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第十五届陈省身全国高中数学夏令营
第一天(2025年7月23日1800-21：00)
(每题50分，共200分)
1.已知非等腰锐角△ABC的内切圆⊙I与边BC,CA,AB分别切于点D,E,F,边
BC,CA,AB的中点分别为A,B,C,EF,FD,DE的延长线与△ABC的外接圆⊙O分别交
于点D,E,F，△ADD,△B,EE,△CFF的外心分别为O,O2,O3,(1I)证明
4Sa0o≥SABc:(2)若⊙0的劣弧BC,CA,AB的中点分别为L,M,N，O1,O,1,O,1的
延长线与⊙O分别交于点A,B,C,直线AA,BB',CC'与MN,NL,LM分别交于点
L,M1,N1,证明直线LL,MM1,NN三线交于一点。
D
2.设q是给定的正整数，正整数a满足1≤a≤2gng,其中u表示实数u与其最接近的整数之间的距离。
ax
3.是否存在无穷多个素数组成的数列{Pn}(n∈N),使得对每个k∈N都有
Pk+1=12Pk+1或Pk+1=12Pk-1.
4.己知n为正整数，在平面直角坐标系中，设点O的坐标为(0,0)，点集
M={(x,yx,y∈{0,1，，，x2+y2≠0，对于点集M的一个二元子集{A,B},如果平
行四边形OACB的面积为1，且CM,则称二元子集{A,B为M的“好集”，并称
OA OB
为M的好集{A,B}的“度”，证明点集M的所有好集的度之和小于
2
第十五届陈省身全国高中数学夏令营
第二天(2025年7月24日1800-21：00)
(每题50分，共200分)
5.已知锐角△ABC满足BC>CA>AB,边BC,CA,AB的中点分别为A,B,C,点A,与点
A在直线BC的异侧，且满足△ABA,∽△BAA,类似地，定义点B2,C2,()证明直线
AA,BB2,CC2三线交于一点K；(2)设△4BC的三条高线分别为AA,BB,CC3,直线
KA,KB1,KC1与AA,BB3,CC3分别交于点A4,B4,C4,在六边形A,C4B3A,C3B4中，证明
∠A,+∠B+∠C3=180°。
6.已知n为正整数，由属于集合{L,2,…,n+1}的n+1个正整数构成一个数列a1,a2,…,an+1
且这n+1个正整数中有k个1，其中1≤k≤n+1(除了1以外，集合中其他各数至多出现1次)。
对这个数列进行一次操作的定义如下：如果a=m>1,就将这个数列的前m项的顺序颠倒过来，
得到一个新的数列an,am-1,…4,0m+1,0m+2,,an1。如果a,=1，不进行操作。例如当n=3时，
若初始数列为2,4,3,1，对这个数列进行一次操作得到数列4,2,3,1，再进行一次操作得到1,3,2,4，
此后就不能再进行操作了。证明对于任意满足条件的初始数列，对这个数列进行操作的次数不超过
Fk+3-l,其中数列{Fn}为Fibonacci数列：F=E=l,Fn2=Fn1+Fn(n∈Z)。
7.对于正整数n≥3，记2”-2,3”-3，…，n”-n的最大公因数为dn,(1试问是否存在正整
数n,使得dn=2×2025;（2)设素数由小到大排列依次为p,P2,…,对于正整数m,记
q。=p,试问是否存在正整数n,使得qmsd。
8.给定正整数N>2025,设S,=∑b,2,(v=0,1),其中实数b,≥0，复数满足
=1(a=12,者正整数K之N,亚明壁s:

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