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2025中考模拟数学分类汇编---三角函数A
一．解答题（共60小题）
1．（2025 南海区校级四模）小明学习了锐角三角函数后，想通过测量，计算一棵树的高AB，如图①，树AB与观测点C之间有一垂直于地面的围墙，小明不能翻越围墙到达树的底部B，于是小明在点C处利用自制的测角仪测得树顶A处的仰角为α，再沿CB方向前进了9m，到达点D处，测得树顶A的仰角为60°．求树高AB．（结果精确到0.1m．参考数据：
2．（2025 漳州模拟）五一假期，晶晶一家要自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航系统屏幕显示车辆应沿北偏西45°方向行驶20千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向，求B，C两地的距离．（运算结果请保留根号）
3．（2025 驿城区校级模拟）如图1，数学小组利用所学的锐角三角函数的知识测量一条河的宽度CD．他们在点A处将无人机垂直上升150m至点B处，在点B处测得C，D两点的俯角分别为30°和53°，如图2，已知点A，D，C在同一水平直线上．试求这条河的宽度CD．（结果精确到1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，
4．（2025 高新区校级模拟）洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，求EC的长．（结果取整数，参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.7）
5．（2025 湖北模拟）端午节期间，小优与小翼相约攀登武当山附近的一座小山．如图，他们先由山脚A处步行300m到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处步行480m到达山顶D处．已知点A，B，D，F在同一平面内，山坡AB的坡度，山坡BD与水平线的夹角为53°，求A，D两地的垂直高度DF．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
6．（2025 常德三模）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，求黄鹤楼的高度（参考数据：tan63°≈2）．
7．（2025 永寿县校级模拟）2025年春节期间，小明和家人去西安旅游，他们来到西安的地标建筑钟楼．如图，小明在远处抬头看钟楼，此时他（CD）看钟楼（AB）顶端的仰角是27°，他往前走了38米（ED＝38米），转身拍照，发现此时钟楼影子（BF）的顶端和他（GE）的影子（EF）的顶端重合，已知此时他的影长是1.6米，小明的身高是1.8米（眼睛与头顶之间的距离忽略不计），求钟楼AB的高度．（参考数据：tan27°≈0.5）
8．（2025 鼓楼区二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算BC的长．（精确到0.1m）（参考数据：tan53°≈1.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，18.442≈340，）
9．（2025 江口县三模）如图1是贵阳花果园双子塔，是贵阳国际贸易中心（ITC）的A座和B座，是贵州省第一高楼，也是全国已建成的最高双子塔．在学会三角函数知识后，家住双子塔附近的小星同学决定用自己学到的知识测量其中一座塔的高度，如图2，小星在小区门口点C处测得其中一个塔AB的顶部B的仰角为45°，然后在自家阳台上的点D处测得顶部B的仰角为35°，若小星家的阳台D到地面E的距离为56m，点E到点C的水平距离EC为94m，且A、C、E三点共线，求AB的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
10．（2025 南海区校级三模）如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.6米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，与篮板EF的夹角∠HEF＝90°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7，1.7，1.4）
11．（2025 秦都区校级模拟）仙游寺法王塔是陕西省第四批全国重点文物保护单位之一．天气晴朗的周末，某数学兴趣小组的同学在综合实践活动中利用学过的数学知识测量法王塔的高度AB．
【测量过程】如图，该小组成员小明在E处放置一个与地面垂直的标杆EF，同一时刻标杆的影子顶端与法王塔的影子顶端重合于地面上的点G处，小组成员小亮在D处利用测角仪CD测出法王塔塔顶A的仰角∠ACM．
【测量数据】CD＝EF＝1.5m，GE＝1m，DG＝67m，∠ACM＝37°．
【参考数据】sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
已知AB⊥DG，CD⊥DG，FE⊥DG，点D、B、E、G在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上信息求出法王塔的高度AB．
12．（2025 金台区校级模拟）如图是某路段路灯的示意图，灯杆AB长0.6m，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为12.3m，从D，E两处分别测得路灯A的仰角为72°和45°，求灯柱BC的高度（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.10）．
13．（2025 乾县校级二模）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张赛塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为45°，随后操作无人机竖直向上升高13.8m到点B处，测得塑像顶部C的俯角为22°，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且AB，CD均垂直于地面AD，求该塑像的高度CD．（结果保留一位小数．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
14．（2025 甘肃模拟）黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点A处测得楼顶C的仰角是37°，由点A向黄河楼前进71.3米到达点B处，由点B处测得楼顶C的仰角是60°．楼底点D与点A，B共线，且CD⊥AB，求黄河楼CD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
15．（2025 朔州模拟）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构．小明及其学习小组想知道山上信号钢支架AB的高度，在山脚D处测得信号钢支架顶端A的仰角为45°，沿着斜坡从点D走到点E处测得信号钢支架顶端A的仰角为70°，已知DE的坡度为3：4．学习小组画出如图所示的示意图，AC⊥DC于点C，EB⊥AC于点B，DE＝50米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出信号钢支架AB的高度．（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
16．（2025 连州市校级一模）如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°，识别到最近点B的俯角β是45°，点A与点B相距11m，求摄像头安装点C距地面的高度CD．（结果取整数，参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）
17．（2025 上蔡县三模）开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960﹣1127年）建造的一座木塔，被誉为“天下第一塔”．某小组用自制的菱形测高仪ABCD测量塔高，其边长为0.5m，O为对角线的交点，OB＝0.4m．当测角仪的顶点D，A与塔顶端点E在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线恰好过点O和顶点C．经测量点B到EF的距离为72m，点B到地面的距离为1.2m．求开封铁塔EF的高度．
18．（2025 金安区校级四模）九年级数学兴趣小组利用所学知识测量路灯AB的高度（路灯的底部不可到达），如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆CD，测得此时CD的影长CE为0.5米，逆时针旋转标杆，观察影子的变化规律，发现当标杆旋转到CF的位置时，此时标杆的影长最大为CG，此时CF⊥BG，若此时测得．∠G＝60°，请你据此求出路灯AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：1.73）
19．（2025 临渭区模拟）庆安寺塔（如图①），又称耒化塔、镇风宝塔，位于陕西省渭南市临渭区，它不仅是渭南地区的地标性古迹，也是中国古代建筑艺术的重要代表之一，现已被中华人民共和国国务院公布为第六批全国重点文物保护单位．如图②，小亮为了测量庆安寺塔的高度AB，他站在地面上的点G处，恰好看到塔尖A，此时仰角为26.5°，他沿GB往前走43m到达点D处，并在此处竖立一根高为2m的标杆CD，此时地面上的点E，标杆的顶端C和塔尖A恰好在同一直线上，并测得EG＝42m，已知点B、D、E、G在同一水平线上，AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，小亮眼睛到地面的距离FG＝1.5m，求庆安寺塔的高度AB．（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
20．（2025 前郭县模拟）如图，小瑞放学后回家，到小区的门口C处时，看到自己家的窗户A的仰角α＝37°，他向前走了10m后到达点D处时，看到自己家窗户A的仰角β＝45°，小瑞的身高CM＝DN＝1.5m，求小瑞家到地面的高度AB（结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
21．（2025 城东区校级三模）黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点O处，三片扇叶两两所成的角为120°，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点C处安放测角仪（测角仪高度AC＝1米），当扇叶a恰好与塔杆重合时，测得扇叶b的末端点B的仰角为54.5°，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5≈1.40，1.73）
22．（2025 上海模拟）如图，直线M'N'∥直线l1直线l2，直线MN垂直于l1和l2，垂足分别为M和N，线段MM'与线段NN′交于点O，∠M'MP＝α．已知M'N'＝5，OM′＝23，OM＝132，求MN的长度．（结果精确到个位，sinα≈0.8，cosα≈0.6，cotα≈0.75）
23．（2025 雁塔区校级模拟）如图，在东西方向的海岸线l上，有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向59.5千米处有一观察站O，现测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西37°方向，且与O相距60千米的A处，经过一段时间，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距30千米的B处，如果该轮船不改变航向继续航行，判断该轮船能否行至码头MN靠岸，请通过计算进行说明．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24．（2025 迎江区三模）如图一是屏幕投影仪投屏情景图，图二是其侧面抽象示意图，A，D，C是支架的一部分，投影光线B′E与投影仪BB′近似在同一直线上，已知AD与地面FC垂直，且AD的长为15cm，CD的长为60cm，AD距墙面EF的水平距离为3m，若投影光线与AD的夹角∠EAD＝120°，CD与地面的夹角∠DCF＝52°，求光源投屏最高点到地面的距离EF．（结果精确到1cm，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，1.73）
