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天体密度的计算
天体密度的计算重点难点归纳
一、核心方法归纳
测量天体密度主要依赖万有引力定律，通过不同已知条件推导密度公式。以下是三种常见方法：
1. 已知天体表面重力加速度 和半径
公式推导：
代入密度公式 ，得：
重点：直接联系 与 ，无需卫星参数。
难点：
易忽略体积公式中的 。
单位统一（如 需用米， 用 ）。
2. 已知卫星轨道周期 和轨道半径
公式推导：
由万有引力提供向心力：
代入密度公式，若卫星在天体表面附近（）：
重点：仅需卫星周期 即可求密度（当 时）。
难点：
混淆轨道半径 与天体半径 。
未注意“近地条件” 的隐含使用。
3. 已知第一宇宙速度 和半径
公式推导：
第一宇宙速度 ，解得 ，代入密度公式：
重点：直接联系逃逸速度与密度。
难点：
混淆第一宇宙速度与赤道自转线速度。
未区分 的物理意义（最小环绕速度）。
二、难点突破
单位换算错误
如将 的千米未转换为米，或周期 的小时未转换为秒。
对策：明确国际单位制（）。
符号混淆
轨道半径 vs. 天体半径 。
对策：标注题目条件，如“卫星近地飞行”即 。
公式变形错误
例如，由 代入密度公式时，漏掉系数 。
对策：分步计算，先求 ，再代入 。
隐含条件遗漏
如忽略“卫星轨道半径等于天体半径”或“表面重力加速度为 ”。
对策：圈画题目关键词（如“表面”“近地”）。
三、典型例题分析
题目：某行星的卫星绕其表面做匀速圆周运动，周期为 ，求行星密度。解答：
卫星轨道半径 （行星半径）。
由万有引力提供向心力：
代入密度公式：
关键点：直接利用近地条件 ，无需行星半径的具体数值。
四、易错点提醒
体积公式错误：天体体积是球体体积 ，勿用立方体或圆柱公式。
比例问题：比较天体密度时，注意公式中变量的幂次关系（如 或 ）。
自转影响：若题目考虑自转，需修正表面重力 ，但高中阶段通常忽略。
五、综合技巧
联立方程：若已知多个参数（如 和 ），联立方程消去中间变量。
估算能力：通过典型天体（如地球 ）验证计算结果合理性。
量纲检查：计算后核验单位是否匹配密度单位（）。
通过掌握核心公式、强化单位意识、辨析隐含条件，结合典型例题训练，可系统突破天体密度的测量问题。
经典提高练习题：
一、单选题（本大题共6小题）
1．在中国航天领域迅猛发展的当下，发射卫星进一步探测火星及其周边的小行星带，能为我国深空探测打下基础．若测得某小行星表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小的，小行星的半径为地球半径的，地球和小行星均视为质量分布均匀的球体，则地球的密度是该小行星密度的(　　)
A． B．5倍 C．. D．2倍
2．深空是在地球大气极限以外很远的空间。若深空中有一行星X，其自转周期为3 h，同步卫星的轨道半径是其半径的3.5倍，已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7倍，则行星X与地球的平均密度之比约为(行星X与地球均视为球体)(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
3．在中国航天领域迅猛发展的当下,发射卫星进一步探测火星及其周边的小行星带,能为我国深空探测打下基础.若测得某小行星表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小的,小行星的半径为地球半径的,地球和小行星均视为质量分布均匀的球体,则地球的密度是该小行星密度的 (　　)
A． B．5倍 C． D．2倍
4．已知“祝融号”火星车在地球表面受到的重力大小为，在火星表面受到的重力大小为；地球与火星均可视为质量分布均匀的球体，其半径分别为。若不考虑自转的影响且火星车的质量不变，则地球与火星的密度之比为（ ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
5．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表:
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为 (　　)
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
6．（河北唐山·2023·一模）将物体以一定初速度在某行星表面竖直上抛，从抛出开始计时，落回抛出点前，物体第1s内和第4s内通过的位移大小相等。已知该行星半径和地球半径相同的，地球表面的重力加速度为，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．地球的平均密度和该行星的平均密度之比为1：5
B．该行星和地球的第一宇宙速度之比为
C．将物体在地球表面以相同的初速度竖直抛出后上升的最大高度1.6m
D．该行星表面的自由落体加速度大小为
二、多选题（本大题共4小题）
7．宇航员飞到一个被稠密气体包围的某行星上进行科学探索。他站在该行星表面，从静止释放一个质量为的物体，由于运动时气体阻力（阻力与速度有关）的作用，其加速度随下落位移变化的关系图像如图所示。已知该星球半径为，万有引力常量为。下列说法正确的是（　　）
