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第19讲 直角三角形
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
直角三角形 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理;
勾股定理 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
勾股定理逆定理
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：
性质 直角三角形两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
图示
几何描述 在△ABC，∠C=90°∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC
判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.
面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
【典例1】如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是（　　）
A．3 B．6 C． D．
【考点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD＝CD＝AD＝3，再根据∠BDC＝60°得△BCD为等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出BC的长．
【解答】解：∵点D是Rt△ABC斜边AC的中点，AC＝6，
∴BD＝CD＝ADAC＝3，
∵∠BDC＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC＝BD＝3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．则∠CFE的度数是（　　）
A．90° B．113° C．123° D．143°
【考点】直角三角形的性质；平移的性质．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠ABC，再根据平移的性质和平行线的性质计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝33°，
则∠ABC＝90°﹣33°＝57°，
由平移的性质可知：CF∥AE，BC∥EF，
∴∠BCF＝∠ABC＝57°，∠BCF+∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝180°﹣57°＝123°，
故选：C．
【典例3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①BE＝DE＝2；
②DE垂直平分线段AC；
③AB＝3；
④CD＝．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【分析】由作图可得AE平分∠BAC，AB＝AD，证明△BAE≌△DAE可得BE＝DE，∠CDE＝90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可判定①；证明△AEC是等腰三角形，可得AE＝CE，结合AD＝CD可判定②；利用勾股定理可求解判定③；再由中点的定义可判定④．
【解答】解：由作图可得AE平分∠BAC，AB＝AD，
∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴CE＝2DE＝2BE，
∵BC＝6，
∴BE＝DE＝2，故①正确；
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB，∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠DAE＝30°＝∠C，
∴△AEC是等腰三角形，
∴AE＝CE，
∵AB＝AD，AC＝2AB，
∴AD＝CD，
∴点D为AC的中点，
∴DE垂直平分线段AC，故②正确；
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，AC＝2AB，BC＝6，
∴AB＝，AC＝，故③错误；
∵D为AC的中点，
∴AD＝AC＝，故④正确．
故选：C．
考点二 勾股定理
文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么.
变式：，，
,,.
【易错点】
1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是．
勾股定理的验证
方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，化简可证．
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为，所以
方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.
，，化简得证
图一 图二 图三
【典例1】如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．44
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论．
解答】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，
∵图1中大正方形的面积是24，
∴a2+b2＝c2＝24，
∵小正方形的面积是4，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4，
∴ab＝10，
∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4ab＝24+2×10＝44；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【典例2】在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是（ ）．
A.3 B．4 C．5 D．6
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】规律型．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解答】
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．故选B。
【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
【典例3】如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是　 　．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故答案为：18．
考点三 勾股定理逆定理
1.勾股数
勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数.
勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数；
2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.
常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.
2.勾股定理的逆定理
内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边.
【补充说明】
1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；
2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形；
②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；
③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形
【典例1】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　）
A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．
【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝α．
∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，
∴BG2+BE2＝EG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．
【典例2】观察下列几组数据：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有( )组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：①82+152=172，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；
②72+122≠152，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
③122+152≠202，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确．
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
【典例3】如果△ABC的三边长分别为a、b、c，并且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状．
【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化简后判断则可．
【解答】解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c
a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169=0
即（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0
∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0
∴a=5，b=12，c=13
∵52+122=169=132
∴a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了式子的变形和因式分解，然后再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
考点四 勾股定理的实际应用
1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1）从实际问题中抽象出几何图形；
2）确定与问题相关的直角三角形；
3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4）求得符合题意的结果.
2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型
1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题；
2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题；
3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题；
4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题.
