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第2课时　分式方程的增根
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1.增根
在分式方程变形的过程中得到的适合　 　方程,但不适合　 　 .
的解叫作分式方程的增根.
2.解分式方程的一般步骤
(1)去分母:在方程的两边同乘各分式的　 　,把分式方程
化为整式方程;(2)解得到的整式方程;(3)检验;(4)写出分式方
程的根或说明方程无解.
整式
原方程
最简公分母
精讲练　新知探究
探究点一　解稍复杂的分式方程
[典例1]解下列分式方程:
解:(1)方程两边都乘(x-2),得
1=x-1-3(x-2).
整理,得2x=4,解得x=2.
检验:当x=2时,x-2=0.故x=2是增根,
故原分式方程无解.
解:(2)方程两边都乘(x+3)(x-3),得
3+x(x+3)=x2-9,
整理,得3x=-12,解得x=-4.
检验:当x=-4时,(x+3)(x-3)≠0,
所以x=-4是原分式方程的根.
D
解分式方程时需要注意:去分母时,分式方程两边同时乘最简公分母,这样可以得到一个简单的整式方程,原分式方程中不含分母的项不要漏乘最简公分母;解分式方程时一定要检验,分式方程的增根必须舍去.
点睛
探究点二　分式方程的增根
(2)若分式方程有增根,求k的值.
解:(2)分式方程去分母,得1+3x-6=x-k,
由分式方程有增根,得x-2=0,即x=2,
把x=2代入整式方程,得2-k=1,
解得k=1.
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3.3　分式的加法与减法
第1课时　同分母分式的加减法
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同分母分式加减法法则
(1)文字叙述:同分母的分式相加减,　 　不变,　 　相加减.
分母
分子
精讲练　新知探究
探究点一　同分母分式的加减法
[典例1]计算:
a-b
探究点二　分母互为相反数的分式的加减法
[典例2]计算:
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第2课时　分式的基本性质
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1.分式的基本性质
(1)文字叙述:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于　 　的整式,分式的值　 　.
零
不变
2.分式的符号法则
在分式及其分子、分母的三个符号中,如果同时改变其中的
　 　个,分式的值　 　.
两
不变
精讲练　新知探究
探究点一　分式的基本性质
[典例1]在括号里填上适当的整式:
D
分式变形的“三点注意”
(1)注意分式变形前后的值要相等.
点睛
(2)注意分式的分子和分母要同乘或同除以同一个整式,不能只对分子或只对分母进行变形.
(3)所乘(或除以)的整式不能为零.
探究点二　分式的符号法则
[典例2]不改变下列分式的值,使分式的分子和分母最高次项的系数为
正数.
分式符号变化的“三条规律”
(1)同时改变分子和分母的符号,分式的值不变.
点睛
(2)同时改变分式和分子的符号,分式的值不变.
(3)同时改变分式和分母的符号,分式的值不变.
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第4课时　分式的混合运算
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1.分式的混合运算顺序
先算　 　,再算　 　,最后算　 　.如果有括号,就先算括号里的.
2.分式的化简求值
应根据分式的运算法则先化简,再求值.
乘方
乘除
加减
精讲练　新知探究
探究点一　分式的混合运算
[典例1]计算:
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第2课时　分式的乘法与除法
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1.分式的乘法法则
两个分式相乘,把分子的积作为积的　 　,分母的积作为积的　 　.
2.分式的除法法则
两个分式相除,把除式的　 　与　 　颠倒位置后,再与被除式
　 　.
分子
分母
分子
分母
相乘
分子
分母
精讲练　新知探究
探究点一　分式的乘除法
[典例1]计算:
分式的乘除运算应注意的“四类问题”
(1)理解法则,若遇除法运算,则先转化成乘法运算.
点睛
(2)分子、分母能分解因式的先分解因式,然后再约分.
(3)运算的结果要化为最简分式或整式.
(4)自选数的代入求值问题不要忽视分母不能为零.
探究点二　分式的乘方
[典例2]计算:
B
当分式的符号为负时,需要特别注意运算结果的符号.
易错
分式乘方的“三点注意”
(1)要把分式加上括号,分式中分子、分母的系数也要乘方.
点睛
(2)分式乘方时,分式本身的符号也要同时乘方.
(3)注意分子、分母乘方后的符号.
