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第2课时　基本不等式在实际问题中的应用
[学习目标]　1．熟练掌握基本不等式及其变形的应用．(数学抽象) 2．会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题．(数学抽象)
探究1　简单的和定、积定问题
[典例讲评]　【链接教材P46例3】
1．(源自湘教版教材)(1)把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
(2)把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
[尝试解答]　_________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________　该类应用题实际上是基本不等式最值定理的实际应用，解答过程中，一是注意实际问题中变量的范围，二是注意应用基本不等式求最值的条件．
[学以致用]　1．已知直角三角形的面积为8 cm2，当两条直角边各为多长时，两条直角边的长度和最小？最小值是多少？
____________________________________________________________________
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____________________________________________________________________ 探究2　费用最低(用料最少)问题
[典例讲评]　2．某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200 m2，高度为1 m的三段污水处理池(如图)，由于受地形限制，其长、宽都不超过18 m，已知池的外壁的建造费为400元/m2，池中两道隔墙(与宽平行)的建造费为248元/m2，池底的建造费为．设污水处理池的长为x m，总造价为y元．
(1)求y的表达式；
(2)污水处理池的长与宽各是多少时，总造价最低？求出这个最低造价．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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____________________________________________________________________　利用基本不等式解决实际问题的关键是构建模型，分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他变量．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)靠拢．
[学以致用]　【链接教材P48练习T3】
2．小明在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度．
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____________________________________________________________________ 探究3　方案设计问题
[典例讲评]　【链接教材P47例4】
3．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH＝2EF)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm(宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10 cm)，设EF＝x cm．
(1)当x＝60时，求海报纸(矩形ABCD)的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)
[尝试解答]　_________________________________________________________
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____________________________________________________________________　应用基本不等式解决实际问题的思路与方法
(1)理解题意，设出变量．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题．
(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)根据实际背景写出答案．
[学以致用]　【链接教材P58复习参考题2T9】
3．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C．已知AB＝4 m，AD＝3 m，当BM＝________m时，矩形花坛AMPN的面积最小．
1．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C(单位：万元)与仓储中心到机场的距离s(单位：km)之间满足的关系为C＝＋2s＋2 000，则当C最小时，s的值为(　　)
A．2 080　 　 B．40 020
C．20 　 D．20
2．(教材P48练习T1改编)用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　)
A．9 cm2 　 B．16 cm2
C．4 cm2 　 D．5 cm2
3．某校为了庆祝建校100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400 m2的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为(　　)
A．30 m 　 B．50 m
C．80 m 　 D．110 m
4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
1．知识链：
第2课时　基本不等式在实际问题中的应用
[探究建构]　探究1
典例讲评　1．解：(1)设两个正数为x，y，则x>0，y>0，且xy＝12．
由，可得x＋y2，
当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y＝2．
所以把12写成两个2的乘积时，它们的和最小，最小和为4．
(2)设两个正数为x，y，则x>0，y>0，且x＋y＝25．由，可得xy，
当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y．
所以把25写成两个的和时，它们的积最大，最大积为．
学以致用　1．解：设直角三角形两直角边长分别为x，y，依题意，Sxy＝8，则xy＝16，
于是x＋y28，当且仅当x＝y＝4时取等号，
所以当直角三角形直角边长都为4 cm时，两条直角边的长度和取得最小值8 cm．
探究2
典例讲评　2．解：(1)因为污水处理池的长为x m，所以宽为 m．
由题意可得解得≤x≤18．
y＝400＋16 000．
(2)因为y＝800＋16 000≥1 600×＋16 000＝44 800，
当且仅当x＝，即x＝18时取等号，
此时，．
因此，当污水处理池长为18 m，宽为 m时，其总造价最低，最低造价为44 800元．
