资源简介

(共7张PPT)
第2课时　轴对称的基本性质
过教材　要点概览
1.轴对称的基本性质
成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴　 　.
2.轴对称作图
画一个图形关于某条直线对称的图形,可以采用以下步骤:
(1)先找出已知图形中能够确定其形状的关键点的　 　;
(2)分别作出每个关键点关于对称轴的　 　;
(3)按原图形的顺序(或根据图形要求)依次连接相应的　 　,
即可得到已知图形的对称图形.
垂直平分
位置
对称点
对称点
精讲练　新知探究
探究点一　轴对称的基本性质
[典例1]如图,△ABC与△DEF关于直线MN对称,其中∠C=90°,AC=4 cm,DE
=5 cm,BC=3 cm.
(1)点A与点D有何关系 连接AD,则线段AD与直线MN有何关系
(2)求∠F的度数.
解:(1)点A与点D关于直线MN成轴对称,线段AD被直线MN垂直平分.
(2)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称,
所以△ABC≌△DEF,所以∠F=∠C=90°.
(3)求△DEF的周长和面积.
成轴对称的两个图形,其对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对称轴上的任意一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段也相等.
点睛
探究点二　轴对称作图
[典例2]如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,
C在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)如图,△A′B′C′即为所求.
[变式]如图,画出△ABC关于直线MN成轴对称的图形.
解:如图,△A′B′C′即为所求.
谢谢观赏！(共7张PPT)
第3课时　等边三角形的判定
过教材　要点概览
1.等边三角形的判定定理
有一个角是　 　的　 　三角形是等边三角形.
2.含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的　 　.
60°
等腰
一半
精讲练　新知探究
探究点一　等边三角形的判定
[典例1]如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.
求证:△ADC是等边三角形.
证明:因为DC=DB,
所以∠B=∠DCB=30°,
所以∠ADC=∠DCB+∠B=60°.
又因为AD=DC,
所以△ADC是等边三角形.
[变式1]如图,在等边三角形ABC中,D,E分别为AC,AB上两点,有下列结论:
①若AD=AE,则△ADE是等边三角形;
②若DE∥CB,则△ADE是等边三角形.
其中正确的有( )
A.只有①　 B.只有②　
C.①②　 D.都不对
C
判定等边三角形的“三种方法”
(1)若已知三边关系,则考虑用“三条边都相等的三角形是等边三角形”来判定;
点睛
(2)若已知三角关系,则利用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定;
(3)若已知该三角形是等腰三角形,则利用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.
[变式2]如图,一棵树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处测得∠ACB=
15°,他沿CB方向走了20米,到达D处,测得∠ADB=30°,你能帮助小明计算出树的高度吗
谢谢观赏！(共6张PPT)
第2课时　等腰三角形的判定
过教材　要点概览
1.等腰三角形的判定定理
有两个角　 　的三角形是等腰三角形(简写成“　 　”).
2.等边三角形的判定定理
三个角都　 　的三角形是等边三角形.
相等
等角对等边
相等
精讲练　新知探究
探究点一　等腰三角形的判定
[典例1]如图,已知∠ACE是△ABC的一个外角,CD平分∠ACE,且CD∥AB,试说明:△ABC为等腰三角形.
解:因为CD平分∠ACE,
所以∠ACD=∠ECD.
因为CD∥AB,所以∠A=∠ACD,∠B=∠ECD,
所以∠A=∠B,
所以△ABC为等腰三角形.
等腰三角形的三种判定方法
(1)当三角形有两条边相等时,应用“有两条边相等的三角形是等腰三角形”来判定.
点睛
(2)当三角形中有两个角相等时,应用“有两个角相等的三角形是等腰三角形”来判定.
(3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时,应用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”,则构成的三角形是等腰三角形.
探究点二　根据三个角相等判定等边三角形
[典例2]已知:如图,△ABC为等边三角形,且ED⊥BC,垂足为D,FE⊥AC,垂足为E,DF⊥AB,垂足为F.求证:△DEF是等边三角形.
证明:因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=∠C=60°.
又因为FE⊥AC,DF⊥AB,ED⊥BC,
所以∠AFE=30°,∠BFD=90°,所以∠EFD=60°.
同理∠FED=∠EDF=60°,
所以∠EFD=∠FED=∠EDF,
所以△DEF是等边三角形.
[变式]已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.
求证:△ABC是等边三角形.
证明:因为AB=AC.所以∠B=∠C.
因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以∠DEA=∠DFC=90°.
因为D为AC的中点.所以DA=DC.
又DE=DF.所以Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
所以∠A=∠C.所以∠A=∠B=∠C.
