛球拍的数量多16副.
（1）求一副乒乓球拍的单价；
（2）若学校计划购买两种球拍共30副，且总费用不超过3600元，最多可购买多少副羽毛球拍
18．（2025八下·盐田期末） 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使，连接AE.
（1） 求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2） 若AC平分，，，求平行四边形ABDE的面积.
19．（2025八下·盐田期末）阅读下列材料，完成相应任务.
材料
某数学兴趣小组成员学行四边形后发现：用无刻度的直尺就能画出一条平分平行四边形周长的直线.由此引发了思考：平面内其它封闭图形的周长能被一条直线平分吗？
经过思考，他们认为答案是肯定的.由于一个平面图形的周长是可以度量的，那就一定能质量其一半，过这一半的两个端点就能作出这条直线.
小组成员继续思考，如何通过尺规作图，作出一条直线平分任意三角形ABC的周长呢？他们打算分以下两种情况来探究：
情况1：当直线经过三角形的一个顶点时；
情况2：当直线不经过三角形的顶点时.
【实验操作】
针对情况1，小明的想法：如图2，假设这条直线经过的顶点A，在直线BC上截取BD=BA（点D在点B的左侧），再…….将平分周长的问题转化为平分线段的问题.
针对情况2，小亮的做法：如图3，用尺规分别作出线段BC、AC的中点D、E，连接DE，在线段AE上截取EF=ED，连接DF，则直线DF平分的周长.
【发现结论】
通过实验操作可以发现：一个平面图形存在无数条可将其周长平分的直线.
请你根据上述材料，完成以下任务.
任务
（1）【任务一】如图1，四边形ABCD是平行四边形，请你用无刻度的直尺画出一条平分周长的直线；
（2）【任务二】 图2是小明用尺规所作的不完整的图形，请你按小明的思路补全图形，并画出这条平分周长的直线（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）；
（3）【任务三】如图3，请你帮小亮同学完成证明.
20．（2025八下·盐田期末）如图1，在等腰三角形ABC中，，D为AB上一点.过点B作，且，过点E作AB的平行线分别与CA，CB的延长线交于点G，点F，连接AE，CD，DG.
（1） ①四边形ABEG的形状为　 　；
②线段AE与CD的数量关系为　 　；判断这一数量关系时，需要用到的全等三角形是　 　；
（2） 在(1)的条件下判断GD与BC的位置关系，并证明；
（3） 如图2，其他条件不变，若射线CD恰好过AE的中点O，且，求证：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，符合题意；
故答案为： D
【分析】将图形沿某一条直线旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为： B
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x+3≠0，解得：
故答案为： A
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点
∴AB=2DE=56
故答案为： D
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为： C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AA'，BB'，CC'，再分别作AA'，BB'，CC'的垂直平分线，交点为点M
∴旋转中心为点M
故答案为： A
【分析】连接AA'，BB'，CC'，再分别作AA'，BB'，CC'的垂直平分线，交点为点M，即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
未知数x表示的意义是增加的糖量
故答案为： C
【分析】根据题意即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点P
∵AD∥BC，BE=AD
∴四边形ABED是平行四边形
∴AB∥ED，AB=DE=3
∵AB=CD
∴DE=CD=3
∵DF⊥BC
∴
∴
∴
∵将 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C' 处
∴
设点E到AB边的距离为h，由AB∥ED可知点C'到ED边的距离为h
∴
∴，解得：h=
故答案为： B
【分析】过点D作DF⊥BC于点P，根据平行四边形判定定理可得四边形ABED是平行四边形，则AB∥ED，AB=DE=3，再根据垂直平分线性质可得，根据勾股定理可得DF，再根据三角形面积可得，再根据折叠性质可得，设点E到AB边的距离为h，由AB∥ED可知点C'到ED边的距离为h，再跟据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式a，得 = .
故答案为：
【分析】用直接提公因事发即可将原式分解因式。
10．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 的图象分别与轴，轴交于点 ，，
∴当时，
故答案为：
【分析】当一次函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
11．【答案】-2
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得，-mx=2-2(x-1)，即-mx=-2x+4
∵分式方程有增根，即x=1
将x=1代入上式可得
-m=-2+4，解得：m=-2
故答案为： -2
【分析】去分母转换为整式方程，再根据方程有增根，将x=1代入整式方程即可求出答案.