25．（2025 雁塔区校级模拟）小明和小红计划测量学校旗杆AB的高度，他们制定了如下测量方案：如图，小明先将升旗的绳子从旗杆顶端A拉到旗杆底端B，绳子多出1米，然后再将升旗的绳子从A拉直，使绳子的底端C刚好接触到地面，此时，小红将测倾器放在距离C点6米的E点处，在D点测得A点的仰角为45°．已知测倾器DE的高度为1米，点E、C、B在一条直线上，AB⊥BE，DE⊥BE．求旗杆AB的高度．
26．（2025 栖霞区校级三模）如图，为了测量风力发电机风叶的长度，当其中一片风叶OA与塔干OD叠合时，小青在离塔底D水平距离为80m的E处，测得塔顶部O的仰角∠DEO＝45°，测得叶片C处的仰角∠DEC＝70°．已知三片风叶OA，OB，OC两两所成的角为120°，点A，C，O，D在同一平面内，求风叶OC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：
27．（2025 永寿县校级二模）西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，是中国现存规模最大、形制最完整的古代钟楼之一．周末，小明及他所在的数学兴趣小组开展测量钟楼高度的实践活动．方案如下：如图所示，小明先在点C处放置一个平面镜，站在点E处恰好在平面镜中看到钟楼的顶端A，此时测得CE＝3m；同时小明测得钟楼顶端A的仰角为24.5°，已知小明的眼睛与地面间的距离DE为1.5m，求钟楼AB的高度．（结果精确到1m；参考数据：sin24.5°≈0.41，cos24.5°≈0.91，tan24.5°≈0.46）
28．（2025 兴县二模）汾河是三晋大地的母亲河，以七百里的磅礴之躯滋养千年文明，用一温碧水映照新时代的生态华章．在综合实践课上，实践小组使用无人机测量汾河（图1）某段的宽度．如图2，他们在河岸一侧的观景台（矩形ABCD）上升起一架无人机，当无人机飞到河面上方点P处，测得观景台正对岸Q处的俯角为63.6°，测得观景台顶端A处的俯角为47.3°，测得观景台顶端D处的俯角为36.7°，已知观景台高AB为10米，台面宽AD为16米（图中所有点均在同一平面内，Q，B，C三点共线），求此河段的宽QC．（结果保留一位小数，参考数据：tan47.3°≈1.08，tan36.7°≈0.75，tan63.6°≈2.01）
29．（2025 碑林区校级模拟）如图，我国驱逐舰在黄岩岛海域C处测得黄岩岛A在驱逐舰的北偏西30°的方向上，随后驱逐舰以30海里/小时的速度向北偏东45°的方向航行，Ⅰ小时后到达B处，此时测得黄岩岛A在驱逐舰的北偏西60°的方向上，求此时驱逐舰距黄岩岛A的距离AB．（结果保留根号）
30．（2025 新城区模拟）革命亭为西安革命公园标志性建筑，1983年革命亭被列为西安市市级重点文物保护单位．为测量革命亭的高度AB，小明和小华作出了如下测量方案：如图，小明在点C处利用测角仪测得革命亭顶部A的仰角为31°，小华在距小明9m的点E处水平放置了一块平面镜，当小华向后退至距平面镜3.2m的点F处时，从平面镜中恰好可以看到革命亭顶部A，已知小华的眼睛距地面的高度GF，测角仪的高度CD均为1.6m，点F，E，C，B在同一直线上，GF，DC，AB均垂直于BF，求革命亭的高度AB．（结果保留整数．参考数据：sin31°≈0.5，cos31°≈0.9，tan31°≈0.6）
31．（2025 沛县模拟）如图，在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向；从凉亭A处沿湖岸向东方向走了120米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上）；求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
32．（2025 碑林区校级模拟）如图，为了测量建筑物AC的高度，从距离建筑物底部C处60米的点D（点D与建筑物底部C在同一水平面上）出发，沿坡度i＝1：2的斜坡DB前进米到达点B，在点B处测得建筑物顶部A的仰角为53°，求建筑物AC的高度．
（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.798，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327．）
33．（2025 沙坡头区三模）如图，小华想测量银川承天寺塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角是30°，再往塔的方向前进75米至B处，测得仰角为60°，那么该塔约有多高？（小华的身高忽略不计，，结果精确到1米）
34．（2025 清江浦区校级模拟）某初三数学实践小组准备用所学知识测量郊外一座古塔AC的高度，古塔底部有台阶无法直接到达，古塔旁有一个斜坡BE，小敏在斜坡下的B处测得古塔AC的顶端C的仰角为54°（∠ABC＝54°），小菲在斜坡顶端E处测得古塔顶端C的仰角为35°（∠CED＝35°），斜坡BE下方标示BE的坡度i＝1：2.5，斜坡BE的长度为米，请你帮助数学小组计算古塔AC的高度．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.4，sin35°≈0.58，cos35°≈0.82，tan35°≈0.7）．
35．（2025 未央区模拟）【问题背景】
陕西信息大厦是古城西安的地标性建筑之一，位于西安市碑林区西安市文化科技体育中心．某校九年级学生张强想用学过的数学知识测量陕西信息大厦的高度．
【解决问题】
张强先在C处利用测角仪测得楼顶A的仰角∠ACB＝60°，然后沿BC移动96米到达D处（即CD＝96米），在D处利用测角仪测得楼顶A的仰角∠ADB＝45°．已知AB⊥BD，点B、C、D在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你根据以上信息求陕西信息大厦的高度AB．（结果保留根号）
36．（2025 襄州区校级模拟）如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度AB，无人机在空中点C处，测得点C距地面70米，测得楼底A的俯角为63.5°，楼顶C的俯角为30°，求大楼的高度AB．（结果精确到0.1米，参考数据：sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，1.73）．
37．（2025 城中区校级三模）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝200cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．（结果精确到1cm；sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
38．（2025 岳麓区校级二模）梅溪湖城市岛如图1，是位于长沙梅溪湖西岸的标志性建筑，以双螺旋观景平台为核心，兼具现代设计美学与城市观景功能，城市岛“AR星空”于每周五和周六晚20：00﹣20：20进行播放，包含“地球家园”、“仰望星空”、“湖湘文脉”、“家国一心”等主题，整体呈现磅礴大气的视觉效果．数学兴趣小组的小雅同学，想要利用自己的数学知识测量城市岛的高度，如图2，她先在离地面高2.8m（即EF＝2.8m）矩形平台上的点A处用测角仪测得观景台顶部D的仰角为45°，然后前进8m到B处，测得观景台顶部D的仰角为53°．根据以上测量数据求城市岛的高度CD．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
39．（2025 庐阳区校级模拟）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为6cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，1.73）
40．（2025 南海区校级模拟）目前，我国的太空站是世界上仅有的两个太空站之一，它为我国的科学实验提供了极大的支持．如图，科学家为了观察飞船的发射情况，预设了两个飞船上升位置A与B，飞船从地面O处发射，当飞船到达点A时，从位于地面C处的雷达站测得A，C间的距离是8km，仰角为30°，10s后飞船到达点B时，测得仰角为45°，求点B离地面的高度BO（结果精确到0.1km，参考数据：1.73）．
41．（2025 永寿县校级一模）时刻保持网络畅通，通信塔是必不可少的．某移动公司在一处坡角为30°的坡地新安装了一架通信塔，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架通信塔的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图，已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得通信塔的塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方78米的点B处测得P点的俯角为12°，求该通信塔的塔杆PD的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.213）
42．（2025 青岛模拟）如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，又在河的另一岸边取两个点B，C，测得∠α＝37°，∠β＝55°，量得BC的长为150m，求河的宽度．（参考数据：sin37°≈0，60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.80，cos55°≈0.60，tan55°≈1.40．结果精确到0.1m）
43．（2025 潮阳区模拟）伏羲画卦亭（如图1）位于驻马店市上蔡县，相传人类始祖伏羲氏为定天下之吉凶，制作八卦图后，曾在这蓍草台上用蓍草和龟甲烧灼揲卦．为纪念先宗人祖足迹到此，后人在蓍草台上筑起伏羲画卦亭．如图2，某数学兴趣小组为了测量画卦亭的高度，在画卦亭前的平地上选择一点E，测得亭子最外侧点B的仰角∠BEF＝45°，之后又在点B的正下方找一点G（点E，G，F在同一水平面上），测得GE＝5m，在G处测得画卦亭顶部A的仰角∠AGF＝53°，用无人机在点B处测得顶部A的仰角∠ABC＝18.5°，请你根据相关数据求出画卦亭的高AF．（结果精确到0.1m．参考数据：，，）
44．（2025 洞口县校级模拟）雄伟壮观的文峰塔（孤峰塔）北依枉水，南临省示范性高中常德市二中．在一次数学活动中刘同学计划测量文峰塔的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着文峰塔前进53米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°，请你依据测量的数据求出塔顶到地面的距离．（参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，精确到0.1米）
45．（2025 孝义市三模）2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息：
①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑；
②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角∠ABC＝26.5°，∠DCB＝30°，∠DEC＝45°，坝顶AD＝5米，坝底黏土宽度BE＝17.5米，且AD∥BC，点B，E，C在同一水平线上，…
请根据上述数据，计算背水坡CD的长．（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50．）
46．（2025 罗湖区校级三模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为（60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度．
