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(共26张PPT)
2.1　全等三角形
过教材　要点概览
1.全等形
(1)概念:能够　 　的两个平面图形.
(2)全等形的形状　 　,大小　 　.
2.全等三角形
(1)概念:能够　 　的两个三角形.
第2章 全等三角形
完全重合
相同
相等
完全重合
(2)当两个全等三角形完全重合时,互相重合的顶点叫作　 　;互相重合的边叫作　 　;互相重合的角叫作　 　.
(3)性质:全等三角形的对应边　 　,对应角　 　.
对应顶点
对应边
对应角
相等
相等
精讲练　新知探究
探究点一　全等形
[典例1]下列图形中,是全等形的是　 　.(填序号)
②和③,④和⑧
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
探究点二　全等三角形的有关概念
[典例2]如图,将△ABC沿某条直线翻折后得到△ADE,△ABC与△ADE全等吗 如果全等,用符号表示,并写出这两个三角形的对应边和对应角.
解:全等.△ABC≌△ADE.
对应边:AB和AD,AC和AE,BC和DE;
对应角:∠BAC和∠DAE,∠B和∠D,∠C和∠E.
确定全等三角形对应元素的方法
(1)字母顺序法:根据书写规范,按照对应顶点确定对应边、对应角.
如:△ABC≌△DEF,则AB与DE,AC与DF,BC与EF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.
点睛
(2)图形位置法:①公共边一定是对应边;
②公共角一定是对应角;
点睛
③对顶角一定是对应角.
(3)图形大小法:两个全等三角形的最大的边(角)是对应边(角),最小的边(角)是对应边(角).
探究点三　全等三角形的性质
[典例3]如图,已知△ABC≌△FED,AF=8,BE=2.
(1)求证:AC∥DF;
(1)证明:因为△ABC≌△FED,
所以∠A=∠F,所以AC∥DF.
(2)求AB的长.
(2)解:因为△ABC≌△FED,
所以AB=EF,所以AB-EB=EF-EB,
所以AE=BF.
因为AF=8,BE=2,
所以AE+BF=8-2=6,所以AE=3,
所以AB=AE+BE=3+2=5.
[变式]如图,已知△ABC≌△DEF,∠A=78°,∠B=35°,BC=18.求∠F的度数和边EF的长.
解:在△ABC中,因为∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理),
所以∠ACB=180°-∠A-∠B=67°.
因为△ABC≌△DEF,BC=18,
所以∠F=∠ACB=67°,EF=BC=18.
2.1　全等三角形
基础巩固练
知识点1　全等形
第2章 全等三角形
1.下列各组图形中,不是全等形的是( )
C
A B C D
2.开放性题　如图,请你在图中画两条直线,把这个“十”字形图案分成四个全等的图形(要求至少画出两种方法).
解:如图.(答案不唯一)
知识点2　全等三角形的概念
3.如图,图中两个三角形能够完全重合,下列写法正确的是( )
A.△ABE≌△AFB
B.△ABE≌△ABF
C.△ABE≌△FBA
D.△ABE≌△FAB
B
4.如图,△ABE≌△ACD,∠AEB=∠ADC,∠B=∠C,写出两个全等三角形中的对应边和其他的对应角.
解:对应边:AB和AC,AE和AD,BE和CD.
其他的对应角:∠BAE和∠CAD.
知识点3　全等三角形的性质
5.如图,△ABC≌△DEF,点E,C,F,B在同一条直线上.下列结论正确的是
( )
A.∠B=∠D B.∠ACB=∠DEF
C.AC=EF D.BF=CE
D
6.如图,△ABC≌△DCB,∠DBC=36°,则∠BOC=　 　.
108°
7.如图,△ABC≌△A′B′C′,其中AB=3,A′C′=7,B′C′=5,则△ABC的周长为　 　.
15
8.如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,AC与BD交于点F,AB=6,BC=3,∠C=
55°,∠D=25°.
(1)求AE的长度;
(2)求∠AED的度数.
