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水平面内匀速圆周运动临界状态分析
一、单选题（本大题共8小题）
1．如图所示，质量均为 的带孔小球 、 穿在竖直面内的光滑金属圆环上，金属圆环半径为 ，用两根长度均为 的轻质细绳一端分别系于 、 球上，另一端分别系于金属圆环的最高点和最低点.现让金属圆环以角速度 绕竖直直径转动，转动过程中细绳不会被拉断，则下列说法中正确的是( )
A．当 时，连接 球的细绳恰好无张力
B．当 时，连接 球的细绳恰好被拉直
C．继续缓慢增大圆环的角速度， 球有可能会沿金属圆环向上移动
D．继续缓慢增大圆环的角速度，金属圆环对 球的作用力有可能为零
2．一个内壁光滑的圆锥形容器固定如图，其轴线垂直于水平面，小球A、B紧贴着容器内壁在不同水平面内做匀速圆周运动，若A、B质量相等，且A 球轨道较高，则（　　）
A．A球的角速度小于B球的角速度
B．A球的线速度等于B球的线速度
C．A球的运动周期小于B球的运动周期
D．A球对器壁的压力大于B球对器壁的压力
3．如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则（ ）
A．子弹在圆筒中的水平速度为 B．子弹在圆筒中的水平速度为
C．圆筒转动的角速度可能为 D．圆筒转动的角速度可能为
4．有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．如图甲，汽车通过凹形桥的最低点处于失重状态
B．如图乙，小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动，小球的过最高点的速度至少等于
C．如图丙，用相同材料做成的A、B两个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起做匀速圆周运动，，，转台转速缓慢加快时，物体A最先开始滑动
D．如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对外轮缘会有挤压作用
5．如图所示，水平光滑桌面上有一个小球在细绳的作用下，绕桌面上的固定点O做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A．若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变大
B．若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变小
C．若增大绳长，保持角速度不变，则拉力不变
D．若增大绳长，保持角速度不变，则拉力变小
6．如图所示，质量为 的木块，静置于离转轴 水平转动的转盘上.木块用一轻绳拴着，轻绳穿过转盘中央的细管，与质量也为 的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的 倍 , 取 .以下说法正确的是( )
A．木块受到摩擦力总是沿轻绳方向
B．在转速一定的条件下，木块受到的摩擦力跟木块到转轴的距离成正比
C．转盘以角速度 匀速转动时，木块受到摩擦力大小为
D．要保持木块与转盘相对静止，转盘转动的角速度不能大于
7．如图所示，在半径为 的半球形碗的光滑表面上，一质量为 的小球以角速度 在水平面内做匀速圆周运动，则该水平面到碗底的距离 为( )
A． B． C． D．
8．市面上有一种自动计数的智能呼啦圈深受女士喜爱.如图甲所示,腰带外侧带有轨道,将带有滑轮的短杆穿过轨道,短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳,其模型简化如图乙所示.已知配重质量为0.5 kg,绳长为0.4 m,悬挂点到腰带中心的距离为0.2 m.水平固定好腰带,通过人体微小扭动,使配重做水平匀速圆周运动,计数器显示在1 min内圈数为120,此时绳子与竖直方向夹角为θ.配重运动过程中腰带可视为静止不动,g=10 m/s2,sin 37°=0.6,下列说法正确的是 (　　)
A．匀速转动时,配重受到的合力恒定不变
B．若增大转速,腰受到腰带的弹力变大
C．配重的角速度是120 rad/s
D．θ为37°
二、多选题（本大题共3小题）
9．（多选）一转动装置如图所示，四根轻杆 、 、 和 与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为 ，球和环的质量均为 ， 端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在 与小环之间，原长为 ，装置静止时，弹簧长为 ，以 为轴转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升.弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为 ，则下列说法正确的是( )
A．装置静止时， 杆的弹力为
B．弹簧的劲度系数为
C． 杆中弹力为零时，装置转动的角速度
D． 杆中弹力为零时，装置转动的角速度