47．（2025 池州四模）如图，某校一幢教学楼的外墙安装了一块矩形的电子显示屏ABCD，其中CD与水平地面平行，BC延长线垂直交水平地面于点F．该校学生对其进行测量，他们先在水平地面E处测得∠CEF＝45°，∠BEF＝59°，∠DEF＝25.4°，再步行至点F处，测得E到F点的距离为9米，求电子显示屏的面积．（结果精确到1米，参考数据sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66，sin25.4°≈0.43，cos25.4°≈0.90，tan25.4°≈0.47）．
48．（2025 滁州三模）如图，某景区在同一平面上有A，B，C，D四个打卡点，为方便游客，部分打卡点之间修了小路，已知打卡点D在打卡点A的正东方向，AD∥CB，CD＝4km，打卡点D在打卡点C的北偏东26°方向，打卡点A在打卡点B的北偏西53°方向．求小路AB的长（结果保留整数）．
参考数据：sin64°≈0.90，tan64°≈2.05，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75．
49．（2025 宿迁模拟）某数学小组测量古塔DC的高度，如图，在A处用测角仪测得古塔顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得古塔顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与古塔DC的底部C在同一水平线上，求古塔DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．
50．（2025 安徽模拟）图1是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，图2是其简易的平面示意图．已知试管AB的长为，试管倾斜角α为10°．实验时，导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且DE⊥CF，MN⊥CF（点C，D，N，F在同一条直线上），DE＝21.7cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求铁架台底部与水槽底部的距离DN的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
51．（2025 潮阳区校级三模）挖掘机从发明到现在已经有140年历史，世界上第一台液压挖掘机由法国波克兰工厂发明成功．由于液压技术的应用，20世纪40年代有了在拖拉机上配装液压反铲地悬挂式挖掘机．图①是某型号挖掘机，该型号挖掘机是由基座，大臂、主臂和伸展臂构成．图②是停机状态下该型号挖掘机的侧面结构示意图，已知基座高度AB为1m，大臂AC长为3m，主臂CD长为5m，在伸展臂DE与地面垂直的情况下，相关构件的夹角如图②所示，请计算伸展臂的长度．（结果精确到0.1m．参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，1.73）
52．（2025 商水县二模）某“综合与实践”活动小组的同学在学习了解直角三角形的知识后，想要自主设计一道试题，他们在公园测量了如图①所示健身器材的数据，并绘制了其底座的简化示意图（如图②），设计题目如下：该款健身器材的座位MN平行于地面，支架AB＝18cm，BC＝50cm，支架AB与座位MN的夹角∠BAN＝75°，与支架BC的夹角∠ABC为120°，求座位MN距离地面的高度．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，）
53．（2025 旬邑县校级四模）家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，点M、D、E在同一条直线上，ME⊥EC于点E，测得AM＝10cm，ME＝27cm，求落水点C到洗手盆边的宽度EC．（结果取整数，参考数据，，，，）
54．（2025 宿州模拟）九年级数学兴趣小组在学完解直角三角形的相关知识后，利用周末时间测量学校对面山上的瞭望塔的高度，如图，小组成员小彬站在45°的斜坡AB上的点A处测量对面依山而建的瞭望塔CD的高度，点A到地面BD的距离AH＝8m，由测量知：视线与斜坡的夹角∠CAB＝75°，AH＝BD＝8m．求瞭望塔CD的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：1.4，1.7）
55．（2025 碑林区校级四模）眼睛是心灵的窗户，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD＝20°，小林在书桌上方的身长AB为54cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．（参考数据：）
56．（2025 岳池县模拟）银杏是我国特有的树种，它被科学家誉为植物王国的“活化石”“植物界的大熊猫”，是世界上现存最古老的树种之一．实验中学操场边有一棵银杏树，九年级的张宇想利用所学知识测量这棵银杏树的高度．一天，他在阳光下竖直放了一根高1.8m的竹竿CD，利用测角仪从竹竿的影子边缘点F处测得竹竿的顶端点C处的仰角∠CFD＝37°，用卷尺测得银杏树的影长BE为12m，其中点B，E，D，F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF．求这棵银杏树AB的高度．（参考数据：sin37°，cos37°，tan37）
57．（2025 温江区二模）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2.2m，CF＝1.1m，∠DPE＝16°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为73°时，要使遮阳效果最佳，求AP的长．（结果精确到0.1m；参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，sin73°≈0.96，cos73°≈0.29）
58．（2025 新城区校级模拟）周末，天文爱好者们带着天文望远镜（如图1）到郊外观测土星环．这款天文望远镜由可升降的三脚架、镜筒和可旋转的支架组成．镜筒AB和旋转支架BC始终垂直，其中镜筒AB长60cm，旋转支架BC长20cm，三脚架三条支撑杆长度始终相同且长度可调节．图2，是已经架设好的一个天文望远镜的侧面结构示意图，已知：镜筒仰角∠ABF＝36.9°，三脚架支撑杆CD与地面夹角∠CDE＝64.2°，支撑杆CD此时长度为115cm，求此时镜头A到地面的距离．（结果精确到1cm）
参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin64.2°≈0.90，cos64.2°≈0.44，tan64.2°≈2.07．
59．（2025 雁塔区校级模拟）小华和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度PA，检验自己掌握知识和运用知识的能力．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处．此时，量的小华的影长FG＝2m小华身高EF＝1.6m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测频器CD．测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6m，DF＝5m，旗台高BP＝1.2m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG，求旗杆的高度PA（参考数据：sin49°≈0.8，cos49°≈0.7．tan49°≈1.2）．
60．（2025 唐河县三模）如图，在距某信号塔AB（AB垂直地面BP）的底部点B的右侧30米处有一个斜坡，斜坡MN的坡度i为1：2.4，斜坡上4米处有一竖直广告牌CD（即MD＝4米，CD⊥BP），已知当阳光与水平线夹角成27°时，信号塔的影子顶端正好和广告牌的顶端影子重合于点E（即点A，C，E在同一条直线上），经测量DE长度为9米，求信号塔AB的高度．（结果保留整数）
参考数据：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51
2025中考模拟数学分类汇编---三角函数A
参考答案与试题解析
一．解答题（共60小题）
1．（2025 南海区校级四模）小明学习了锐角三角函数后，想通过测量，计算一棵树的高AB，如图①，树AB与观测点C之间有一垂直于地面的围墙，小明不能翻越围墙到达树的底部B，于是小明在点C处利用自制的测角仪测得树顶A处的仰角为α，再沿CB方向前进了9m，到达点D处，测得树顶A的仰角为60°．求树高AB．（结果精确到0.1m．参考数据：
【思路点拔】根据题意，结合图形，在Rt△ABC中表示出BC，在Rt△ABD中表示出BD，利用BC﹣BD＝CD，解方程得到结果即可．
【解答】解：根据题意，α＝30°，CD＝9m，设AB＝x米，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α＝30°，
∴BCx（米），
∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD（米），
∵BC﹣BD＝CD＝9（m），
∴x9，
解得x7.8（米），
即AB＝7.8米，
答：树高AB约为7.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
2．（2025 漳州模拟）五一假期，晶晶一家要自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航系统屏幕显示车辆应沿北偏西45°方向行驶20千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向，求B，C两地的距离．（运算结果请保留根号）
【思路点拔】先求出∠C＝45°，过点B作BG⊥AC于点G，则∠BGA＝∠BGC＝90°，再求出AGAB＝10千米，BGAG＝10千米，然后证明△BCG是等腰直角三角形，得CG＝BG＝10千米，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意可知，∠BAD＝45°，∠DAC＝15°，∠FBC＝60°，EF∥DA，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝75°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，
过点B作BG⊥AC于点G，则∠BGA＝∠BGC＝90°，
∵∠BAC＝60°
∴∠ABG＝90°﹣60°＝30°
∵AB＝20千米，
∴AGAB＝10千米，BGAG＝10千米，
∵∠C＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BG＝10千米，
∴BCBG1010（千米），
答：B、C两地的距离是10千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题以及勾股定理的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
3．（2025 驿城区校级模拟）如图1，数学小组利用所学的锐角三角函数的知识测量一条河的宽度CD．他们在点A处将无人机垂直上升150m至点B处，在点B处测得C，D两点的俯角分别为30°和53°，如图2，已知点A，D，C在同一水平直线上．试求这条河的宽度CD．（结果精确到1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，
【思路点拔】根据题意可得：AB⊥AC，BE∥AC，从而可得∠EBC＝∠BCA＝30°，∠EBD＝∠BDA＝53°，然后分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AD的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：AB⊥AC，BE∥AC，
∴∠EBC＝∠BCA＝30°，∠EBD＝∠BDA＝53°，
在Rt△ABC中，AB＝150m，
∴AC150（m），
在Rt△ABD中，AD112.8（m），
∴CD＝AC﹣AD＝150112.8≈147（m），
∴这条河的宽度CD约为147m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2025 高新区校级模拟）洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，求EC的长．（结果取整数，参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.7）
