资源简介

类型1　函数的概念及其表示
1．函数有三要素：定义域、对应关系和值域，只要定义域和对应关系相同，两个函数就是同一个函数；函数有三种表示方法：列表法、图象法和解析法，其中分段函数是高中学习的重点．
2．掌握函数定义域、值域的求法，提升逻辑推理和数学抽象素养．
【例1】　(1)已知函数f (x)的定义域为[2，8]，则函数y＝的定义域为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A．y＝与y＝1
B．y＝与y＝x
C．y＝与y＝x＋1　
D．y＝与y＝x－1
(3)f (＋1)＝x－1，则f (x)＝________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型2　函数图象的画法及应用
1．利用函数的图象可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象．
2．掌握简单的基本函数的图象，提升直观想象和数据分析素养．
【例2】　给定函数f (x)＝x＋3，g(x)＝(x＋1)2，x∈R．
　
(1)在同一坐标系中画出函数f (x)，g(x)的图象；
(2)若min{a，b}表示a，b中的较小者，例如min{2，1}＝1．记m(x)＝min{f (x)，g(x)}．
①请分别用图象法和解析法表示函数m(x)，并指出函数m(x)的单调区间；
②当x∈时，求m(x)的值域．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型3　函数的性质及应用
1．本章主要学习了函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等性质，其中利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响．
2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养．
【例3】　已知函数f (x)＝．
(1)判断f (x)的奇偶性并证明；
(2)当x∈(1，＋∞)时，判断f (x)的单调性并证明；
(3)在(2)的条件下，若实数m满足f (3m)>f (5－2m)，求实数m的取值范围．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型4　函数的应用
1．本章主要学习了一次函数、二次函数、幂函数及分段函数的建模问题，通过上述模型可以解决生活中的成本最少、利润最高等问题．
2．通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养．
【例4】　【链接教材P100复习参考题3T6】
根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定成本为50万元，每生产1万部还需另投入20万元．若该科技公司一年内共生产该款电子产品x万部并能全部销售完，平均每万部的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式W(x)；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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章末重构拓展
例1　(1)C　(2)B　(3)x2－2x(x1)　[(1)根据题意可得解得4x10且x≠5．故选C．
(2)选项A，函数y的定义域为{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故A错误；
选项B，函数y的定义域为R，
而y＝x的定义域为R，
且yx，
故B正确；
选项C，函数y的定义域为{x|x≠1}，
而y＝x＋1的定义域为R，故C错误；
选项D，函数y的定义域为R，
而y＝x－1的定义域为R，
但是y，故解析式不同，故D错误．故选B．
(3)令＋1＝t(t1) x＝(t－1)2(t1)，
于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t1) f(x)＝x2－2x(x1)．]
例2　解：(1)函数f(x)＝x＋3，g(x)＝(x＋1)2的图象如图所示．
(2)①由题意可知，m(x)
m(x)的图象如图所示，
由图象可知，m(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和[－1，＋∞)；
m(x)的单调递减区间为[－2，－1)；
②因为x∈，结合图象可知m(x)在x∈上连续，
且m，
m(－2)＝(－2＋1)2＝1，
m(－1)＝(－1＋1)2＝0，
m，
所以m(x)min＝0，m(x)max＝1，
所以当x∈时，m(x)的值域为．
例3　解：(1)函数f(x)是奇函数．证明如下：
函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为f(－x)－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．证明如下：
x1，x2∈(1，＋∞)，且x1>x2>1，则
f(x1)－f(x2)
，
因为x1>x2>1，所以x1－x2>0，x1x2－1>0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)知函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以3m>5－2m>1，解得1所以实数m的取值范围为(1，2)．
例4　解：(1)依题意W(x)＝x·R(x)－50－20x＝
(2)当0W(20)＝－2×202＋80×20－50＝750万元．
当x>20时，W(x)＝2 050－20850万元，
当且仅当x，即x＝30时等号成立．
所以当年产量为30万部时，利润最大，最大利润为850万元．
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
章末重构拓展
第三章
函数的概念与性质
巩固层·知识重构
提升层·题型探究
类型1　函数的概念及其表示
1．函数有三要素：定义域、对应关系和值域，只要定义域和对应关系相同，两个函数就是同一个函数；函数有三种表示方法：列表法、图象法和解析法，其中分段函数是高中学习的重点．
2．掌握函数定义域、值域的求法，提升逻辑推理和数学抽象素养．
【例1】　(1)已知函数f (x)的定义域为[2，8]，则函数y＝的定义域为(　　)
A． 　
B．
C． 　
D．
√
(2)下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A．y＝与y＝1
B．y＝与y＝x
C．y＝与y＝x＋1　
D．y＝与y＝x－1
(3) f (＋1)＝x－1，则 f (x)＝____________．
√
x2－2x(x≥1)　
(1)C　(2)B　(3)x2－2x(x≥1)　[(1)根据题意可得解得4≤x≤10且x≠5．故选C．
