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1.2 课时2 几何证明
1.理解证明的概念，知道几何证明的依据是定义、基本事实等；
2.掌握几何证明的一般步骤，能进行简单的几何证明；（重点）
3. 能将文字语言转化为图形语言和符号语言进行证明，并能有条理的写出证明过程.（难点）
侦探破案的过程和我们数学中的推理证明是不是有相似之处呢？在数学里，我们也需要依据一定的条件，通过合理的推理来证实一些结论.今天我们就来深入学习几何中的证明.
在几何命题中,我们已学过的基本事实有：
(1)两点确定一条直线;
(2)两点之间线段最短;
(3)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
(5)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
基本事实通常作为论证的起点和依据.从定义、基本事实及已知条件出发, 通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作证明.
例如：证明 “三角形任意两边之和大于第三边” 时 ，我们依据 “两点之间线段最短” 这一基本事实.
通过这样依据基本事实进行推理，证实了 “三角形任意两边之和大于第三边” 这个命题 ，这就是证明过程中依据基本事实进行推理的体现.
A
C
B
如何证明 “对顶角相等”？
先要分清待证命题的条件和结论. 为了使推理过程更精确、简约,便于论 证,还要把用文字语言叙述的条件和结论 “翻译”成图形语言和符号语言.
根据题意画出图形，写出已知求证.
已知:如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证:∠AOC=∠BOD
证明:因为直线AB,CD相交于点O(已知),
所以∠AOC+∠AOD=180°,∠BOD+∠AOD= 180°(平角的定义).
所以∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD(等量代换).
所以∠AOC=∠BOD(等式的基本性质).
我们把经过推理证实的真命题叫作定理.“对顶角相等”是定理.定理和基本事实一样,也可以作为证明的依据.
几何证明过程有以下三个步骤:
①根据题意,画出图形;
②结合图形,写出 “已知”“求证”;
③写出 “证明”
例2 证明:等角的余角相等.
已知:如图∠α=∠β,∠1是∠α的余角,∠2是∠β的余角.
求证:∠1=∠2.
证明:因为∠1是∠α的余角,∠2是∠β的余角(已知),
所以∠1+∠α=90°,∠2+∠β=90°(余角的定义).
所以∠1+∠α=∠2+∠β(等量代换).
因为∠α=∠β(已知),
所以∠1=∠2(等式的基本性质)
证明：等角的补角相等
已知：如图，∠A = ∠ B， ∠ C是∠ A的补角， ∠ D是∠ B的补角.
求证： ∠ C = ∠ D
证明：因为∠C是∠A的补角，∠D是∠B的补角(已知)
所以∠A+ ∠ C=180°， ∠ B+ ∠ D=180°（平角的定义）
所以∠C=180°-∠A；∠ D=180°- ∠ B （等式的基本性质）
又因为∠A = ∠ B(已知)，
所以∠C =∠D(等量代换).
阅读证明过程,并在括号内填写推理依据. 如图,B,C是线段AD上的两点,且AB=CD.求证:AC=BD.
证明:因为AB=CD（ ）
所以AB+BC=CD+BC（ ）
所以AC=BD（ ）.
已知
等式的性质
线段和的定义
练一练
1.下列说法正确的是 (　　)
A.基本事实不需要证明
B.命题都是定理
C.定理不一定都要证明
D.证明只能根据定义、基本事实进行
A
解析　基本事实是通过长期实践总结出来,被大家公认的正确的命题,所以基本事实不需要证明,选项A正确;定理一定是命题,但命题不一定是定理,选项B错误;定理的正确性需要经过推理论证,选项C错误;证明可以依据定义、基本事实、已经证明的定理和已知条件进行,选项D错误.
2.下列平行线的判定方法中属于基本事实的是 (　　)
A.平行于同一条直线的两条直线平行
B.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
C.内错角相等,两直线平行
D.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线
B
解析 A是由基本事实推出的定理;C是判定定理;D是平行线的定义;B是基本事实.故选B.
3.根据下图填空.
已知:如图,∠BDC=∠DCE,∠ADB=∠E.
求证:∠A=∠CBE.
证明:因为∠BDC=∠DCE(已知),
所以　　 ∥　　 (　　 　　　　　　 ),
内错角相等,两直线平行
DB
EC
所以∠E=∠　　 (　　　　　　　　 ),
又因为∠E=∠ADB(已知),
所以∠ADB=∠　　 (　　　　　　　 ),
所以AD∥BE(　　　　　　　　　　 ),
所以∠A=∠CBE(　　　　　　　　　　 ).
两直线平行,内错角相等
DBE
DBE
等量代换
内错角相等,两直线平行
两直线平行,同位角相等
4.如图，∠ABC=∠A'B'C'，BD 和 B'D'分别是∠ABC和∠A'B'C'的平分线.求证:∠ABD=∠A'B'D'.
证明:因为BD 和 B'D'分别是∠ABC和∠A'B'C'的平分线(已知),
所以∠ABD = ∠ABC ， ∠A'B'D' = ∠A'B'C'(角平分线的定义).
因为∠ABC=∠A'B'C' (已知),
所以∠ABD=∠A'B'D'(等量代换)
本节课的主要内容是什么？你有什么收获？
1、证明的概念：从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理证实命题的过程.
2、证明的依据：定义、基本事实等.
3、证明的一般步骤：根据题意画图形、写已知求证、写证明过程.
注意：证明过程中要注意逻辑清晰，每一步都要有依据

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