【思路点拔】过点A作AH⊥EC于H，交DB于G，过点M作MF⊥AH于F，根据正弦的定义求出AF，根据余弦的定义求出MF，根据正切的定义求出HC，进而求出EC．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥EC于H，交DB于G，过点M作MF⊥AH于F，
则四边形MDGF、四边形DEHG都是矩形，
∴FG＝MD＝6cm，DG＝MF＝EH，GH＝DE＝22cm，
在Rt△AFM中，AM＝10cm，∠AMF＝37°，
则AF＝AM sin∠AMF≈106（cm），MF＝AM cos∠AMF≈108（cm），
∴EH＝MF＝8cm，AH＝AF+FG+GH＝6+6+22＝34cm，
在Rt△AHC中，∠ACH＝60°，
则CH20（cm），
∴EC＝EH+HC＝8+20＝28（cm），
答：EC的长约为28cm．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（2025 湖北模拟）端午节期间，小优与小翼相约攀登武当山附近的一座小山．如图，他们先由山脚A处步行300m到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处步行480m到达山顶D处．已知点A，B，D，F在同一平面内，山坡AB的坡度，山坡BD与水平线的夹角为53°，求A，D两地的垂直高度DF．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【思路点拔】过点B作BC⊥AF于C，BE⊥DF于E，根据坡度与坡角的关系求出∠A＝30°，进而求出BC，根据正弦的定义求出DE，计算即可．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥AF于C，BE⊥DF于E，
则四边形BCFE为矩形，
∴EF＝BC，
∵山坡AB的坡度i＝1：，
∴tanA，
∴∠A＝30°，
∴BCAB300＝150（m），
在Rt△DEB中，BD＝480m，∠DBE＝53°，
则DE＝BD sin∠DBE≈480×0.80＝384（m），
∴DF＝384+150＝534（m），
答：A，D两地的垂直高度DF约为534m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（2025 常德三模）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，求黄鹤楼的高度（参考数据：tan63°≈2）．
【思路点拔】延长BA交距水平地面102m的水平线于点D，根据tan63°≈2，求出DC＝AD≈51m，即可求解．
【解答】解：将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，如图，延长BA交距水平地面102m的水平线于点D，
依题意，有三个角都是直角的四边形是矩形，
∴BD＝102m，
设AD＝x cm，
∵∠DCA＝45°，
∴DC＝AD＝x cm，
∴，
∴DC＝AD≈51，
∴AB＝BD﹣AD＝102﹣51≈51（m），
∴黄鹤楼的高度约为51m．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
7．（2025 永寿县校级模拟）2025年春节期间，小明和家人去西安旅游，他们来到西安的地标建筑钟楼．如图，小明在远处抬头看钟楼，此时他（CD）看钟楼（AB）顶端的仰角是27°，他往前走了38米（ED＝38米），转身拍照，发现此时钟楼影子（BF）的顶端和他（GE）的影子（EF）的顶端重合，已知此时他的影长是1.6米，小明的身高是1.8米（眼睛与头顶之间的距离忽略不计），求钟楼AB的高度．（参考数据：tan27°≈0.5）
【思路点拔】连接CG并延长交AB于点H，则CH⊥AB，根据题意可得：CH＝BD，HG＝BE，BH＝GE＝CD＝1.8米，EF＝1.6米，AB⊥BD，GE⊥BD，从而可得∠ABF＝∠GEF＝90°，然后设AH＝x米，在Rt△ACH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，最后证明A字模型△ABF∽△GEF，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：连接CG并延长交AB于点H，则CH⊥AB，
由题意得：CH＝BD，HG＝BE，BH＝GE＝CD＝1.8米，EF＝1.6米，AB⊥BD，GE⊥BD，
∴∠ABF＝∠GEF＝90°
设AH＝x米，
在Rt△ACH中，∠ACH＝27°，
∴CH2x（米），
∴CH＝BD＝2x米，
∵∠GFE＝AFB，
∴△ABF∽△GEF，
∴，
∴，
解得：x＝34.2，
∴AH＝34.2米，
∴AB＝AH+BH＝34.2+1.8＝36（米），
∴钟楼AB的高度约为36米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2025 鼓楼区二模）根据图中三角形区域顶点的位置及边长，计算BC的长．（精确到0.1m）（参考数据：tan53°≈1.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，18.442≈340，）
【思路点拔】过点C作CE⊥AD，垂足为E，延长EC交BF于点G，根据题意可得：AH⊥BG，EG＝AH，AE＝GH，然后设CG＝x m，在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE和AE的长，从而可得EG＝AH＝（x+8）m，再在Rt△BCG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而可求出BH的长，最后在Rt△ABH中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算可求出CG和BG的长，最后在Rt△BCG中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点C作CE⊥AD，垂足为E，延长EC交BF于点G，
由题意得：AH⊥BG，EG＝AH，AE＝GH，
设CG＝x m，
在Rt△ACE中，∠EAC＝53°，AC＝10m，
∴CE＝AC sin53°≈8（m），AE＝AC cos53°≈6（m），
∴EG＝AH＝CE+CG＝（x+8）m，AE＝GH＝6m，
在Rt△BCG中，∠CBG＝45°，
∴BGx（m），
∴BH＝BG﹣GH＝（x﹣6）m，
在Rt△ABH，AH2+BH2＝AB2，
∴（8+x）2+（x﹣6）2＝18.442，
解得：x1＝﹣12（舍去），x2＝10，
∴CG＝BG＝10m，
在Rt△BCG中，BC1014.1（m），
∴BC的长约为14.1m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．（2025 江口县三模）如图1是贵阳花果园双子塔，是贵阳国际贸易中心（ITC）的A座和B座，是贵州省第一高楼，也是全国已建成的最高双子塔．在学会三角函数知识后，家住双子塔附近的小星同学决定用自己学到的知识测量其中一座塔的高度，如图2，小星在小区门口点C处测得其中一个塔AB的顶部B的仰角为45°，然后在自家阳台上的点D处测得顶部B的仰角为35°，若小星家的阳台D到地面E的距离为56m，点E到点C的水平距离EC为94m，且A、C、E三点共线，求AB的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【思路点拔】过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DE＝AF＝56m，DF＝AE，然后设AC＝x m，则DF＝AE＝（x+94）m，分别在Rt△ABC和Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出AB和BF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DE＝AF＝56m，DF＝AE，
设AC＝x m，
∵EC＝94m，
∴DF＝AE＝CE+AC＝（x+94）m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝AC tan45°＝x（m），
在Rt△BDF中，∠BDF＝35°，
∴BF＝DF tan35°≈0.7（x+94）m，
∵BF+AF＝AB，
∴0.7（x+94）+56＝x，
解得：x＝406，
∴AB＝406m，
∴AB的高度约为406m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2025 南海区校级三模）如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.6米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，与篮板EF的夹角∠HEF＝90°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7，1.7，1.4）
【思路点拔】延长FE交BC于点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，根据题意可得：AB＝GM，FM⊥BC，HD∥AG，从而可得∠FHE＝∠FAG＝60°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：延长FE交BC于点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，
由题意得：AB＝GM，FM⊥BC，HD∥AG，
∴∠FHE＝∠FAG＝60°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝75°，BC＝0.6米，
∴AB＝BC tan75°≈0.6×3.7＝2.22（米），
∴AB＝GM＝2.22米，
在Rt△AFG中，AF＝2.6米，
∴FG＝AF sin60°＝2.61.3（米），
∵DF＝1.4米，
∴DM＝FG+GM﹣DF＝1.32.22﹣1.4≈3.0（米），
∴篮筐D到地面的距离约为3.0米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．（2025 秦都区校级模拟）仙游寺法王塔是陕西省第四批全国重点文物保护单位之一．天气晴朗的周末，某数学兴趣小组的同学在综合实践活动中利用学过的数学知识测量法王塔的高度AB．
【测量过程】如图，该小组成员小明在E处放置一个与地面垂直的标杆EF，同一时刻标杆的影子顶端与法王塔的影子顶端重合于地面上的点G处，小组成员小亮在D处利用测角仪CD测出法王塔塔顶A的仰角∠ACM．
【测量数据】CD＝EF＝1.5m，GE＝1m，DG＝67m，∠ACM＝37°．
【参考数据】sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
已知AB⊥DG，CD⊥DG，FE⊥DG，点D、B、E、G在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上信息求出法王塔的高度AB．
【思路点拔】延长CM交AB于点N，根据题意可得：CN⊥AB，四边形BDCN是矩形，从而可得BN＝CD＝1.5m，CN＝BD，然后在Rt△ACN中，利用锐角三角函数的定义求出AN的长，从而求出AB的长，再证明A字模型△ABG∽△FEG，从而利用相似三角形的性质求出AB的长，最后列出关于BD的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长CM交AB于点N，
由题意得：CN⊥AB，四边形BDCN是矩形，
∴BN＝CD＝1.5m，CN＝BD，
在Rt△ACN中，，
∴AN＝0.75CN＝0.75BD，
∴AB＝AN+BN＝0.75BD+1.5，
∵AB⊥DG，FE⊥DG，
∴∠ABG＝∠FEG＝90°，
∵∠AGB＝∠FGE，
∴△ABG∽△FEG，
∴，
即，
∴．AB＝1.5BG＝1.5（67﹣BD），
∴0.75BD+1.5＝1.5（67﹣BD），
解得：BD＝44m，
∴AB＝0.75BD+1.5＝34.5（m），
