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圆锥摆问题
一、多选题（本大题共3小题）
1．如图所示，一小球在细绳作用下在水平面向内做匀速圆周运动，小球质量为m，细绳的长度为L，细绳与竖直方向的夹角为，不计空气阻力作用，则下列说法正确的是（　　）
A．小球共受到两个力的作用 B．小球的向心力大小为
C．小球受到的拉力大小为 D．小球受到的拉力大小为
2．如图所示，为一种圆锥筒状转筒，左右各系着一长一短的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．角速度慢慢增大，一定是线长的那个球先离开圆锥筒
B．角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开圆锥筒
C．两个球都离开圆锥筒后，它们的高度不一定相同
D．两个球都离开圆锥筒后，它们的高度一定相同
3．（多选）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球 ，细线的上端固定在金属块 上， 放在带小孔（小孔光滑）的水平桌面上，小球 在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）.现使小球 到更高的水平面上做匀速圆周运动（图中 位置），金属块 始终静止在桌面上，后一种情况与原来比较，下面的说法中正确的是( )
A．小球 运动的线速度变小 B．小球 运动的角速度变小
C． 受到桌面的静摩擦力变大 D． 受到桌面的支持力不变
二、单选题（本大题共8小题）
4．当圆锥摆的摆球m以角速度ω在水平面上做匀速圆周运动时，绳子拉力为F，摆线与竖直线夹角为，如果ω增大则F和的变化情况是 （　　）
A．F增大，减小 B．F减小，增大
C．F和都增大 D．F和都减小
5．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在水平地面上，其轴线处于竖直方向，A、B两个小球紧贴着筒内壁分别在不同的两个水平面上做匀速圆周运动（A做圆周运动的半径大于B，即RA>RB）。分析A、B两球的运动，可知它们具有相同的（　　）
A．线速度 B．角速度 C．向心加速度 D．周期
6．两根长度不同的不可伸长的细绳下面分别悬挂两个小球,细绳上端固定在同一点,若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动,则两个小球在运动的过程中,相对位置关系的示意图正确的是 (　　)
A． B． C． D．
7．两根长度不同的不可伸长的细绳下面分别悬挂两个小球，细绳上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个小球在运动的过程中，相对位置关系的示意图正确的是( )
A． B．
C． D．
8．有关圆周运动的基本模型,下列说法正确的是（ ）
A．如图a，汽车通过拱桥的最高点时对桥的压力大于汽车的重力
B．如图b所示是一圆锥摆，小球做圆周运动的向心力由绳拉力提供
C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别在水平面内做匀速圆周运动，则在A、B两位置圆锥筒对小球的支持力大小相等
D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
9．如图所示，长度不同的两根轻绳 与 ，一端分别连接质量为 和 的两个小球，另一端悬于天花板上的同一点 ，两小球质量之比 ，两小球在同一水平面内做匀速圆周运动，绳 、 与竖直方向的夹角分别为 与 ，下列说法中正确的是( )
A．绳 、 的拉力大小之比为
B．小球 、 运动的向心力大小之比为
C．小球 、 运动的周期之比为
D．小球 、 运动的线速度大小之比为
10．市面上有一种自动计数的智能呼拉圈深受女士们喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，轨道内有一滑轮，滑轮与细绳连接，细绳的另一端连接配重，其模型简化如图乙所示．已知配重质量0.5kg，绳长为0.4m，悬挂点到腰带中心的距离为0.2m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运动，计数器显示在1min内圈数为120，此时绳子与竖直方向夹角为θ，配重运动过程中腰带可看做不动，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（　　）
A．匀速转动时，配重受到的合力恒定不变
B．配重的角速度是240πrad/s
C．θ为37°
D．若增大转速，细绳拉力变大
11．如图所示，长度不同的两根轻绳 与 ，一端分别连接质量为 和 的两个小球，另一端悬于天花板上的同一点 ，两小球质量之比 ，两小球在同一水平面内做匀速圆周运动，绳 、 与竖直方向的夹角分别为 与 ，下列说法中正确的是( )
A．绳 、 的拉力大小之比为
B．小球 、 运动的向心力大小之比为
C．小球 、 运动的周期之比为
D．小球 、 运动的线速度大小之比为
三、实验题（本大题共2小题）
12．如图所示，细线下面悬挂一钢球（可看作质点），钢球在水平面内以O′为圆心做匀速圆周运动。若测得钢球做圆周运动的轨道半径为r，悬点O到圆心O′之间的距离为h，钢球质量为m。忽略空气阻力，重力加速度为g。 求：
