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倾斜面内的圆周运动分析
一、单选题（本大题共8小题）
1．和火车转弯类似，在高速公路的转弯处，路面通常都是外高内低。在某路段一汽车向左转弯，公路的竖直截面如图所示，图中h=0．5m，x=6m。汽车转弯时若以设计速度驶过弯道，车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，已知转弯的设计速度为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则该路段设计的汽车转弯的半径为（　　）
A．120m B．10m C．12m D．6 m
2．如图所示，一倾斜的匀质圆盘垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面间的夹角为30°，g取10m/s2．则ω的最大值是( )
A．rad/s B．rad/s C．1.0rad/s D．0.5rad/s
3．在一个倾角为 的山岩斜面上，质量为、可视为质点的探险爱好者用长为、不可伸长的轻绳一端固定在斜面上的点，另一端系住自己.现探险爱好者将轻绳拉直，使轻绳水平且与斜面平行，然后探险爱好者沿半径为的圆周做初速度为零、切线方向加速度大小为的加速运动，如图所示.重力加速度大小为，不计空气阻力，探险爱好者运动到最低点时轻绳的拉力的大小为(　　)
A． B． C． D．
4．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴转动，角速度从零缓慢增大，圆盘与水平桌面的夹角为，圆盘的半径为R，圆盘边缘处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆盘最大的角速度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，一倾斜的匀质圆盘垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面间的夹角为30°，g取10m/s2．则ω的最大值是( )
A．rad/s B．rad/s C．1.0rad/s D．0.5rad/s
6．在一个倾角为θ的山岩斜面上，质量为m、可视为质点的探险爱好者用长为L、不可伸长的轻绳一端固定在斜面上的O点，另一端系住自己.现探险爱好者将轻绳拉直，使轻绳水平且与斜面平行，然后探险爱好者沿半径为L的圆周做初速度为零、切线方向加速度大小为a的加速运动，如图所示.重力加速度大小为g，不计空气阻力，探险爱好者运动到最低点时轻绳的拉力T的大小为 (　　)
A．3πma B．3mgsin θ
C．mgsin θ+πma D．mgsin θ+ma
7．倾斜旋转方式的摩天轮是对普通旋转方式的改良升级.在这种摩天轮上，轮轴不再是垂直于地面的，而是稍微倾斜一些.座位上的游客随着轮轴的倾斜，可以感受到左右晃动和前后倾斜的效果，增加了游乐的趣味性.如图所示，摩天轮的运动可以看成匀速圆周运动，摩天轮的座舱始终在倾斜面内，假设摩天轮的转动半径为，转动的角速度为 ，倾斜角度为 ，小明坐在舱内随摩天轮一起转动，小明的质量为，重力加速度为，不考虑小明和座舱之间的摩擦，在摩天轮正常转动过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 在最低点，小明受到摩天轮的弹力大小为
B. 最低点和最高点，小明受到的弹力大小之差为
C. 小明在与转轴中心等高的两个位置，受到的座舱的弹力大小相等
D. 若座舱运动到最高点时，从座舱上掉落一个物体，物体将在摩天轮所在的倾斜平面内做平抛运动
8．“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下来。如图所示，已知桶壁的倾角为θ，车和人的总质量为m，做圆周运动的半径为r，若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．人和车的速度为
B．人和车的速度为
C．桶面对车的弹力为
D．桶面对车的弹力为mgcos
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图甲所示，倾角为 的光滑斜面固定在水平面上，长为 的轻杆一端固定在 点，另一端连接着一个可视为质点的小球.现使小球做圆周运动，小球在最高点时的速率为 ，杆的弹力大小为 ， 图像如图乙所示.则( )
甲
乙
A．当地重力加速度为 ；
B．小球质量为 ；
C．当 时，小球对杆的弹力方向沿斜面向下；
D．当 时，小球对杆的弹力方向沿斜面向下；
10．（多选）如图所示，有一固定的内壁光滑的半球面，球心为 ，最低点为 ，有两个可视为质点且质量相等的小球 和 ，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动， 球的轨道平面高于 球的轨道平面， 、 两球与 点的连线与竖直线 间的夹角分别为 和 ，则下列说法正确的是( )
A． 、 两球所受支持力的大小之比为
B． 、 两球运动的周期之比为
C． 、 两球的角速度大小之比为
D． 、 两球的线速度大小之比为
11．如图所示，倾斜圆盘圆心处固定有与盘面垂直的细轴，盘面上沿同一直径放有质量均为m的A、B两物块（可视为质点），两物块分别用两根平行圆盘的不可伸长的轻绳与轴相连，A、B两物块与轴的距离分别为2d和d，两物块与盘面的动摩擦因数相同，盘面与水平面夹角为。当圆盘以角速度匀速转动时，物块A、B始终与圆盘保持相对静止，且当物块A转到最高点时，A所受绳子拉力刚好减小到零而B所受摩擦力刚好增大到最大静摩擦力。已知重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．运动过程中绳子对A拉力的最大值为
D．运动过程中B所受摩擦力最小值为
三、解答题（本大题共3小题）
12．如图所示，一个半径为 的实心圆盘，其中心轴与竖直方向的夹角为 .开始时，圆盘静止，其上表面覆盖着一层灰尘，没有掉落.现使圆盘绕其中心轴旋转，其角速度从零缓慢增大至 ，此时圆盘表面上的灰尘有 被甩掉.最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，设灰尘与圆盘面间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 ，则 的值为 .
13．如图所示，一半径为 的光滑半球面开口向下，固定在水平面上.为了使一个质量为 的小球 在球面上做水平的匀速圆周运动（圆心为 ），对小球施加一个大小为 的力（图中未画出， 为比例系数， 为小球的速率）， 的方向总垂直速度指向圆心 .已知球心 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为 ，重力加速度为 .求 的最小值以及小球 相应的速率v.