∴法王塔的高度AB为34.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（2025 金台区校级模拟）如图是某路段路灯的示意图，灯杆AB长0.6m，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为12.3m，从D，E两处分别测得路灯A的仰角为72°和45°，求灯柱BC的高度（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.10）．
【思路点拔】过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点B作BG⊥AF，垂足为G，根据题意可得：BC＝FG，∠CBG＝90°，从而可得∠ABG＝30°，然后在Rt△ABG中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AG的长，再设DF＝x m，则EF＝（12.3﹣x）m，分别在Rt△ADF和Rt△AFE中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点B作BG⊥AF，垂足为G，
由题意得：BC＝FG，∠CBG＝90°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝30°，
在Rt△ABG中，AB＝0.6m，
∴AGAB＝0.3（m），
设DF＝x m，
∵DE＝12.3m，
∴EF＝DE﹣DF＝（12.3﹣x）m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝72°，
∴AF＝DF tan72°＝3.1x（m），
在Rt△AFE中，∠AEF＝45°，
∴AF＝EF tan45°＝（12.3﹣x）m，
∴3.1x＝12.3﹣x，
解得：x＝3，
∴AF＝3.1x＝9.3（m），
∴BC＝FG＝AF﹣AG＝9.3﹣0.3＝9（m），
∴灯柱BC的高度为9m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．（2025 乾县校级二模）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张赛塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为45°，随后操作无人机竖直向上升高13.8m到点B处，测得塑像顶部C的俯角为22°，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且AB，CD均垂直于地面AD，求该塑像的高度CD．（结果保留一位小数．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【思路点拔】如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据正方形的性质得到四边形ADCE为正方形，得到AD＝CD＝AE＝CE，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∴AB⊥AD，CD⊥AD，CE⊥AB，
∴四边形ADCE是矩形，
∵∠CAD＝45°，
∴AD＝CD，
∴四边形ADCE为正方形，
∴AD＝CD＝AE＝CE，
∵从点B测得点C的俯角为22°，
∴∠BCE＝22°，
∵BE＝AB﹣AE＝13.8﹣AE，
∴tan2，
解得CD＝9.9m，
∴该塑像的高度CD约为9.9m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．（2025 甘肃模拟）黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点A处测得楼顶C的仰角是37°，由点A向黄河楼前进71.3米到达点B处，由点B处测得楼顶C的仰角是60°．楼底点D与点A，B共线，且CD⊥AB，求黄河楼CD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
【思路点拔】根据题意可得：∠CBD＝60°，∠CAD＝37°，AB＝71.3米，然后设BD＝x米，则AD＝（x+71.3）米，分别在Rt△CDB和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：∠CBD＝60°，∠CAD＝37°，AB＝71.3米，
设BD＝x米，则AD＝AB+BD＝（x+71.3）米，
在Rt△CDB中，∠CBD＝60°，
∴CD＝BD tan60°＝x（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD tan37°≈0.75（x+71.3）米，
∴x＝0.75（x+71.3），
解得：x≈56.29，
∴CD＝x≈95.7（米），
∴黄河楼CD的高约为95.7米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（2025 朔州模拟）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构．小明及其学习小组想知道山上信号钢支架AB的高度，在山脚D处测得信号钢支架顶端A的仰角为45°，沿着斜坡从点D走到点E处测得信号钢支架顶端A的仰角为70°，已知DE的坡度为3：4．学习小组画出如图所示的示意图，AC⊥DC于点C，EB⊥AC于点B，DE＝50米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出信号钢支架AB的高度．（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【思路点拔】过点E作EF⊥DC于点F，由AC⊥DC于点C，EB⊥AC于点B，如图所示，则四边形EFCB为矩形，由坡度问题、俯角仰角解直角三角形即可得到答案．
【解答】解：过点E作EF⊥DC于点F，由AC⊥DC于点C，EB⊥AC于点B，如图所示：
∴BE＝CF，EF＝BC，
∵斜DE＝50米，
∴，
当EF＝30米时，则DF＝40米，
设AB＝x米，
在Rt△ABE中，，∠AEB＝70°，则，
即，
∵BE＝CF，
∴，
在Rt△ACD中，∠ADC＝45°，则AC＝DC，
∴，
解得x≈15.7，
答：信号钢支架AB的高度约为15.7米．
【点评】本题考查三角函数测高，涉及矩形的判定与性质、仰角俯角、坡度等解直角三角形的应用等知识，读懂题意，数形结合，构造直角三角形求解是解决问题的关键．
16．（2025 连州市校级一模）如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°，识别到最近点B的俯角β是45°，点A与点B相距11m，求摄像头安装点C距地面的高度CD．（结果取整数，参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）
【思路点拔】根据题意，设CD＝x米，在Rt△CBD中，表示出BD，在Rt△ACD中表示出AD，得到方程，解方程即可得到结果．
【解答】解：设CD＝x米，
依题意，∠A＝α＝17°，∠CBD＝β＝45°，
∴在Rt△CBD中，∠BCD＝∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x（米），
∵在Rt△ACD中，∠A＝17°，
∴AD，
∵AB＝11米，
∴，
解得x≈5，
∴CD＝5米，
答：摄像头安装点C距地面的高度CD为5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
17．（2025 上蔡县三模）开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960﹣1127年）建造的一座木塔，被誉为“天下第一塔”．某小组用自制的菱形测高仪ABCD测量塔高，其边长为0.5m，O为对角线的交点，OB＝0.4m．当测角仪的顶点D，A与塔顶端点E在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线恰好过点O和顶点C．经测量点B到EF的距离为72m，点B到地面的距离为1.2m．求开封铁塔EF的高度．
【思路点拔】根据题意，结合图形，在Rt△ABO中根据勾股定理得到AO长，利用三角函数求得tan∠ABD的值，在Rt△EDG中求出EG长，即可得到结果．
【解答】解：延长DB交EF于G，则BG＝72m，
由题意得DG⊥EF，AC⊥BD，
∵在菱形ABCD中，AB＝0.5m，OB＝0.4m，
∴AC⊥BD，
∴AO2＝AB2﹣OB2＝0.52﹣0.42＝0.32，
∴AO＝0.3（m），
∴在Rt△ABO中，tan∠ABD，
∴tan∠ADB＝tan∠ABD，
∵BO＝0.4m，
∴BD＝0.8m，
∴DG＝BD+BG＝0.8+72＝72.8（m），
∵在Rt△EDG中，，
∴，
解得EG＝54.6（m），
∵GF＝1.2m，
∴EF＝EG+GF＝54.6+1.2＝55.8m，
答：开封铁塔EF的高度为55.8m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
18．（2025 金安区校级四模）九年级数学兴趣小组利用所学知识测量路灯AB的高度（路灯的底部不可到达），如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆CD，测得此时CD的影长CE为0.5米，逆时针旋转标杆，观察影子的变化规律，发现当标杆旋转到CF的位置时，此时标杆的影长最大为CG，此时CF⊥BG，若此时测得．∠G＝60°，请你据此求出路灯AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：1.73）
【思路点拔】先证明△DCE∽△BAE，得到，设AC＝x米，则AE＝AC+CE＝（x+0.5）米，AB＝2AE＝（2x+1）米，得到，求出（米），继而得到，，解到，进而求出答案．
【解答】解：发现当标杆旋转到CF的位置时，此时标杆的影长最大为CG，此时CF⊥BG，
∵∠DCE＝∠BAE＝90°，∠DEC＝∠BEA，
∴△DCE∽△BAE，
∴，
∵CD＝1（米），CE＝0.5（米）
∴，
设AC＝x米，则AE＝AC+CE＝（x+0.5）米，AB＝2AE＝（2x+1）米，
∵∠G＝60°，CF＝CD＝1（米），
∴
∴（米）
∴米，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴（米），
答：路灯AB的高度约为8.5米．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．（2025 临渭区模拟）庆安寺塔（如图①），又称耒化塔、镇风宝塔，位于陕西省渭南市临渭区，它不仅是渭南地区的地标性古迹，也是中国古代建筑艺术的重要代表之一，现已被中华人民共和国国务院公布为第六批全国重点文物保护单位．如图②，小亮为了测量庆安寺塔的高度AB，他站在地面上的点G处，恰好看到塔尖A，此时仰角为26.5°，他沿GB往前走43m到达点D处，并在此处竖立一根高为2m的标杆CD，此时地面上的点E，标杆的顶端C和塔尖A恰好在同一直线上，并测得EG＝42m，已知点B、D、E、G在同一水平线上，AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，小亮眼睛到地面的距离FG＝1.5m，求庆安寺塔的高度AB．（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
【思路点拔】由DG＝43m，EG＝42m，得到DE＝1m，根据相似三角形的性质得到1，设BE＝x m，AB＝2x m，过F作FH⊥AB于H，则BH＝FG＝1.5m，HF＝BG＝（42+x）m，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵DG＝43m，EG＝42m，
∴DE＝1m，
∵CD∥AB，
∴△CDE∽△ABE，
∴1，
∴设BE＝x m，AB＝2x m，
过F作FH⊥AB于H，
则BH＝FG＝1.5m，HF＝BG＝（42+x）m，
∵∠AHF＝90°，AFH＝26.5°，
∴tan26.5°，
∴x＝15，
∴AB＝30m，
答：庆安寺塔的高度AB约为30m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，正确地添加辅助线是解题的关键．