12．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接BF，BE
∵六边形ABCDEF是正六边形，AF∥BE
∴
∴，∠ABE=180°-∠A=60°
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=90°，∠CBE=∠ABC-∠ABE=60°
∵点P在正六边形的边FE上运动，
∴60°≤x≤90°
∴x的值可以为70°
故答案为： 70°(答案不唯一)
【分析】连接BF，BE，根据正六边形性质可得，再根据三角形内角和定理及直线平行性质可得，∠ABE=60°在，再根据角之间的关系可得∠CBF=90°，∠CBE=60°，再根据题意可得60°≤x≤90°，则x的值可以为70°，即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转30°得到△AHN
∵，，
∴∠BAC=30°
∴AB=2BC=4，
由旋转可得，AB=AH=4，BM=HN，∠H=∠B=60°
∴点N在过点H且与AH成60°的直线上运动，
∴当CN⊥HN时，CN有最小值
此时，∠HCN=30°
∴
∴
故答案为：
【分析】将△ABM绕点A逆时针旋转30°得到△AHN，根据含30°角的直角三角形性质可得AB=2BC=4，，由旋转可得，AB=AH=4，BM=HN，∠H=∠B=60°，则点N在过点H且与AH成60°的直线上运动，，当CN⊥HN时，CN有最小值，此时，∠HCN=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
14．【答案】解：解不等式①可得x<3
解不等式②可得x≥1
∴不等式组的解集为1≤x<3
在数轴上表示解集如图所示
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可求出答案.
15．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则，先对括号内进行通分计算，再把除法转化成乘法，进行计算化简，最后代入数据求值即可.
16．【答案】（1）解：如图所示
（2）解：如图所示
（3）解：如图所示
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可求出答案.
（2）根据旋转性质作图即可求出答案.
（3）连接AA1，BB1，可得平行四边形，设AB1，BA1交于点O，连接MO并延长至点N，即点N即为所求.
17．【答案】（1）解：设乒乓球拍单价为x元，则羽毛球拍单价为元
由题意可得：
解得：x=60
∴一副乒乓球拍的单价为60元
（2）解：设购买羽毛球拍y副，则乒乓球拍为30-y副
由题意可得：150y+60(30-y)≤3600
解得：y≤20
∴最多可购买20副羽毛球拍
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】 【分析】（1）设乒乓球拍单价为x元，则羽毛球拍单价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买羽毛球拍y副，则乒乓球拍为30-y副，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵四边ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∵延长CD至点E，使
∴AB∥DE，AB=DE
∴四边形ABDE是平行四边形
（2）解：连接OE
∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=8
∴，
∴
∵AC平分
∴∠BAC=∠EAC
∵AB∥CD
∴∠BAC=∠ECA
∴∠EAC=∠ECA
∴AE=CE=6
∴OE⊥AC
∴∠AOE=90°
∴
∴
即
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AB∥CD，AB=CD，再根据题意可得AB∥DE，AB=DE，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）连接OE，根据平行四边形性质可得，，则，再根据角平分线定义可得∠BAC=∠EAC，根据直线平行性质可得∠BAC=∠ECA，则∠EAC=∠ECA，根据等角对等边可得AE=CE=6，再根据勾股定理可得OE，再根据三角形面积即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图所示，直线m即为所求
（2）解：如图所示，直线m即为所求
（3）证明：∵D，E分别是BC，AC的中点，EF=ED
∴，
∴
∴DF 平分的周长
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，连接BD，则直线m即为所求.
（2）取BD=BA，CA=CE，再作AE的垂直平分线交DE于点O，再连接AO，即直线m即为所求.