学以致用　2．解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y) m．
法一：由已知得xy＝16，
由，可知x＋y28，
所以2(x＋y)16，
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m．
法二：由已知xy＝16，得y，
所以2(x＋y)＝2≥2×2＝16．
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m．
探究3
典例讲评　3．解：(1)设阴影部分直角三角形的高为y cm，
所以阴影部分的面积S＝6×xy＝3xy＝36 000，
所以xy＝12 000，
又x＝60，故y＝200，
由图可知AD＝y＋20＝220 cm，
AB＝3x＋50＝230 cm．
海报纸的周长为2×(220＋230)＝900 cm．
故海报纸的周长为900 cm．
(2)由(1)知xy＝12 000，x>0，y>0，
S矩形ABCD＝(3x＋50)(y＋20)＝3xy＋60x＋50y＋1 0003xy＋2＋1 000＝49 000，
当且仅当6x＝5y，即x＝100 cm，y＝120 cm时，等号成立，此时AB＝350 cm，AD＝140 cm．
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少．
学以致用　3.4　[设BM＝x(x>0)，则由DC∥AM，得，解得ND，
∴矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)≥24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立．
∴当BM＝4 m时，矩形花坛AMPN的面积最小．]
[应用迁移]
1．D　[因为C＋2 000＝2 080，
当且仅当2s，即s＝20时等号成立，
所以当C最小时，s的值为20．故选D．]
2．C　[设矩形的长为x cm，宽为y cm，0所以这个模型的面积xy4，
当且仅当x＝y＝2时取等号，
所以这个模型的最大面积为4 cm2．故选C．]
3．C　[设该矩形区域的长为x m，则宽为 m，
则所用警戒线的长度为2≥2×2＝80 m，当且仅当＝x，即x＝20时，取等号．
则所用警戒线的长度的最小值为80 m．故选C．]
4.5　8　[由题意可知，年平均利润＋18＝8，
当且仅当x，即x＝5时，年平均利润最大，为8万元．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2　基本不等式
第2课时　基本不等式在实际问题中的应用
[学习目标]　1．熟练掌握基本不等式及其变形的应用．(数学抽象) 2．会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题．(数学抽象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．利用基本不等式求最值的依据是什么？
问题2．利用基本不等式解决实际问题时应注意什么？
探究建构 关键能力达成
探究1　简单的和定、积定问题
[典例讲评]　【链接教材P46例3】
1．(源自湘教版教材)(1)把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
(2)把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
[解]　(1)设两个正数为x，y，则x>0，y>0，且xy＝12．
由≥，可得x＋y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y＝2．
所以把12写成两个2的乘积时，它们的和最小，最小和为4．
(2)设两个正数为x，y，则x>0，y>0，且x＋y＝25．由≤，可得xy≤，当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y＝．
所以把25写成两个的和时，它们的积最大，最大积为．
【教材原题·P46例3】
(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
(2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：(1)矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短．
(2)矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大．
[解]　设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x＋y)m．
(1)由已知得xy＝100．
由≥，
可得x＋y≥2＝20，所以2(x＋y)≥40，
当且仅当x＝y＝10时，上式等号成立．
因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m．
(2)由已知得2(x＋y)＝36，矩形菜园的面积为xy m2．
由≤＝9，
可得xy≤81，
当且仅当x＝y＝9时，上式等号成立．
因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2．
反思领悟　该类应用题实际上是基本不等式最值定理的实际应用，解答过程中，一是注意实际问题中变量的范围，二是注意应用基本不等式求最值的条件．
[学以致用]　1．已知直角三角形的面积为8 cm2，当两条直角边各为多长时，两条直角边的长度和最小？最小值是多少？
[解]　设直角三角形两直角边长分别为x，y，依题意，S＝xy＝8，则xy＝16，
于是x＋y≥2＝8，当且仅当x＝y＝4时取等号，
所以当直角三角形直角边长都为4 cm时，两条直角边的长度和取得最小值8 cm．
探究2　费用最低(用料最少)问题
[典例讲评]　2．某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200 m2，高度为1 m的三段污水处理池(如图)，由于受地形限制，其长、宽都不超过18 m，已知池的外壁的建造费为400元/m2，池中两道隔墙(与宽平行)的建造费为248元/m2，池底的建造费为80元/m2．设污水处理池的长为x m，总造价为y元．
(1)求y的表达式；
(2)污水处理池的长与宽各是多少时，总造价最低？求出这个最低造价．
[解]　(1)因为污水处理池的长为x m，所以宽为 m．
由题意可得解得≤x≤18．
y＝400＋16 000．
(2)因为y＝800＋16 000≥1 600×＋16 000＝44 800，
当且仅当x＝，即x＝18时取等号，
此时，．
因此，当污水处理池长为18 m，宽为 m时，其总造价最低，最低造价为44 800元．
反思领悟　利用基本不等式解决实际问题的关键是构建模型，分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他变量．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)靠拢．
[学以致用]　【链接教材P48练习T3】
2．小明在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度．
[解]　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y) m．
法一：由已知得xy＝16，
由≥，可知x＋y≥2＝8，
所以2(x＋y)≥16，