20．（2025 前郭县模拟）如图，小瑞放学后回家，到小区的门口C处时，看到自己家的窗户A的仰角α＝37°，他向前走了10m后到达点D处时，看到自己家窗户A的仰角β＝45°，小瑞的身高CM＝DN＝1.5m，求小瑞家到地面的高度AB（结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【思路点拔】连接CD并延长，交AB于点E，易得出四边形CDNM和四边形DEBN是矩形，从而得出DE＝BN，CD＝MN＝10m，再根据正切的定义得出AE＝tan （DE+CD）＝tan （DE+10），AE＝DE，从而即可列出等式DE＝tanα （DE+10），解出DE，即可求出AE，最后由AB＝AE+BE求解即可．
【解答】解：如图，连接CD并延长，交AB于点E，
由题意可知CE⊥AB，
∴四边形CDNM和四边形DEBN是矩形，
∴DE＝BN，CD＝MN＝10m，
在Rt△ACE中，tan，
∴AE＝tanα CE＝tanα （DE+CD）＝tanα （DE+10）≈0.75DE+7.5．
在Rt△ADE中，β＝45°，
∴∠DAE＝45°＝β，
AE＝DE
∴DE＝0.75DE+7.5．
∴DE＝30，
∴AE≈30m，
∴AB＝AE+BE＝30+1.5＝31.5（m）≈32m．
答：小瑞家到地面的高度AB约为32m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，矩形的判定和性质，解直角三角形．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
21．（2025 城东区校级三模）黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点O处，三片扇叶两两所成的角为120°，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点C处安放测角仪（测角仪高度AC＝1米），当扇叶a恰好与塔杆重合时，测得扇叶b的末端点B的仰角为54.5°，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5≈1.40，1.73）
【思路点拔】过点A作AE⊥OD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，过点O作OG⊥BF，垂足为G，根据题意可得：DE＝AC＝1米，AE＝CD＝65米，OG＝EF，OE＝GF，∠BOD＝120°，∠DOG＝90°，从而可得∠BOG＝30°，然后在Rt△BOG中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BG＝13米，OG＝13米，从而可得EF＝OG＝13米，进而可得AF＝（65﹣13）米，再在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出GF的长，最后利用线段的和差关系求出OD的长，即可解答．
【解答】解：该发电机机舱的高度合适，
理由：如图：过点A作AE⊥OD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，过点O作OG⊥BF，垂足为G，
由题意得：DE＝AC＝1米，AE＝CD＝65米，OG＝EF，OE＝GF，∠BOD＝120°，∠DOG＝90°，
∴∠BOG＝∠BOD﹣∠DOG＝30°，
在Rt△BOG中，OB＝26米，
∴BGOB＝13（米），OGBG＝13（米），
∴EF＝OG＝13米，
∴AF＝AE﹣EF＝（65﹣13）米，
在Rt△ABF中，∠BAF＝54.5°，
∴BF＝AF tan54.5°≈（65﹣13）×1.4＝（91﹣18.2）米，
∴OE＝GF＝BF﹣BG＝（78﹣18.2）米，
∴OD＝OE+DE＝79﹣18.247.514（米），
∵当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高，
∴该发电机机舱的高度合适．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（2025 上海模拟）如图，直线M'N'∥直线l1直线l2，直线MN垂直于l1和l2，垂足分别为M和N，线段MM'与线段NN′交于点O，∠M'MP＝α．已知M'N'＝5，OM′＝23，OM＝132，求MN的长度．（结果精确到个位，sinα≈0.8，cosα≈0.6，cotα≈0.75）
【思路点拔】延长M′N′交MN于点G，易得△M′N′O∽△MHO，进而可得HM的长度，则求得GM′和GM的长度，根据∠HNM正切值的不同表示方法可得MN的长度．
【解答】解：延长M′N′交MN于点G，
∵MN⊥l1，
∴∠PMN＝90°，
∵M'N'∥直线l1，
∴∠G＝∠PMN＝90°，∠GM′M＝∠M'MP＝α，∠M′N′O＝∠OHM，
∴△M′N′O∽△MHO，
∴，
∴，
解得：HM≈28.7，
∵OM′＝23，OM＝132，
∴MM′＝23+132＝155，
∴GM′＝155×cosα≈93，
GM＝155×sinα≈124，
∴N′G＝93﹣5＝88，
∵tan∠HNM，
∴，
解得：MN≈60．
答：MN的长度约为60．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．构造合理的直角三角形进行求解是解决本题的关键．
23．（2025 雁塔区校级模拟）如图，在东西方向的海岸线l上，有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向59.5千米处有一观察站O，现测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西37°方向，且与O相距60千米的A处，经过一段时间，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距30千米的B处，如果该轮船不改变航向继续航行，判断该轮船能否行至码头MN靠岸，请通过计算进行说明．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【思路点拔】根据题意，结合图形，在Rt△OAC中求出AC，OC的长，利用相似三角形，求出OD的长，从而得到结果．
【解答】解：该轮船能否行至码头MN靠岸，理由如下：
过A点作AC⊥OB，交OB的延长线于点C，延长AB交l于点D，
依题意，OA＝60，∠AOC＝37°，
∴在Rt△OAC中，AC＝OA sin∠AOC＝60×sin37°≈36（千米），
OC＝OA cos∠AOC＝60×cos37°＝60×0.8＝48（千米），
∵OB＝30千米，
∴BC＝OC﹣OB＝18（千米），
∵AC∥OD，
∴△ABC∽△DBO，
∴，
∴，
∴OD＝60（千米），
∵OM＝59.5千米，MN＝1千米，
∴ON＝60.5（千米），
∵59.5＜60＜60.5，
∴该轮船能行至码头MN靠岸．
【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
24．（2025 迎江区三模）如图一是屏幕投影仪投屏情景图，图二是其侧面抽象示意图，A，D，C是支架的一部分，投影光线B′E与投影仪BB′近似在同一直线上，已知AD与地面FC垂直，且AD的长为15cm，CD的长为60cm，AD距墙面EF的水平距离为3m，若投影光线与AD的夹角∠EAD＝120°，CD与地面的夹角∠DCF＝52°，求光源投屏最高点到地面的距离EF．（结果精确到1cm，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，1.73）
【思路点拔】延长AD交CF于点G，过点A作AH⊥EF，垂足为H，根据题意可得：AG⊥CF，AH＝3m＝300cm，∠HAD＝90°，AG＝HF，从而可得∠EAH＝30°，然后在Rt△CDG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而求出AG的长，再在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出EH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：延长AD交CF于点G，过点A作AH⊥EF，垂足为H，
由题意得：AG⊥CF，AH＝3m＝300cm，∠HAD＝90°，AG＝HF，
∵∠EAD＝120°，
∴∠EAH＝∠EAD﹣∠HAD＝30°，
在Rt△CDG中，CD＝60cm，∠DCF＝52°，
∴DG＝CD sin52°≈60×0.79＝47.4（cm），
∵AD＝15cm，
∴HF＝AG＝AD+DG＝15+47.4＝62.4（cm），
在Rt△AEH中，EH＝AH tan30°＝300100（cm），
∴EF＝EH+HF＝10062.4≈235（cm），
∴光源投屏最高点到地面的距离EF约为235cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（2025 雁塔区校级模拟）小明和小红计划测量学校旗杆AB的高度，他们制定了如下测量方案：如图，小明先将升旗的绳子从旗杆顶端A拉到旗杆底端B，绳子多出1米，然后再将升旗的绳子从A拉直，使绳子的底端C刚好接触到地面，此时，小红将测倾器放在距离C点6米的E点处，在D点测得A点的仰角为45°．已知测倾器DE的高度为1米，点E、C、B在一条直线上，AB⊥BE，DE⊥BE．求旗杆AB的高度．
【思路点拔】过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：DF＝EB，DE＝BF＝1m，AC＝（AB+1）m，CE＝6m，然后设BC＝x m，则DF＝BE＝（x+6）m，在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AB和AC的长，最后在Rt△ACB中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝EB，DE＝BF＝1m，AC＝（AB+1）m，CE＝6m，
设BC＝x m，则DF＝BE＝CE+BC＝（x+6）m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AF＝DF tan45°＝（x+6）m，
∴AB＝AF+BF＝（x+7）m，
∴AC＝AB+1＝（x+8）m，
在Rt△ACB中，AC2＝BC2+AB2，
∴（x+8）2＝x2+（x+7）2，
解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝3，
∴BC＝3m，
∴AB＝x+7＝10（m），
∴旗杆AB的高度为10m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（2025 栖霞区校级三模）如图，为了测量风力发电机风叶的长度，当其中一片风叶OA与塔干OD叠合时，小青在离塔底D水平距离为80m的E处，测得塔顶部O的仰角∠DEO＝45°，测得叶片C处的仰角∠DEC＝70°．已知三片风叶OA，OB，OC两两所成的角为120°，点A，C，O，D在同一平面内，求风叶OC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：
【思路点拔】过点C作CF⊥DE，过点O作OG⊥CF，构造矩形ODFG，利用矩形的性质得OD、GF、OG、DF间关系，利用特殊直角三角形的边角间关系、线段的和差关系得关于EF的方程，求解方程后再求出CG，最后利用30°角的直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：过点C作CF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥CF．垂足为G．
∴四边形ODFG是矩形．
∴OD＝GF，OG＝DF．
∵∠DOC＝120°，∠DOG＝90°，
∴∠COG＝30°．
在Rt△ODE中，
∵∠DEO＝45°，
∴∠DOE＝45°．
∴OD＝DE＝GF＝80m．
在Rt△CEF中，
∵tan∠DEC，
∴CF＝tan∠DEC EF＝tan70° EF≈2.75EF．
在Rt△OCG中，
∵OG＝DF＝（80﹣EF），tan∠COG，
∴CG＝tan∠COG OG（80﹣EF），OC＝2CG．
∵CF＝CG+GF，
∴2.75EF（80﹣EF）+80．
∴8.25EF＝138.4﹣1.73EF+240，
∴EF≈37.92．
∴CG＝CF﹣FG
＝2.75EF﹣80
＝104.28﹣80
＝24.28．
∴OC＝2CG＝2×24.28＝48.56≈48.6（米）．
答：风叶OC的长度约为48.6米．
【点评】本题主要考查了直角三角形的应用，掌握矩形的判断和性质、直角三角形的边角间关系、一元一次方程的解法、线段的和差关系等知识点是解决本题的关键．