（3）根据三角形中位线定理可得，再根据线段中点可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．【答案】（1）平行四边形；AE=CD；△ABE，△CAD
（2）解：GD⊥BC，理由如下
∵四边形ABEG是平行四边形
∴BE=AG
∵BE=AD
∴AD=AG
∴∠AGD=∠ADG
∵GF∥AB
∴∠EGD=∠ADG
∴∠DGE=∠AGD
由(1)②可得∠ACB=∠F
∴GF=GC
∴GD⊥BC
（3）证明：连接BG
∵四边形ABEG是平行四边形，点O是AE中点
∴点O也是BG的中点
∵∠F=45°
∴∠EBF=∠ABC=∠ACB=45°
∴△EBF，△ABC，△GFC都是等腰直角三角形
∴四边形ABEG是矩形
∴OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵△ABE≌△CAD
∴∠OAB=∠ACD
∴∠OBD=∠ACD
∵∠OBD+∠ODB+∠BOD=∠ACD+∠ADC+∠CAD，∠ODB=∠ADC
∴∠BOD=∠DAC=90°
∴OC是线段BG的垂直平分线
∴BC=CG
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：①四边形ABEG是平行四边形
理由如下：∵EF=EB
∴∠EBF=∠F
∵AC=AB
∴∠ACB=∠ABC
∵BE∥AC
∴∠EBF=∠ACB
∴∠ABC=∠F
∴GF∥AB
∵BE∥AG
∴四边形ABEG是平行四边形
故答案为：平行四边形
②∵BE∥AC
∴∠ABE=∠BAC
∵BE=AD，AB=AC
∴△ABE≌△CAD(SAS)
∴AE=CD
故答案为：AE=CD；△ABE，△CAD
【分析】（1）①根据等边对等角可得∠EBF=∠F，∠ACB=∠ABC，根据直线平行性质可得∠EBF=∠ACB，则∠ABC=∠F，根据直线平行判定定理可得GF∥AB，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
②根据直线平行性质可得∠ABE=∠BAC，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CAD(SAS)，则AE=CD，即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得BE=AG，根据边之间的关系可得AD=AG，根据等边对等角可得∠AGD=∠ADG，再根据直线平行性质可得∠EGD=∠ADG，则∠DGE=∠AGD，由(1)②可得∠ACB=∠F，则GF=GC，再根据垂直定义即可求出答案.
（3）根据平行四边性质可得∠EBF=∠ABC=∠ACB=45°，则△EBF，△ABC，△GFC都是等腰直角三角形，根据矩形判定定理可得四边形ABEG是矩形，则OA=OB，根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，再根据全等三角形性质可得∠OAB=∠ACD，则∠OBD=∠ACD，再根据角之间的关系可得∠BOD=∠DAC=90°，根据垂直平分线判定定理可得OC是线段BG的垂直平分线，则BC=CG，即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市盐田区2024-2025学年八年级下学期数学期末教学质量检测
一、选择题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．（2025八下·盐田期末） 近几年，我国人工智能技术迅猛发展，各种AI工具层出不穷，包含Al聊天、AI搜索、Al编程、Al绘画等多项功能.下列Al工具图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D是中心对称图形，符合题意；
故答案为： D
【分析】将图形沿某一条直线旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．（2025八下·盐田期末） 若 ， 则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为： B
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八下·盐田期末） 若分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x+3≠0，解得：
故答案为： A
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
4．（2025八下·盐田期末） 某校开展劳动实践课程，测量公园假山两点A，B之间的距离.如图所示，在地面上取一点C，使C到A，B两点均可直接到达，找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为28m，则假山两点A，B之间的距离为（　　）
A．14 m B．28 m C．46 m D．56 m
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点
∴AB=2DE=56
故答案为： D
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
5．（2025八下·盐田期末） 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为： C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
6．（2025八下·盐田期末） 海盗船是游乐园中的热门项目.巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验.小明绘制了海盗船在不同时刻的摆荡状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在一个图中哪个位置？（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AA'，BB'，CC'，再分别作AA'，BB'，CC'的垂直平分线，交点为点M
∴旋转中心为点M
故答案为： A
【分析】连接AA'，BB'，CC'，再分别作AA'，BB'，CC'的垂直平分线，交点为点M，即可求出答案.
