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5.2.2　同角三角函数的基本关系
[学习目标]　1．理解并掌握同角三角函数的基本关系的推导及应用．(逻辑推理) 2．会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明．(数学运算)
探究1　同角三角函数的基本关系
问题　sin α，cos α，tan α的值都由α确定，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？你能借助三角函数的定义给予说明吗？
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[新知生成]
同角三角函数的基本关系
平方关系：sin2α＋cos2α＝_；
商数关系：．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
[典例讲评]　【链接教材P183例6】
1．已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．6
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
[学以致用]　【链接教材P185习题5.2T6】
1．(源自苏教版教材)已知tan α＝，求sin α，cos α的值．
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探究2　三角函数式的求值
　弦切互化求值
[典例讲评]　2．已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　“sin α±cos α”“sin αcos α”型求值问题
[典例讲评]　3．已知sin α＋cos α＝－，0<α<π．
(1)求sin αcos α的值；
(2)求sin α－cos α的值．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝________________．
2．已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式(每个单项式的次数相同或分子、分母的次数相同)的值．
(1)形如的分式，可将分子、分母同时除以______；形如分子、分母同时除以_____，将正弦、余弦转化为正切，从而求值．
(2)形如a sin2α＋b sin αcos α＋c cos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为____________，转化为形如求解．
[学以致用]　【链接教材P253复习参考题5T4】
2．(1)已知α∈，sin α＋cos α＝－，则tan α＝(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
(2)已知2cos2α－3sin αcos α＝，则tan α＝______．
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探究3　三角函数式的化简与证明
[典例讲评]　【链接教材P183例7】
4．(1)化简＝________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　1．三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的方法
(1)由繁到简法：从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1．
(4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
[学以致用]　【链接教材P186习题5.2T14】
3．(1)化简tan α，其中α是第二象限角；
(2)求证：．
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1．(多选)如果α是第二象限角，下列各式不正确的是(　　)
A．tan α＝－ 　 B．cos α＝－
C．sin α＝－ 　 D．tan α＝
2．(教材P186习题5.2T15改编)已知tan α＝－2，则＝(　　)
A．－4 　 B．－
C．－1 　 D．－
3．(教材P184练习T5改编)化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)
A． 　 B．
C．1 　 D．
4．已知sinθ＋cos θ＝，则tan θ＋＝________．
1．知识链：
2．方法链：弦切互化法、整体代换法．
3．警示牌：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论．
更多三角函数及关系式
除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的更多三角函数．
事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝，则r>0，此时
(1)称为α的正割，记作sec α，即sec α＝．
(2)称为α的余割，记作csc α，即csc α＝．
(3)称为α的余切，记作cot α，即cot α＝．
由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，sec α没有意义；当α的终边在x轴上时，cot α，csc α没有意义．
同样地，我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的读者自己探讨．
正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即
sec α＝，
csc α＝，
cot α＝．
另外，由于
tan2α＋1＝＝sec2α，
因此tan2α＋1＝sec2α．
类似地，还能得到cot2α＋1＝csc2α．
习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，即
cos αsec α＝1，sin αcsc α＝1，tan αcot α＝1．
每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．
你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！
5.2.2　同角三角函数的基本关系
[探究建构]　探究1
问题　提示：(1)sin2α＋cos2α＝1；
(2)＝tan α．
设角α的终边与单位圆交于P点，则点P坐标为(cos α，sin α)．
由PO长为1，得
sin2α＋cos2α＝1．
由正切函数的定义知，当α≠＋kπ(k∈Z)时，有tan α．
新知生成　1　tan α
典例讲评　1．解：∵cos α＝－<0，
∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α，
