资源简介

万有引力定律的相关计算
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高考物理万有引力定律相关计算重点难点归纳
一、核心公式与基本理论
1.万有引力定律公式 ：
适用条件：质点间的相互作用（天体通常视为质点）；质量分布均匀的球体（ 为两球心间距）。
2.万有引力与天体运动的联系
万有引力提供向心力：
中心天体质量 的求解：
3.黄金代换式
天体表面附近（）：
应用场景：已知天体表面重力加速度 和半径 ，快速计算质量或密度。
二、重点题型与解题思路
1. 重力加速度的变化
地表重力加速度：
高空重力加速度（距地心 ）：
关键点：区分天体自身半径 与轨道高度 ， 与 成反比。
2. 天体密度计算
结合黄金代换与体积公式：
近地卫星法（周期 ）：
3. 双星系统问题
双星特点：
周期 相同，绕共同质心旋转。
引力提供向心力：
轨道半径关系：，且 。
解题步骤：联立消去周期 ，求质量比或总质量。
4. 变轨问题
低轨→高轨：需加速两次，但最终高轨速度更小。
离心运动：在低轨加速，进入椭圆转移轨道；在高轨再次加速，进入圆轨道。
能量变化：变轨时机械能增大（动能减少，势能增加更多）。
三、难点突破
1. 轨道半径的确定
易错点：混淆天体半径 、轨道高度 、轨道半径 。
典型陷阱：题目中“距地面高度为 ”需转化为 。
2. 开普勒第三定律的应用
椭圆轨道：半长轴 代替圆轨道半径 ：
多星系统：若天体绕同一中心运行，周期与轨道半径仍满足比例关系。
3. 多天体叠加问题
引力叠加：多个天体对同一物体的万有引力需矢量合成。
例如：地球和月球对卫星的引力合力提供向心力。
4. 能量综合问题
卫星机械能：
变轨能量变化：从低轨到高轨，需发动机做功补充能量。
四、典型易错题示例
1.双星系统计算
题目：双星间距为 ，周期为 ，求两星质量之和。
错因：未利用 ，误用单星公式。
2.变轨速度比较
题目：比较圆轨道与椭圆转移轨道在近地点的速度。
错因：认为椭圆轨道近地点速度大于圆轨道速度（实际需加速才能离心）。
3.重力与向心力关系
题目：赤道上物体重力与万有引力的关系。
关键：（自转导致重力小于万有引力）。
五、复习建议
公式推导：理解万有引力作为向心力的来源，避免死记硬背。
画示意图：标注轨道半径、天体间距等，避免混淆。
强化单位换算：将 km、h 转换为国际单位，注意 。
练习综合题：结合能量、运动学、多天体等知识点，提升综合分析能力。
通过系统掌握公式、突破易错点，并结合典型例题强化理解，考生可高效解决万有引力定律相关计算题，提升高考得分率！
经典提升训练题
一、单选题（本大题共6小题）
1．石墨烯是一种超轻超高强度的新型材料。有人设想：用石墨烯制作超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与地球静止同步空间站（周期与地球自转周期相同），利用超级缆绳承载太空电梯从地球基地向空间站运送物资。已知地球半径为R，自转周期为T，地球北极表面重力加速度为。若该设想能实现，质量为m的太空电梯（可视为质点）停在距地球表面高度为R的位置时，超级缆绳对太空电梯的拉力大小为（　　）
A．0 B．
C． D．
2．随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想；假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度竖直向上抛出一个小球，经时间后回到出发点。已知月球的半径为，万有引力常量为，则下列说法正确的是（　　）
A．月球表面的重力加速度为
B．月球的质量为
C．宇航员在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
3．2023年春节期间，中国科幻电影《流浪地球2》热映．《流浪地球》系列影片设定：若干年后，太阳上的氢元素将被耗尽，太阳由“氢核聚变”阶段进入“氦核聚变”阶段，并成为一颗红巨星，地球将被太阳吞没、气化．因此，人类启动了“流浪地球”计划．人类的自救之旅的第一阶段是“刹车阶段”，利用2000台安装在地球赤道上的“转向式行星发动机”，通过喷射高能高压的粒子流，推动地球停止自转；第二阶段是“逃逸阶段”，利用“推进式行星发动机”推动地球加速，增大公转速度，逐渐脱离太阳系，开启“流浪”之旅．
根据以上素材，结合所学，判断下列说法正确的是（ ）
A．不考虑其它因素，地球停止自转的过程中，赤道上的物体所受重力逐渐减小
B．不考虑其它因素，地球停止自转的过程中，南北极处的物体所受重力逐渐增大
C．“转向式行星发动机”的喷口方向应该与自转速度方向相反，“推进式行星发动机”的喷口方向应该与公转速度方向相反