A．该行星的平均密度为
B．卫星在距该行星表面高处的圆轨道上运行的周期为
C．该行星的第一宇宙速度为
D．物体下落过程中的最大动能为
8．我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则(　　)
A．漂浮在空间站中的航天员不受地球的引力
B．空间站绕地球运动的线速度大小约为
C．地球的平均密度约为
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍
9．2024年6月25日，嫦娥六号探测器历经53天探月之旅给我们带来了月球背面的“土特产”，这是世界上首次月背采样返回，也是我国航天史上迄今为止技术水平最高的月球探测。已知地球表面的重力加速度为，地球半径为，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的倍，月球半径为地球半径的倍，下列说法正确的是（ ）
A．月球的第一宇宙速度为
B．嫦娥六号发射时的速度应大于地球的第一宇宙速度小于第二宇宙速度
C．月球的平均密度为
D .嫦娥六号探测器绕近月轨道飞行的周期约为地球近地卫星周期的倍
10． 在X星球表面，宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其图像如乙图所示。已知X星球的半径为，万有引力常量为G，不考虑星球自转。则下列说法正确的是（　　）
A．X星球的第一宇宙速度
B．X星球的密度
C．X星球的质量
D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为的卫星周期
天体密度的计算-参考答案
1．【答案】A　
【详解】根据G＝mg，ρ＝，V＝πR3，可得ρ＝，可知地球的密度是该小行星密度的，A正确．
2．【答案】C
【详解】设中心天体的平均密度为ρ，半径为R，则中心天体的质量M＝πρR3，设同步卫星的轨道半径为r．周期为T，由万有引力定律提供向心力有：G＝mr，解得：ρ＝，可得行星X与地球的平均密度之比：＝×＝8。
3．【答案】A
【解析】根据G=mg,ρ=,V=πR3,可得ρ=,可知地球的密度是该小行星密度的,A正确.
4．【答案】B
【解析】在星球表面，万有引力近似等于重力，有，又，联立解得，B正确。
5．【答案】B　
【解析】根据开普勒第三定律有=,解得T=T地。设相邻两次“冲日”时间间隔为t,则2π=t,解得t==,由表格中的数据可得t火=≈800天,t天=≈369天,B正确。
6．【答案】B
【详解】AD．设该星球表面的重力加速度为g′，物体第1s内和第4s内通过的位移大小相等，则
带入数据解得
g′=2m/s2
根据
则
地球的平均密度和该行星的平均密度之比为
选项AD错误；
B．根据
解得第一宇宙速度
该行星和地球的第一宇宙速度之比为
选项B正确；
C．根据
可知在星球表面上升的最大高度
将物体在地球表面以相同的初速度竖直抛出后上升的最大高度
选项C错误；
故选B。
7．【答案】ACD
【详解】A．根据图像，位移为0时，静止释放的加速度为，表明该星球表面的重力加速度即为，则有，则该行星的平均密度为，解得，A正确；
B．卫星在距该行星表面高处的圆轨道上运行时，由万有引力提供圆周运动的向心力，则有，结合上述解得，B错误；
C．该行星的第一宇宙速度等于近星球表面运行的卫星的环绕速度，则有，结合上述解得，C正确；
D．根据动能定理有，根据牛顿第二定律有，即合力与加速度成正比，根据图像，加速度与位移成线性关系，则合力也与位移成线性关系，则，解得，D正确。选ACD。
8．【答案】BD
【解析】漂浮在空间站中的航天员依然受地球的引力，所受引力提供航天员做匀速圆周运动的向心力，A错误；根据匀速圆周运动的规律，可知空间站绕地球运动的线速度大小约为v＝＝，B正确；设空间站的质量为m，其所受万有引力提供向心力，有G＝m×R，则地球的平均密度约为ρ＝＝，C错误；根据万有引力提供向心力，有G＝ma，则空间站绕地球运动的向心加速度大小为a＝，由于忽略地球自转影响，则在地球表面由万有引力等于重力有＝m'g，地面重力加速度为g＝，联立可得＝，即空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍，D正确。
【名师延展】
航天员在空间站中漂浮不是因为不受重力，而是重力完全充当向心力，作用效果只是改变航天员运动的速度方向，不再体现竖直下落的作用效果，所以看起来是漂浮状态。
9．【答案】BD
【解析】在地球表面上，根据，可知地球的第一宇宙速度为，地球的质量，地球的平均密度为，同理可得月球的第一宇宙速度应为，月球的平均密度为，故A、C错误；嫦娥六号探测器没有脱离地球的引力，B正确；根据线速度和周期的关系，地球近地卫星的周期为，由已知条件可知，嫦娥六号探测器绕近月轨道飞行周期约为，因此，故D正确。选BD。
10．【答案】BD
【详解】A．设该星球表面的重力加速度为g0，小球在最高点时有
由图乙知，当F=0时，有
可得
则X星球的第一宇宙速度为
故A错误；
BC．根据
得X星球质量为
则X星球的密度为
故B正确，C错误；
D．设环绕X星球的轨道离星球表面高度为的卫星的轨道半径为r，则
由
得
故D正确。
故选BD。
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