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(共13张PPT)
第2课时　列一元一次不等式解应用题
基础巩固练
知识点1　用一元一次不等式解决实际问题
1.(2024保定期中)为参加某机构组织的数学创新比赛,某学校先进行了选拔,试卷共25道题,答对1道得4分,答错或不答1道扣1分,得90分及以上者将获得参赛资格,要取得参赛资格至少要答对( )
A.20道 B.21道
C.22道 D.23道
D
2.某生鲜超市以4元/千克的进价购进一批水果,销售时按标价八折出售,为了避免亏本,标价至少应定为　 　元/千克.
3.某商场经营A,B两种服装,为迎接国庆搞促销活动,该商场准备一次性购进两种服装共800件,其中A种服装每件进价100元,售价150元,B种服装每件进价300元,售价400元.
(1)若该商场购进服装的总费用不超过140 000元,则至少购进A种服装多少件
5
解:(1)设该商场购进A种服装x件,则购进B种服装(800-x)件,
根据题意,得100x+300(800-x)≤140 000,
解这个不等式,得x≥500.
所以至少购进A种服装500件.
(2)若该商场将800件服装全部销售完后总利润不少于60 000元,则至多购进A种服装多少件
解:(2)设购进A种服装m件,则购进B种服装(800-m)件,
根据题意,得(150-100)m+(400-300)·(800-m)≥60 000,
解得m≤400.
所以至多购进A种服装400件.
知识点2　用一元一次不等式解决方案设计问题
4.某商店搞促销:某种矿泉水原价每瓶5元,现有两种优惠方案:①一律五折;②一瓶按原价,其余一律四折.小华为同学们选购矿泉水时,第二种方案更便宜,则他至少要购买矿泉水( )
A.5瓶 B.6瓶 C.7瓶 D.8瓶
5.某公司为了扩大生产,决定购进6台机器,但所用资金不能超过68万元.现有甲、乙两种机器供选择,其中甲种机器每台14万元,乙种机器每台10万元,则满足该公司要求的购买方案有　 　种.
C
3
6.某学校为举办社团活动,准备向某商家购买甲、乙两种文化衫共100件,其中甲种文化衫每件定价40元,乙种文化衫每件定价30元.恰逢商家搞促销,现有两种优惠方案:方案一,甲种文化衫按标价八折出售,乙种文化衫按标价四折出售;方案二,购买一件甲种文化衫送一件乙种文化衫.
(1)若学校准备购买甲种文化衫40件,则采用哪一种方案更优惠
解:(1)方案一费用为40×0.8×40+30×0.4×(100-40)=2 000(元);方案二费用为40×40+30(100-40-40)=2 200(元).
因为2 000<2 200,所以方案一更优惠.
(2)当学校购买甲种文化衫多少件时,采用方案二更优惠
解:(2)设购买甲种文化衫x件,则购买乙种文化衫(100-x)件,根据题意,得
40×0.8x+30×0.4(100-x)>40x+30(100-x-x),
解得x>45,
所以当学校购买甲种文化衫超过45件时,采用方案二更优惠.
能力提升练
7.某商店为了促销一种定价为3元/件的商品,采取下列方式优惠销售:若一次性购买不超过5件,按原价付款;若一次性购买5件以上,超过5件的部分按原价八折付款.如果小明有30元钱,那么他最多可以购买该商品( )
A.9件 B.10件 C.11件 D.12件
8.某公园的门票是每人5元,一次性购买门票满40张,每张门票可减1元.当少于40人时,一个团队至少要有　 　人进公园,买40张门票反而合算.
C
33
12
10.某古镇为了发展旅游产业,吸引更多的游客前往游览,助力乡村振兴,决定在“五一”期间对团队旅游实行门票特价优惠活动,价格如下表:
购票人数m 10≤m≤50 51≤m≤100 m>100
每人门 票价/元 60 50 40
(题中的团队人数均不少于10)
现有甲、乙两个团队共102人,计划利用“五一”假期到该古镇旅游,其中甲团队不足50人,乙团队多于50人.
