资源简介

5.3　诱导公式
第1课时　公式二、公式三和公式四
[学习目标]　1．了解公式二、公式三和公式四的推导方法．(逻辑推理) 2．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(数学运算)
探究1　诱导公式二～四
问题1　观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角π＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？
(3)在(2)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
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问题2　(1)角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos (－α)，sin (－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
(2)点P与点P2的坐标有什么关系？
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问题3　你能否借助π＋α，－α与α的终边关系，猜想到角π－α与α终边与单位圆的交点之间的关系，两交点的坐标有什么联系？
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[新知生成]
1．公式二
sin(π＋α)＝________，
cos (π＋α)＝________，
tan (π＋α)＝______．
2．公式三
sin (－α)＝________，
cos (－α)＝______，
tan (－α)＝________．
3．公式四
sin (π－α)＝______，
cos (π－α)＝________，
tan (π－α)＝________．
[典例讲评]　【链接教材P189例1】
1．(源自苏教版教材)求值：
(1)sin ；(2)cos ；(3)tan (－1 560°)．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
[学以致用]　【链接教材P191练习T1、T2】
1．求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＝________．
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探究2　给值(式)求值问题
[典例讲评]　2．已知cos ，求cos －sin2的值．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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[母题探究]　
1．若本例的条件不变，求cos 的值．
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2．若本例的条件不变，求cos －sin2的值．
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　解决条件求值问题的技巧
[学以致用]　2．已知cos (75°＋α)＝，则cos (105°－α)的值为(　　)
A．－ 　 B．－
C． 　 D．
探究3　利用诱导公式化简
[典例讲评]　【链接教材P190例2】
3．化简：(1)＝________．
(2)＝________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan．
[学以致用]　【链接教材P191练习T3】
3．已知tan (π＋α)＝3，求的值．
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1．sin(－390°)的值为(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
2．(多选)如果α＋β＝180°，那么下列等式中不成立的是(　　)
A．cos α＝cos β 　 B．cos α＝－cos β
C．sin α＝－sin β 　 D．sin α＝cos β
3．已知sin (45°＋α)＝，则sin (135°－α)＝________．
4．化简：(1)＝________；
(2)＝________．
1．知识链：
2．方法链：数形结合、公式法．
3．警示牌：符号的确定．
第1课时　公式二、公式三和公式四
[探究建构]　探究1
问题1　提示：(1)角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称．
(2)点P1与点P关于原点对称．
(3)横、纵坐标均相反．sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α．
问题2　提示：(1)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，点P2与点P关于x轴对称．
(2)点P与点P2的横坐标相等，纵坐标相反．
问题3　提示：角π－α与角α的终边与单位圆的交点关于y轴对称，两点的横坐标相反，纵坐标相等．
新知生成　1．－sin α　－cos α　tan α
2．－sin α　cos α　－tan α
3．sin α　－cos α　－tan α
典例讲评　1．解：(1)sin ＝sin ＝－sin ．
(2)cos ＝cos ＝cos ＝cos
＝－cos ．
(3)tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°)＝－tan 120°＝－tan (180°－60°)＝tan 60°＝．
学以致用　1.1　[由题意，原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)
－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)
－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝1．]