所以△ABC是等边三角形.
谢谢观赏！(共8张PPT)
4.2　线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质
过教材　要点概览
1.线段的垂直平分线
(1)定义:垂直并且　 　一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
(2)性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离　 　.
2.应用——最短路径问题
平分
相等
精讲练　新知探究
探究点一　线段垂直平分线的性质
[典例1]如图,△ABC中,AB=AC,已知△ABC的周长为27 cm,BC=7 cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,求△BEC的周长.
[变式1]如图,四边形ACBD中,点O是对角线CD的中点,AB⊥CD,若AC=2 cm,
BC=3 cm,则四边形ACBD的周长是( )
A.5 cm　　B.8 cm　　C.9 cm　　D.10 cm
D
线段的垂直平分线的“三点应用”
如图,直线CD为线段AB的垂直平分线.
(1)推出线段相等,如AO=BO,CA=CB,DA=DB.
点睛
(2)推出垂直关系,如CD⊥AB.
(3)推出(或作)线段中点(O为AB的中点).
探究点二　最短路径问题
[典例2]如图,要在街道l旁修建一个牛奶站,向居民区A,B提供牛奶,牛奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离之和最短
解:如图,作点A关于街道l的对称点A′,连接A′B交街道l于点M,则点M即为所求.
[变式2]如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC边上的定点,请你在BC边上确定一点P,使△PDE的周长最小.
解:如图,作点D关于BC的对称点D′,连接D′E,交BC于点P,则点P即为所求作的点.
几何中的三个“最短”距离
(1)两点之间,线段最短.
点睛
(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
(3)直线上到直线同侧的两点距离之和最小的点,可通过作对称点再连接而得到.
谢谢观赏！(共7张PPT)
第2课时　线段垂直平分线的判定及作图
过教材　要点概览
1.线段垂直平分线的判定
到线段两端距离　 　的点在这条线段的垂直平分线上.
2.尺规作图
(1)作一条线段的垂直平分线
要作一条线段的垂直平分线,只需作出两个到线段两端距离　 　 .
的点,这两点所确定的直线就是已知线段的垂直平分线.
(2)过已知直线上一点作这条直线的垂线.
相等
相等
精讲练　新知探究
探究点一　线段垂直平分线的判定
[典例1]如图,△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P.
求证:点P在AC的垂直平分线上.
证明:因为AB,BC的垂直平分线交于点P,
所以PA=PB,PB=PC.
所以PA=PC.
所以点P在AC的垂直平分线上.
[变式1]如图,已知∠ACB=∠BDA=90°,BC与AD交于点E,AC=BD.
求证:点E在线段AB的垂直平分线上.
判定线段垂直平分线的“三种方法”
(1)利用对称:若点A,B关于直线l对称,则直线l为线段AB的垂直平分线.
点睛
(2)利用定义:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是线段的垂直平分线.
(3)利用判定定理:若有两点到一条线段两端的距离相等,则这两个点确定的直线为该线段的垂直平分线.
探究点二　线段垂直平分线的作图
[典例2]如图,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N是位于公路AB两侧的村庄,当汽车行驶到哪个位置时,与村庄M,N的距离相等
解:如图.
(1)连接MN;
(2)作线段MN的垂直平分线l,交直线AB于C点,则C点即为所求.
[变式2]如图,已知∠MON,点D是ON上一点,用尺规按下列要求作图.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)在射线OM上作一点E,使DE⊥ON;
(2)作出DE的中点P.
解:(1)DE如图.
(2)点P如图.
谢谢观赏！(共9张PPT)
4.1　图形的轴对称
第1课时　图形的轴对称
过教材　要点概览
1.轴对称
把一个平面图形沿某条直线折叠后,得到另一个与它　 　的图形,图形的这种变化叫作　 　.这条直线叫作　 　.
第4章 图形的轴对称
全等
轴对称
对称轴
2.成轴对称
一个图形以某条　 　 为对称轴,经过轴对称后,能够与另一个图形
　 　 ,那么称这两个图形关于这条直线　 　,重合的点叫作
　 　.如果两个点关于一条直线　 　,那么其中一个点叫作另一个点关于这条直线的　 　.
3.成轴对称的两个图形的性质
成轴对称的两个图形是　 　 ,但是全等形不一定　 　.
直线
重合
成轴对称
对应点
成轴对称
对称点
全等形
成轴对称
精讲练　新知探究
探究点一　轴对称的概念
[典例1]如图,下列各组图形中,哪些是成轴对称的 如果成轴对称,画出它们的对称轴,并找出一组对应点.
解:两个图形成轴对称的是(3)和(6),对称轴如图所示,对应点是点A和
点B.