(1)若两个团队分别购票,一共应付5 580元,则甲、乙团队各有多少人
解:(1)设甲团队有x人,则乙团队有(102-x)人.
依题意,得60x+50×(102-x)=5 580,
解得x=48,
所以102-x=54,
所以甲团队有48人,乙团队有54人.
(2)若两个团队联合起来作为一个“大团队”购票,比两个团队各自购票节省的费用不少于1 200元,则甲团队最少有多少人
解:(2)设甲团队有a人,则乙团队有(102-a)人.
依题意,得
60a+50×(102-a)-40×102≥1 200,
解得a≥18,
所以甲团队最少有18人.
素养培优练
11.杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍.现有两块试验田,A块试验田种植杂交水稻,B块试验田种植普通水稻,A块试验田比B块试验田少4亩(1亩≈
666.7平方米).
(1)A块试验田收获水稻9 600千克,B块试验田收获水稻7 200千克,求普通水稻和杂交水稻的亩产量.
(2)为了增加产量,明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻,使总产量不低于17 700千克,那么至少要把多少亩B块试验田改种杂交水稻
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6.3　一元一次不等式的解法
第1课时　一元一次不等式的解法
过教材　要点概览
解一元一次不等式的一般步骤:去分母、　 　、移项、合并同类项、　 　.
系数化为1
去括号
精讲练　新知探究
探究点一　一元一次不等式的解法
[典例1]解不等式,并把不等式的解集表示在数轴上.
(1)2(x+1)-1≥3x+2;
解:(1)不等式的解集为x≤-1.
将该不等式的解集表示在数轴上如图.
x≥5
解:去分母,得30-3(x-2)>6+2x,
去括号,得30-3x+6>6+2x,
移项,得-3x-2x>6-6-30,
合并同类项,得-5x>-30,
系数化为1,得x<6,
则该不等式的所有正整数解为1,2,3,4,5.
点睛
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似,也是“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等步骤,但在“去分母”和“系数化为1”时,如果不等式两边同乘或除以同一个负数,那么不等号的方向要改变.
(2)2x与3的和不大于-5;
(3)5x与3的和不小于2(x+3);
解:(2)因为2x与3的和不大于-5,
所以2x+3≤-5,
解得x≤-4.
(3)因为5x与3的和不小于2(x+3),
所以5x+3≥2(x+3),
解得x≥1.
[变式3]已知关于x的方程x+m=3(x-2)的解是正数,求m的取值范围.
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6.1 不等式
第1课时 一元一次不等式
基础巩固练
知识点1　不等式
1.有下列数学式子:①-2<0,②2y-5>1,③m=1,④x2-x,⑤x≠-2,⑥x+1<
2x-1.其中,是不等式的有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
C
第6章 一元一次不等式
2.某种品牌的奶粉盒上标明“蛋白质≥20%”,它所表示的意思是( )
A.蛋白质的含量是20%
B.蛋白质的含量不能是20%
C.蛋白质的含量高于20%
D.蛋白质的含量不低于20%
3.用不等式表示下列数量关系:
(1)x减去3大于10:　 　.
(2)x的2倍与1的和是非负数:　 　.
(3)y的3倍与9的差不大于-1:　 　.
D
x-3>10
2x+1≥0
3y-9≤-1
3
1
10x-5(20-x)>170
能力提升练
C
8.某班35名同学去春游,由班里统一购买点心,每人一包.已知有2.5元一包和4.5元一包的点心,购买的总费用不超过100元.设买x包4.5元的点心,根据题意,列出关于x的不等式为　 　.
4.5x+2.5(35-x)≤100
9.用甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表:
原料 甲种 乙种
维生素C含量/单位 600 400
原料价格/(元/kg) 8 4
(1)现配制这种饮料10 kg,要求至少含有4 200单位的维生素C,试写出所需甲种原料的质量x(kg)应满足的不等式.
(2)在(1)的条件下,如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元,那么你能写出x(kg)应满足的另一个不等式吗
解:(1)600x+400(10-x)≥4 200.