tan α；
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－，
tan α．
学以致用　1．解：由，得sin αcos α．
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＋cos2α＝1．
解得cos2α．
又由tan α>0，知α是第一或第三象限角．
若α是第一象限角，则
cos α，tan α，sin α；
若α是第三象限角，则
cos α＝－，tan α，sin α＝－．
探究2
典例讲评　2．解：(1)原式．
(2)原式．
(3)原式
．
典例讲评　3．解：(1)由sin α＋cos α＝－，得(sin α＋cos α)2，即sin2α＋2sin αcos α＋cos2α，
所以sin αcos α＝－．
(2)因为0<α<π，
所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0．
所以sin α－cos α
．
发现规律　1.1±2sin αcos α
2．(1)cos α　cos2α　(2)sin2α＋cos2α
学以致用　2．(1)A　(2)　[(1)由题意，α∈，sin α＋cos α＝－，∴cos α>0，sin α<0，
(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α，
解得2sin αcos α＝－，
∴sin α－cos α＝－
＝－，
∴解得
∴tan α，故选A．
(2)由题中等式易知cos α≠0，
则2cos2α－3sin αcos α，
整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，
即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，
解得tan α．]
探究3
典例讲评　4．(1)1　[原式1．]
(2)证明：法一：左边
右边．
所以原等式成立．
法二：因为(sin α－cos α＋1)cos α
＝sin αcos α－cos2α＋cos α
＝sin αcos α＋cos α－(1－sin2α)
＝cos α(sin α＋1)－(1＋sin α)(1－sin α)
＝(1＋sin α)(cos α－1＋sin α)
＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)，
且sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0，
所以．
学以致用　3．解：(1)因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0．
故tan αtan α···－1．
(2)证明：左边
右边．
所以原等式成立．
[应用迁移]
1．ACD　[由同角三角函数基本关系中的商数关系可知A，D均不正确；
sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α．
当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，
sin α，cos α＝－，
故B正确，C错误．故选ACD．]
2．C　[－1．]
3．C　[原式＝sin2α＋cos2α(sin2α＋cos2α)＝sin2α＋cos2α＝1．
故选C．]
4．－4　[∵sin θ＋cos θ，∴(sin θ＋cos θ)2，
∴1＋2sin θcos θ，∴sin θcos θ＝－，
∴tan θ＋－4．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.2　三角函数的概念
5.2.2　同角三角函数的基本关系
[学习目标]　1．理解并掌握同角三角函数的基本关系的推导及应用．(逻辑推理) 2．会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．同角三角函数的基本关系有哪两种？
问题2．同角三角函数的基本关系适合任意角吗？
探究建构 关键能力达成
探究1　同角三角函数的基本关系
问题　sin α，cos α，tan α的值都由α确定，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？你能借助三角函数的定义给予说明吗？
提示：(1)sin2α＋cos2α＝1；
(2)＝tan α．
设角α的终边与单位圆交于P点，则点P坐标为(cos α，sin α)．
由PO长为1，得sin2α＋cos2α＝1．
由正切函数的定义知，当α≠＋kπ(k∈Z)时，有tan α＝．
[新知生成]
同角三角函数的基本关系
平方关系：sin2α＋cos2α＝_；
商数关系：．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
1
tan α
【教用·微提醒】　“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1．
[典例讲评]　【链接教材P183例6】
1．已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[解]　∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝＝＝，tan α＝；
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－＝－＝－，tan α＝．
【教材原题·P183例6】
例6　已知sin α＝－，求cos α，tan α的值．
[解]　因为sin α<0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．
由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－．
如果α是第三象限角，那么cos α<0．于是cos α＝－＝－，
从而tan α＝．
如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－．
反思领悟　求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
[学以致用]　【链接教材P185习题5.2T6】
1．(源自苏教版教材)已知tan α＝，求sin α，cos α的值．
[解]　由＝tan α＝，得sin α＝cos α．
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＋cos2α＝1．
解得cos2α＝．
又由tan α>0，知α是第一或第三象限角．
若α是第一象限角，则
cos α＝，tan α＝，sin α＝；
若α是第三象限角，则
cos α＝－，tan α＝，sin α＝－．
【教用·备选题】　(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项正确的是(　　)