27．（2025 永寿县校级二模）西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，是中国现存规模最大、形制最完整的古代钟楼之一．周末，小明及他所在的数学兴趣小组开展测量钟楼高度的实践活动．方案如下：如图所示，小明先在点C处放置一个平面镜，站在点E处恰好在平面镜中看到钟楼的顶端A，此时测得CE＝3m；同时小明测得钟楼顶端A的仰角为24.5°，已知小明的眼睛与地面间的距离DE为1.5m，求钟楼AB的高度．（结果精确到1m；参考数据：sin24.5°≈0.41，cos24.5°≈0.91，tan24.5°≈0.46）
【思路点拔】过点D作DH⊥AB，垂足为H，设BC＝x m，则BE＝（x+3）m，根据题意可得：∠DCE＝∠ACB，DF＝BE＝（x+3）m，DE＝BF＝1.5m，DE⊥BE，AB⊥BE，再根据垂直定义可得∠DEC＝∠ABC＝90°，从而证明△DEC∽△ABC，然后利用相似三角形的性质进行计算可得AB＝0.5x，再在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DH⊥AB，垂足为H，
设BC＝x m，
∵CE＝3m，
∴BE＝CE+BC＝（x+3）m，
由题意得：∠DCE＝∠ACB，DF＝BE＝（x+3）m，DE＝BF＝1.5m，DE⊥BE，AB⊥BE，
∴∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴△DEC∽△ABC，
∴，
∴，
解得：AB＝0.5x，
在Rt△ADF中，∠ADF＝24.5°，
∴AF＝DF tan24.5°≈0.46（x+3）m，
∵AF+BF＝AB，
∴0.46（x+3）+1.5＝0.5x，
解得：x＝72，
∴AB＝0.5x＝36（m），
∴钟楼AB的高度约为36m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
28．（2025 兴县二模）汾河是三晋大地的母亲河，以七百里的磅礴之躯滋养千年文明，用一温碧水映照新时代的生态华章．在综合实践课上，实践小组使用无人机测量汾河（图1）某段的宽度．如图2，他们在河岸一侧的观景台（矩形ABCD）上升起一架无人机，当无人机飞到河面上方点P处，测得观景台正对岸Q处的俯角为63.6°，测得观景台顶端A处的俯角为47.3°，测得观景台顶端D处的俯角为36.7°，已知观景台高AB为10米，台面宽AD为16米（图中所有点均在同一平面内，Q，B，C三点共线），求此河段的宽QC．（结果保留一位小数，参考数据：tan47.3°≈1.08，tan36.7°≈0.75，tan63.6°≈2.01）
【思路点拔】过点P作PF⊥BQ于点E，过点A作AF⊥PE于点F．设PF＝h米，AF＝BE＝a米，利用解直角三角形得到h＝a tan47.3°，以及h＝（a+16） tan36.7°，建立等式求出a，h，进而求出QE，再根据QC＝QE+BE+BC求解，即可解题．
【解答】解：Q处的俯角为63.6°，A处的俯角为47.3°，D处的俯角为36.7°，AB为10米，AD为16米如图2，过点P作PF⊥BQ于点E，过点A作AF⊥PE于点F．
∴四边形ABEF为矩形，
∴∠PQE＝∠MPQ＝63.6°，∠PAF＝∠NPA＝47.3°，∠PDF＝∠NPD＝36.7°，AD＝BC＝16米，EF＝AB＝10米．
设PF＝h米，AF＝BE＝a米，
在直角三角形APF中，PF＝AF tan∠PAF，
即h＝a tan47.3°．
在直角三角形PDF中，PF＝DF tan∠PDF，
即h＝（a+16） tan36.7°，
∴a tan47.3°＝（a+16） tan36.7°，
解得a≈36.36，h≈39.27，
∴PE＝PF+EF＝39.27+10＝49.27（米）．
在直角三角形PEQ中，（米），
∴QC＝QE+BE+BC＝24.51+36.36+16≈76.9（米），
∴该河段的宽QC约为76.9米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握解直角三角形的计算是解题的关键．
29．（2025 碑林区校级模拟）如图，我国驱逐舰在黄岩岛海域C处测得黄岩岛A在驱逐舰的北偏西30°的方向上，随后驱逐舰以30海里/小时的速度向北偏东45°的方向航行，Ⅰ小时后到达B处，此时测得黄岩岛A在驱逐舰的北偏西60°的方向上，求此时驱逐舰距黄岩岛A的距离AB．（结果保留根号）
【思路点拔】根据题意，结合图形，在Rt△CEB中求出CE，在Rt△CEF中求出EF，CF，即可得到结果．
【解答】解：如图，过点B作BE垂直正北方向CE于点E，交AC于点F，
∵由题意可得，BC＝30海里，∠CBF＝∠BCE＝45°，CE＝BE，∠ECF＝30°，∠ABF＝30°，
∴∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴AB＝AC，∠A＝30°，
∴AF＝BF，
∵在Rt△CEB中，CE＝BC cos∠ECB，
∴（海里），
∴（海里），
∵在Rt△CEF中，EF＝CE tan∠ECF，CF，
∴（海里），
（海里），
∴（海里），
∴AC＝AF+CF＝515101515（海里），
∴（海里），
答：驱逐舰距黄岩岛A的距离AB为（）海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
30．（2025 新城区模拟）革命亭为西安革命公园标志性建筑，1983年革命亭被列为西安市市级重点文物保护单位．为测量革命亭的高度AB，小明和小华作出了如下测量方案：如图，小明在点C处利用测角仪测得革命亭顶部A的仰角为31°，小华在距小明9m的点E处水平放置了一块平面镜，当小华向后退至距平面镜3.2m的点F处时，从平面镜中恰好可以看到革命亭顶部A，已知小华的眼睛距地面的高度GF，测角仪的高度CD均为1.6m，点F，E，C，B在同一直线上，GF，DC，AB均垂直于BF，求革命亭的高度AB．（结果保留整数．参考数据：sin31°≈0.5，cos31°≈0.9，tan31°≈0.6）
【思路点拔】如图：过点D作DH⊥AB于点H，在Rt△ADH中解直角三角形可得，再证明四边形DCBH为矩形可得、BH＝CD＝1.6m，然后证明△GEF∽△AEB，根据相似三角形的性质计算可得AH＝17.4，最后根据线段的和差即可解答．
【解答】解：如图：过点D作DH⊥AB于点H，
由条件可知，
∵DC，AB均垂直于BF，
∴四边形DCBH为矩形，
∴，BH＝CD＝1.6m，
∵GF⊥BF，AB⊥BF，
∴∠F＝∠B＝90°，
∵∠GEF＝∠AEB，
∴△GEF∽△AEB，
∴，即，
解得：AH＝17.4，
∴AB＝AH+BH＝19（m）．
∴革命亭的高度AB约为19m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、相似三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形和相似三角形成为解题的关键．
31．（2025 沛县模拟）如图，在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向；从凉亭A处沿湖岸向东方向走了120米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上）；求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【思路点拔】根据题意，结合图形，在Rt△BCD中表示出BD，在Rt△ACD中表示出AD，结合AB的长度，得到结果．
【解答】解：过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，设CD＝x米，
依题意，∠CAD＝25°，∠CBD＝45°，
∵在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠BCD＝∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x，
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝25°，
∴AD，
AC，
∵AB＝120米，
∴AD﹣BD＝AB，
即x＝120，
解得x≈106.4（米），
∴AC253（米），
答：湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离为253米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
32．（2025 碑林区校级模拟）如图，为了测量建筑物AC的高度，从距离建筑物底部C处60米的点D（点D与建筑物底部C在同一水平面上）出发，沿坡度i＝1：2的斜坡DB前进米到达点B，在点B处测得建筑物顶部A的仰角为53°，求建筑物AC的高度．
（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.798，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327．）
【思路点拔】过B作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，由坡度的定义和勾股定理得BN＝10米，DN＝20米，再求出BM＝40（米），然后由锐角三角函数定义求出AM的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，过B作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
则四边形CMBN是矩形，
∴CM＝BN，BM＝CN，
∵斜坡DB的坡度i＝1：2＝BN：DN，
∴DN＝2BN，
设BN＝x米，则DN＝2x米，
在Rt△BDN中，由勾股定理得：（2x）2+x2＝（10）2，
解得：x＝10（负值已舍去），
∴BN＝10米，DN＝20米，
∴CM＝BN＝10米，
∴BM＝CD﹣DN＝60﹣20＝40（米），
在Rt△ABM中，tan∠ABM＝tan53°1.327，
∴AM≈1.327BM＝1.327×40＝53.08（米），
∴AC＝AM+CM＝53.08+10≈63.1（米）．
答：建筑物AC的高度约为63.1米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
33．（2025 沙坡头区三模）如图，小华想测量银川承天寺塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角是30°，再往塔的方向前进75米至B处，测得仰角为60°，那么该塔约有多高？（小华的身高忽略不计，，结果精确到1米）
【思路点拔】设CD＝x米，解直角三角形可得米，米，再根据AC﹣BC＝AB＝75米可建立方程求解．
【解答】解：设CD＝x米，
∵∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，
∴米，
∵∠DBC＝60°，∠BCD＝90°，
∴米，
∵AC﹣BC＝AB＝75米，
∴，
∴x≈65，
∴CD＝65米，
答：该塔约有65米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确进行计算是解题关键．
34．（2025 清江浦区校级模拟）某初三数学实践小组准备用所学知识测量郊外一座古塔AC的高度，古塔底部有台阶无法直接到达，古塔旁有一个斜坡BE，小敏在斜坡下的B处测得古塔AC的顶端C的仰角为54°（∠ABC＝54°），小菲在斜坡顶端E处测得古塔顶端C的仰角为35°（∠CED＝35°），斜坡BE下方标示BE的坡度i＝1：2.5，斜坡BE的长度为米，请你帮助数学小组计算古塔AC的高度．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.4，sin35°≈0.58，cos35°≈0.82，tan35°≈0.7）．
【思路点拔】先证明四边形EHAW是矩形，结合斜坡BE下方标示BE的坡度i＝1：2.5，即BH＝2.5EH，运用勾股定理列式计算解得EH＝6米，在Rt△CEW中，，在Rt△CAB中，，分别代入数值计算，得，故（米），即可作答．
【解答】解：过点E 作EH⊥BH，过点E作EW⊥AC，
∴∠EHA＝∠A＝∠EWA＝90°，
∴四边形EHAW是矩形，
∴EH＝AW，HA＝EW，
∵斜坡BE下方标示BE的坡度i＝1：2.5，
∴，
即BH＝2.5EH，
在直角三角形EHB中，由勾股定理得：EB2＝EH2+HB2，
∵斜坡BE的长度为米，
即9×29＝EH2+HB2＝7.25EH2，
解得EH＝6（负值已舍去），