(2)8x+4(10-x)≤72.
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6.1 不等式
第1课时 一元一次不等式
过教材　要点概览
1.不等式
用“>”“　 　”“　 　”或“　 　”连接的式子,叫作不等式.用符号“≠”连接的式子也是不等式.
2.一元一次不等式
不等式的两边都是　 　式,只含有　 　个未知数,并且未知数的
次数都是　 　的不等式叫作一元一次不等式.
≥
第6章 一元一次不等式
<
≤
整
一
1
精讲练　新知探究
探究点一　不等式
[典例1]用不等式表示:
(1)m是非正数;
(2)m-n是负数;
解:(1)m≤0;
(2)m-n<0;
(3)a与3的差大于b的2倍与4的和;
(4)a的5倍不大于a2与2的差;
(5)m与n的差的平方小于5.
解:(3)a-3>2b+4;
(4)5a≤a2-2;
(5)(m-n)2<5.
[变式1]下列不等式表示中,正确的是( )
A.m与4的差是负数,可表示为m-4<0
B.x不大于3可表示为x<3
C.a是非正数可表示为a<0
D.x与2的和是非负数可表示为x+2>0
A
[变式2]判断下列各式哪些是等式,哪些是不等式,哪些既不是等式也不是不等式.
①4<5;②x2+1>0;③x≠2x-5;④x=2x+3;⑤3a2+a;⑥a2+2a≥4a-2.
解:④是等式;①②③⑥是不等式;⑤既不是等式也不是不等式.
探究点二　一元一次不等式
[典例2]某市自来水公司按如下标准收取水费:若每户每月用水不超过
10 m3,则每立方米收费1.5元;若每户每月用水超过10 m3,则超过的部分每立方米收费2元.小亮家某月的水费不少于25元,那么他家该月的用水量x(m3)至少是多少 请列出关于x的不等式.
解:不少于25元,意思是大于或等于25元,根据收费标准,知小亮家的用水一定超过了10 m3.
设小亮家该月的用水量是x m3,根据题意,得1.5×10+2(x-10)≥25.
解:(1)(4)是一元一次不等式;(2)(3)(5)不是.
[变式3]小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件.已知每本笔记本2元,每支钢笔5元,设小聪最多能买x支钢笔,可列出不等式( )
A.5x+2(30-x)<100
B.5x+2(30-x)≤100
C.5x+2(30-x)≥100
D.5x+2(30-x)>100
B
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6.4　一元一次不等式组
第1课时　解简单的一元一次不等式组
基础巩固练
C
D
x>a
B
x<-2
解:由不等式①,得3x+12≥2-2x,解得x≥-2;
由不等式②,得3x-3<18-4x,解得x<3.
两个不等式的解集在数轴上的表示如图:
所以不等式组的解集为-2≤x<3.
能力提升练
A
m≤4
11≤x<14
10.开放性题　小明、小华、小刚三个人在一起讨论一个一元一次不等式组,他们各自说出该不等式组的一个性质.
小明:它的所有解为非负数.
小华:其中一个不等式的解集为x≤8.
小刚:其中一个不等式在解的过程中需改变不等号的方向.
请试着写出符合上述条件的一个一元一次不等式组,并解答.
素养培优练
(2)已知a-b=m(m是大于0的常数),且b≤1,求a+3b的最大值(用含m的代数式表示).
解:(2)因为a-b=m,所以a=b+m.
因为b≤1,
所以a+3b=b+m+3b=4b+m≤4+m,
所以a+3b的最大值为4+m.
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第2课时　列一元一次不等式解应用题
过教材　要点概览
列一元一次不等式解应用题的一般步骤
审:认真审题,找出已知量与未知量之间的不等关系;
设:设出适当的未知数;
列:根据题目中的不等关系列出不等式;
解:解不等式,求出其解集;
验:检验所求出的不等式的解集是否符合题意;
答:写出答案.