A．tan α＝　　　
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝ 　
D．sin α－cos α＝－
√
√
AB　[因为sin α＝，且α为锐角，
所以cos α＝＝＝，故B正确；
tan α＝，故A正确；
sin α＋cos α＝≠，故C错误；
sin α－cos α＝≠－，故D错误．故选AB．]
【教材原题·P185习题5.2T6】(1)已知sin α＝－，且α为第四象限角，求cos α，tan α的值；
(2)已知cos α＝－，且α为第二象限角，求sin α，tan α的值；
(3)已知tan α＝－，求sin α，cos α的值；
(4)已知cos α＝0.68，求sin α，tan α的值(精确到0.01)．
[解]　(1)由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1－sin2α＝1－，
∵α为第四象限角，
∴cos α＝，tan α＝×2＝－．
(2)由sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝1－cos2α＝1－，
∵α为第二象限角，
∴sin α＝，tan α＝．
(3)∵tan α＝－＜0，
∴α为第二或第四象限角，
当α为第二象限角时，cos α＝－，sin α＝；
当α为第四象限角时，cos α＝，sin α＝－．
(4)∵cos α＝0.68＞0，
∴α为第一或第四象限角，
当α为第一象限角时，sin α≈0.73，tan α≈1.07；
当α为第四象限角时，sin α≈－0.73，tan α≈－1.07．
探究2　三角函数式的求值
角度1　弦切互化求值
[典例讲评]　2．已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α．
[解]　(1)原式＝．
(2)原式＝．
(3)原式＝＝．
角度2　“sin α±cos α”“sin αcos α”型求值问题
[典例讲评]　3．已知sin α＋cos α＝－，0<α<π．
(1)求sin αcos α的值；
(2)求sin α－cos α的值．
[解]　(1)由sin α＋cos α＝－，得(sin α＋cos α)2＝，即sin2α＋
2sin αcos α＋cos2α＝，
所以sin αcos α＝－．
(2)因为0<α<π，
所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0．
所以sin α－cos α＝＝＝．
发现规律　1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝________________．
2．已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式(每个单项式的次数相同或分子、分母的次数相同)的值．
(1)形如的分式，可将分子、分母同时除以______；形如分子、分母同时除以_____，将正弦、余弦转化为正切，从而求值．
1±2sin αcos α
cos α　
cos2α　
(2)形如a sin2α＋b sin αcos α＋c cos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为____________，转化为形如
求解．
sin2α＋cos2α
√
[学以致用]　【链接教材P253复习参考题5T4】
2．(1)已知α∈，sin α＋cos α＝－，则tan α＝(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
(2)已知2cos2α－3sin αcos α＝，则tan α＝_________．
或－　
(1)A　(2)或－　[(1)由题意，α∈，sin α＋cos α＝－，
∴cos α>0，sin α<0，
(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝，
解得2sin αcos α＝－，
∴sin α－cos α＝－－＝－，∴解得∴tan α＝，故选A．
(2)由题中等式易知cos α≠0，
则2cos2α－3sin αcos α
＝
＝，
整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，
即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，
解得tan α＝或tan α＝－．]
【教用·备选题】　已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)．
求：(1)tan θ；(2)sin θ－cos θ．
[解]　(1)由sin θ＋cos θ＝，得cos θ＝－sin θ．
又sin2θ＋cos2θ＝1，代入得sin2θ＋＝1，
整理得sin2θ－sin θ－＝0，
即＝0，
解得sin θ＝－或sin θ＝．
又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ＝．
所以cos θ＝－sin θ＝，
故tan θ＝．
(2)法一：由(1)可知，sin θ－cos θ＝．
法二：因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，
又sin θ＋cos θ＝，两边平方，
整理得sin θcos θ＝－<0，
所以cos θ<0．
又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋，
所以sin θ－cos θ＝．
【教材原题·P253复习参考题5T4】已知tan α＝－，计算：
(1)；
(2)；
(3)sin αcos α；
(4)(sin α＋cos α)2．
[解]　(1)原式＝．
(2)原式＝．
(3)原式＝＝－．
(4)原式＝1＋2sin αcos α＝1＋2×．
探究3　三角函数式的化简与证明
[典例讲评]　【链接教材P183例7】
4．(1)化简＝________．
(2)求证：．
1　
(1)1　[原式＝＝1．]
(2)[证明]　法一：左边
＝
＝
＝＝右边．
所以原等式成立．
法二：因为(sin α－cos α＋1)cos α
＝sin αcos α－cos2α＋cos α
＝sin αcos α＋cos α－(1－sin2α)
＝cos α(sin α＋1)－(1＋sin α)(1－sin α)
＝(1＋sin α)(cos α－1＋sin α)
＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)，
且sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0，
所以．
【教材原题·P183例7】
例7　求证：．
[证法1]　由cos x≠0，知sin x≠－1，
所以1＋sin x≠0，于是左边＝
＝＝
＝＝右边．所以，原式成立．
[证法2]　因为(1－sin x)(1＋sin x)