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3.1　分式
第1课时　分式的概念
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1.分式
第3章 分式
整式
字母
分式
分子
分母
B≠0
B=0
A=0且B≠0
精讲练　新知探究
探究点一　分式的概念
C
②B中必须含有字母.
点睛
(2)“两误区”:
①含分母的不一定是分式,如分母是数字或π;
点睛
探究点二　分式有意义、值为零的条件
B
D
分式值为零的条件及求法
(1)条件:分子为0,分母不为0.
点睛
(2)求法:
①利用分子等于0,构建方程.
②解方程,求出所含字母的值.
③代入验证:将求出的值代入分母,验证是否使分母为0,若分母不为0,则求出的值使分式值为0,否则,应舍去.
D
-1
解:因为x=2时,分式的值为零,
所以2-b=0,所以b=2.
因为x=-2时,分式没有意义,
所以2×(-2)+a=0,所以a=4,
所以a+b=6.
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3.4　分式方程
第1课时　分式方程的概念与解法
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1.分式方程的概念
分母中含有　 　的方程叫作分式方程.
2.分式方程的解法
通过　 　化分式方程为　 　方程,
借助　 　方程可求得分式方程的解.
未知数
去分母
整式
整式
精讲练　新知探究
探究点一　分式方程的相关概念
B
分式方程与整式方程的区别:分式方程的分母中含有未知数,而整式方程的分母中不含有未知数或方程中无分母.
点睛
C
C
6
探究点二　解简单的分式方程
[典例2]解下列分式方程:
解:(1)方程两边都乘x(x+3),得x+3=2x,
解得x=3.
检验:把x=3代入原方程,左边=右边.
所以x=3是原分式方程的解.
解:(2)方程两边都乘2x-1,得2-x=2x-1.
解得x=1.
检验:把x=1代入原方程,左边=右边,
所以x=1是原分式方程的解.
解:(1)方程两边同乘2(x-1),得2x=x-1,
解得x=-1.
检验:把x=-1代入原方程,左边=右边,
所以x=-1是原分式方程的解.
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3.5　分式与比
第1课时　比
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1.比
两个整式A与B(B≠0)　 　,叫作A与B的比,记作　 　或　 　.其中,A叫作比的　 　,B叫作比的　 　.
2.比的化简
A∶B可以写成　 　的形式,可通过化简分式　 　来化简A∶B.
相除
A∶B
前项
后项
精讲练　新知探究
探究点一　比的化简
[典例1]将下面的比写成分式的形式并化简:
(1)7x∶35x2;
(2)2ab2∶6a2b;
(3)(a-b)∶(a2-b2).
[变式1]下列比的化简结果正确吗 请说明理由.
(1)a2y3∶2a2xy2=y∶2x;
(2)(a2+2a)∶(a2-4)=a∶(a+2).
探究点二　比的实际应用
[典例2]如图,已知长方形广场的长为a2-2a+1(a≠1),宽为3ab2,准备在广场上建造一个长为a2-a,宽为ab的长方形绿地,求绿地与广场的面积比.
C
[变式3]小莹和她妈妈的年龄之和为m岁,已知小莹与她妈妈的年龄之比为x∶y,则小莹的年龄为多少岁 小莹妈妈的年龄为多少岁
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第3课时　分式方程的应用
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列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审:审清题意,找　 　;(2)设:设未知数;(3)列:根据　 .
　,列分式方程;(4)解:解分式方程;(5)验:检验所求的解是否为分式方程的解,并检验分式方程的解是否符合　 　;(6)答:写出答案.
等量关系
等量
关系
实际意义
精讲练　新知探究
探究点一　行程问题
A
探究点二　工作量问题
[典例2]某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时,由于志愿者的加入,实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵
[变式2]某工程需在规定日期内完成.若由甲队去做,恰好如期完成;若由乙队去做,要超过规定日期3天完成.现由甲、乙两队合作2天,剩下的工程由乙单独做,恰好在规定日期完成,则规定的日期是　 　天.
6
探究点三　销售问题
[典例3](2024绵阳)为进一步美化环境,提升生活品质,某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊.预算资金为2 700元,其中1 200元购买甲种花卉,其余资金购买乙种花卉.已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍,且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株,求甲、乙两种花卉每株的价格.
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第2课时　分式的通分
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1.分式的通分
不改变每个分式的值,把几个　 　的分式化成　 　分式的变形.
2.最简公分母
各分母系数的　 　与所有字母因式的　 　的积.