【典例1】图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 　x2+22＝（x+0.5）2　．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】x2+22＝（x+0.5）2．
【分析】在Rt△AB'C中，由勾股定理得出方程即可．
【解答】解：在Rt△AB'C中，由勾股定理得，
AC2+B'C2＝AB'2，
即x2+22＝（x+0.5）2，
故答案为：x2+22＝（x+0.5）2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
【典例2】小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由题意得，AC=6×=3km，BC=8×=4km，
∠ACB=90°，
则AB==5km．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键．
【典例3】如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．
（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？
（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD=240km，
所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，
答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；
（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴BE=BD﹣DE=240﹣30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，
∵台风速度为15km/h，
∴210÷15=14时，270÷15=18，
∵早上6：00接到台风警报，
∴6+14=20时，6+18=24时，
∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．
专项训练·深度理解
专项训练十九：直角三角形
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，EF∥BC，∠AFE＝55°，则∠B的度数为（　　）
A．30° B．35° C．50° D．55°
【考点】直角三角形的性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质求出∠C，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵EF∥BC，∠AFE＝55°，
∴∠C＝∠AFE＝55°，
∵∠A＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝90°﹣55°＝35°，
故选：B．
2. 一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线和高分别为（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据勾股定理先求出斜边长，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质，以及面积法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为5和12，
∴斜边长＝＝13，
∴斜边上的中线＝，斜边上的高＝＝，
故选：C．
3. 如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8cm，则DE的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【考点】直角三角形斜边上的中线；含30度角的直角三角形．
【分析】先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半进行求解．
【解答】解：∵∠A＝30°，DC＝8cm，D是斜梁AB的中点，
∴CD＝AB，
∴AB＝2CD＝2×8＝16，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB＝8，
∵BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵点D是斜梁AB的中点，
∴DE＝BC＝×8＝4cm．
故选：B．
4. 一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；应用意识．
【答案】B
【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
【解答】解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，
∴CDAB＝3cm，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列说法不正确的是（　　）
A．与∠1互余的角只有∠2
B．点B到CD的距离是BD的长
C．∠1＝∠B
D．若∠A＝2∠1，则∠B＝30°
【考点】含30度角的直角三角形；余角和补角．
【分析】根据直角三角形两锐角互余和等角或同角的余角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠1+∠A＝90°，
∴与∠1互余的角有∠2与∠A两个角，故本选项错误；
B、点B到CD的距离是BD的长，故本选项正确；
C、∠1+∠2＝90°，∠2+∠B＝90°，
∴∠1＝∠B，故本选项正确；
D、∵∠A＝2∠1＝2∠B，
∴∠A+∠B＝3∠B＝90°，
解得∠B＝30°，故本选项正确．
故选：A．
6. 将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（　　）
A．2 B．22 C．2 D．2
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠ACD，
∴AD＝CD＝2cm，
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴BC＝2CD＝4cm，
∴BD2（cm），
∴AB＝BD﹣AD＝（22）（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，且BD＝，若Rt△ABC的面积为2，则它的周长为（　　）
A．+2 B．+4 C．2+4 D．2+2
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的面积．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得AC＝2BD＝2，从而利用勾股定理可得AB2+BC2＝8，然后根据Rt△ABC的面积为2，可得AB BC＝4，最后再利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴AC＝2BD＝2，
∴AB2+BC2＝AC2＝8，
∵Rt△ABC的面积为2，
∴AB BC＝2，
∴AB BC＝4，
∴（AB+BC）2＝AB2+BC2+2AB BC
＝8+8
＝16，
∴AB+BC＝4或AB+BC＝﹣4（舍去），
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝4+2，
故选：C．
8. Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为( )
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
【考点】勾股定理；三角形中位线定理．
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．
【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边==10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为×10=5cm．
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
9. （2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解.
【详解】解：∵矩形中，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
在中，，
故选：C.
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.
10. （2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为（ ）
A．12 B．12.5 C．13 D．13.5
【答案】A
【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；
易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案.
【详解】解：∵，，
∴,
连接，如图，据题意可得：，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则在直角三角形中，根据勾股定理可得；
故答案为：A.