＝1－sin2x＝cos2x＝cos x cos x，
且1－sin x≠0，cos x≠0，所以．
反思领悟　1．三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的方法
(1)由繁到简法：从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．
(3)比较法：即证左边－右边＝0或证＝1．
(4)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．
[学以致用]　【链接教材P186习题5.2T14】
3．(1)化简tan α，其中α是第二象限角；
(2)求证：．
[解]　(1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0．
故tan α＝tan α＝tan α·＝＝－1．
(2)[证明]　左边＝
＝
＝
＝＝右边．
所以原等式成立．
【教材原题·P186习题5.2T14】求证：
(1)；
(2)tan2α－sin2α＝tan2αsin2α；
(3)(cos β－1)2＋sin2β＝2－2cos β；
(4)sin4x＋cos4x＝1－2sin2x cos2x．
[证明]　(1)根据同角三角函数基本关系，化简等式左边可得
＝
＝
＝，
而右边＝，所以原式得证．
(2)根据同角三角函数基本关系，化简等式左边可得
tan2α－sin2α＝－sin2α
＝
＝tan2α·sin2α，
而右边＝tan2α·sin2α，
所以原式得证．
(3)根据同角三角函数基本关系，化简等式左边可得
(cos β－1)2＋sin2β
＝cos2β－2cos β＋1＋sin2β
＝2－2cos β，
而右边＝2－2cos β，所以原式得证．
(4)根据同角三角函数基本关系，化简等式左边可得
sin4x＋cos4x＝sin4x＋cos4x＋2sin2x cos2x－2sin2x cos2x
＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x cos2x
＝1－2sin2x cos2x，
而右边＝1－2sin2x cos2x，
所以原式得证．
应用迁移 随堂评估自测
1．(多选)如果α是第二象限角，下列各式不正确的是(　　)
A．tan α＝－ 　
B．cos α＝－
C．sin α＝－ 　
D．tan α＝
√
√
√
ACD　[由同角三角函数基本关系中的商数关系可知A，D均不正确；
sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α．
当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，
sin α＝，cos α＝－，
故B正确，C错误．故选ACD．]
√
2．(教材P186习题5.2T15改编)已知tan α＝－2，则＝(　　)
A．－4 　 B．－
C．－1 　 D．－
C　[]
3．(教材P184练习T5改编)化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)
A． 　 B．
C．1 　 D．
C　[原式＝sin2α＋cos2α(sin2α＋cos2α)＝sin2α＋cos2α＝1．
故选C．]
√
4．已知sinθ＋cos θ＝，则tan θ＋＝________．
－4　[∵sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝，
∴1＋2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝－，
∴tan θ＋＝－4．]
－4　
1．知识链：
2．方法链：弦切互化法、整体代换法．
3．警示牌：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．sin α，cos α，tan α之间存在怎样的等量关系？
[提示]　sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝
1－sin2α，sin α＝tan αcos α，…．
2．如何实现“sin α＋cos α”“sin α－cos α”及sin α·cos α之间的互化？
[提示]　借助(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α实现三者之间的转化．
3．常用哪些方法证明三角恒等式？
[提示]　(1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)左右归一．
(4)比较法．
(5)综合法．
更多三角函数及关系式
除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的更多三角函数．
事实上，如果P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，记r＝，则r>0，此时
(1)称为α的正割，记作sec α，即sec α＝．
(2)称为α的余割，记作csc α，即csc α＝．
阅读材料 拓展数学视野
(3)称为α的余切，记作cot α，即cot α＝．
由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，sec α没有意义；当α的终边在x轴上时，cot α，csc α没有意义．
同样地，我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的读者自己探讨．
正割、余割、余切也称为角α的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即
sec α＝，
csc α＝，
cot α＝．
另外，由于
tan2α＋1＝＝sec2α，
因此tan2α＋1＝sec2α．
类似地，还能得到cot2α＋1＝csc2α．
习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条对角线上的两个元素之积为1，即
cos αsec α＝1，sin αcsc α＝1，tan αcot α＝1．
每一个倒立的正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α＋cos2α＝1等．
你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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课时分层作业(四十五)　同角三角函数的基本关系
√
一、选择题
1．已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan α的值为(　　)
A．－ 　B． C． 　D．－
A　[∵sin α＝，且α为第二象限角，
∴cos α＝－＝－，则tan α＝．故选A．]
题号
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√