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m．
法二：由已知xy＝16，得y＝，
所以2(x＋y)＝2≥2×2＝16．
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m．
【教材原题·P48练习T3】做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？
[解]　设底面的长为x，宽为，纸盒的表面积为S，
S＝2≥32＋＝64，
当且仅当x＝，即x＝4时取等号，用纸最少为64 m2．
因此，底面的长与宽都为4 m时用纸最少．
探究3　方案设计问题
[典例讲评]　【链接教材P47例4】
3．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH＝2EF)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm(宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10 cm)，设EF＝x cm．
(1)当x＝60时，求海报纸(矩形ABCD)的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)
[解]　(1)设阴影部分直角三角形的高为y cm，
所以阴影部分的面积S＝6×xy＝3xy＝36 000，
所以xy＝12 000，
又x＝60，故y＝200，
由图可知AD＝y＋20＝220 cm，
AB＝3x＋50＝230 cm．
海报纸的周长为2×(220＋230)＝900 cm．
故海报纸的周长为900 cm．
(2)由(1)知xy＝12 000，x>0，y>0，S矩形ABCD＝(3x＋50)(y＋20)＝3xy＋60x＋50y＋1 000≥3xy＋2＋1 000＝49 000，
当且仅当6x＝5y，即x＝100 cm，y＝120 cm时，等号成立，此时AB＝350 cm，AD＝140 cm．
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少．
【教材原题·P47例4】
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为
3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3 m，池底的边长没有确定．如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低．
[解]　设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元．根据题意，有
z＝150×＋120(2×3x＋2×3y)＝240 000＋720(x＋y)．
由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800，
因此
xy＝1 600．
所以
z≥240 000＋720×2，
当x＝y＝40时，上式等号成立，此时z＝297 600．
所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元．
反思领悟　应用基本不等式解决实际问题的思路与方法
(1)理解题意，设出变量．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题．
(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)根据实际背景写出答案．
[学以致用]　【链接教材P58复习参考题2T9】
3．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C．已知AB＝4 m，AD＝3 m，当BM＝________m时，矩形花坛AMPN的面积最小．
4　
4　[设BM＝x(x>0)，则由DC∥AM，得，解得ND＝，
∴矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)≥24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立．
∴当BM＝4 m时，矩形花坛AMPN的面积最小．]
【教材原题·P58复习参考题2T9】如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2．设总造价为S(单位：元)，
AD长为x(单位：m)．当x 为何值时，S最小？并求出这
个最小值．
[解]　由题意，有AM＝，又AM＞0，有0＜x＜10．
S＝4 200x2＋210×(200－x2)＋80×2×＝4 200x2＋42 000－210x2＋
＝4 000x2＋＋38 000≥2＋38 000
＝80 000＋38 000＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，
即x＝时取等号．
因此，当x＝ m时，S最小且Smin＝118 000元．
【教用·备选题】　(源自湘教版教材)某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接．已知这块绿化景观地带的内圈周长为400 m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？
[解]　设平行线段长为x m，半圆形直径为d m，中间的矩形区域面积为S m2．
由题意可知S＝xd，且2x＋πd＝400，
所以S＝xd＝·πd·2x≤，
当且仅当πd＝2x＝200，即d＝，x＝100时，等号成立．
所以当平行线段的长设计为100 m时，中间矩形区域的面积S最大，最大值为 m2．
应用迁移 随堂评估自测
1．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C(单位：万元)与仓储中心到机场的距离s(单位：km)之间满足的关系为C＝＋2s＋2 000，则当C最小时，s的值为(　　)
A．2 080　 　 B．40 020
C．20 　 D．20
√
D　[因为C＝＋2s＋2 000≥2＋2 000＝2 080，
当且仅当＝2s，即s＝20时等号成立，
所以当C最小时，s的值为20．故选D．]
√
2．(教材P48练习T1改编)用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　)
A．9 cm2 　 B．16 cm2
C．4 cm2 　 D．5 cm2
C　[设矩形的长为x cm，宽为y cm，0当且仅当x＝y＝2时取等号，
所以这个模型的最大面积为4 cm2．故选C．]
√
3．某校为了庆祝建校100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400 m2的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为(　　)
A．30 m 　 B．50 m
C．80 m 　 D．110 m
C　[设该矩形区域的长为x m，则宽为 m，
则所用警戒线的长度为2≥2×2＝80 m，当且仅当＝x，即x＝20时，取等号．
则所用警戒线的长度的最小值为80 m．故选C．]
4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
5　8　[由题意可知，年平均利润＋18≤－2＋18＝8，
当且仅当x＝，即x＝5时，年平均利润最大，为8万元．]
5　
8　
1．知识链：
2．方法链：配凑法、转化法.