7．（2025八下·盐田期末） 一个烧杯内盛有250克糖水（糖完全溶解），其中含糖20克.为了将糖水的含糖百分比提高到原来的2倍，小丽根据这一情景列出方程，则未知数x表示的意义是（　　）
A．加入的水量 B．蒸发掉的水量
C．增加的糖量 D．减少的糖量
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
未知数x表示的意义是增加的糖量
故答案为： C
【分析】根据题意即可求出答案.
8．（2025八下·盐田期末） 如图，四边形 ABCD 中，， ，，BC 边上一点 E 满足 ，连接 D，E.现将 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C' 处.若 ，，则点 E 到 AB 边的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点P
∵AD∥BC，BE=AD
∴四边形ABED是平行四边形
∴AB∥ED，AB=DE=3
∵AB=CD
∴DE=CD=3
∵DF⊥BC
∴
∴
∴
∵将 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C' 处
∴
设点E到AB边的距离为h，由AB∥ED可知点C'到ED边的距离为h
∴
∴，解得：h=
故答案为： B
【分析】过点D作DF⊥BC于点P，根据平行四边形判定定理可得四边形ABED是平行四边形，则AB∥ED，AB=DE=3，再根据垂直平分线性质可得，根据勾股定理可得DF，再根据三角形面积可得，再根据折叠性质可得，设点E到AB边的距离为h，由AB∥ED可知点C'到ED边的距离为h，再跟据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
9．（2025八下·盐田期末）因式分解： =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式a，得 = .
故答案为：
【分析】用直接提公因事发即可将原式分解因式。
10．（2025八下·盐田期末） 如图，一次函数 ($a，b$为常数，) 的图象分别与轴，轴交于点 ，，则关于的不等式 的解集为 　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 的图象分别与轴，轴交于点 ，，
∴当时，
故答案为：
【分析】当一次函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
11．（2025八下·盐田期末） 已知关于x的分式方程有增根，则m的值是 　 　.
【答案】-2
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得，-mx=2-2(x-1)，即-mx=-2x+4
∵分式方程有增根，即x=1
将x=1代入上式可得
-m=-2+4，解得：m=-2
故答案为： -2
【分析】去分母转换为整式方程，再根据方程有增根，将x=1代入整式方程即可求出答案.
12．（2025八下·盐田期末） 如图，点P在正六边形的边FE上运动，若，写出一个符合条件的x的值为 　 　.
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接BF，BE
∵六边形ABCDEF是正六边形，AF∥BE
∴
∴，∠ABE=180°-∠A=60°
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=90°，∠CBE=∠ABC-∠ABE=60°
∵点P在正六边形的边FE上运动，
∴60°≤x≤90°
∴x的值可以为70°
故答案为： 70°(答案不唯一)
【分析】连接BF，BE，根据正六边形性质可得，再根据三角形内角和定理及直线平行性质可得，∠ABE=60°在，再根据角之间的关系可得∠CBF=90°，∠CBE=60°，再根据题意可得60°≤x≤90°，则x的值可以为70°，即可求出答案.
13．（2025八下·盐田期末） 如图，在中，，，，M是BC边上一动点，连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转到线段AN，连接CN，当线段CN最短时，线段BM的长度为 　 　.
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转30°得到△AHN
∵，，
∴∠BAC=30°
∴AB=2BC=4，
由旋转可得，AB=AH=4，BM=HN，∠H=∠B=60°
∴点N在过点H且与AH成60°的直线上运动，
∴当CN⊥HN时，CN有最小值
此时，∠HCN=30°
∴
∴
故答案为：
【分析】将△ABM绕点A逆时针旋转30°得到△AHN，根据含30°角的直角三角形性质可得AB=2BC=4，，由旋转可得，AB=AH=4，BM=HN，∠H=∠B=60°，则点N在过点H且与AH成60°的直线上运动，，当CN⊥HN时，CN有最小值，此时，∠HCN=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
三、解答题(本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
14．（2025八下·盐田期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】解：解不等式①可得x<3
解不等式②可得x≥1
∴不等式组的解集为1≤x<3
在数轴上表示解集如图所示
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示即可求出答案.
15．（2025八下·盐田期末）先化简，再求值，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则，先对括号内进行通分计算，再把除法转化成乘法，进行计算化简，最后代入数据求值即可.