（1）分析钢球在做匀速圆周运动的过程中，受到哪些力的作用；
（2）钢球做匀速圆周运动所需向心力大小；
（3）钢球做匀速圆周运动的角速度大小。
13．（6分）[山西晋城一中2023高一下月考]某探究小组设计的探究圆锥摆规律装置如图所示。有机玻璃支架上固定一个直流电动机，电动机转轴上固定一个半径的塑料圆盘，圆盘中心正下方用细线悬挂一个重锤，圆盘边缘连接一细绳细绳另一端连接一个小球。实验操作如下：

a．利用天平测量出小球的质量；
b．闭合电源开关，让小球做如图所示的匀速圆周运动。调节激光笔2的高度和激光笔1的位置（便于确定小球的轨道平面和半径），让激光恰好照射到小球的中心，用刻度尺测得小球运动的半径和球心到塑料圆盘的高度；
c．当小球第一次到达A点时开始计时，测得小球第次到达A点用时，；
d．切断电源，整理器材。
回答下列问题（计算结果保留3位有效数字，取3．14）
（1）小球做圆周运动的周期 （用题给物理量的符号表示）代入数据解得 s。
（2）小球运动的线速度大小为 （用题给物理量的符号表示），代入数据解得 m/s。
（3）当地重力加速度大小应为 （用题给物理量的符号表示）代入数据解得 m/s2。
四、解答题（本大题共3小题）
14．如图所示，AB为足够长光滑直杆，B端固定一根劲度系数为k，原长为l0的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑直杆上并与弹簧的上端连接。OO’为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ。当小球随光滑直杆一起绕OO’轴匀速转动时，弹簧伸长量为△l，求匀速转动的角速度ω。
15． 动画片《》中有这样一个情节:某天和中了设计的陷阱,被挂在了树上(如图甲),聪明的想出了一个办法,让自己和荡起来使绳断裂从而得救,其过程可简化如图乙所示,设悬点为O,离地高度为2L,两熊可视为质点且总质量为m,绳长为且保持不变,绳子能承受的最大张力为3mg,不计一切阻力,重力加速度为g,求:
(1)设和刚好在向右摆到最低点时绳子刚好断裂,则他们的落地点离O点的水平距离为多少;
(2)改变绳长,且两熊仍然在向右摆到最低点时绳子刚好断裂,则绳长为多长时,他们的落地点离O点的水平距离最大,最大为多少;
(3)若绳长改为L,两熊在水平面内做圆锥摆运动,如图丙,且两熊做圆锥摆运动时绳子刚好断裂,则他们落地点离O点的水平距离为多少.
16．（15分）如图所示，水平杆固定在竖直杆上，二者互相垂直，水平杆上 、 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为 的小球上， ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形 始终在竖直面内， 为重力加速度，不计空气阻力.
（1） 若转动的角速度 ，求 、 两绳的拉力大小；
（2） 若转动的角速度 ，求 、 两绳的拉力大小.
参考答案
1．【答案】AD
【分析】本题考查物体做圆周运动时的受力分析。
【详解】对小球受力分析，只收到重力mg和绳的拉力F。
联立解得
，
故AD正确，BC错误。
故选AD。
2．【答案】AD
【详解】AB．设绳子与竖直方向的夹角为，小球恰好离开圆锥筒时，圆锥筒的支持力为0，有
解得
由上述式子可知，对于小球来说，绳子的长度越长，小球离开圆锥筒的临界角速度越小，即越容易离开圆锥筒，故A正确，B错误；
CD．当两个球都离开圆锥筒时，此时绳子与竖直方向夹角为，小球只受重力和绳子的拉力，有
整理有
因为两个小球绕同一轴转动，所以两小球的角速度相同，即两小球高度相同，故C错误，D正确。
故选AD。
3．【答案】CD
【详解】设细线与竖直方向的夹角为 ，细线的拉力大小为 ，细线的长度为 ，小球 做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有 ， ，解得角速度 ，则线速度为 ，使小球 到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时， 增大， 减小， 增大， 增大，则细线拉力 增大，角速度增大，线速度也增大,对 ，由平衡条件得知， 受到桌面的静摩擦力变大， 、 错误，C正确； 在桌面上保持静止，根据平衡条件知， 受到桌面的支持力等于其重力，保持不变，D正确.
4．【答案】C
【详解】
设绳长为L，则由牛顿第二定律，竖直方向
水平方向
可知如果ω增大，则F和都增大。故C正确，ABD错误。
故选C。
5．【答案】C
【详解】
小球的受力情况如图所示
其所受合力提供（向心力），即
又
结合可知，、两球的运动，它们具有相同的向心加速度。
故选C。
6．【答案】B　
【解析】如图所示,设细绳的长度为L,与竖直方向的夹角为θ,小球做匀速圆周运动,有mgtan θ=mω2Lsin θ,整理得Lcos θ=为常量,即两个小球处于同一水平面上,故B正确.
7．【答案】B
【详解】如图所示，设细绳的长度为 ，与竖直方向的夹角为 ，小球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 ，整理得 ， 为常量，即两个小球处于同一水平面上，故B正确.