D．聚变要克服原子核之间的库仑斥力，因此氦核聚变比氢核聚变需要的温度更高
4．木星是太阳的一颗行里，木星又有自己的卫星，假设木星的卫星绕木星的运动和木星绕太阳的运动都可视为匀速圆周运动，要想计算木星的质量，需要测量的物理量有（　　）
A．木星绕太阳运动的周期和轨道半径
B．木星绕太阳运动的周期和木星的半径
C．木星的卫星绕木星运动的周期和轨道半径
D．木星的卫星绕木星运动的周期和木星的半径
5．如图所示，甲为赤道上空的近地卫星，乙为放置在赤道处地面上的待发射卫星。若以T表示圆周运动周期，v表示线速度大小，a表示向心加速度大小，F表示受到的合力大小，下列判断一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．北京时间2023年10月5日上午8时24分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭成功将遥感三十九号卫星送入太空。其中遥感三十九号卫星的工作轨道高度约为700 km，遥感三十九号卫星、地球的同步卫星和月球绕地球飞行的轨道如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．遥感三十九号卫星的发射速度一定小于7.9 km/s
B．同步卫星绕地球运行的角速度比月球绕地球的角速度大
C．遥感三十九号卫星绕地球运行的周期大于24 h
D．所有卫星在运行轨道上完全失重，重力加速度为零
二、多选题（本大题共4小题）
7．质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球的质量为M，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则关于航天器（　　）
A．运行周期 B．线速度
C．加速度 D．角速度
8．2024年10月12日，紫金山-ATLAS彗星接近地球，它是年度最亮的彗星，特别适合肉眼观测。该彗星绕太阳一圈需约61751年，近日点距离太阳约0.4个天文单位（1天文单位等于日地平均距离），远日点相对于近日点可看做无穷远，速度约为0。理论分析表明，某个轨道的逃逸速度是该轨道环绕速度的倍，即，R为绕该轨道圆周运动的半径。则下列说法正确的是（　　）
A．忽略彗星质量的变化，从近日点到远日点，彗星的机械能减小
B．彗星在近日点的加速度与地球公转的加速度大小之比为25∶4
C．彗星在近日点的速率与地球公转速率之比约为
D．彗星在近日点的速率与地球公转速率之比约为
9．恒星A的质量为M1，行星B的质量为M2，绕A 做轨道半径为r的匀速圆周运动时，始终只有同一面朝向恒星A，观测发现行星 B的自转周期为，半径为R，M1为，在 A 和B的连线上有L1和L2两点，位于这两点的物体会在恒星和行星引力的共同作用下，与行星一起以相同的周期T2绕恒星运动。已知、到行星 B的距离远小于r。当|x|≤1时，下列说法正确的是（　　）
A．
B．、点与行星球心的距离不相等
C．、点处物体的线速度之比约为99：101
D．若要保证行星 B不解体，r不能小于1000R
10．地球刚诞生时自转周期约是8小时，因为受到月球潮汐的影响，自转在持续减速，现在地球自转周期是24小时。与此同时，在数年、数十年的时间内，由于地球板块的运动、地壳的收缩、海洋、大气等一些复杂因素以及人类活动的影响，地球的自转周期会发生毫秒级别的微小波动。
科学研究指出，若不考虑月球的影响，在地球的总质量不变的情况下，地球上的所有物质满足常量，其中………m 表示地球各部分的质量，r 、r 、……n为地球各部分到地轴的距离，ω为地球自转的角速度，如图所示。根据以上信息，结合所学，判断下列说法正确的是
A．月球潮汐的影响使地球自转的角速度变小
B．若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变小
C．若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，会使地球自转周期变小
D．若仅考虑B处板块向赤道漂移，会使地球自转周期变小
三、非选择题（本大题共3小题）
11．如图所示,在地面的火箭内的水平平台上放有一物体,火箭从地面升空后,做竖直向上的匀加速运动,加速度大小为,上升到某一高度时,物体对平台的压力减小为起飞前压力的.已知地球的半径为R,求火箭此时离地面的高度.(g为地面的重力加速度,忽略地球自转影响)
12．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响。A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求的表达式（用m1、m2表示）；