精讲练　新知探究
探究点　一元一次不等式的应用
[典例]小诚响应“低碳环保,绿色出行”的号召,一直坚持跑步与步行相结合的上学方式.已知小诚家距离学校2 200米,他步行的平均速度为80米/分,跑步的平均速度为200米/分.若他要在不超过20分钟的时间内从家到达学校,则至少需要跑步多少分钟
解:设他需要跑步x分钟,由题意可得
200x+80(20-x)≥2 200,
解得x≥5.
答:小诚至少需要跑步5分钟.
[变式1]小明借到一本有87页的图书,要在10天之内读完,开始两天每天只读5页,那么以后几天里平均每天至少要读多少页才能读完 设以后几天里平均每天要读x页,所列不等式为( )
A.2+10x≥87 B.2+10x≤87
C.10+8x≤87 D.10+8x≥87
D
[变式2]某学校医务室采购了一批水银温度计和额温枪,其中有10支水银温度计和若干把额温枪.已知水银温度计每支5元,额温枪每把230元,如果总费用不超过1 000元,那么额温枪至多有　 　把.
[变式3]某学校举办数学知识竞赛,规定:答对1道题得20分,答错1道题扣10分,在8道必答题中,得分不低于100分即可进入下一轮.若冉冉进入了下一轮,则冉冉最多答错　 　道题.
4
2
[变式4](2024山西)为加强校园消防安全,学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个,干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元,则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个
解:设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买干粉灭火器(50-x)个.
根据题意,得540x+380(50-x)≤21 000,
解得x≤12.5.
因为x为整数,
所以x的最大值为12.
答:最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
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6.2　不等式的基本性质
基础巩固练
D
D
B
>
≤
>
≥
A
a<1
>
<
能力提升练
C
A
10.若a>b,则2 025-2a　 　2 025-2b.(填“>”“=”或“<”)
11.小兵的观点:不等式a>2a不可能成立.理由:若在这个不等式两边同时除以a,则会出现1>2的错误.小兵的观点　 　(填“正确”或“错误”),理由:　 　.
<
错误
当a<0时,a>2a
素养培优练
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第2课时　不等式的解和解集
基础巩固练
知识点1　不等式的解和解集
1.若x=1是不等式x-b<0的一个解,则b的值不可能是( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
2.不等式0≤x<2的解( )
A.为0,1,2 B.为0,1
C.为1,2 D.有无数个
3.写一个解集为x<-2的不等式:　 　.
A
D
x+2<0(答案不唯一)
4.判断x=-2是不是下列不等式的解:
(1)x+4>7;　(2)3x<3;　(3)x+5>0.
解:(1)不是.
(2)是.
(3)是.
知识点2　用数轴表示不等式的解集
5.关于x的不等式x≤2a-3的解集如图,则a的值是　 　.
1
6.将下列不等式的解集分别表示在数轴上.
(1)x>-3;(2)x≤2;(3)-2≤x<2.
解:(1)如图.
(2)如图.
(2)如图.
能力提升练
B
-1
10.已知关于x的不等式x≤a的正整数解是1,2,3.求a的取值范围.
解:因为不等式的正整数解是1,2,3,
所以3≤a<4.
素养培优练
11.新定义　我们用[a]表示不大于a的最大整数,用{a}表示大于a的最小整数.例如:[2.5]=2,[3]=3,[-2.5]=-3;
{2.5}=3,{4}=5,{-1.5}=-1.
解决下列问题:
(1)[-4.5]=　　　,{3.5}=　　　.
(2)若[x]=2,则x的取值范围是　　;若{y}=-1,则y的取值范围是　　　.
解:(1)-5　4
(2)2≤x<3　-2≤y<-1
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6.2　不等式的基本性质
过教材　要点概览
不等式的基本性质
(1)基本性质1:如果a>b,那么a+c　 　b+c,a-c　 　b-c.不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向　 　.
>
>
不变
>
>
不变
<
<
改变
精讲练　新知探究
探究点　不等式的基本性质
[典例]根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x(1)x-7>9;(2)6x<5x-3;
解:(1)不等式两边都加上7,得
x-7+7>9+7,即x>16.