(2)选项A，函数y＝x≠0}，而y＝1的定义域为R，故A错误；
选项B，函数y＝的定义域为R，而y＝x的定义域为R，
且y＝＝x，故B正确；
选项C，函数y＝x≠1}，
而y＝x＋1的定义域为R，故C错误；
选项D，函数y＝的定义域为R，
而y＝x－1的定义域为R，
但是y＝＝，故解析式不同，故D错误．故选B．
(3)令＋1＝t(t≥1) x＝(t－1)2(t≥1)，
于是有f (t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1) f (x)＝x2－2x(x≥1)．]
类型2　函数图象的画法及应用
1．利用函数的图象可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象．
2．掌握简单的基本函数的图象，提升直观想象和数据分析素养．
【例2】　给定函数 f (x)＝x＋3，g(x)＝(x＋1)2，x∈R．
(1)在同一坐标系中画出函数 f (x)，g(x)的图象；
(2)若min{a，b}表示a，b中的较小者，例如min{2，1}＝1．记m(x)＝min{ f (x)，g(x)}．
①请分别用图象法和解析法表示函数m(x)，并指出函数m(x)的单调区间；
②当x∈时，求m(x)的值域．
[解]　(1)函数f (x)＝x＋3，g(x)＝(x＋1)2的图象如图所示．
(2)①由题意可知，
m(x)＝
m(x)的图象如图所示，
由图象可知，m(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和[－1，＋∞)；
m(x)的单调递减区间为[－2，－1)；
②因为x∈，结合图象可知m(x)在x∈上连续，
且m，
m(－2)＝(－2＋1)2＝1，
m(－1)＝(－1＋1)2＝0，
m，
所以m(x)min＝0，m(x)max＝1，
所以当x∈时，m(x)的值域为．
类型3　函数的性质及应用
1．本章主要学习了函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等性质，其中利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响．
2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养．
【例3】　已知函数 f (x)＝．
(1)判断 f (x)的奇偶性并证明；
(2)当x∈(1，＋∞)时，判断 f (x)的单调性并证明；
(3)在(2)的条件下，若实数m满足 f (3m)>f (5－2m)，求实数m的取值范围．
[解]　(1)函数 f (x)是奇函数．证明如下：
函数 f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为f (－x)＝
＝－＝－f (x)，
所以函数f (x)是奇函数．
(2)函数 f (x)在(1，＋∞)上单调递增．证明如下：
x1，x2∈(1，＋∞)，且x1>x2>1，则
f (x1)－f (x2)＝
＝
＝，
因为x1>x2>1，所以x1－x2>0，x1x2－1>0，x1x2>0，
所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
所以函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增．
(3)由(2)知函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以3m>5－2m>1，解得1所以实数m的取值范围为(1，2)．
类型4　函数的应用
1．本章主要学习了一次函数、二次函数、幂函数及分段函数的建模问题，通过上述模型可以解决生活中的成本最少、利润最高等问题．
2．通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养．
【例4】　【链接教材P100复习参考题3T6】
根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定成本为50万元，每生产1万部还需另投入20万元．若该科技公司一年内共生产该款电子产品x万部并能全部销售完，平均每万部的销售收入为R(x)万元，
且R(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式W(x)；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
[解]　(1)依题意W(x)＝x·R(x)－50－20x＝
(2)当0－＝20，W(20)＝－2×202＋80×20－50＝750万元．
当x>20时，W(x)＝2 050－20≤2 050－20×2＝850万元，
当且仅当＝x，即x＝30时等号成立．
所以当年产量为30万部时，利润最大，最大利润为850万元．
【教材原题·P100复习参考题3T6】某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R(单位：元)关于月产量x(单位：台)满足函数：
R＝
(1)将利润P(单位：元)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
[解]　(1)当0≤x≤400时，P＝400x－x2－20 000－100x＝－x2＋300x－20 000，
当x＞400时，P＝80 000－100x－20 000＝60 000－100x，
故P＝
(2)当0≤x≤400时，
P＝－x2＋300x－20 000＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，Pmax＝25 000；
当x＞400时，P＝60 000－100x在(400，＋∞)上单调递减，
∴P＝60 000－100x＜60 000－100×400＝20 000，
∵20 000＜25 000，
∴当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
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2
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√
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章末综合测评(三)　函数的概念与性质
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(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数 f (x)＝＋的定义域是(　　)
A．(1，＋∞) 　 B．[1，＋∞)
C．[1，2)∪(2，＋∞) 　 D．(2，＋∞)
C　[由题意得解得x≥1且x≠2，故定义域为[1，2)∪
(2，＋∞)．故选C．]
题号
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题号