3．警示牌：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围.
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．利用基本不等式≤求最值时，必须满足哪三个条件？
[提示]　一正、二定、三相等．
2．应用基本不等式求最值的依据是什么？
[提示]　a＋b≥2和ab≤，即“和定积最大，积定和最小”．
3．利用基本不等式解决实际问题的最值时需注意哪些问题？
[提示]　注意变量的实际意义．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(十三)　基本不等式在实际问题中的应用
√
一、选择题
1．要设计一个矩形，其对角线长为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为(　　)
A．50 　 B．25
C．50 　 D．100
A　[设矩形的长、宽分别为x，y，由题意知，x2＋y2＝100，所以矩形的面积为S＝xy≤＝50．
当且仅当x＝y＝5时等号成立．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为(　　)
A．4 mg/L 　 B．6 mg/L
C．8 mg/L 　 D．12 mg/L
A　[＝4，当且仅当t＝3时取等号，因此池塘水中药品的最大浓度为4 mg/L．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．做一个体积为8 m3，高为2 m的长方体包装箱，则所用材料的最小值为(　　)
A．4 m2 　 B．8 m2
C．16 m2 　 D．24 m2
D　[设长方体的底面矩形边长为x m，x＞0，则另一边长为 m，
所以长方体的表面积为S＝4x＋≥4×2＋8＝24，当且仅当x＝，即x＝2时取等号．
所以长方体包装箱所用材料的最小值为24 m2．故选D．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：元)与x成正比．若在距离车站6 km处建仓库，则y2＝4y1．要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站(　　)
A．2 km 　 B．3 km
C．4 km 　 D．5 km
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B　[由题意设y1＝，y2＝k2x(k1＞0，k2＞0)，仓库到车站的距离x＞0，
由于在距离车站6 km处建仓库，y2＝4y1，即6k2＝，∴k1＝9k2，
两项费用之和为y＝y1＋y2＝＋k2x≥＝6k2，
当且仅当＝k2x，即x＝3时等号成立，
即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站
3 km．故选B．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
5．(多选)某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x吨，运费为8万元/次．已知一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则下列说法正确的是(　　)
A．当x＝40时，y取得最小值
B．当x＝45时，y取得最小值
C．ymin＝320
D．ymin＝360
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
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13
14
15
AC　[一年购买某种货物800吨，每次购买x吨，则需要购买次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和y＝×8＋4x万元．
因为y＝×8＋4x≥2＝320，
当且仅当＝4x，即x＝40时，等号成立，
所以当x＝40时，y取得最小值，ymin＝320．故选AC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
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15
二、填空题
6．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．
32　[由题意，矩形中长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32．]
32　
题号
2
1
3
4
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6
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7
9
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11
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7．某商品的成本为30元/件，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，则当利润最大时，每件商品的定价为_______元．
115　[由题意设利润为y元，则y＝(x－30)(200－x)≤＝7 225，当且仅当x－30＝200－x，即x＝115时等号成立．故利润最大时，商品的定价为115元．]
115　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式．设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为________．
3　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
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3　[由题意知，p＝7，
S＝＝≤×＝3，
当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立，
因此三角形面积的最大值为3．]
题号
2
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6
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三、解答题
9．(源自北师大版教材)如图，动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(接头处不计)
(1)现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
(2)若使每间禽舍面积为24 m2，则每间禽舍的长、
宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网
总长最小？
题号
2
1
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15
[解]　(1)设每间禽舍的长为x m，宽为y m，则4x＋6y＝36，
即2x＋3y＝18．
设S＝xy(0应用基本不等式，
有2x＋3y≥2，即2·≤18．
所以S≤13.5．
题号
2
1
3
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5
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8
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9
10
11
12
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15
当且仅当2x＝3y时，不等式中的等号成立，
此时解得
因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为4.5 m和3 m时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为13.5 m2．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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11