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率，运行周期，质量，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（，）
13．日冕持续不断地向外膨胀从而形成由太阳径向向外的等离子体流，通常被称为“太阳风”。太阳风虽然与地球上的空气不同，不是由气体的分子组成，而是由质子和电子等粒子组成，但它们流动时所产生的效应与空气流动很相似，所以称它为太阳风。太阳风的密度与地球上风密度相比是非常稀薄而微不足道的。然而太阳风虽十分稀薄，但它刮起来的猛烈程度远远胜过地球上的风。已知太阳的质量为，半径为，万有引力恒量为G。若中心天体的质量为M，质量为m的物体距中心天体r时具有的引力势能为 （以无穷远处势能为0）。
（1）一种观点认为，太阳风是日冕“粒子气”高温膨胀向外的热压力超过其引力，从而形成超声速太阳风的。类比理想气体分子运动特征可知，粒子的温度与其平均动能成正比，即：，k为玻尔兹曼常数，已知粒子质量为m，假设这种观点成立，则日冕外层2Rs处的温度至少多大才能脱离太阳引力场的束缚而逸出。
（2）太阳风会造成太阳质量的损失，假设地球附近观测到单位体积内太阳风质子—电子对的数目为n，每个质子—电子对的质量为m0，假设地球周边所观测的太阳风的平均速率为v，已知太阳到地球的距离为r，请由此推算太阳在单位时间因为太阳风而损失的质量。
（3）太阳风粒子流在日冕附近速率大约不到20km/s，当其到达地球附近时，速率可达800km/s以上，表明太阳风在加速远离太阳，请根据所学知识简要分析其加速的原因。
万有引力定律的相关计算参考答案
1．【答案】C
【详解】设质量为的物体在北极地面静止，则有，解得，太空电梯在距离地面高R位置时受到的万有引力为F，则有，太空电梯在超级缆绳上绕地球做匀速圆周运动，其周期与地球同步空间站相同，即也为T，大于它自由绕地球做匀速圆周运动的周期，此时地球对它的万有引力大于它所需要的向心力，所以超级缆绳对太空电梯的拉力向上，设为，则有，其中，解得，故选C。
2．【答案】B
【详解】A．小球在月球表面做竖直上抛运动，根据匀变速运动规律可得
解得
A错误；
B．物体在月球表面上时，忽略向心力，物体受到的重力等于万有引力，则有
解得
B正确；
C．宇航员离开月球表面围绕月球做圆周运动至少应获得的速度等于月球的第一宇宙速度大小，则有
解得
C错误；
D．宇航员乘坐飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，由运动学公式可得
联立可得
D错误。
选B。
3．【答案】D
【详解】AB．不考虑其它因素，地球停止自转的过程中，赤道上的物体所受重力逐渐增大，而南北极处的物体本身不受地球自转的影响，因此在地球停止自转的过程南北极处物体的重力不变，AB错误；
C．“转向式行星发动机”的喷口方向应该与自转速度方向相同，“推进式行星发动机”的喷口方向应该与公转速度方向相反，以使地球在公转轨道实现跃迁，逃离太阳系，C错误；
D．聚变要克服原子核之间的库仑斥力，因此氦核聚变比氢核聚变需要的温度更高，D正确。选D。
4．【答案】C
【详解】AB．根据万有引力提供向心力，只能求出中心天体的质量，A选项可以求出太阳的质量，而B选项不知道轨道半径，无法求出太阳的质量，也求不出木星的质量，AB错误；
C．设木星的质量为M，木星卫星的质量为m，木星的卫星运动周期为T，轨道半径为r，根据万有引力提供向心力，有，解得，C正确；
D．知道木星的卫星绕木星运动的周期，还需要知道轨道的半径，才能求出木星的质量，D错误。选C。
5．【答案】C
【详解】ABC．乙为放置在赤道处地面上的待发射卫星，其周期等于地球同步卫星的周期，根据，
可知乙的线速度和向心加速度都小于地球同步卫星的；
根据万有引力提供向心力有
解得，，
则甲的周期小于地球同步卫星的周期，线速度大于地球同步卫星的，则，，
AB错误，C正确；
D．两卫星质量未知，无法比较所受合力大小，D错误；
选C。
6．【答案】B
【解析】第一宇宙速度是，卫星的最小发射速度，错误；卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有，故，同步卫星离地球较近，同步卫星绕地球运行的角速度比月球绕地球的角速度大，正确；又，故，遥感三十九号卫星比同步卫星离地球近，绕地球运行的周期比同步卫星的周期小，错误；所有卫星做匀速圆周运动，在运行轨道上完全失重，但重力加速度不为零，错误。
7．【答案】AB
【详解】A．万有引力等于重力，则，探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，则轨道半径为，根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则，解得航天器运行周期，A正确；