探究2
典例讲评　2．解：因为cos ＝cos
＝－cos ，
sin2＝sin2＝sin2
＝1－cos2，
所以cos －sin2．
母题探究　1．解：cos ＝cos
＝cos ＝cos ．
2．解：cos －sin2＝cos －sin2
＝－cos －sin2
＝－．
学以致用　2．A　[因为105°－α＝180°－(75°＋α)，cos(75°＋α)，
所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－．
故选A．]
探究3
典例讲评　3．(1)－1　(2)－1　[(1)
－1．
(2)原式
－1．]
学以致用　3．解：因为tan(π＋α)＝3，所以tan α＝3．
故
7．
[应用迁移]
1．D　[sin(－390°)＝sin(－360°－30°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－．故选D．]
2．ACD　[因为α＋β＝180°，所以α＝180°－β．
对于A，B选项，cos α＝cos(180°－β)＝－cos β，故A选项错误，B选项正确；
对于C选项，sin α＝sin(180°－β)＝sin β，故C选项错误；
对于D选项，由于sin α＝sin β，
所以sin β＝cos β显然不一定成立，故D选项错误．故选ACD．]
3．　[sin(135°－α)＝sin [180°－(45°＋α)]
＝sin(45°＋α)．]
4．(1)－cos2α　(2)－cos α　[(1)
－cos2α．
(2)－cos α．]
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第五章
三角函数
5.3　诱导公式
第1课时　公式二、公式三和公式四
[学习目标]　1．了解公式二、公式三和公式四的推导方法．(逻辑推理) 2．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
问题2．诱导公式二、三、四的内容是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1　诱导公式二～四
问题1　观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角π＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？
(3)在(2)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
提示：(1)角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称．
(2)点P1与点P关于原点对称．
(3)横、纵坐标均相反．sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，
tan (π＋α)＝tan α．
问题2　(1)角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos (－α)，sin (－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？
(2)点P与点P2的坐标有什么关系？
提示：(1)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，点P2与点P关于x轴对称．
(2)点P与点P2的横坐标相等，纵坐标相反．
问题3　你能否借助π＋α，－α与α的终边关系，猜想到角π－α与α终边与单位圆的交点之间的关系，两交点的坐标有什么联系？
提示：角π－α与角α的终边与单位圆的交点关于y轴对称，两点的横坐标相反，纵坐标相等．
[新知生成]
1．公式二
sin(π＋α)＝________，
cos (π＋α)＝________，
tan (π＋α)＝______．
2．公式三
sin (－α)＝________，
cos (－α)＝______，
tan (－α)＝________．
－sin α
－cos α
tan α
－sin α　
cos α　
－tan α
3．公式四
sin (π－α)＝______，
cos (π－α)＝________，
tan (π－α)＝________．
sin α　
－cos α　
－tan α
[典例讲评]　【链接教材P189例1】
1．(源自苏教版教材)求值：
(1)sin ；(2)cos ；(3)tan (－1 560°)．
【教用·微提醒】　“函数名不变，符号看象限”．
[解]　(1)sin ＝sin ＝－sin ．
(2)cos ＝cos ＝cos ＝cos
＝－cos ．
(3)tan (－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan (4×360°＋120°)＝－tan 120°
＝－tan (180°－60°)＝tan 60°＝
【教材原题·P189例1】
例1　利用公式求下列三角函数值：
(1)cos 225°；(2)sin ；
(3)sin ；(4)tan (－2 040°)．
[解]　(1)cos 225°＝cos (180°＋45°)
＝－cos 45°＝－；
(2)sin ＝sin
＝sin ＝sin
＝sin ；
(3)sin ＝－sin
＝－sin
＝－；
(4)tan (－2 040°)＝－tan 2 040°
＝－tan (6×360°－120°)
＝tan 120°＝tan (180°－60°)
＝－tan 60°＝－．
反思领悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
[学以致用]　【链接教材P191练习T1、T2】
1．求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＝________．
1　[由题意，原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)
－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)