(2)不等式两边都减去5x,得
6x-5x<5x-3-5x,即x<-3.
[变式1]如果a>b,那么下列各式正确的是( )
A.a-4>b-4 B.4-a>4-b
C.-a>-b D.a-1>b-1
[变式2]已知不等式-3x≤-6,两边同时除以-3,得　 　.
A
x≥2
解:(1)因为x<2,
所以x+7<2+7,
即x+7<9.
(3)-3x;(4)6x-1.
解:(3)因为x<2,
所以-3x>2×(-3),即-3x>-6.
(4)因为x<2,
所以6x<12,
所以6x-1<12-1,
即6x-1<11.
[变式4](1)若m>n,比较-2m+1与-2n+1的大小;
(2)若m解:(1)因为m>n,所以-2m<-2n,
所以-2m+1<-2n+1.
(2)当a>0时,因为m所以am当a=0时,am=an;
当a<0时,因为m所以am>an.
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1.与方程的解类似,能使这个不等式成立的　 　,叫作这个不等式的解.
2.一般地,一个含有未知数的不等式的所有的　 　组成这个不等式的解集.
3.求不等式的　 　的过程叫作解不等式.
第2课时　不等式的解和解集
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未知数的值
解
解集
精讲练　新知探究
探究点一　不等式的解和解集
[典例1]给出下列四个结论:
①x=4是不等式x-3>0的解集;
②x>4是不等式x-3>0的解集;
③x=3是不等式x+3≥6的一个解;
④x≥3是不等式x-3≥0的解集.
其中正确的是　 　.(填序号)
③④
[变式1]下列说法中正确的是( )
A.x=1是不等式2x<3的一个解
B.x=1是不等式2x<3的解集
C.x=1是不等式2x<3的唯一解
D.x=2是不等式2x<3的解
[变式2](2024揭阳期中)请写出一个关于x的不等式,使-2,3都是它的解:
　 　.
A
x<4(答案不唯一)
探究点二　在数轴上表示不等式的解集
[典例2]下列选项中,表示x≥-3的是( )
A　　 B
C　　 D
B
[变式3]如图,数轴上表示的不等式是( )
A.x<1 B.x≤1
C.x>1 D.x≥1
[变式4]如图表示的是一个不等式的解集,则这个不等式的整数解是
　 　.
A
-1,0,1,2,3
[变式5]在数轴上表示下列不等式:
(1)x>-2;
(2)-1≤x<3.
解:(1)如图.
(2)如图.
点睛
用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”
(1)定界点:定界点时要注意,点是实心还是空心;
(2)定方向:定方向的原则是“小于向左,大于向右”.
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6.3　一元一次不等式的解法
第1课时　一元一次不等式的解法
基础巩固练
知识点1　一元一次不等式的解法
1.不等式x+2>3的解集是( )
A.x<1 B.x<5
C.x>1 D.x>5
C
C
B
-6
5.解下列不等式,并把不等式的解集在数轴上表示出来:
(1)3x-1≥2(x-1);
解:(1)去括号,得3x-1≥2x-2.
移项,得3x-2x≥-2+1.
合并同类项,得x≥-1.
其解集在数轴上的表示如图:
解:(2)去分母,得2(x-1)≥x-2+6.
去括号、移项,得2x-x≥-2+6+2.
合并同类项,得x≥6.
其解集在数轴上的表示如图:
解:(3)去分母,得2(2x-1)-(9x+2)<6.
去括号,得4x-2-9x-2<6.
移项,得4x-9x<6+2+2.
合并同类项,得-5x<10.
系数化为1,得x>-2.
其解集在数轴上的表示如图:
解:(4)去分母,得x+1≥6(x-1)-8.
去括号,得x+1≥6x-6-8.
移项,得x-6x≥-6-8-1.
合并同类项,得-5x≥-15.
系数化为1,得x≤3.