(3) (6)
[变式]视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式,下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是( )
C
A B C D
探究点二　成轴对称的两个图形全等
[典例2]如图,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线
MN上.
(1)图中点C的对应点是点　　　　,∠B的对应角是　　　　;
(2)若DE=5,BF=2,则CF的长为　　　　;
解:(1)E　∠D
(2)3
(3)若∠BAC=108°,∠BAE=30°,求∠EAF的度数.
[典例3]下列说法正确的是( )
A.如果线段AB和A′B′关于某条直线对称,那么AB=A′B′
B.如果点A和点A′到直线l的距离相等,那么点A和点A′关于直线l对称
C.如果AB=A′B′,且直线MN垂直平分AA′,那么线段AB和A′B′关于直线MN对称
D.如果在直线MN两旁的两个图形能够完全重合,那么这两个图形关于直线MN对称
A
谢谢观赏！(共8张PPT)
4.4　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
过教材　要点概览
1.等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是　 　图形,等腰三角形的对称轴是底边的　 .
　.
2.等腰三角形的性质定理
(1)性质定理1
等腰三角形的两个底角　 　(简写成“　 　”).
轴对称
垂直平
分线
相等
等边对等角
(2)性质定理2
等腰三角形　 　角的平分线、底边上的　 　及底边上的　 　互相重合(简写成“　 　”).
3.等边三角形的性质定理
等边三角形的各角都等于　 　.
顶
中线
高
三线合一
60°
精讲练　新知探究
探究点一　等边对等角
[典例1]如图,在△ABC中,AB=AC,点D是△ABC内一点,且BD=DC.求证:
∠ABD=∠ACD.
证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.
因为BD=CD,
所以∠DBC=∠DCB,
所以∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB,
即∠ABD=∠ACD.
[变式](2024单县期末)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于点D,交AB于点E,∠C=75°.
(1)求∠A的度数;
解:(1)因为AB=AC,∠C=75°,
所以∠ABC=∠C=75°,
所以∠A=180°-75°×2=30°.
(2)求∠CBD的度数.
解:(2)因为DE是AB的垂直平分线,
所以DA=DB,
所以∠ABD=∠A=30°.
又由(1)知∠ABC=75°,
所以∠CBD=∠ABC-∠ABD=75°-30°=45°.
探究点二　三线合一
[典例2]如图,已知屋架的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC于D
点,屋椽AB=AC,求屋架中∠B,∠C,∠BAD,∠CAD的度数.
探究点三　等边三角形的性质
[典例3]如图,△ABC是等边三角形,AD为中线,E在AC上,AD=AE,求∠AED的度数.
谢谢观赏！(共8张PPT)
第3课时　轴对称图形
过教材　要点概览
1.轴对称图形
一个图形的一部分,以某一条　 　为对称轴,经过　 　能与图形的另一部分　 　,这样的图形叫作轴对称图形.
2.轴对称图形与成轴对称
把轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形成　 　;把成
轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个　 　图形.
直线
轴对称
重合
轴对称
轴对称
精讲练　新知探究
探究点一　轴对称图形及其性质
[典例1]下列图形中,是轴对称图形的是( )
D
A B C D
[变式1](2025潍坊期末)下列图形中,不是轴对称图形的是( )
B
A B C D
[典例2]如图,四边形AMBN是轴对称图形,直线MN是它的对称轴,点P是直线MN上的点.
(1)下列判断正确的是　 　.(填序号)
①AM=BM;②AP=BN;③∠MAP=∠MBP;④∠ANM=∠BNM.
(2)连接AB,则MN与AB的位置关系是　 　.
①③④
互相垂直
探究点二　轴对称图形的作图
[典例3]如图,下列轴对称图形只画出一部分,在格点图中补齐其关于已知直线l,m,n,p对称的另一部分图形.
① ② ③ ④
解:如图.
① ② ③ ④
依据对称轴的不同位置,确定图形中的关键点的对称点,然后按照图形原来关键点的对应位置连线补充轴对称图形.
点睛
[变式2](2024曹县期中)如图,找出下列图形的所有的对称轴,并一一画出来.
解:所画对称轴如图.
谢谢观赏！(共32张PPT)
4.3　角的平分线
过教材　要点概览
1.角的轴对称性
角是　 　图形,　 　所在的直线是它的对称轴.
2.尺规作图
作已知角的平分线.
3.角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离　 　.
4.角平分线的判定
角的内部到角两边距离相等的点在角的　 　上.
轴对称
角的平分线
相等
平分线
精讲练　新知探究
探究点一　用尺规作角的平分线
[典例1]如图,在△ABC中,作BD平分∠ABC,交AC于点D,作CE平分∠ACB,交AB于点E(不写作法,保留作图痕迹).