－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝＝1．]
1　
1．【教材原题·P191练习T1】将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：
(1)cos π＝________；
(2)sin (1＋π)＝________；
(3)sin ＝________；
(4)tan (－70°6′)＝____________；
(5)cos ＝________；
(6)tan 1 000°21′＝____________．
－cos π
－sin 1
－sin
－tan 70°6′　
－cos 　
－tan 79°39′　
(1)－cos π　(2)－sin 1　(3)－sin 　(4)－tan 70°6′　(5)－cos 　(6)－tan 79°39′　[(1)cos ＝cos ＝－cos ．
(2)sin (1＋π)＝－sin 1．
(3)sin ＝－sin ．
(4)tan (－70°6′)＝－tan 70°6′．
(5)cos ＝cos ＝－cos ．
(6)tan 1 000°21′＝tan (1 080°－79°39′)＝－tan 79°39′．]
2．【教材原题·P191练习T2】利用公式求下列三角函数值：
(1)cos (－420°)；(2)sin ；
(3)tan (－1 140°)；(4)cos ；
(5)tan 315°； (6)sin ．
[解]　(1)cos (－420°)＝cos 420°＝cos (360°＋60°)＝cos 60°＝．
(2)sin ＝－sin ＝－sin ＝．
(3)tan (－1 140°)＝－tan 1 140°＝－tan (360°×3＋60°)＝－tan 60°＝－．
(4)cos ＝cos π＝cos ＝＝－cos ．
(5)tan 315°＝tan (360°－45°)＝－tan 45°＝－1．
(6)sin ＝－sin ＝－sin ＝－sin ．
探究2　给值(式)求值问题
[典例讲评]　2．已知cos ，求cos －sin2的值．
[解]　因为cos ＝cos ＝－cos ，
sin2＝sin2＝sin2＝1－cos2，所以cos －sin2．
[母题探究]　
1．若本例的条件不变，求cos 的值．
[解]　cos ＝cos
＝cos ＝cos ．
2．若本例的条件不变，求cos －sin2的值．
[解]　cos －sin2＝cos －sin2
＝－cos －sin2
＝－．
反思领悟　解决条件求值问题的技巧
[学以致用]　2．已知cos (75°＋α)＝，则cos (105°－α)的值为(　　)
A．－ 　 B．－ C． 　 D．
A　[因为105°－α＝180°－(75°＋α)，cos (75°＋α)＝，
所以cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]
＝－cos (75°＋α)＝－．
故选A．]
√
【教用·备选题】　已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
[解]　∵cos (α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角．
∴sin (α－75°)＝－＝－＝－，
∴sin (105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]
＝－sin (α－75°)＝．
探究3　利用诱导公式化简
[典例讲评]　【链接教材P190例2】
3．化简：(1)＝________．
(2)＝________．
(1)－1　(2)－1　[(1)＝＝－1．
(2)原式＝＝＝－1．]
－1　
－1　
【教材原题·P190例2】
例2　化简
．
[解]　tan (－α－180°)＝tan [－(180°＋α)]
＝－tan (180°＋α)
＝－tan α，
cos (－180°＋α)＝cos [－(180°－α)]
＝cos (180°－α)
＝－cos α，
所以原式＝＝－cos α．
反思领悟　三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan ．
[学以致用]　【链接教材P191练习T3】
3．已知tan (π＋α)＝3，求的值．
[解]　因为tan (π＋α)＝3，所以tan α＝3．
故
＝
＝
＝7．
【教材原题·P191练习T3】化简：
(1)sin (－α－180°)cos (－α)sin (－α＋180°)；
(2)cos3(－α)sin(2π＋α)tan3(－α－π)．
[解]　(1)原式＝－sin (180°＋α)cos αsin α＝sin2αcos α．
(2)原式＝cos3αsin α[－tan3(π＋α)]＝cos3α·sin α(－tan3α)＝cos3αsin α
＝－sin4α．
应用迁移 随堂评估自测
1．sin(－390°)的值为(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
√
D　[sin (－390°)＝sin (－360°－30°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－．故选D．]
2．(多选)如果α＋β＝180°，那么下列等式中不成立的是(　　)
A．cos α＝cos β 　 B．cos α＝－cos β
C．sin α＝－sin β 　 D．sin α＝cos β
ACD　[因为α＋β＝180°，所以α＝180°－β．
对于A，B选项，cos α＝cos (180°－β)＝－cos β，故A选项错误，B选项正确；
对于C选项，sin α＝sin (180°－β)＝sin β，故C选项错误；
对于D选项，由于sin α＝sin β，
所以sin β＝cos β显然不一定成立，故D选项错误．故选ACD．]
√
√
√
3．已知sin (45°＋α)＝，则sin (135°－α)＝________．
　[sin (135°－α)＝sin [180°－(45°＋α)]
＝sin (45°＋α)＝．]
　
4．化简：(1)＝________；
(2)＝________．
(1)－cos2α　(2)－cos α　[(1)
＝＝＝－cos2α．
(2) ＝－cos α．]