解:(1)因为△ABC≌△DEB,
所以BE=BC=3,
所以AE=AB-BE=6-3=3.
(2)因为△ABC≌△DEB,
所以∠DBE=∠C=55°,
所以∠AED=∠DBE+∠D=55°+25°=80°.
能力提升练
9.易错题　一个三角形的三边长分别为2,5,x,另一个三角形的三边长分别为y,2,6.若这两个三角形全等,则x+y等于( )
A.11 B.7 C.8 D.13
10.如图,△ABC≌△AEF,点F在BC上,以下结论不正确的是( )
A.∠B=∠E
B.AC=AF
C.∠FAB=∠EFA
D.∠EAB=∠FAC
A
C
题组　一线三等角模型的认识
11.如图,E为线段AB上一点,AC⊥AB,DB⊥AB,△ACE≌△BED.
(1)猜想线段CE与DE的位置关系,并证明你的结论;
(1)解:CE⊥DE.证明如下:
因为AC⊥AB,DB⊥AB,所以∠A=∠B=90°,所以∠C+∠CEA=90°.
因为△ACE≌△BED,所以∠C=∠DEB,
所以∠CEA+∠DEB=90°,
所以∠CED=180°-90°=90°,
所以CE⊥DE.
(2)求证:AB=AC+BD.
(2)证明:因为△ACE≌△BED,
所以AC=BE,BD=AE,
所以AB=BE+AE=AC+BD.
12.如图,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)说明BD,DE,CE之间的数量关系.
解:(1)因为△BAD≌△ACE,
所以BD=AE,AD=CE,
所以BD=AE=AD+DE=CE+DE,
即BD=DE+CE.
(2)若∠E=90°,判断BD与CE的位置关系并说明理由.
解:(2)BD∥CE.理由如下:
因为△BAD≌△ACE,
所以∠E=∠ADB=90°,
所以∠BDE=180°-∠ADB=180°-90°=90°=∠E,所以BD∥CE.
素养培优练
13.分类讨论　如图,在△ABC中,BC=8 cm,AG∥BC,AG=8 cm,点F从点B出发,沿线段BC以4 cm/s的速度连续往返运动,点E从点A出发沿线段AG以
2 cm/s的速度运动至点G.E,F两点同时出发,当点E到达点G时,E,F两点同时停止运动,EF与AC交于点D,设点E的运动时间为t s.
(1)当t=1时,BF=　　　　cm;当t=3.5时,BF=　　　　cm.
(2)在点F从点C返回点B的过程中,当BF=AE时,求t的值.
解:(1)4　2
(3)当△ADE≌△CDF时,t为何值
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2.3　尺规作图
第1课时　作一个角等于已知角及用尺规作三角形
过教材　要点概览
1.基本作图
最基本、最常用的尺规作图,称为基本作图.“作一条线段　 .
　”和“作一个角　 　”都是基本作图.
2.尺规作三角形的类型及依据
(1)已知三边作三角形,依据是　 　;
(2)已知两边及夹角作三角形,依据是　 ;
(3)已知两角及夹边作三角形,依据是　 　.
等于已知
线段
等于已知角
SSS
SAS
ASA
精讲练　新知探究
探究点一　作一个角等于已知角
[典例1]如图,已知∠α,求作∠AOB,使∠AOB=3∠α.
解:如图,作射线OA,在射线OA的同侧顺次作∠AOC=∠COD=∠DOB=∠α,则∠AOB=3∠α.
[变式1]如图,已知∠O,作∠ABC,使∠ABC与∠O互补(尺规作图,保留作图痕迹).
解:(1)作直线AD;
(2)在AD上取一点B,以BD为一边作∠CBD=∠O.
如图,∠ABC即为所求作的角.
探究点二　利用基本作图作三角形
[典例2]如图,已知∠α,∠β,线段m.
求作△ABC,使BC=m,∠B=∠α,∠C=∠β.
解:如图.