1
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√
2．“k＜6”是“函数 f (x)＝－x2－kx＋3在(－∞，－3]上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
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A　[函数 f (x)＝－x2－kx＋3在(－∞，－3]上单调递增，
故－≥－3，解得k≤6，
因为{k|k＜6}是{k|k≤6}的真子集，
所以“k＜6”是“函数 f (x)＝－x2－kx＋3在(－∞，－3]上单调递增”的充分不必要条件．故选A．]
题号
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3．已知幂函数 f (x)＝x4-m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于(　　)
A．1　 B．2
C．1或3　 D．3
√
题号
1
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C　[因为f (x)＝x4-m在(0，＋∞)上单调递增，
所以4－m>0，所以m<4．
又因为m∈N*，所以m＝1，2，3．
又因为f (x)＝x4-m是奇函数，
所以4－m是奇数，所以m＝1或m＝3．]
题号
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4．学校宿舍与办公室相距a m．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度v和行走的路程s都是时间t的函数，则速度函数和路程函数的图象分别是下面四个图象中的(　　)
A．①② 　
B．③④
C．①④ 　
D．②③
√
题号
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A　[由题意可得v＝
且s＝
由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②．故选A．]
题号
1
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5．已知函数 f (x)＝若f (a)＝9，则a＝(　　)
A．2或－2或－1 　 B．2或－1
C．2或－2 　 D．－2
√
D　[若a≤0，则2a2＋1＝9，解得a＝－2或a＝2(舍去)，
若a＞0，则－3a＋6＝9，解得a＝－1(舍去)，
综上，a＝－2．故选D．]
题号
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6．已知函数 f (x2－1)＝x4＋1，则函数y＝f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝x2＋2x＋2，x≥0
B．f (x)＝x2＋2x＋2，x≥－1
C．f (x)＝x2－2x＋2，x≥0
D．f (x)＝x2－2x＋2，x≥－1
√
B　[因为f (x2－1)＝x4＋1＝[(x2－1)＋1]2＋1，且x2－1≥－1，所以
f (x)＝(x＋1)2＋1＝x2＋2x＋2，x≥－1．故选B．]
题号
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7．下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A．f (x)＝，g(x)＝()2
B．f (x)＝1，g(x)＝x0
C．f (x)＝，g(x)＝x
D．f (x)＝，g(t)＝|t|
√
题号
1
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D　[对于A，函数f (x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0，＋∞)，
故函数 f (x)＝，g(x)＝()2不是同一个函数；
对于B，函数f (x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，
故函数f (x)＝1，g(x)＝x0不是同一个函数；
对于C，函数f (x)的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)的定义域为R，
故函数f (x)＝，g(x)＝x不是同一个函数；
题号
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对于D，两函数的定义域都是R，
又f (x)＝，
即f (x)＝|x|，
所以函数f (x)＝，g(t)＝|t|表示同一个函数．故选D．]
题号
1
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8．若定义在R上的奇函数 (x)在(－∞，0)单调递减，且 (2)＝0，则满足x (x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
√
题号
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D　[法一：由题意知f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f (－2)＝f (2)＝f (0)＝0．当x>0时，令f (x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f (x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，
∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D．
法二：当x＝3时，f (3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，
f (4－1)＝f (3)<0，此时不符合题意，排除选项A，C．故选D．]
题号
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√
√
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数与f (x)＝x＋1是同一个函数的是(　　)
A．g(x)＝ 　 B．g(x)＝＋1
C．g(x)＝3＋1 　 D．g(x)＝＋1
题号
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BC　[对于A，g(x)＝x≠1}，f (x)的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，该选项不满足题意；
对于B，g(x)＝＋1＝x＋1，定义域为R，定义域和对应关系均相同，为同一个函数，该选项满足题意；