8．【答案】C
【详解】
A项：当汽车在拱桥顶端对桥顶的压力为F，根据，得小于重力，故A错误；
B项：小球做圆周运动的向心力由绳的拉力和重力的合力提供，故B错误；
C项：设支持力与竖直方向的夹角为α，则支持力的大小，两球质量相同，支持力相等，故C正确；
D项：火车拐弯时超过规定速度行驶时，由于支持力和重力的合力不够提供向心力，会对外轨产生挤压，即外轨对轮缘会有挤压作用，故D错误．
9．【答案】B
【详解】小球在水平面内做匀速圆周运动，设绳 、 的拉力大小分别为 、 ，在竖直方向,根据平衡条件可得拉力大小 ， ，则绳 、 的拉力大小之比为 ，A错误；小球在水平面内做匀速圆周运动，小球 运动的向心力大小 ，小球 运动的向心力大小 ，则 ，B正确；小球在水平面内做匀速圆周运动，则有 ， ，综合得 ，C错误；小球在水平面内做匀速圆周运动，则有 ， ，则小球 、 运动的线速度大小之比为 ，D错误.
10．【答案】D
【详解】A．匀速转动时，配重受到的合力大小不变，方向时刻指向圆心而变化，因此是变力，A错误；
B．计数器显示在1min内显数圈数为120，可得周期为 ， ，B错误；
C．配重构成圆锥摆，受力分析，如图
可得，而圆周的半径为，联立解得θ不等于37°，C错误；
D．若增大转速，配重做匀速圆周运动的半径变大，绳与竖直方向的夹角θ将增大，由，，可知配重在竖直方向平衡，拉力T变大，向心力Fn变大，对腰带分析如图
可得，，腰受到腰带的摩擦力不变，腰受到腰带的弹力增大，则D正确。选D。
11．【答案】B
【详解】小球在水平面内做匀速圆周运动，设绳 、 的拉力大小分别为 、 ，在竖直方向,根据平衡条件可得拉力大小 ， ，则绳 、 的拉力大小之比为 ，A错误；小球在水平面内做匀速圆周运动，小球 运动的向心力大小 ，小球 运动的向心力大小 ，则 ，B正确；小球在水平面内做匀速圆周运动，则有 ， ，综合得 ，C错误；小球在水平面内做匀速圆周运动，则有 ， ，则小球 、 运动的线速度大小之比为 ，D错误.
12．【答案】（1）钢球受到竖直向下的重力、细线给钢球沿绳子方向的拉力；（2）；（3）
【详解】（1）钢球受到竖直向下的重力，细线对钢球沿绳子方向的拉力。
（2）钢球所需的向心力为
（3）根据牛顿第二定律可得，解得
13．【答案】（1） 2 （2） 1．26 （3） 9．86
【详解】（1）[1][2]从球第1次到第双次通过A位置，转动圈数为，时间为t，故周期为，代入数据解得。
（2）[3][4]小球的线速度大小为，代入数据解得。
（3）[5][6]小球受重力和拉力，合力提供向心力，设线与竖直方向的夹角为，则
，小球做圆周运动的周期，根据，解得
，代入数据解得。
14．【答案】
【详解】
弹簧伸长量为时小球受力如图所示：
设球做圆周运动的半径为：
水平方向上有：
竖直方向上有：
联立解得：
答：匀速转动的角速度.
15．【答案】(1)L　(2)当绳长为L时,落地点离O点的水平距离最大　2L　(3)L
【解析】(1)在最低点绳刚好断裂,有3mg-mg=m,绳子断后,两熊做平抛运动,则竖直方向上有L=g,两熊落地点离O点的水平距离x1=v1t1,联立可得x1=L;
(2)设绳长为d,则在最低点3mg-mg=m,绳子断后,两熊做平抛运动,则2L-d=g,两熊落地点离O点的水平距离x2=v2t2,即x2=2,则当d=L时,两熊落地点离O点水平距离最远,此时最大值x2=2L;
(3)两熊做圆锥摆运动时,设绳子与竖直方向的夹角为θ时,绳子被拉断.竖直方向3mgcos θ=mg,水平方向3mgsin θ=m,此时两熊离地面的高度为h=2L-Lcos θ,此后两熊做平抛运动h=g,水平位移x3=v3t3,由几何关系可知,落地点到O点的水平距离s= ,联立可求得s=L.
16．【答案】
（1） ; ；
（2） ;
【详解】
（1）当 绳的拉力刚好为零时，对小球受力分析，有 ，解得 ，
因为 ，所以两绳均有拉力，对小球进行受力分析，有 ，
，
联立解得 ， .
（2）因为 ，所以 绳与竖直方向夹角大于 ， 绳此时对小球没有拉力，即 .设 绳与竖直方向夹角为 ，对小球进行受力分析，由牛顿第二定律得 ，解得 .
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