∴HB＝2.5×6＝15（米），
∴设AB＝r米，
则WE＝HA＝（15+r）米，
在Rt△CEW中，，
即，
∴CW＝0.7（15+r）米，
∴AC＝CW+AW＝CW+EH＝0.7（15+r）+6＝（16.5+0.7r）米，
在Rt△CAB中，，
即，
∴CA＝1.4r米，
则1.4r＝16.5+0.7r，
解得，
∴（米）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
35．（2025 未央区模拟）【问题背景】
陕西信息大厦是古城西安的地标性建筑之一，位于西安市碑林区西安市文化科技体育中心．某校九年级学生张强想用学过的数学知识测量陕西信息大厦的高度．
【解决问题】
张强先在C处利用测角仪测得楼顶A的仰角∠ACB＝60°，然后沿BC移动96米到达D处（即CD＝96米），在D处利用测角仪测得楼顶A的仰角∠ADB＝45°．已知AB⊥BD，点B、C、D在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你根据以上信息求陕西信息大厦的高度AB．（结果保留根号）
【思路点拔】根据垂直定义可得∠ABD＝90°，然后设BC＝x米，则BD＝（x+96）米，分别在Rt△ABD和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
设BC＝x米，
∵CD＝96米，
∴BD＝CB+CD＝（x+96）米，
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴AB＝BD tan45°＝（x+96）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC tan60°x（米），
∴x＝x+96，
解得：x＝4848，
∴AB＝x+96＝4848+96＝（144+48）米，
∴陕西信息大厦的高度AB为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
36．（2025 襄州区校级模拟）如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度AB，无人机在空中点C处，测得点C距地面70米，测得楼底A的俯角为63.5°，楼顶C的俯角为30°，求大楼的高度AB．（结果精确到0.1米，参考数据：sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，1.73）．
【思路点拔】延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，根据题意可得：AE＝70米，然后先在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，
由题意得：AE＝70米，
在Rt△ACE中，∠ACE＝63.5°，
∴CE35（米），
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，
∴BE＝CE tan30＝35（米），
∴AB＝AE﹣BE＝7049.8（米），
∴大楼的高度AB约为49.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
37．（2025 城中区校级三模）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示，已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝200cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．（结果精确到1cm；sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【思路点拔】设OE＝OB＝x cm，得到OD＝DE+OE＝（200+x）cm，分别解Rt△OCD，Rt△ACB，进行求解即可．
【解答】解：已知OB＝OE，AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝200cm，∠BAD＝65°，
设OE＝OB＝x cm，则OD＝DE+OE＝（200+x）cm．
∵BC⊥AD，∠ADE＝30°，
∴，
∴．
在Rt△ACB中，，
∴．
解得：x≈29．
答：OB的长度约为29cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角形函数的定义．
38．（2025 岳麓区校级二模）梅溪湖城市岛如图1，是位于长沙梅溪湖西岸的标志性建筑，以双螺旋观景平台为核心，兼具现代设计美学与城市观景功能，城市岛“AR星空”于每周五和周六晚20：00﹣20：20进行播放，包含“地球家园”、“仰望星空”、“湖湘文脉”、“家国一心”等主题，整体呈现磅礴大气的视觉效果．数学兴趣小组的小雅同学，想要利用自己的数学知识测量城市岛的高度，如图2，她先在离地面高2.8m（即EF＝2.8m）矩形平台上的点A处用测角仪测得观景台顶部D的仰角为45°，然后前进8m到B处，测得观景台顶部D的仰角为53°．根据以上测量数据求城市岛的高度CD．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【思路点拔】延长AB交CD于H，则CH＝EF＝2.8m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长AB交CD于H，
则CH＝EF＝2.8m，
在Rt△ADH中，∵∠DAH＝∠ADH＝45°，
∴AH＝DH，
在Rt△DBH中，∠DBH＝53°，∠BHD＝90°，
∴∠BDH＝37°，
∴BH＝DH tan37°＝0.75DH，
∴AB＝AH﹣BH＝DH﹣0.75DH＝8m，
∴DH＝32m，
∴城市岛的高度CD＝DH+CH＝32+2.8＝34.8（m）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
39．（2025 庐阳区校级模拟）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为6cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，1.73）
【思路点拔】如图，过点A作AH⊥MN于点H，过点B作BK⊥AH于点K，延长DC交BK于点J．解直角三角形求出AK，JC可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥MN于点H，过点B作BK⊥AH于点K，延长DC交BK于点J．
∵∠CDH＝∠KHD＝∠JKH＝90°，
∴四边形DHKJ是矩形，
∴DJ＝KH，∠DJK＝∠BJC＝90°，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BCJ＝30°，∠CBJ＝60°，
∵∠ABC＝106°，
∴∠ABK＝46°，
∴CJ＝BC cos30°＝201017.3（cm），
AK＝AB sin46°＝25×0.72＝18（cm），
∴AH＝AK+KH＝AK+JC+CD＝18+17.3+6≈41（cm），
∴台灯的旋钮A到桌面MN的距离约为41cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
40．（2025 南海区校级模拟）目前，我国的太空站是世界上仅有的两个太空站之一，它为我国的科学实验提供了极大的支持．如图，科学家为了观察飞船的发射情况，预设了两个飞船上升位置A与B，飞船从地面O处发射，当飞船到达点A时，从位于地面C处的雷达站测得A，C间的距离是8km，仰角为30°，10s后飞船到达点B时，测得仰角为45°，求点B离地面的高度BO（结果精确到0.1km，参考数据：1.73）．
【思路点拔】根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在Rt△AOC中，
∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴OAAC＝4（km），
∴OCOA＝4（km），
在Rt△AOB中，∠BCO＝45°，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
∴OB＝OC＝46.9（km），
答：点B离地面的高度BO约为6.9km．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义是解题的关键．
41．（2025 永寿县校级一模）时刻保持网络畅通，通信塔是必不可少的．某移动公司在一处坡角为30°的坡地新安装了一架通信塔，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架通信塔的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图，已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得通信塔的塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方78米的点B处测得P点的俯角为12°，求该通信塔的塔杆PD的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.213）
【思路点拔】把PD向两方延长，交BE于点G，交AC的延长线于点F，根据题意可得：BG＝AF，AB＝FG＝78米，DG⊥BE，PF⊥AF，设BG＝AF＝x米，然后在Rt△DCF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DF的长，再分别在Rt△AFP和Rt△BPG中，利用锐角三角函数的定义求出PF和PG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：把PD向两方延长，交BE于点G，交AC的延长线于点F，
由题意得：BG＝AF，AB＝FG＝78米，DG⊥BE，PF⊥AF，
设BG＝AF＝x米，
在Rt△DCF中，∠DCF＝30°，CD＝16米，
∴DFCD＝8（米），
在Rt△AFP中，∠PAF＝45°，
∴PF＝AF tan45°＝x（米），
在Rt△BPG中，∠GBP＝12°，
∴GP＝BG tan12°≈0.213x（米），
∵GP+PF＝GF，
∴0.213x+x＝78，
解得：x≈64.30，
∴PF＝64.30米，
∴PD＝PF﹣DF＝64.30﹣8≈56.3（米），
∴该通信塔的塔杆PD的高度约为56.3米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
42．（2025 青岛模拟）如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，又在河的另一岸边取两个点B，C，测得∠α＝37°，∠β＝55°，量得BC的长为150m，求河的宽度．（参考数据：sin37°≈0，60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.80，cos55°≈0.60，tan55°≈1.40．结果精确到0.1m）
【思路点拔】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接过点A作AD⊥BC于点D，利用锐角三角函数的定义分别求出CD、BD的长，利用BD﹣CD＝150列方程，进而得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADC＝90°，
设AD＝x m，
∵∠β＝55°，∠α＝37°，
∴在Rt△ACD中，
CD，
在Rt△ABD中，
BD
∵BC＝150m，
∴BD﹣CD＝150，即，
解得．
∴AD≈242.3m，
答：河的宽度为242.3m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
43．（2025 潮阳区模拟）伏羲画卦亭（如图1）位于驻马店市上蔡县，相传人类始祖伏羲氏为定天下之吉凶，制作八卦图后，曾在这蓍草台上用蓍草和龟甲烧灼揲卦．为纪念先宗人祖足迹到此，后人在蓍草台上筑起伏羲画卦亭．如图2，某数学兴趣小组为了测量画卦亭的高度，在画卦亭前的平地上选择一点E，测得亭子最外侧点B的仰角∠BEF＝45°，之后又在点B的正下方找一点G（点E，G

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