对于C，g(x)＝3＋1＝x＋1，定义域为R，定义域和对应关系均相同，为同一个函数，该选项满足题意；
对于D，g(x)＝＋1＝|x|＋1，定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数，该选项不满足题意．故选BC．]
题号
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10．对任意x∈R，用F(x)表示f (x)，g(x)中的较小者，记为F(x)＝min{ f (x)，g(x)}．若f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，则下列关于函数F(x)＝min{ f (x)，g(x)}的说法正确的是(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有三个不相等的实数根
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)的最大值为1，无最小值
√
√
√
题号
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ABD　[F(x)＝min{ f (x)，g(x)}＝F(x)的图象如图所示，
由图象知，F(x)是偶函数，选项A正确；
由图可知，F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方
程F(x)＝0有三个不相等的实数根，选项B正确；
由图可知，函数F(x)在区间(－1，0)上单调递减，
在区间(0，1)上单调递增，选项C错误；
由图可知，当x＝±1时，F(x)取得最大值1，没有最小值，选项D正确．故选ABD．]
题号
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11．(教材P87习题3.2T13改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，我们发现可以推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，下列说法正确的是(　　)
A．函数f (x)＝图象的对称中心是P1(1，1)
B．函数f (x)＝x3＋3x2图象的对称中心是P2(－1，2)
C．类比上面推广结论：函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋2)为偶函数
D．类比上面推广结论：函数y＝f (x)的图象关于直线x＝－2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋2)为偶函数
√
√
√
题号
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ABC　[因为函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，则 f (a－x)－b＝－[ f (a＋x)－b]，可得
f (a－x)＋f (a＋x)＝2b，对于A，因为f (x)＝，则f (1－x)＋f (1＋x)＝＝2，所以，函数 f (x)＝的图象关于点P1(1，1)对称，A正确；对于B，因为f (x)＝x3＋3x2，则f (－1－x)＝(－1－x)3＋3(－1－x)2＝－1－3x－3x2－x3＋3＋6x＋3x2＝－x3＋3x＋2，f (－1＋x)＝(－1＋x)3＋3(－1＋x)2＝x3－3x2＋3x－1＋3x2－6x＋3＝x3－3x＋2，
所以f (－1－x)＋f (－1＋x)＝4，
所以函数 f (x)＝x3＋3x2图象的对称中心是P2(－1，2)，B正确；
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若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形，
在函数y＝f (x)的图象上任取一点(x，y)，
则该点关于直线x＝a的对称点(2a－x，y)在函数y＝f (x)的图象上，
所以f (2a－x)＝f (x)，
用a＋x替代等式 f (2a－x)＝f (x)中的x可得f (a＋x)＝f (2a－(a＋x))＝
f (a－x)，
此时，函数f (a＋x)为偶函数，
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所以，函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件为函数y＝f (a＋x)为偶函数，
对于C，类比上面推广结论：
函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋2)为偶函数，C正确；
对于D，函数y＝f (x)的图象关于直线x＝－2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (－2＋x)为偶函数，D错误．故选ABC．]
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f (x)＝x3＋，若f (a)＝4，则 f (－a)＋f ()＝________．
－　[易知f (x)的定义域为{x|x≠0}，f (－x)＝－x3－＝－f (x)，即
f (x)为奇函数，所以f (－a)＋f ()＝－f (a)＋()3＋．]
－　
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13．已知函数f (x)＝ 满足 x1，x2∈R且x1≠x2，有>0，则实数a的取值范围是________．
　[因为 x1，x2∈R，且x1≠x2都有>0成立，
所以函数f (x)在R上单调递增，
所以解得0　
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14．几位同学在研究函数 f (x)＝时给出了下列四个结论：
① f (x)的图象关于y轴对称；
② f (x)在(2，＋∞)上单调递减；
③ f (x)的值域为R；
④当x∈(－2，2)时，f (x)有最大值；
其中正确结论的序号是________．
①②④　
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①②④　[对于①，函数定义域为(－∞，－2)∪(－2，2)∪(2，＋∞)，关于原点对称，f (－x)＝＝f (x)，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故①正确；
对于②，当x∈(2，＋∞)时，f (x)＝，利用反比例函数性质，可知函数在(2，＋∞)上单调递减，故②正确；
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③由函数在(2，＋∞)上单调递减，知f (x)在(2，＋∞)上的值域为(0，＋∞)，当x∈，利用偶函数对称性知f (x)的值域为∪(0，＋∞)，故③错误；