10．（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块 和 放在转盘上，两者用长为 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的 倍， 放在距离转轴 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴 转动（重力加速度为 ）.开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( )
A．当 时， 、 相对于转盘会滑动
B．当 ，细绳一定有弹力
C． 在 范围内增大时， 所受摩擦力变大
D． 在 范围内增大时， 所受摩擦力一直变大
11．如图所示，置于竖直面内半径为 的光滑金属圆环，质量为 的带孔小球穿于环上，同时有一长为 的细绳一端系于圆环最高点，另一端系小球，当圆环以角速度 绕圆环竖直直径转动时( )
A．细绳对小球的拉力不可能为零
B．细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等
C．金属圆环对小球的作用力不可能为零
D．当 时，金属圆环对小球的作用力为零
三、实验题（本大题共2小题）
12．如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心r处的P点不动。

（1）关于小强的受力，下列说法正确的是 ；
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．当使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力不变
（2）如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力是否指向圆心 。
13．某兴趣小组的同学设计了图甲所示的装置测量滑块（可视为质点）和水平台面间的动摩擦因数。水平转台能绕竖直的轴匀速转动，装有遮光条的小滑块放置在转台上，不可伸长的细线一端连接小滑块，另一端连到固定在转轴上的力传感器上，连接到计算机上的传感器能显示细线的拉力F，安装在铁架台上的光电门可以读出遮光条通过光电门的时间t，兴趣小组采取了下列步骤：
①用十分度的游标卡尺测量遮光条的宽度d。
②将滑块放置在转台上，使细线刚好绷直，量出滑块到转轴的距离L。
③控制转台以某一角速度匀速转动，记录力传感器和光电门的示数，分别为和；依次增大转台的角速度，并保证每次都做匀速转动，记录对应的力传感器示数、……和光电门的示数、……。
回答下面的问题
（1）由于游标卡尺老旧前面刻度丢失，示数如图乙所示，则d= mm。
（2）滑块匀速转动的角速度大小可由ω= 计算得出（用d、t、L表示）。
（3）处理数据时，兴趣小组的同学以力传感器的示数F为纵轴，对应的角速度大小的平方为横轴，建立直角坐标系，描点后拟合为一条直线，如图丙所示（图中a、b已知），设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则滑块和台面间的滑动摩擦因数μ= 。
（4）该小组同学换用相同材料的质量更大的滑块再次做了该实验，作出的图像，与图丙中a和b比较，发现a 、b （填“增大”“减小”和“不变”）。
四、解答题（本大题共3小题）
14．[辽宁省实验、大连八中、东北育才学校等五校协作体2021高一上期末]（20分）如图所示是中国传统的团圆桌.餐桌上放一半径为 可绕中心轴转动的圆盘，近似认为餐桌与圆盘在同一水平面内，忽略两者之间的间隙.餐桌离地高度为 ，将某小物体放置在圆盘边缘，该物体与圆盘之间的动摩擦因数为 ，与餐桌之间的动摩擦因数为 ，设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力， 取
（1） 缓慢增大圆盘的转速，求物体从圆盘上甩出的速度大小;
15．最近山东淄博凭借烧烤火爆出圈，其实淄博美食出名的不止有烧烤，淄博博山更是被誉为是鲁菜的发源地，下图为体现齐鲁食礼的百年宴席——博山四四席。假设旋转餐桌上某个餐盘及盘中菜肴的总质量为1.2kg，餐盘与转盘间的动摩擦因数为0.2，距中心转轴的距离为0.5m，若轻转转盘，使餐盘随转盘以0.5m/s的速率保持匀速转动，转动过程中餐盘和转盘始终保持相对静止。求：
（1）餐盘的向心加速度大小；
（2）餐盘与转盘间的摩擦力大小；
（3）为防止转动过程中餐具滑出而发生危险，旋转转盘时的角速度不能超过多大？

16．一根不可伸长的细线长为 ，细线一端系一可视为质点、质量 的小球，另一端固定在一光滑圆锥的顶部，如图甲所示，小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为 ，细线的张力大小为 ， 随 变化的规律如图乙所示. ， , ，不计一切摩擦.
甲
乙
（1） 求圆锥母线与轴的夹角 ；
（2） 写出 段所描绘的小球的运动中 和 的函数关系式，并求出 点坐标.
参考答案
1．【答案】B
【详解】当 时，对 球有 ，解得 ，小球 受重力以及细绳的拉力的合力刚好提供小球所需的向心力，此时小球不受金属圆环的作用力，A错误；对 球，当连接 球的细绳恰好被拉直时，有 ，解得 ，B正确；继续缓慢增大圆环的角速度，金属圆环对 球的弹力沿半径向内，又由于竖直方向上 球和 球所受合力均为零，可知细绳对 球的拉力应不断增大， 球不可能沿金属圆环向上移动，C错误；继续缓慢增大圆环的角速度，水平向内的合力增大，竖直合力仍为零，则连接 球的细绳上会有拉力，圆环对球的支持力会增大，D错误.
