资源简介

(共20张PPT)
1.3 课时2 三角形内角和定理及推论
1.理解并掌握三角形内角和定理及其推论的证明方法；
2.掌握直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用于相关证明；3.通过对三角形内角和定理的证明，体会添加辅助线的方法和作用，培养逻辑推理能力.
通过剪拼的方法验证了三角形内角和等于180°，但这只是一种直观感受，如何从理论上进行严格证明呢？一起进入今天的学习.
(1)证明:三角形的内角和等于180°
已知:如图,∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角. 求证:∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
思路：通过剪拼的方法能把三个角拼在共同的顶点上,类似地,我们也可以通过作平行线来实现.
知识点1 三角形的内角和定理
证明:如图，作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB.
所以∠B=∠ECD(两直线平行,同位角相等),
∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等).
因为∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定义), 所以∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换)
A
B
C
D
E
为了证明的需要,在原来图形上添加的线叫作辅助线,辅助线通常画成虚线.
三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°
你还能想到其他添加辅助线的方法吗
已知:如图,∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角. 求证:∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
证明 过点A作DE//BC，
则 ∠DAB= ，（ ）
∠EAC= ，（ ）
因为 ∠DAB+∠BAC+∠EAC= ，（所作）
所以 ∠B+∠BAC+∠C= + + （ ）
=180°.
180°
两直线平行内错角相等
∠C
两直线平行内错角相等
∠B
∠DAB
∠BAC
∠EAC
等量代换
D
E
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
D
F
E
3
4
1
2
证明 D是BC边上一点，过点D作DE//AB，DF//AC，分别交AC，AB于 点E，F.
因为 DE//AB，（所作）
所以∠A=∠4
∠B=∠3（两直线平行，同位角相等）
又因为DF//AC
所以∠C=∠1（两直线平行，同位角相等）
∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
所以∠A=∠2（等量代换）
又因为∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义）
所以 ∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
知识点2 三角形内角和定理的推论
三角形的一个外角∠ACD和与它不相邻的两个内角∠A，∠B之间有怎样的数量关系
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．例如∠ACD
证明： 在△ABC中
因为∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
∠ACB+∠ACD=180°（平角定义）
所以∠ACD=∠A+∠B（等量代换）
所以∠ACD>∠A，∠ACD>∠B
由基本事实或定理直接推出的真命题叫作推论.推论可以作为定理使用.
三角形内角和定理的推论
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
1.已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角
求证： ∠1+∠2+∠3=360°
A
B
C
1
2
3
证明 因为∠1=∠ABC+∠ACB
∠2=∠BAC+∠ACB
∠3=∠BAC+∠ABC,
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
所以 ∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).（等式性质）
因为∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形内角和定理）
所以∠1+∠2+∠3=360°.
练一练
在Rt△ABC中,∠C=90°，两个锐角∠A与∠B有什么数量关系
知识点3 直角三角形的性质定理和判定定理
在Rt△ABC中, 因为∠A+∠B+∠C=180°,
所以∠A+∠B=180°-∠C.
因为∠C=90°,
所以∠A+∠B=90°.
反过来，在△ABC中, ∠A+∠B=90° ， △ABC是直角三角形吗
在△ABC中, 因为∠A+∠B=90° （已知）
∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和定理）,
所以∠C =180°-（ ∠A+∠B ）=90°（等式的性质）.
所以△ABC是直角三角形.
直角三角形的性质定理 直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
例 如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC边上的一点.过D作DE⊥AB，DF⊥BC,垂足分别为点E，D.求证:∠FDE=∠C.
证明:因为DE⊥AB,DF⊥BC(已知),
所以∠DEB=90°,∠FDC=90°
(垂直的定义).
因为∠EDC是△EBD的外角(已知),
所以∠EDC=∠B+∠DEB(三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和).
所以∠FDE+∠FDC=∠B+∠DEB.
所以∠FDE+90°=∠B+90°(等量代换).
所以∠FDE=∠B(等式的基本性质).
因为∠B=∠C(已知),
所以∠FDE=∠C(等量代换).
2.证明:四边形四个内角的和等于360°.
已知：如图，四边形ABCD
求证：∠A+∠B+∠C+∠B=360°
在△ABC和△ACD中，
因为∠CAB+∠B+∠ACB=180°， ∠CAD+∠D+∠DCA=180°. （三角形的内角和定理）
所以∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠CAB+∠B+ ∠ACB+∠CAD+∠D+∠DCA=360°,（等量代换）
即四边形的内角和等于360°
证明：连接AC
练一练
1.一副三角板拼成如图所示的图形,则∠BAC的度数为 (　　)
A.75°　 B.60°　 C.105°　 D.120°
A
知识点1　三角形内角和定理
2.如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 (　　)
A.65°　 B.75°　 C.85°　 D.95°
B
解析　因为AD∥BE,所以∠ADC=∠EBC=80°.在△ADC中,
因为∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°,所以∠ACB=180°-∠CAD-∠ADC=75°,故选B.
知识点2　三角形内角和定理的推论
3.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=48°,CD平分∠ACB交AB于点D,则∠BDC的大小为 (　　)

A.72°　 B.90°　 C.96°　 D.108°
C
4.如图,∠A,∠1,∠2的大小关系是　 　　　 　 .
∠A<∠2<∠1
解析　如图,因为∠2是△ACD的外角,所以∠2>∠A.因为∠1是△BDE的外角,所以∠1>∠2,所以∠A<∠2<∠1.
知识点3　直角三角形的性质与判定
5.如图,在△ABC中,AB⊥AC,∠C=55°,点E为BA延长线上一点,点F为BC边上一点,若∠E=30°,则∠CFE的度数为　　 .
65°
解析　在Rt△ABC中,因为∠BAC=90°,∠C=55°,所以∠B=90°-∠C=35°.因为∠CFE是△BEF的外角,所以∠CFE=∠B+∠E=35°+30°=65°.
请问你本节课有什么收获？
1.知识方面：三角形内角和定理及其证明方法，三角形内角和定理的推论，直角三角形的性质定理和判定定理.
2.方法方面：添加辅助线的方法和作用，几何证明的逻辑推理过程.
3.数学思想方面：转化思想（将三角形内角和问题转化为平角或平行线相关问题）

展开更多......

收起↑