④由③知，当x∈(－2，2)时，f (x)有最大值－，故④正确．
故答案为①②④．]
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知 f (x＋2)＝2x＋3．
(1)求 f (x)；
(2)求函数y＝的定义域和值域．
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[解]　(1)∵f (x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴f (x)＝2x－1．
(2)由(1)得y＝，
∴y＝x≠－2}．
∵≠0，∴≠2，
即函数y＝y≠2}．
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16．(本小题满分15分)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且是减函数．
(1)当x≥0时，f (x)＝－x2－2x，求函数f (x)在R上的解析式；
(2)求使f (a－1)＋f (a2－1)<0成立的实数a的取值范围．
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[解]　(1)设x<0，则－x>0，所以f (－x)＝－x2＋2x，
因为函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (x)＝－f (－x)＝x2－2x，
所以函数f (x)在R上的解析式为f (x)＝
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(2)因为f (x)是定义在R 上的奇函数，且是减函数，
所以由f (a－1)＋f (a2－1)<0，得f (a－1)所以a－1>1－a2，
解得a>1或a<－2，
所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
题号
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17．(本小题满分15分)已知函数 f (x)＝．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)根据函数单调性的定义证明函数 f (x)在区间[1，＋∞)上单调递减；
(3)对于函数 f (x)＝，若 f (3a)＞f (2a＋3)，求实数a的取值范围．
题号
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[解]　(1)函数 f (x)＝，定义域为R，
f (－x)＝＝－f (x)，所以 f (x)为奇函数．
(2)证明：根据题意， x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，
则 f (x1)－f (x2)＝
＝
＝，
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因为1≤x1＜x2，则＞0，x2－x1＞0，x1x2－1＞0，
则f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)，
故f (x)在[1，＋∞)上单调递减．
(3)由(2)得，f (x)在[1，＋∞)上单调递减，
若f (3a)＞f (2a＋3)，则1≤3a＜2a＋3，
解得≤a＜3，即a的取值范围是．
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18．(本小题满分17分)【教材原题·P100复习参考题3T5】已知幂函数y＝f (x)的图象过点，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性．
[解]　依题意设 f (x)＝xα，则2α＝，解得α＝，
所以 f (x)＝．函数 f (x)＝的图象如图，
由图象可知f (x)既不是奇函数也不是偶函数，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
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19．(本小题满分17分)已知二次函数f (x)的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若f (x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)当x∈时，f (x)>4mx＋1恒成立，求实数m的取值范围．
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[解]　(1)根据题意，二次函数f (x)满足f (0)＝f (2)＝3，
可得函数f (x)图象的对称轴为直线x＝1，
又函数f (x)的最小值为1，
可设f (x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，
又因为f (0)＝3，即f (0)＝a＋1＝3，
解得a＝2，
所以函数f (x)的解析式为
f (x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3．
(2)由函数f (x)＝2(x－1)2＋1，
其图象的对称轴为直线x＝1，
要使得函数f (x)在区间上不单调，
则满足2a<1故实数a的取值范围为．
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(3)由函数f (x)＝2x2－4x＋3，
可知若在上，f (x)>4mx＋1恒成立，
则2x2－4x＋3>4mx＋1在上恒成立，
即x2－2(1＋m)x＋1>0在上恒成立，
设g(x)＝x2－2(m＋1)x＋1，
则g(x)图象开口向上，对称轴为直线x＝m＋1，
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又g(x)>0在上恒成立，即g(x)min>0，
当m＋1≤－，即m≤－时，
g(x)在上单调递增，
则g(x)min＝g－2(m＋1)×＋1>0，解得m>－，
则－题号
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当－g(x)min＝g(m＋1)＝(m＋1)2－2(m＋1)2＋1>0，
解得－2当m＋1≥2，即m≥1时，g(x)在上单调递减，
g(x)min＝g(2)＝22－2(m＋1)×2＋1>0，
解得m<(舍去)．
综上，实数m的取值范围为．
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谢 谢！

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