2．【答案】A
【详解】ABC．小球在轨道上受力如图所示
根据牛顿第二定律可得，可得，，，由于A球的半径大于B球的半径，所以A球的角速度小于B球的角速度，A球的线速度大于B球的线速度，A球的运动周期大于B球的运动周期，A正确，BC错误；
D．竖直方向根据受力平衡可得，可得，由于两球质量相等，所以器壁对球的支持力相等，即A球对器壁的压力等于B球对器壁的压力，D错误。选A。
3．【答案】D
【详解】AB．子弹做平抛运动，在竖直方向上，可得子弹在圆筒中运动的时间为，水平方向子弹做匀速运动，因此水平速度为，AB错误；
CD．因子弹从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，则圆筒转过的角度为（n取1、2、3……），则角速度为（n取1、2、3……），角速度可能为，不可能为，C错误，D正确。选D。
4．【答案】C
【详解】A．汽车过凹桥最低点时，加速度的方向向上，处于超重状态，A错误；
B．小球在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动，杆不仅提供拉力也可以提供支持力，所以小球的过最高点的速度只要大于零即可，B错误；
C．物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起做圆周运动，摩擦力充当向心力，最大角速度对应最大静摩擦力：，即：，所以A最先开始滑动，C正确；
D．火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不够提供向心力，外轨对外轮缘会有向内侧的挤压作用，D错误。
选C。
5．【答案】A
【详解】根据分析可得小球做匀速圆周运动时，绳子的拉力提供向心力，所以有FT＝F向＝mω2r，可得保持绳长不变即r不变时，若增大角速度，拉力变大，A正确，B错误；同理，保持角速度不变，若增大绳长即r变大，拉力变大，C、D错误。
6．【答案】C
【详解】当转盘加速转动时，木块加速转动，则沿切线方向存在加速度，向心力由摩擦力提供，此时摩擦力不沿轻绳方向，A错误；木块随转盘转动，在转速一定的条件下，静摩擦力和细线的拉力的合力提供向心力，转速较大时有 ，转速较小时有 ，可见木块受到的摩擦力跟木块到转轴的距离不是正比关系，B错误；转盘以角速度 匀速转动时，则有 ，解得木块受到摩擦力 ，故木块受到的摩擦力大小为 ，C正确；要保持木块与转盘相对静止，当摩擦力达到最大、且方向沿半径向内时，角速度有最大值，则有 ，解得 ， 错误.
7．【答案】D
【详解】设小球位置和 点的连线与竖直方向的夹角为 ，小球做圆周运动的半径为 ，小球所受重力和支持力的合力提供向心力，则有 ，解得 ，又因为 ，解得 ，D正确.
8．【答案】B
【解析】匀速转动时,配重受到的合力提供配重做匀速圆周运动的向心力,其大小不变,但方向变化,故配重受到的合力改变,故A错误;以配重为研究对象,受到重力和拉力,如图甲所示,
竖直方向根据平衡条件可得Tcos θ=mg,水平方向由牛顿第二定律可得mgtan θ=m(2πn)2r,转速增大,则θ增大、T增大,设腰带的质量为M、配重的质量为m,对腰带进行受力分析如图乙所示,水平方向根据平衡条件可得N=Tsin θ,若增大转速,T和θ都增大,则腰带受到腰的弹力变大,结合牛顿第三定律,腰受到腰带的弹力变大,故B正确;计数器显示在1 min内圈数为120,可得周期为T= min= s=0.5 s,角速度ω== rad/s=4 π rad/s,故C错误;根据图甲结合牛顿第二定律可得mgtan θ=mr,而圆周的半径为r=r0+Lsin θ,联立解得θ不等于37°,故D错误.
【易错分析】
本题易出现的错误有二处:一是由于不能正确确定配重做圆周运动所在的平面及圆心位置而出错,二是腰带受力分析出错,导致求解腰带所受的弹力出错.
9．【答案】AC
【详解】装置静止时，设 、 杆中的弹力分别为 、 ， 杆与转轴的夹角为 ，小球受力平衡，有 ， ，根据几何关系有 ，解得 ，故A正确；小环受力平衡，则有 ，解得 ，故B错误；当 杆中弹力为零时，设 杆中的弹力为 ， 杆与转轴的夹角为 ，弹簧长度为 ，小环受力平衡，有 ，对小球有 ， ， ，联立解得 ，C正确，D错误.
10．【答案】ABD
【思路导引】解答本题的关键是找到临界条件：（1） 所受的摩擦力为最大静摩擦力时， 、 相对于转盘即将滑动；（2） 所受摩擦力为最大静摩擦力时，细绳上开始有拉力.