解:如图,BD,CE即为所求作.
[变式1]如图,△ABC中,点D在边AC上,且AD=AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹,不写
作法);
(1)解:如图,AE即为所求.
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE.求证:DE=BE.
(2)证明:因为AE平分∠BAC,
所以∠BAE=∠DAE.
又因为AB=AD,AE=AE,
所以△BAE≌△DAE(SAS),所以DE=BE.
探究点二　角平分线的性质
[典例2](2024牡丹期中)如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F.若△ABC的面积为70,AB=16,DE=5,求BC的长.
[变式2]如图,在△ABC中,AD是它的角平分线.求证:S△ABD∶S△ACD=AB∶
AC.
探究点三　角平分线的判定
[典例3]如图,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N.若OM=ON,则∠ABO=　 　度.
15
点睛
判定角平分线的“两种方法”
(1)应用角平分线的定义.
(2)判定角平分线时,需要满足两个条件:“垂直”和“相等”,若已知“垂直”,则设法推导“相等”;若已知“相等”,则设法推导
“垂直”.
4.3　角的平分线
基础巩固练
D
30°
解:如图,∠BOC即为所求作的∠γ.
知识点2　角平分线的性质
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DE=4,BC=9,则BD的长为( )
A.6 B.5
C.4 D.3
B
5.如图,∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,下列结论中错误的是
( )
A.PD=PE B.OD=OE
C.∠DPO=∠EPO D.PD=OD
D
6.(2024岱岳期中)如图,在Rt△ABC中,DE垂直平分AC,交AB于点D,垂足为E,连接CD,CD为∠ACB的平分线.若ED=1,DC=2,则AB的长为　 　.
3
7.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于D,DE⊥AB于点E,△ABC的面积是
33 cm2,AB=10 cm,BC=11 cm,则DE=　　 cm.
知识点3　角平分线的判定
8.如图,已知∠B=∠C=90°,M是BC的中点,且DM平分∠ADC.
(1)试说明:AM平分∠DAB.
解:(1)如图,过点M作ME⊥AD于点E.
因为DM平分∠ADC,∠C=90°,ME⊥AD,所以MC=ME.
因为M为BC的中点,
所以BM=MC,所以BM=ME.
又因为∠B=90°,ME⊥AD,
所以AM平分∠DAB.
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系 说明理由.
能力提升练
9.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为15,20,25,点O是△ABC三条角平分线的交点,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
D
10.(2024曹县期中)如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心,要使这个游客中心到三条公路的距离相等,则游客中心可以选择的位置有( )
A.一个 B.二个 C.三个 D.四个
D
12
12.(2024玄武期中)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.若S△ABC=
9,DE=2,AB=5,则AC的长是　 　.
4
13.如图,两条公路OA和OB相交于点O,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA,OB的距离相等,且到两工厂C,D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
解:如图.作CD的垂直平分线与∠AOB的平分线,交点P即为货站P的位置.
14.(2024临清期中)如图,AD是△ABC的角平分线,且DE⊥AB,
∠B=50°,∠C=60°.
(1)求∠ADC的度数;
(2)若DE=8,点F是AC上的动点,求DF长度的最小值.
解:(2)如图,过点D作DH⊥AC于点H.
因为AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DH⊥AC,
所以DH=DE=8.
因为点F是AC上的动点,
所以DF长度的最小值为DH的长,
即DF长度的最小值为8.
素养培优练
15.教材拓展题　如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.
(1)如图①,若∠A=50°,求∠BOC的度数.
①
(2)如图②,连接OA,试说明:AO平分∠BAC.
②
解:(2)过点O分别作OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,如图.
因为∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,
所以OD=OE,OD=OF,
所以OE=OF,所以AO平分∠BAC.
(3)如图③,点D在BC的延长线上,若射线BO与∠ACD的平分线交于点P,试说明:OC⊥PC.
③
微专题4　与角平分线有关的面积问题
1.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,
DE=1.8,则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7
C.4.5 D.4
C
2.如图,在△ABC中,AD是角平分线,BE是△ABD的中线,若△ABC的面积是24,AB=10,AC=6,则△ABE的面积是( )
A.15 B.12
C.7.5 D.6
C
3.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,
CD=4,则四边形ABCD的面积是( )
A.24 B.30
C.36 D.42
B
4.如图,△ABC的三条角平分线交于点O,OD⊥AB于D,若△ABC的周长为68,OD=5,则△ABC的面积为　 　.
170
谢谢观赏！

展开更多......

收起↑