其解集在数轴上的表示如图:
D
k≥-3
能力提升练
9.有一个不小于80的两位数,个位上的数字比十位上的数字小1,则这个两位数是( )
A.89 B.98
C.87或98 D.87
C
10.已知关于x的不等式3(x+1)-2mx>2m的解集是x<-1,则m的取值范围在数轴上可以表示为( )
A B
C D
C
C
a<-1
素养培优练
15.新定义　定义:如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②
的解,那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“蕴含不等式”.例如:不等式x<-3的解都是不等式x<-1的解,则x<-3是x<-1的“蕴含不
等式”.
(1)在不等式x>1,x>3,x<4中,是x>2的“蕴含不等式”的是　　　　;
解:(1)x>3
(2)若x>-6是3(x-1)>2x-m的“蕴含不等式”,求m的取值范围;
(3)若x<-2n+4是x<2的“蕴含不等式”,试判断x<-n+3是不是x<2的“蕴含不等式”,并说明理由.
解:(2)解不等式3(x-1)>2x-m,可得x>3-m.
因为x>-6是3(x-1)>2x-m的“蕴含不等式”,
所以3-m≤-6,解得m≥9.
(3)是.理由如下:
根据题意,得-2n+4≤2,解得n≥1,
所以-n+3≤2,
故x<-n+3是x<2的“蕴含不等式”.
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第2课时　解稍复杂的一元一次不等式组
基础巩固练
C
-4≤x≤1
B
0,1或2
7.如图,运行程序规定:从“输入一个值x”到“结果是否大于79”为一次程序操作,如果程序操作进行了两次才停止,那么x的值不能是( )
A.20 B.30
C.38 D.40
能力提升练
D
2≤
a<3
解:解不等式①,得x≤6-a.
解不等式②,得x>-2.
(1)当a=2时,不等式组的解集为-2(2)若这个不等式组无解,求a的取值范围;
(3)若这个不等式组的整数解有3个,求a的取值范围.
解:(2)因为这个不等式组无解,
所以6-a≤-2,所以a≥8,
所以a的取值范围是a≥8.
(3)因为这个不等式组的整数解有3个,
且-2所以其整数解应是-1,0,1,
所以1≤6-a<2,
所以a的取值范围是4素养培优练
(1)(2x-3)(x+1)<0;
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第2课时　解稍复杂的一元一次不等式组
过教材　要点概览
1.当一个不等式组中各不等式的解集没有公共部分时,我们说这个不等式组　 　.
2.要求不等式组的特殊解,首先要求出不等式组的　 　,然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解(如正整数解、最小整数解等).为了便于观察,还可以借助数轴来找特殊解.
无解
解集
精讲练　新知探究
它们的解集在数轴上表示如图.
所以该不等式组无解.
A B
C D
A
解:解不等式①,得x≥-2,
解不等式②,得x<1,
它们的解集在数轴上表示如图.
所以不等式组的解集是-2≤x<1.
B
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6.4　一元一次不等式组
第1课时　解简单的一元一次不等式组
过教材　要点概览
1.一般地,由几个含有　 　未知数的一元一次不等式所组成的不等式组,叫作一元一次不等式组.
2.一般地,一元一次不等式组中各个不等式的解集的　 　,叫作这个一元一次不等式组的解集.
求不等式组　 　的过程叫作解不等式组.
公共部分
同一
解集
3.解一元一次不等式组,先分别求出不等式组中每个不等式的　 　,然后在同一条数轴上将它们的解集表示出来,利用数轴确定解集的　 .
　,最后写出不等式组的解集.
解集
公
共部分
精讲练　新知探究
解:(1)解不等式2x-1>x+1,得x>2,
解不等式4x-1≥x+8,得x≥3,
它们的解集在数轴上表示如图.
所以不等式组的解集为x≥3.
A B
C D
A
解:解不等式①,得x≤4.解不等式②,得x≥1.
不等式①和②的解集在数轴上表示如图:
所以原不等式组的解集为1≤x≤4.
点睛
解一元一次不等式组
(1)方法:①求不等式组中每个不等式的解集;②利用数轴求公共部分.
(2)解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小无解了.
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