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，点D为AB的中点，则CD的值是 　3　cm．
【考点】直角三角形斜边上的中线；含30度角的直角三角形．
【分析】根据30°角的直角三角形的性质得到AB＝6cm，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到结果．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，
∴AB＝2BC＝6cm，
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝3cm．
故答案为：3．
12. 如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得∠A＝30°，BC的长度为20m，则边界AC的中点D与点B的距离是 　20　m．
【考点】直角三角形斜边上的中线；含30度角的直角三角形．
【分析】连接BD，根据垂直定义可得∠ABC＝90°，再利用含30度的直角三角形的性质可得AC＝2BC＝40m，然后利用直角三角形斜边上的中线性质，即可解答．
【解答】解：连接BD，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠A＝30°，BC＝20m，
∴AC＝2BC＝40（m），
∵点D是AC的中点，
∴BD＝AC＝20m，
∴边界AC的中点D与点B的距离是20m，
故答案为：20．
13. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为7或25．
【考点】勾股定理．
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
【解答】解：分两种情况：
当3、4都为直角边时，第三边长的平方=32+42=25；
当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方=42﹣32=7．
故答案为：7或25．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
14. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．
【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．
故答案为：49cm2．
【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．
15. 在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为　9或1　．
【分析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：
①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；
②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．
【解答】解：有两种情况：
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD===5，
CD===4，
∴BC=BD+CD=5+4=9；
②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为：9或1．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．
16. （2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则________________．（结果保留根号）

【答案】/
【分析】如图，过作于，设，可得，证明，，为等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案．
【详解】解：如图，过作于，

设，
∵，，
∴，
∵，
∴，，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
整理得：，
解得：，
经检验不符合题意；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．
（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．
（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．
（4）画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．
【分析】（1）利用三角形面积求法以及直角三角形的性质画即可；
（2）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．
（3）利用三角形面积求法以及等腰直角三角形的性质画出即可；
（4）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．
【解答】解：（1）如图（1）所示：
（2）如图（2）所示：
（3）如图（3）所示；
（4）如图（4）所示．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及作图；熟练掌握等腰三角形的性质是关键．
18. （6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，DE⊥AC，垂足为点E，连接DC．
（1）若∠A＝36°，求∠BCD的度数；
（2）若∠A＝30°，DE+BC＝6，求DE和EC的长．
【考点】直角三角形斜边上的中线；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）证明AD＝CD从而得到∠DCA＝∠A，即可求出答案；
（2）证明∠ACD＝30°，△BCD为等边三角形即可求解．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠A＝∠DCA＝36°，
∴∠BCD＝90°﹣36°＝54°．
（2）由（1）得，∠A＝∠DCA＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴DE＝，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴CD＝BC＝2DE，
又∵DE+BC＝6，
∴DE＝2，BC＝DC＝4，
∴EC＝．
19. （6分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度；
（2）利用勾股定理的逆定理判断出△BDC为直角三角形，根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠A=90°，
∴△ABD为直角三角形，
则BD2=AB2+AD2=25，
解得：BD=5．
（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，
∴BD2+CD2=BC2，
∴BD⊥CD，
故S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB×AD+BD×DC=6+30=36．
【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和．
20. （8分）
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在BC的延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD．
（1）当∠ABC＝60°，∠P＝　45°　；当∠ABC＝50°，∠P＝　45°　；当∠ABC＝40°，∠P＝　45°　；
（2）当∠ABC为任意锐角时，∠P的度数是否会发生变化？若会变化，请说明理由；若不会变化请求出这个确定的度数．
【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质．
【分析】（1）由三角形外角的性质求解∠ACD的度数，再利用角平分线的定义可求解∠PBC，∠PCD的度数，即可求得∠P的度数；
（2）根据角平分线的定义得到∠ABC＝2∠PBC，∠ACE＝2∠PCE，根据三角形的外角的性质证明即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝150°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD＝∠ACD＝75°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABC＝30°，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝75°﹣30°＝45°；
∵∠A＝90°，∠ABC＝50°，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝140°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD＝∠ACD＝70°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABC＝25°，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝70°﹣25°＝45°；
∵∠A＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝130°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD＝∠ACD＝65°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABC＝20°，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝65°﹣20°＝45°；
故答案为：45°；45°；45°；
（2）不变．
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC，
∵CP平分△ABC的外角∠ACE，
∴∠ACE＝2∠PCE，
∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2（∠PCE﹣∠PBC）＝2∠P，
即∠P＝∠A＝45°．
21. （8分）如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE，CE，点F是线段AE上一点，∠ABF=∠CBE，BE=BF，连接CE，CF．
（1）试求线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）结论：AE﹣EC=BE．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=BE，
∵∠ABF=∠CBE，
∴∠FBE=∠ABC=90°，∵BF=BE，
∴△BFE是等腰直角三角形，
∴EF=BE，
∴AE﹣EC=AE﹣AF=EF=BE．
（2）结论：△FEC是直角三角形．
理由：设BC交AE于O．
∵△ABF≌△CBE，
∴∠OCE=∠OAB，
∵∠COE=∠AOB，
∴∠CEO=∠ABO=90°，
∴△FEC是直角三角形．
22. （8分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若∠B＝60°，BC＝3，求四边形ADCE的面积．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）先证明四边形DBCE为平行四边形，结合直角三角形斜边上中线的性质可证明结论；
（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，通过证明四边形ADCE是菱形，然后由菱形的面积公式：S＝AC DE进行解答．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝3，
∴AD＝DB＝CD＝3．
∴AB＝6，由勾股定理得AC＝3．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝3．
∵EC＝BD＝AD，CE∥DB，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°．
∴平行四边形ADCE是菱形，
∴S菱形ADCE＝．
23. （10分）如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；
（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】（1）延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解题；
（2）连接AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S四边形AEDF=S△ABC，再根据△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF，即可解题．
【解答】（1）证明：延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，
∵DE=DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分DE，
∴EF=FG，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE=90°，
∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，
∵CG2+CF2=FG2，
∴BE2+CF2=EF2；
（2）解：连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，
∴S四边形AEDF=S△ABC，
∴S△AEF=×5×12=30，
∴△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF=．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键．
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第19讲 直角三角形
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
直角三角形 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理;
勾股定理 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
勾股定理逆定理
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：
性质 直角三角形两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
图示
几何描述 在△ABC，∠C=90°∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC
判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.