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15
(2)由(1)及题设条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y．
因为2x＋3y≥2＝2＝24，
所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间禽舍长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
题号
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1
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10．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有着广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数y＝的最小值为(　　)
A．11 　 B．25
C．121 　 D．169
√
B　[因为0当且仅当，即x＝时，等号成立．
故选B．]
题号
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题号
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15
11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行．刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　)
A．采用第一种方案划算
B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样
D．无法确定
√
题号
2
1
3
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11
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15
B　[假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．
第一种方案的均价为≥；
第二种方案的均价为≤．
所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算．]
√
题号
2
1
3
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14
15
√
12．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aA．aB．v＝
C．D．v＝
题号
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15
AD　[设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为，∴v＝．
∵b>a>0，由基本不等式可得<，
∴v＝<＝＜，
v－a＝>＝0，
∴v>a，则a题号
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15
13．一批货物随17列货车从A市以v千米/时的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要(　　)
A．6小时 　 B．7小时
C．8小时 　 D．9小时
√
题号
2
1
3
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5
6
8
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11
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15
C　[设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝≥2＝8(小时)，当且仅当，即v＝100时等号成立，此时t＝8小时．]
题号
2
1
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13
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14．为了促进两校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯．根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力、安保等常规管理支出为3万元，使用x年时，电梯保养的总维护费用为万元．
(1)设电梯的年平均使用费用为y万元，求y关于x的表达式(注：年平均使用费用＝，单位：万元/年)；
(2)考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？
题号
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1
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11
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15
[解]　(1)由题意，电梯安装费用是25万元，使用x年时，管理支出为3x万元，电梯的保养维护费用为万元，所以y关于x的表达式为y＝＋5(x∈N*)．
(2)y＝＋5≥2＋5＝．
当且仅当，即x＝15时等号成立．
则这部电梯使用15年后，年平均使用费用最少．
题号
2
1
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5
6
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15．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB>AD，矩形的周长为8 cm．
(1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；
(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽？
[解]　(1)由题意得AD＝4－x，
且x>4－x>0，解得2又CE＝AE＝x－DE，
在直角三角形ADE中，可得AE2＝AD2＋DE2，
即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2，
化简得DE＝4－(2题号
2
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(2)S△ADE＝AD·DE
＝(4－x)
＝2≤2＝12－8，
当且仅当x＝，即x＝2，4－x＝4－2，
即队徽的长和宽分别为2，4－2时，
△ADE的面积取得最大值．
题号
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谢 谢！课时分层作业(十三)　基本不等式在实际问题中的应用
一、选择题
1．要设计一个矩形，其对角线长为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为(　　)
A．50 　 B．25
C．50 　 D．100
2．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为(　　)
A．4 mg/L 　 B．6 mg/L
C．8 mg/L 　 D．12 mg/L
3．做一个体积为8 m3，高为2 m的长方体包装箱，则所用材料的最小值为(　　)
A．4 m2 　 B．8 m2
C．16 m2 　 D．24 m2
4．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：元)与x成正比．若在距离车站6 km处建仓库，则y2＝4y1．要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站(　　)
A．2 km 　 B．3 km
C．4 km 　 D．5 km