(1)作线段BC=m;
(2)分别以B,C为顶点,在BC同侧作∠MBC=∠α,∠NCB=∠β,BM与CN交于点A,
则△ABC即为所求作的三角形.
已知两角及其中一角的对边作三角形时,可以根据三角形的内角和等于180°,转化为利用已知两角及其夹边作三角形,化未知条件为已知条件,使问题得以解答.
点睛
[变式2]如图,已知线段a和∠α,求作一个三角形,使它的两边分别为a,
2a,其夹角为∠α.(要求:用尺规作图,保留作图痕迹)
解:如图.(1)作∠A=∠α;
(2)在∠A的两边上分别截取AB=a,AC=2a;
(3)连接BC.△ABC即为所求作的三角形.
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第3课时　用“SSS”判定三角形全等
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1.三角形全等的判定方法4(基本事实)
　 　 分别相等的两个三角形全等.简写成“　 　”或
“　 　”.
2.三角形的稳定性
三角形三条边的长度确定后,它的形状和大小就确定了,三角形的这
种特性叫作三角形的　 　.
三边
边边边
SSS
稳定性
精讲练　新知探究
探究点一　用“SSS”判定三角形全等
[典例1]如图,AB=CD,BF=DE,E,F是AC上的两点,且AE=CF.判断BF与DE的位置关系,并说明理由.
寻找线段相等的方法
(1)利用线段中点的定义说明线段相等.
点睛
(2)图形中的隐含条件,如公共边(有时需要添加辅助线构造公共边).
(3)多条线段共线时,利用线段的和、差、倍、分来寻找线段相等.
(4)利用全等三角形的性质判定线段相等.
[变式1]如图,已知AD=CD,AB=CB,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM
=PN.
探究点二　三角形的稳定性
[典例2]如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做利用了( )
A.两点之间线段最短 B.三角形的稳定性
C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
B
[变式2]下列设计利用了三角形的稳定性的有( )
①自行车的三角形车架;
②校门口的自动伸缩栅栏门;
③照相机的三脚架;
④长方形门框的斜拉条.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
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第2课时　用“ASA”“AAS”判定三角形全等
过教材　要点概览
1.三角形全等的判定方法2(基本事实)
两角及其　 　分别相等的两个三角形全等.简写成“　 　”或“　 　”.
2.三角形全等的判定方法3(定理)
　 　分别相等且其中一组等角的　 　相等的两个三角形全
等.简写成“　 　”或“　 　”.
夹边
角边角
ASA
两角
对边
角角边
AAS
精讲练　新知探究
探究点一　用“ASA”判定三角形全等
[典例1]如图,点B是线段AC的中点,AD∥BE,BD∥CE.试说明:△ABD≌
△BCE.
[变式1]如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
(1)试说明:△ABE≌△ACD;
(2)若∠B=30°,∠A=25°,求∠BDC的度数.
解:(2)因为∠B=30°,∠A=25°,
所以∠AEB=125°.
因为△ABE≌△ACD,
所以∠ADC=∠AEB=125°,
所以∠BDC=55°.
判定三角形全等寻找等角的方法
(1)公共角相等、对顶角相等、直角相等.
点睛
(2)等角加(减)等角,其和(差)相等.
(3)同角或等角的余(补)角相等.
(4)根据角平分线、平行线得角相等.
探究点二　用“AAS”判定三角形全等
[典例2]如图,已知点C是线段AB上一点,∠DCE=∠A=∠B,CD=CE.猜想AB,
AD,BE之间的数量关系,并说明理由.
[变式2]如图,∠B=∠ACD,∠ACB=∠D=90°,AC是△ABC和△ACD的公共边,所以就可以判定△ABC≌△ACD.你认为正确吗 为什么
解:不正确.理由如下:
AC不是△ABC和△ACD的对应边,
所以不能判定△ABC≌△ACD.