【详解】当 所受的摩擦力达到最大静摩擦力时， 、 相对于转盘即将滑动，对于 有 ，对于 有 ，计算得 ，A正确；当 所受的摩擦力达到最大静摩擦力后，细绳开始出现弹力，则有 ，计算得 ，所以 时，细绳一定具有弹力，B正确；角速度 在 范围内增大时， 所受摩擦力从零增大到最大静摩擦力， 在 范围内， 所受摩擦力不变，C错误；角速度 在 范围内增大时， 所受摩擦力一直增大，D正确.
11．【答案】AD
【详解】由几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为 ，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，对小球受力分析如图所示，有 ， ，解得 ， ，则细绳对小球的拉力 不可能为零；细绳和金属圆环对小球作用力的大小不可能相等；当 时，代入解得 ，即金属圆环对小球的作用力可能为零.故B、 错误， 、 正确.
12．【答案】 C 不指向圆心
【详解】小强的向心力由其合力沿半径方向的分力提供。
（1）[1]ABC．由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因而他会受到摩擦力作用，且摩擦力充当向心力，A、B两项错误，C项正确；
D．由于小强随圆盘转动，半径不变，当圆盘角速度变小时，由Fn=mω2r可知，所需向心力变小，摩擦力变小，故D项错误。
故选C。
（2）[2]由于小强的运动在水平面内，小强在竖直方向上受力平衡，当小球随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则摩擦力不再指向圆心。
13．【答案】 7.7 ； ； 增大 不变
【详解】（1）[1]游标尺右端刻线左侧对应的是主尺的16mm刻线，游标尺总长度为9mm，则游标尺左端零刻线左侧对应的是主尺的16mm-9mm=7mm刻线，故主尺的读数应为7mm，游标尺的最小分度值为0.1mm，读数为，故游标卡尺的读数为
（2）[2]滑块通过光电门的速度可以用平均速度计算，则
根据线速度、角速度和半径关系式有
解得
（3）[3]滑块做匀速圆周运动，则根据牛顿第二定律有
整理得
由图像可得
解得
（4）[4][5]根据图像有
，
则
可知滑块质量增大，a增大，b不变。
14．【答案】
（1） ；
（2） ；
（3） ；
【思路导引】（1）物体的最大静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求得最大角速度，再求出此时的线速度；（2）物体从圆盘脱离后在餐桌上做匀减速直线运动，根据运动学公式求得通过的位移，利用几何关系求得餐桌的最小半径；（3）物体脱离圆盘后在餐桌上做匀减速直线运动，根据运动学公式求得物体脱离餐桌时的速度，然后物体开始做平抛运动，根据运动学公式和几何关系即可求解落地点与圆盘甩出点的水平距离.
（1）由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大.当静摩擦力达到最大时，小物体即将从圆盘上甩出去，此时圆盘的角速度达到最大，有 ， ，两式联立可得 ，所以速度
（2）当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，餐桌半径 最小.设物体在餐桌上滑动的位移为 ，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为 ，则有 ， ，所以 ，物体在餐桌上滑动的初速度为 ，由运动学公式 可得 ，由几何关系可知餐桌半径的最小值为 .
（3）物体滑离餐桌后做平抛运动，平抛运动的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度 ，由题意可得 ，由于餐桌半径为 ，所以 ，可得
设物体做平抛运动的时间为 ，则有 ，解得 ，所以物体做平抛运动的水平位移 ，由题意可得 .
【详解】
（2） 上一问中，为使物体不滑落到地面，餐桌半径 的最小值为多少;
（3） 假设餐桌半径 ，物体从圆桌上被甩出后，落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离为多少？
15．【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据餐盘的线速度和半径，可得餐盘的向心加速度大小为
代入数据解得
（2）餐盘与转盘间的摩擦力提供餐盘做匀速圆周运动的向心力，根据向心力公式可得，餐盘受到的摩擦力大小为
代入数据解得
（3）若设餐具与桌面之间的摩擦因数为，则当餐具刚好不相对转盘滑动时需满足
则有
代入数据解得
16．【答案】
（1） ；
（2） ； 点坐标为；
【详解】
（1）由题图乙可知，当角速度为0时，细线拉力为 ，此时小球处于静止状态，根据受力平衡可得 ，解得 ，可得 .
（2）由题图乙可知， 段小球一直与圆锥接触， 点小球刚要离开圆锥接触面，设圆锥对小球的支持力为 ，竖直方向根据受力平衡可得 ，
水平方向根据牛顿第二定律可得 ，
联立可得 和 的函数关系式为 ，
点小球刚要离开圆锥接触面，此时 ，可得 ，
，联立解得 ， ，故B点坐标为 .
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