2．已知tan α＝－，且α是第二象限角，则cos α的值为(　　)
A． 　B．－ C． 　D．－
D　[∵tan α＝，sin2α＋cos2α＝1，
且α是第二象限角，∴cos α＜0，sin α＞0，
解得cos α＝－．故选D．]
题号
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√
3．已知＝2，则sin θcos θ＝(　　)
A． 　B． C． 　D．
C　[若cos θ＝0，则＝1，不合题意，所以cos θ≠0，
由＝2，可得＝2，解得tan θ＝3，
所以sin θcos θ＝．故选C．]
√
题号
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4．已知，则的值为(　　)
A． 　B．－ C． 　D．－
A　[因为＝－1，
又，所以．故选A．]
√
题号
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√
5．(多选)的值可能为(　　)
A．0 　B．1 C．2 　D．3
BD　[令f (x)＝，
当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，则f (x)＝2＋1＝3，
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，则f (x)＝2－1＝1，
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，则f (x)＝－2－1＝－3，
当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，则f (x)＝－2＋1＝－1．故选BD．]
题号
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二、填空题
6．化简(1＋tan215°)·cos215°＝________．
1　[(1＋tan215°)·cos215°＝·cos215°＝·
cos215°＝1．]
1　
题号
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7．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________．
－　[由且θ∈，解得故sin θ－cos θ＝－．]
－　
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8．若sin α＝，cos α＝，则tan α＝________．
0或　[由已知可得，sin2α＋cos2α＝1，
所以，＝1，
整理可得，m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3，
当m＝－1时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝＝0；
当m＝3时，sin α＝，cos α＝，tan α＝，
综上所述，tan α＝0或tan α＝．]
0或　
题号
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三、解答题
9．(1)已知sin θ＋cos θ＝，计算sin θ－cos θ的值．
(2)求证：＝1．
题号
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[解]　(1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
得2sin θcos θ＝，
则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
由0<θ<，知sin θ－cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝－．
(2)证明：
＝
＝
＝＝1．
题号
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10．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝(　　)
A．－ 　 B．
C．－ 　 D．
√
D　[sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝＝．]
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11．若△ABC的内角A满足sin A cos A＝，则sin A＋cos A等于(　　)
A． 　B．－ C． 　D．－
√
A　[∵sin A cos A＝>0，A为△ABC的内角，
∴sin A>0，cos A>0，
∴(sin A＋cos A)2＝1＋2sin A cos A＝，
∴sin A＋cos A＝．]
√
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√
12．(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．若sin α＝m，则cos α＝
B．若sin α＝m，则cos α＝±
C．若tan α＝m，则cos α＝
D．若tan α＝m，则sin α＝±
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BD　[对于A，B，当sin α＝m时，cos2α＝1－sin2α＝1－m2，
∴cos α＝±，A错误，B正确；
对于C，D，由
得cos α＝±，sin α＝±，C错误，D正确．故选BD．]
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13．在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，规定：比值叫做α的正余混弦，记作sch α．若sch α＝(0<α<π)，则tan α＝________．
　[∵0<α<π，则sin α>0，由正余混弦的定义可得sch α＝＝
sin α－cos α．
则有因此tan α＝．]
　
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14．(教材P186习题5.2T16改编)若<α<2π，求证：．
[证明]　∵<α<2π，∴sin α<0．
左边＝＋＝ ＝＝－＝右边．
∴原等式成立．
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15．(教材P186习题5.2T18改编)(1)分别计算sin4和cos2－sin2你有什么发现？
(2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos 的值，你有什么发现？
(3)证明： x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x．