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第2课时　过直线外一点作已知直线的平行线或垂线
过教材　要点概览
尺规过直线外一点作已知直线的平行线的依据
(1)　 　角相等,两直线平行;
(2)　 　角相等,两直线平行.
同位
内错
精讲练　新知探究
探究点一　过直线外一点作已知直线的平行线
[典例1]如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC上一点.
(1)过点D作DM∥BC,交AC于点M;
(2)过点E作EN∥BC,交AB于点N.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
解:(1)如图,DM即为所求.
(2)如图,EN即为所求.
[变式1]如图,已知BM∥AN,点C为AN上一点.
(1)过点C作CD∥AB,交BM于点D.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)求证:∠A=∠BDC.
(1)解:如图,CD即为所求.
(2)证明:因为BM∥AN,CD∥AB,
所以∠BDC=∠DCN,∠A=∠DCN,
所以∠A=∠BDC.
探究点二　过直线外一点作已知直线的垂线
[典例2]如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,试作出边AB上的高(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
解:作法提示:
(1)以点C为圆心,大于点C到AB的距离的长为半径画弧,交AB于点M,N;
(3)连接PC交AB于点D.
如图,线段CD即为AB边上的高.
[变式2]经过直线外一点作这条直线的垂线,其作法的第一步是( )
A.过已知点作已知直线的垂线
B.在已知直线上取一点,过这一点与已知点作一条直线
C.以已知点为圆心,任意长为半径画弧
D.以已知点为圆心,画能与已知直线相交于两点的弧
D
[变式3]如图,已知线段c,直线l及l外一点A.作Rt△ABC,使直角边为AC
(AC⊥l,垂足为C),斜边AB=c.
解:作法:(1)作AC⊥l,垂足为C;
(2)以A为圆心,线段c的长为半径作弧,交直线l于点B;
(3)连接AB.
如图,△ABC就是所求作的三角形.
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第4课时　直角三角形全等的判定
过教材　要点概览
直角三角形全等的判定定理
　 　边和一条　 　边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“　 　”.
斜
直角
HL
精讲练　新知探究
探究点一　用“HL”判定直角三角形全等
[典例1]如图,已知∠B=∠E=90°,AC=DF,FB=EC,求证:∠A=∠D.
应用“HL”判定两个三角形全等的注意事项
(1)注意使用范围:“HL”只适用于直角三角形,应用时需说明直角三角形,任意三角形若满足两边对应相等不一定全等.
点睛
(2)注意标注:两直角边对应相等的两个三角形全等,应用的是“SAS”,不是“HL”.
[变式1]如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC的垂线交AC于点E.求证:AE=DE.
探究点二　直角三角形全等判定方法的综合
[典例2]如图,DE⊥AC,BF⊥AC,AD=BC,DE=BF.
求证:AB∥DC.
[变式2]如图,已知AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于点F,DF=DC.
求证:AD=BD.
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2.2　三角形全等的判定
第1课时　用“SAS”判定三角形全等
过教材　要点概览
三角形全等的判定方法1(基本事实)
两边及其　 　分别相等的两个三角形全等.简写成“　 　”或“　 　”.
夹角
边角边
SAS
精讲练　新知探究
探究点一　用“SAS”判定三角形全等
[典例1](2024西藏)如图,点C是线段AB的中点,AD=BE,∠A=∠B.求证:
∠D=∠E.
[变式1]已知:如图,点E,F在CD上,且CF=DE,AE=BF,AE∥BF.求证:△AEC
≌△BFD.
探究点二　全等三角形的应用
[典例2]如图①是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图②,AB=
AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小.
① ②
[变式2]某学校美术社团为学生外出写生配备如图①的折叠凳,图②是折叠凳撑开后的侧面示意图,其中凳腿AB和CD的长度相等,O是它们的中点,为了使折叠凳坐得舒适,厂家将撑开后折叠凳的宽度AD设计为36 cm,由以上信息能得出CB的长度吗 如果能,请求出CB的长度;如果不能,请说明理由.
① ②
谢谢观赏！
A
B
D
C

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