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2025学年毕市大方县第一中学高二下学期期末模拟考试数学试卷
一、单选题
1．已知向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知变量满足约束条件，设，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．函数是偶函数，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象的一条对称轴的方程可以是
A． B． C． D．
6．已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．边长为2的菱形中，为边的中点，若，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
8．已知个乒乓球中有个不合格，每次任取个，不放回地取两次.在第一次取到合格乒乓球的条件下，第二次取到不合格乒乓球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．如果，那么 D．若，则
10．已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A．
B．
C．在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆
D．的最小值为
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（ ）
A．当时，
B．
C．不等式的解集为
D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则
三、填空题
12．四分位数
， ， 这三个分位数把一组数据由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
[微思考]
（1）班级人数为50的班主任老师说“的同学能够考取本科院校”，这里的“”是百分位数吗？
（2）“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？
13．已知正三棱柱中，各棱长均相等，则与平面所成角的余弦值为
14．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，若，则 .
四、解答题
15．为了了解高中学生课后自主学习数学时间x（分钟/每天）和他们的数学成绩y（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
编号 1 2 3 4 5
学习时间x 30 40 50 60 70
数学成绩y 65 78 85 99 108
(1)经分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩．（参考数据：，，的方差为200）
(2)基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到2×2列联表（表二）．依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
表二
没有进步 有进步 合计
参与周末自主学习 35 130 165
末参与周末自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
附：，，
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．已知函数
(1)求的最小正周期和图象的对称轴方程：
(2)若在区间上的值域为，求实数的取值范围.
17．如图，在四棱柱中，平面，，，为的中点.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求证：；
(3)判断线段上是否存在一点(与点不重合），使得四点共面 (结论不要求证明）
18．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值．
19．已知一次函数f(x)满足：f(1)=2, f(2x)=2f(x)-1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设, 若，求实数a的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】由可得，解得，.
故选：B.
2．A
【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：
表示到可行域中点的距离的平方.
故其最小值为原点到直线的距离的平方 .
又，故.
故选：A
3．A
【详解】解：因为，，即，
，
所以.
故选：A
4．D
【详解】因为是偶函数，所以，所以，故D正确.
故选：D.
5．C
【详解】由题意，函数，令，
解得：，
当时，函数图象的一条对称轴的方程为．
故选C．
6．B
【详解】由题意知、是椭圆的短轴的两个端点，
所以，
设，
由为的重心，
所以，
又为椭圆上一动点，
所以即，
所以有：，
又为的重心，
所以，即的轨迹方程为.
故选：B.
7．B
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
8．A
【详解】解：记事件={第一次取到合格乒乓球}，事件={第二次取到不合格乒乓球}，
由题意可得事件发生所包含的基本事件数，事件发生所包含的基本事件数，
所以
故选：A
9．BCD
【详解】对于A，令，，则，故A错误.
对于B，因为，所以，故B正确.
对于C，由于 ，同乘以，
得，又，所以，故C正确.
对于D，若，则，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
10．AB
【详解】化简，设，，则.
为了将分母实数化，给分子分母同时乘以，得到：
因为为纯虚数，所以其实部为，虚部不为，即，整理可得且.
对于选项A，，由可知，所以选项A正确.
对于选项B，，，则，所以，选项B正确.
对于选项C，由且可知，在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆去掉与轴的两个交点，选项C错误.
对于选项D，表示所对应的点到点的距离.
点到原点的距离为，因为的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆去掉与轴的两个交点，所以的最小值为，选项D错误.
故选：AB.
11．AC
【详解】对于A，当时，则，
，又，
，故A正确；
对于B，因为是定义在R上的奇函数，所以，，
解得，故B错误；
对于C，当时，在上单调递增，，
可得当时，，当时，，由奇函数图象的对称性，
当时，，当时，，
不等式，等价于或，解得.
故C正确；
对于D，题意转化为与的图象有4个不同交点，如下图，
由图可得，，故D错误.
故选：AC.
12． 第25百分位数 第50百分位数 第75百分位数 不是，是指能够考取本科院校的同学占同学总数 的百分比 有75%的同学数学测试成绩小于或等于85分
13．
【详解】如图所示，取的中点为，连接，
因为为等边三角形，可得，
在正三棱柱中，平面，可得，
又因为且平面,平面，
所以为与平面所成角，
由正三棱柱各棱长均相等，设为，
又由
在直角中，可得.
故答案为：.
14．4
【详解】由抛物线的定义可知，为等边三角形，
设准线与轴交于点，则，.
故答案为：4.
15．(1)，140
(2)可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关
【详解】（1），
，又的方差为，
所以，
，
故，
当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140；
（2）零假设为H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关，
根据数据，计算得到：
，
∵，
∴依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
16．(1)最小正周期为；对称轴方程为.
(2)
【详解】（1）解：
，
故函数的最小正周期为：，
对称轴方程为：，即.
（2）因为，，
所以要使得值域为，则只需要，
解得
所以的取值范围为.
17．(1)1
(2)证明见解析
(3)四点都不共面
【详解】（1）因为平面，平面， 所以.
又因为，平面.，
所以平面.
因为，
所以四棱锥的体积
.
（2）在底面中，因为，，，，
所以，，
所以，即.
因为在四棱柱中，平面，
所以，又因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（3）由CD为平面CEB1 的一条斜线可知，线段B1C上不存在点M（与点C不重合），使得C，D，E，M四点共面.
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意得：，
化简得：.
（2）如图所示：
过点作垂直于直线，垂足为，
设，则，即，
所以，
显然，当三点共线时，取得最小值，
为.
19．(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，设，则，由得，解得：，
所以f(x)的解析式是.
（2）由（1）知，，，
显然，当时，，而当时，不等式恒成立，，
当时，，函数在上单调递增，，于是得，因此当时，，
当时，，令，依题意，当时，恒成立，
，令，
，即函数在上单调递减，，，
函数在上单调递减，又当时，恒成立，于是得，
综上得，
所以实数a的取值范围是.

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