(4)推测 x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明．
[解]　(1)cos4－sin4＝
＝cos2－sin2＝cos ．
(2)cos4－sin4＝
＝cos2－sin2＝0＝cos ．
(3)证明：cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x．
(4)推测cos2x－sin2x＝cos 2x．
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谢 谢！课时分层作业(四十五)　同角三角函数的基本关系
一、选择题
1．已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan α的值为(　　)
A．－ 　 B．
C． 　 D．－
2．已知tan α＝－，且α是第二象限角，则cos α的值为(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
3．已知＝2，则sin θcos θ＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
4．已知，则的值为(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
5．(多选)的值可能为(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
二、填空题
6．化简(1＋tan215°)·cos215°＝________．
7．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________．
8．若sin α＝，cos α＝，则tan α＝________．
三、解答题
9．(1)已知sin θ＋cos θ＝，计算sin θ－cos θ的值．
(2)求证：＝1．
10．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ＝(　　)
A．－ 　 B．
C．－ 　 D．
11．若△ABC的内角A满足sin A cos A＝，则sin A＋cos A等于(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
12．(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A．若sin α＝m，则cos α＝
B．若sin α＝m，则cos α＝±
C．若tan α＝m，则cos α＝
D．若tan α＝m，则sin α＝±
13．在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，规定：比值叫做α的正余混弦，记作sch α．若sch α＝(0<α<π)，则tan α＝________．
14．(教材P186习题5.2T16改编)若<α<2π，求证：．
15．(教材P186习题5.2T18改编)(1)分别计算sin4和cos2－sin2你有什么发现？
(2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
(3)证明： x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x．
(4)推测 x∈R，cos2x－sin2x与cos2x的关系，不需证明．
课时分层作业(四十五)
1．A　[∵sin α＝，且α为第二象限角，
∴cos α＝－，则tan α＝．故选A．]
2．D　[∵tan α＝，sin2α＋cos2α＝1，
且α是第二象限角，∴cos α<0，sin α>0，
解得cos α＝－．故选D．]
3．C　[若cos θ＝0，则＝1，不合题意，所以cos θ≠0，
由＝2，可得＝2，解得tan θ＝3，
所以sin θcos θ＝．故选C．]
4．A　[因为·＝－1，
又，所以．故选A．]
5．BD　[令f(x)＝，
当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，则f(x)＝2＋1＝3，
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，则f(x)＝2－1＝1，
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，则f(x)＝－2－1＝－3，
当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，则f(x)＝－2＋1＝－1．故选BD．]
6．1　[(1＋tan215°)·cos215°＝(1＋·cos215°＝·cos215°＝1．]
7．－　[由且θ∈(0，，
解得．]
8．0或　[由已知可得，sin2α＋cos2α＝1，
所以，(22＝1，
整理可得，m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3，
当m＝－1时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝＝0；
当m＝3时，sin α＝，cos α＝，tan α＝，
综上所述，tan α＝0或tan α＝．]
9．解：(1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
得2sin θcos θ＝，
则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
由0<θ<，知sin θ－cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝－．
(2)证明：··
＝·＝1．
10．D　[sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝．]
11．A　[∵sin Acos A＝>0，A为△ABC的内角，
∴sin A>0，cos A>0，
∴(sin A＋cos A)2＝1＋2sin Acos A＝，
∴sin A＋cos A＝．]
12．BD　[对于A，B，当sin α＝m时，cos2α＝1－sin2α＝1－m2，
∴cos α＝±，A错误，B正确；
对于C，D，由
得cos α＝±，sin α＝±，C错误，D正确．故选BD．]
13．　[∵0<α<π，则sin α>0，由正余混弦的定义可得sch α＝＝sin α－cos α．
则有
因此tan α＝．]
14．证明：∵<α<2π，∴sin α<0．
左边＝
＝
＝－＝右边．
∴原等式成立．
15．解：(1)cos4
＝cos2．
(2)cos4
＝cos2．
(3)证明：cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x．
(4)推测cos2x－sin2x＝cos 2x．
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