B．根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则，解得航天器线速度，B正确；
C．根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则，解得航天器加速度，C错误；
D．根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则，解得航天器角速度，D错误。选AB。
8．【答案】BD
【详解】A．忽略彗星质量的变化，从近日点到远日点，只有太阳的引力对彗星做功，可知彗星的机械能不变，选项A错误；
B．根据，可得，彗星在近日点的加速度与地球公转的加速度之比为
，选项B正确；
C．若彗星绕太阳以0.4个天文单位做圆周运动，根据，，则彗星以0.4个天文单位做太阳做圆周运动与地球绕太阳做圆周运动的速率之比为
，因彗星在近日点的速度大于其以近日点为半径做圆周运动的速度，可知彗星在近日点的速率与地球公转速率之比大于，选项C错误；
D．由上述可知，地球公转速率，彗星绕0.4天文轨道做圆周运动的速度为
，由题意可知，在椭圆轨道上近日点的速率应该等于逃逸速度，即
，即彗星在近日点的速率与地球公转速率之比约为，选项D正确。选BD。
9．【答案】AC
【详解】A．行星B始终只有同一面朝向恒星A，则，A正确；
B．设L1点与行星球心距离，L2点与行星距离，有，，，联立得=，，B错误；
C．、点处物体周期相同，角速度相同，线速度、点处物体的线速度之比约为99：101，C正确；
D．要保证行星 B不解体，万有引力提供向心力，，，得即r不能小于，D错误。选AC。
10．【答案】AC
【详解】A．由题中信息，因为受到月球潮汐的影响，自转在持续减速，使地球自转的角速度变小，选项A正确；
B．根据，可知，若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变大，选项B错误；
C．根据=常量，若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，则转动半径r减小，则角速度ω变大，则会使地球自转周期变小，选项C正确；
D．根据=常量，若仅考虑B处板块向赤道漂移，则转动半径变大，则角速度ω减小，则会使地球自转周期变大，选项D错误。选AC。
11．【答案】2R　
【解析】设在离地高h处重力加速度为g',物体的质量为m,
对平台上的物体有F-mg'=mg,
在h高处,由万有引力定律及牛顿第二定律得=mg',
在地面处,由万有引力定律及牛顿第二定律得=mg,
又因为F=mg,
代入数据解得h=2R.
【易错分析】 火箭在上升过程中,所处位置的重力加速度一直在减小,并不是不变的.有些同学忽略这点,将会列出错误的公式,甚至于在解题时无处下手.
12．【答案】(1)；(2)；(3)估算过程见解析，星B有可能是黑洞
【解析】
【详解】(1)设A、B圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω。由牛顿运动定律，有
，，
设A、B之间的距离为r，又
由上述各式得
①
由万有引力定律，有
将①代入得
令
比较可得
②
(2)由牛顿第二定律，有
③
又可见星A的轨道半径
④
由②③④式解得
⑤
(3)将
代入⑤式，得
代入数据得
⑥
设
（）
将其代入⑥式，得
⑦
可见，值随n的增大而增大，试令
得
⑧
若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必大于2ms，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。
13．【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）要使粒子脱离太阳引力的束缚至少需满足，，解得
（2）设太阳风粒子由太阳向空间各方向均匀射出，在极短时间，内太阳风粒子可视为均匀分布在半径为r、厚度为的球壳内，如图所示
该段时间内太阳因太阳风而损失的质量与该球壳内的粒子质量相同。有，，解得
（3）太阳风是从日冕向星际空间不断爆发出来的带电粒子，这些粒子由于日冕高温膨胀向外的热压力超过其引力，从而形成超声速的高能带电粒子流，根据电磁学理论，这些粒子流会产生电磁场，与太阳的磁场相互作用使粒子流远离太阳方向加速运动，粒子流的电磁场之间也会相互作用，在长时间的电磁作用下，太阳风能够达到很高的速度。
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