面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
【典例1】如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是（　　）
A．3 B．6 C． D．
【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．则∠CFE的度数是（　　）
A．90° B．113° C．123° D．143°
【典例3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①BE＝DE＝2；
②DE垂直平分线段AC；
③AB＝3；
④CD＝．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点二 勾股定理
文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么.
变式：，，
,,.
【易错点】
1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是．
勾股定理的验证
方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，化简可证．
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为，所以
方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.
，，化简得证
图一 图二 图三
【典例1】如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．44
【典例2】在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是（ ）．
A.3 B．4 C．5 D．6
【典例3】如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是　 　．
考点三 勾股定理逆定理
1.勾股数
勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数.
勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数；
2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.
常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.
2.勾股定理的逆定理
内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边.
【补充说明】
1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；
2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形；
②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；
③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形
【典例1】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　）
A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α
【典例2】观察下列几组数据：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有( )组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例3】如果△ABC的三边长分别为a、b、c，并且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状．
考点四 勾股定理的实际应用
1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1）从实际问题中抽象出几何图形；
2）确定与问题相关的直角三角形；
3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4）求得符合题意的结果.
2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型
1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题；
2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题；
3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题；
4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题.
【典例1】图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 　 ．
【典例2】小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？
【典例3】如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．
（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？
（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？
专项训练·深度理解
专项训练十九：直角三角形
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，EF∥BC，∠AFE＝55°，则∠B的度数为（　　）
A．30° B．35° C．50° D．55°
2. 一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线和高分别为（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
3. 如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8cm，则DE的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
4. 一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列说法不正确的是（　　）
A．与∠1互余的角只有∠2
B．点B到CD的距离是BD的长
C．∠1＝∠B
D．若∠A＝2∠1，则∠B＝30°
6. 将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（　　）
A．2 B．22 C．2 D．2
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，且BD＝，若Rt△ABC的面积为2，则它的周长为（　　）
A．+2 B．+4 C．2+4 D．2+2
8. Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为( )
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
9. （2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
10. （2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为（ ）
A．12 B．12.5 C．13 D．13.5
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，点D为AB的中点，则CD的值是 　　cm．
12. 如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得∠A＝30°，BC的长度为20m，则边界AC的中点D与点B的距离是 　　m．
13. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为 ．
14. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
15. 在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 　．
16. （2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则________________．（结果保留根号）

三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．
（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．
（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．
（4）画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．
18. （6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，DE⊥AC，垂足为点E，连接DC．
（1）若∠A＝36°，求∠BCD的度数；
（2）若∠A＝30°，DE+BC＝6，求DE和EC的长．
19. （6分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
20. （8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在BC的延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD．
（1）当∠ABC＝60°，∠P＝　45°　；当∠ABC＝50°，∠P＝　45°　；当∠ABC＝40°，∠P＝　45°　；
（2）当∠ABC为任意锐角时，∠P的度数是否会发生变化？若会变化，请说明理由；若不会变化请求出这个确定的度数．
21. （8分）如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE，CE，点F是线段AE上一点，∠ABF=∠CBE，BE=BF，连接CE，CF．
（1）试求线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．
22. （8分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若∠B＝60°，BC＝3，求四边形ADCE的面积．
23. （10分）如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；
（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
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