异分母
同分母
最小公倍数
最高次幂
精讲练　新知探究
探究点一　最简公分母
[典例1]指出下列各组分式的最简公分母:
解:(1)最简公分母为18x3y2.
(2)最简公分母为(x-5)(x+5).
C
解:(1)最简公分母是12xy2.
(2)a2-b2=(a+b)(a-b),2a-2b=2(a-b),所以最简公分母为2(a+
b)(a-b).
探究点二　分式的通分
[典例2]通分:
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第2课时　比例
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1.比例与比例中项
(1)比例:表示两个比　 　的式子叫作比例式,简称　 　.如果a与b的比　 　c与d的比,就说a,b,c,d四个数成比例.可以写成a∶b=
c∶d,或　 　.在比例中,a,b,c,d叫作组成比例的　 　,其中a
与d叫作比例的　 　,b与c叫作比例的　 　.
相等
比例
等于
项
外项
内项
比例
中项
等于
精讲练　新知探究
探究点　比例的概念与性质
B
[典例2]已知某天某一时刻某地物体高度与其影长的比为5∶6,在当地同一时刻测得一栋楼的影长为30米,则这栋楼的高度为多少米
解:设这栋楼的高度为x米,
根据题意,得x∶30=5∶6,
利用比例的基本性质,得6x=150,
解方程,得x=25.
所以这栋楼的高度为25米.
D
点睛
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3.2　分式的乘法与除法
第1课时　分式的约分
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1.约分
利用分式的　 　,把一个分式的分子和分母中除1以外的　 .
　约去,叫作分式的约分.
2.最简分式
一个分式的分子与分母,如果除1以外没有其他的　 　,我们称
这个分式为最简分式.
3.分式约分的结果应当是　 　或　 　.
基本性质
公
因式
公因式
最简分式
整式
精讲练　新知探究
探究点一　分式的约分
[典例1]将下列分式约分:
探究点二　最简分式
A
D
探究点三　整式的除法与分式的约分
[典例3]计算:
(1)3a2b3c÷(-6ab3c2);
(2)(3xy-5y2)÷(9x2-25y2);
(3)(x2-4y2)÷(x3-4x2y+4xy2).
[变式3]计算:
(1)9x3y2÷(-3xy3)=　 　;
(2)(a2+ab)÷(a2+2ab+b2)=　 　.
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第3课时　异分母分式的加减法
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异分母分式加减法法则
(1)文字叙述:异分母的分式相加减,先把它们　 　,变为　 　 .
分式,再加减.
通分
同分母
精讲练　新知探究
探究点　异分母分式的加减法
C
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第3课时　成比例线段与连比
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1.两条线段的比
在同一　 　下,两条线段　 　的比,叫作这两条线段的比.
2.比例线段
如果四条线段a,b,c,d的长　 　,我们就把这四条线段a,b,c,d称为成比例线段,简称比例线段.
单位长度
长度
成比例
3.连比
当前一个比的后项与后一个比的前项　 　时,可以将这两个比连起来,得到a∶b∶c的形式,这种形式叫作连比.例如,△ABC中,∠A∶∠B=
1∶2,∠B∶∠C=2∶3,则三个角∠A,∠B,∠C的比为∠A∶∠B∶∠C=1∶
2∶3.
相同
精讲练　新知探究
探究点一　两条线段的比及应用
[典例1]小明有一张地图,地图的比例尺是1∶20 000,如果A,B两地在地图上的距离是4厘米,那么A,B两地的实际距离是( )
A.8千米 B.0.8千米
C.0.08千米 D.0.008千米
B
[变式1]已知A,B两地的实际距离是300千米,量得两地在地图上的距离是5厘米,则该地图所用的比例尺是( )
A.1∶60 B.60∶1
C.6 000 000∶1 D.1∶6 000 000
D
[变式2]已知a,b,c,d是成比例线段,若a=1.1,b=2.2,d=4.4,则c=　 　.
2.2
点睛
判断线段是否成比例的“四个步骤”
(1)排序:先把线段按照题目要求进行排列.
(2)求比:分别求出排序后第一、二条线段和第三、四条线段的比.
(3)比较:比较上述所求的比是否相等.
(4)判断:判断线段是否成比例.
(2)由题意,得5k+4k+6k=90,解得k=6,
所以a=30,b=24,c=36.
谢谢观赏！

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