16．（2025八下·盐田期末） 如图是一个由 24 个全等的正三角形组成的正六边形网格，正三角形的顶点称为格点.
（1） 已知线段 AB 经过平移后，点 A 的对应点为图中的 点，请画出平移后的线段 （，，均在格点上）；
（2） 请画出线段 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转 后的线段 ；
（3） 已知点 M 在格点上，请在网格中（包含边界）找一个格点 N，连接 MN，使得直线 MN 平分四边形 的面积.
【答案】（1）解：如图所示
（2）解：如图所示
（3）解：如图所示
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可求出答案.
（2）根据旋转性质作图即可求出答案.
（3）连接AA1，BB1，可得平行四边形，设AB1，BA1交于点O，连接MO并延长至点N，即点N即为所求.
17．（2025八下·盐田期末） 某学校为开展“阳光体育”活动，计划采购一批羽毛球拍和乒乓球拍.已知一副羽毛球拍的价格是一副乒乓球拍价格的倍，用1600元购买乒乓球拍的数量比购买羽毛球拍的数量多16副.
（1）求一副乒乓球拍的单价；
（2）若学校计划购买两种球拍共30副，且总费用不超过3600元，最多可购买多少副羽毛球拍
【答案】（1）解：设乒乓球拍单价为x元，则羽毛球拍单价为元
由题意可得：
解得：x=60
∴一副乒乓球拍的单价为60元
（2）解：设购买羽毛球拍y副，则乒乓球拍为30-y副
由题意可得：150y+60(30-y)≤3600
解得：y≤20
∴最多可购买20副羽毛球拍
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】 【分析】（1）设乒乓球拍单价为x元，则羽毛球拍单价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买羽毛球拍y副，则乒乓球拍为30-y副，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．（2025八下·盐田期末） 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使，连接AE.
（1） 求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2） 若AC平分，，，求平行四边形ABDE的面积.
【答案】（1）证明：∵四边ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∵延长CD至点E，使
∴AB∥DE，AB=DE
∴四边形ABDE是平行四边形
（2）解：连接OE
∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=8
∴，
∴
∵AC平分
∴∠BAC=∠EAC
∵AB∥CD
∴∠BAC=∠ECA
∴∠EAC=∠ECA
∴AE=CE=6
∴OE⊥AC
∴∠AOE=90°
∴
∴
即
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AB∥CD，AB=CD，再根据题意可得AB∥DE，AB=DE，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）连接OE，根据平行四边形性质可得，，则，再根据角平分线定义可得∠BAC=∠EAC，根据直线平行性质可得∠BAC=∠ECA，则∠EAC=∠ECA，根据等角对等边可得AE=CE=6，再根据勾股定理可得OE，再根据三角形面积即可求出答案.
19．（2025八下·盐田期末）阅读下列材料，完成相应任务.
材料
某数学兴趣小组成员学行四边形后发现：用无刻度的直尺就能画出一条平分平行四边形周长的直线.由此引发了思考：平面内其它封闭图形的周长能被一条直线平分吗？
经过思考，他们认为答案是肯定的.由于一个平面图形的周长是可以度量的，那就一定能质量其一半，过这一半的两个端点就能作出这条直线.
小组成员继续思考，如何通过尺规作图，作出一条直线平分任意三角形ABC的周长呢？他们打算分以下两种情况来探究：
情况1：当直线经过三角形的一个顶点时；
情况2：当直线不经过三角形的顶点时.
【实验操作】
针对情况1，小明的想法：如图2，假设这条直线经过的顶点A，在直线BC上截取BD=BA（点D在点B的左侧），再…….将平分周长的问题转化为平分线段的问题.
针对情况2，小亮的做法：如图3，用尺规分别作出线段BC、AC的中点D、E，连接DE，在线段AE上截取EF=ED，连接DF，则直线DF平分的周长.
【发现结论】
通过实验操作可以发现：一个平面图形存在无数条可将其周长平分的直线.
请你根据上述材料，完成以下任务.