5．(多选)某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x吨，运费为8万元/次．已知一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则下列说法正确的是(　　)
A．当x＝40时，y取得最小值
B．当x＝45时，y取得最小值
C．ymin＝320
D．ymin＝360
二、填空题
6．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．
7．某商品的成本为30元/件，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，则当利润最大时，每件商品的定价为________元．
8．中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式．设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为________．
三、解答题
9．(源自北师大版教材)如图，动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(接头处不计)
(1)现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
(2)若使每间禽舍面积为24 m2，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
10．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有着广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数y＝的最小值为(　　)
A．11 　 B．25
C．121 　 D．169
11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行．刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　)
A．采用第一种方案划算
B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样
D．无法确定
12．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aA．aC．13．一批货物随17列货车从A市以v千米/时的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要(　　)
A．6小时 　 B．7小时
C．8小时 　 D．9小时
14．为了促进两校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯．根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力、安保等常规管理支出为3万元，使用x年时，电梯保养的总维护费用为万元．
(1)设电梯的年平均使用费用为y万元，求y关于x的表达式(注：年平均使用费用＝，单位：万元/年)；
(2)考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？
15．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB>AD，矩形的周长为8 cm．
(1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；
(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽？
课时分层作业(十三)
1．A　[设矩形的长、宽分别为x，y，由题意知，x2＋y2＝100，所以矩形的面积为S＝xy≤＝50．
当且仅当x＝y＝5时等号成立．]
2．A　[C＝＝4，当且仅当t＝3时取等号，因此池塘水中药品的最大浓度为4 mg/L．故选A．]
3．D　[设长方体的底面矩形边长为x m，x>0，则另一边长为 m，
所以长方体的表面积为S＝4x＋＋8＝24，
当且仅当x＝，即x＝2时取等号．
所以长方体包装箱所用材料的最小值为24 m2．故选D．]
4．B　[由题意设y1＝，y2＝k2x(k1>0，k2>0)，仓库到车站的距离x>0，
由于在距离车站6 km处建仓库，y2＝4y1，即6k2＝，∴k1＝9k2，
两项费用之和为y＝y1＋y2＝＝6k2，
当且仅当＝k2x，即x＝3时等号成立，
即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3 km．故选B．]
5．AC　[一年购买某种货物800吨，每次购买x吨，则需要购买次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和y＝×8＋4x万元．
因为y＝＝320，
当且仅当＝4x，即x＝40时，等号成立，
所以当x＝40时，y取得最小值，ymin＝320．故选AC．]
6．32　[由题意，矩形中长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32．]
7．115　[由题意设利润为y元，则
y＝(x－30)(200－x)≤＝7 225，当且仅当x－30＝200－x，即x＝115时等号成立．故利润最大时，商品的定价为115元．]
8．3　[由题意知，p＝7，
S＝，
当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立，
因此三角形面积的最大值为3．]
9．解：(1)设每间禽舍的长为x m，宽为y m，则4x＋6y＝36，
即2x＋3y＝18．
设S＝xy(0应用基本不等式，
有2x＋3y≥2，即2·≤18．
所以S≤13.5．
当且仅当2x＝3y时，不等式中的等号成立，
此时
因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为4.5 m和3 m时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为13.5 m2．
(2)由(1)及题设条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y．
因为2x＋3y≥2＝24，
所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由
故每间禽舍长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
10．B　[因为0当且仅当，即x＝时，等号成立．
故选B．]
11．B　[假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．
第一种方案的均价为；
第二种方案的均价为．
所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算．]
12．AD　[设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为，∴v＝．
∵b>a>0，由基本不等式可得，
∴v＝，
v－a＝＝0，
∴v>a，则a13．C　[设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝＝8(小时)，当且仅当，即v＝100时等号成立，此时t＝8小时．]
14．解：(1)由题意，电梯安装费用是25万元，使用x年时，管理支出为3x万元，电梯的保养维护费用为万元，所以y关于x的表达式为y＝＋5(x∈N*)．
(2)y＝．
当且仅当，即x＝15时等号成立．
则这部电梯使用15年后，年平均使用费用最少．
15．解：(1)由题意得AD＝4－x，
且x>4－x>0，解得2又CE＝AE＝x－DE，
在直角三角形ADE中，可得AE2＝AD2＋DE2，
即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2，
化简得DE＝4－(2(2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)(4－，
当且仅当x＝，即x＝2，4－x＝4－2，
即队徽的长和宽分别为2，4－2时，
△ADE的面积取得最大值．
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