14．如图是场地自行车比赛的圆形赛道。路面与水平面的夹角为15°，，，不考虑空气阻力，g取10。
（1）某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，圆周的半径为60m，要使自行车不受摩擦力作用，其速度应等于多少？
（2）若该运动员骑自行车以18的速度仍沿该赛道做匀速圆周运动，自行车和运动员的质量一共是100，此时自行车所受摩擦力的大小又是多少？方向如何？
倾斜面内的圆周运动分析参考答案
1．【答案】A
【详解】设路面的斜角为θ，作出汽车的受力图，如图，
根据牛顿第二定律，得，又由数学知识得到，联立解得，故选A。
2．【答案】C
【详解】试题分析：随着角速度的增大，小物体最先相对于圆盘发生相对滑动的位置为转到最低点时，此时对小物体有，解得，此即为小物体在最低位置发生相对滑动的临界角速度，选C．
3．【答案】C
【解析】由于切线方向上加速度大小为，切线方向上有，，可得，在最低点时，由沿半径方向的合力提供向心力，有，可得，故选.
4．【答案】B
【详解】当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得，解得，选B。
5．【答案】C
【详解】
试题分析：随着角速度的增大，小物体最先相对于圆盘发生相对滑动的位置为转到最低点时，此时对小物体有，解得，此即为小物体在最低位置发生相对滑动的临界角速度，故选C．
6．【答案】C
【思路导引】探险者在切线方向上的加速度为a，探险者的速度方向时刻沿切线方向，故探险者在切线方向上可认为做匀加速直线运动，用匀变速运动的公式求解速度，再根据向心力公式求拉力.
【解析】由于切线方向上加速度大小为a，切线方向上有v2=2as，s=·2πL=πL，可得v=，在最低点时，由沿半径方向的合力提供向心力，有T-mgsin θ=m，可得T=mgsin θ+πma，故选C.
7．【答案】C
【解析】在最低点，沿摩天轮所在平面方向有,则,垂直摩天轮所在平面方向有 ，则在最低点，小明受到的摩天轮的弹力大小为，A错误；同理，在最高点，小明受到的摩天轮的弹力大小为,则 ,B错误;小明在与转轴中心等高的两个位置，沿摩天轮所在平面和垂直于摩天轮所在平面受到的力大小相等，弹力大小相等，C正确；若座舱运动到最高点时，从座舱上掉落一个物体，物体将在竖直平面内做平抛运动，D错误.
8．【答案】A
【详解】
CD．对车和人受力分析，受本身重力和桶壁的支持力，如图
由图根据三角函数关系可知
，
CD错误；
AB．演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动，合力提供向心力
解得
故B错误，A正确。
故选A。
9．【答案】AC
【详解】题图乙中的 对应在最高点合力等于 的情况，即 ，所以 ，A正确；题图乙中的 对应在最高点 时，则 ，所以 ，B错误；由题图乙可知，当 时，由牛顿第二定律可得 ，解得 ， 为支持力，由牛顿第三定律知，小球对杆的弹力沿斜面向下，C正确；由题图乙可知，当 时，由牛顿第二定律可得 ， ， 为拉力，由牛顿第三定律知小球对杆的弹力方向沿斜面向上，D错误.
10．【答案】CD
【详解】小球受到的合力沿水平方向，提供小球做圆周运动的向心力，设小球与 点的连线与竖直方向的夹角为 ，根据平行四边形定则，小球受到的支持力 ，所以 、 两球所受支持力的大小之比为 ，故A错误；小球在水平面内做匀速圆周运动，受到的合外力提供向心力，有 ，且 ，解得小球运动的周期 ，所以 、 两球运动的周期之比为 ，故B错误；根据 ，得小球运动的角速度 ，所以 、 两球运动的角速度大小之比为 ，故C正确；根据 ，得小球运动的线速度 ，所以 、 两球运动的线速度大小之比 ，故D正确.
11．【答案】ABD
【详解】A．对A、B受力分析，A在最高点由牛顿第二定律有，
B在最低点，由牛顿第二定律有，联立解得，故A正确；
B．由向心力公式可得，代入，解得，故B正确；
C．运动过程中，当A到最低点时，所需的拉力最大设为，由牛顿第二定律有
，代入数据解得，故C错误；
D．运动过程中，当B到最高点时，所需的摩擦力最小设为，由牛顿第二定律有
，联立解得，故D正确。
故选ABD。
12．【答案】
【详解】由于灰尘随圆盘做圆周运动，其向心力由灰尘受到的指向圆心的合力提供，且半径越大处的灰尘越容易被甩掉.当 的灰尘被甩掉时，设剩余灰尘所在圆的半径为 ，则有 ,解得 ，如图所示.灰尘在最下端时指向圆心的合力最小，根据牛顿第二定律有 ，解得 .
13．【答案】
【详解】设小球 在球面上做速率为 的水平匀速圆周运动，该圆周的圆心为 ， 受到向下的重力 、力 和球面对它沿 方向的支持力 ， ，根据牛顿第二定律有 ， ，得 ，由于 是实数，必须满足 ，由此得 ，可见，为了使小球能够在该圆周上运动， 的最小值为 ，此时小球做匀速圆周运动的速率为 ，得 .
14．【答案】（1）；（2），沿斜面向下
【详解】（1）设人和自行车的总质量为，若不受摩擦力作用则由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得，解得
（2）当自行车速为，此时重力和支持力的合力不足以提供向心力，斜面对人和自行车施加沿斜面向下的静摩擦力，其受力分析如图所示
根据牛顿第二定律可得：在轴方向，在轴方向，联立解得
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