任务
（1）【任务一】如图1，四边形ABCD是平行四边形，请你用无刻度的直尺画出一条平分周长的直线；
（2）【任务二】 图2是小明用尺规所作的不完整的图形，请你按小明的思路补全图形，并画出这条平分周长的直线（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）；
（3）【任务三】如图3，请你帮小亮同学完成证明.
【答案】（1）解：如图所示，直线m即为所求
（2）解：如图所示，直线m即为所求
（3）证明：∵D，E分别是BC，AC的中点，EF=ED
∴，
∴
∴DF 平分的周长
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，连接BD，则直线m即为所求.
（2）取BD=BA，CA=CE，再作AE的垂直平分线交DE于点O，再连接AO，即直线m即为所求.
（3）根据三角形中位线定理可得，再根据线段中点可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．（2025八下·盐田期末）如图1，在等腰三角形ABC中，，D为AB上一点.过点B作，且，过点E作AB的平行线分别与CA，CB的延长线交于点G，点F，连接AE，CD，DG.
（1） ①四边形ABEG的形状为　 　；
②线段AE与CD的数量关系为　 　；判断这一数量关系时，需要用到的全等三角形是　 　；
（2） 在(1)的条件下判断GD与BC的位置关系，并证明；
（3） 如图2，其他条件不变，若射线CD恰好过AE的中点O，且，求证：.
【答案】（1）平行四边形；AE=CD；△ABE，△CAD
（2）解：GD⊥BC，理由如下
∵四边形ABEG是平行四边形
∴BE=AG
∵BE=AD
∴AD=AG
∴∠AGD=∠ADG
∵GF∥AB
∴∠EGD=∠ADG
∴∠DGE=∠AGD
由(1)②可得∠ACB=∠F
∴GF=GC
∴GD⊥BC
（3）证明：连接BG
∵四边形ABEG是平行四边形，点O是AE中点
∴点O也是BG的中点
∵∠F=45°
∴∠EBF=∠ABC=∠ACB=45°
∴△EBF，△ABC，△GFC都是等腰直角三角形
∴四边形ABEG是矩形
∴OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵△ABE≌△CAD
∴∠OAB=∠ACD
∴∠OBD=∠ACD
∵∠OBD+∠ODB+∠BOD=∠ACD+∠ADC+∠CAD，∠ODB=∠ADC
∴∠BOD=∠DAC=90°
∴OC是线段BG的垂直平分线
∴BC=CG
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：①四边形ABEG是平行四边形
理由如下：∵EF=EB
∴∠EBF=∠F
∵AC=AB
∴∠ACB=∠ABC
∵BE∥AC
∴∠EBF=∠ACB
∴∠ABC=∠F
∴GF∥AB
∵BE∥AG
∴四边形ABEG是平行四边形
故答案为：平行四边形
②∵BE∥AC
∴∠ABE=∠BAC
∵BE=AD，AB=AC
∴△ABE≌△CAD(SAS)
∴AE=CD
故答案为：AE=CD；△ABE，△CAD
【分析】（1）①根据等边对等角可得∠EBF=∠F，∠ACB=∠ABC，根据直线平行性质可得∠EBF=∠ACB，则∠ABC=∠F，根据直线平行判定定理可得GF∥AB，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
②根据直线平行性质可得∠ABE=∠BAC，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CAD(SAS)，则AE=CD，即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得BE=AG，根据边之间的关系可得AD=AG，根据等边对等角可得∠AGD=∠ADG，再根据直线平行性质可得∠EGD=∠ADG，则∠DGE=∠AGD，由(1)②可得∠ACB=∠F，则GF=GC，再根据垂直定义即可求出答案.
（3）根据平行四边性质可得∠EBF=∠ABC=∠ACB=45°，则△EBF，△ABC，△GFC都是等腰直角三角形，根据矩形判定定理可得四边形ABEG是矩形，则OA=OB，根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，再根据全等三角形性质可得∠OAB=∠ACD，则∠OBD=∠ACD，再根据角之间的关系可得∠BOD=∠DAC=90°，根据垂直平分线判定定理可得OC是线段BG的垂直平分线，则BC=CG，即可求出答案.
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