－cos2α　
－cos α　
1．知识链：
2．方法链：数形结合、公式法．
3．警示牌：符号的确定．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能概括一下公式一～四的特征吗？
[提示]　诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”，或者简述为“函数名不变，符号看象限”．
2．如何应用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？
[提示]　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(四十六)　公式二、公式三和公式四
√
一、选择题
1．sin 1 050°的值为(　　)
A．－ 　B． C．－ 　D．
A　[sin 1 050°＝sin (3×360°－30°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
2．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点则cos (π－θ)的值为(　　)
A．－　　 B．－
C． 　 D．
C　[由题意可知cos θ＝－，cos (π－θ)＝－cos θ＝－．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
3．已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos (α－π)的值是(　　)
A． 　B．－ C．± 　D．
B　[sin (π＋α)＝－sin α＝，即sin α＝－，
因为α是第四象限角，所以cos α＝＝，
所以cos(α－π)＝cos (π－α)＝－cos α＝－．故选B．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．已知tan ，则tan 等于(　　)
A． 　B．－ C． 　D．－
B　[因为tan ＝tan
＝－tan ，又tan ，
所以tan ．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
5．(多选)已知△ABC的内角A，B，C，下列式子中正确的有(　　)
A．sin (B＋C)＝sin A
B．cos (B＋C)＝cos A
C．tan (B＋C)＝tan A
D．sin2A＋cos2(B＋C)＝1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
AD　[依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，A正确；
cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，B错误；
tan (B＋C)＝tan (π－A)＝－tan A，C错误；
sin2A＋cos2(B＋C)＝sin2A＋cos2A＝1，D正确．故选AD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．已知sin(π－α)＝，则cos (α－2 025π)＝________．
±　[∵sin (π－α)＝，∴sin α＝，
∴cos (α－2 025π)＝－cos α＝±．]
±　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7．若tan (5π＋α)＝m，则的值为________．
　[因为tan (5π＋α)＝tan α＝m，所以原式＝．]
　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8． 的值为________．
－2　[原式＝
＝
＝
＝
＝－2．]
－2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、解答题
9．设角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边上有一点P，且tan α＝－．
(1)求a及sin α，cos α的值；
(2)求的值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)∵tan α＝，∴a＝－4．
又P＝1，
∴sin α＝y＝－，cos α＝x＝．
(2)原式＝＝cos2α＝．
题号
2
1
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10．在△ABC中，A＝，则sin A－cos (B＋C)的值为(　　)
A． 　B． C． 　D．2
√
B　[∵A＝，A＋B＋C＝π，
∴sin A－cos (B＋C)＝sin A－cos (π－A)
＝sin A＋cos A＝×＝．故选B．]
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11．“A＋B＝π”是“sin A＝sin B”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
A　[若A＋B＝π，则A＝π－B，sin A＝sin (π－B)＝sin B；但sin A＝sin B时，A＝B＋2kπ，k∈Z或A＝π－B＋2kπ，k∈Z，故“A＋B＝π”是“sin A＝sin B”的充分不必要条件．故选A．]
√
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√
12．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是(　　)
A．sin β＝ 　 B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝ 　 D．cos (2π－β)＝－
√
ABD　[∵sin (π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，若α＋β＝π，则β＝π－α．
A中，sin β＝sin (π－α)＝sin α＝，故A符合条件；
B中，cos (π＋β)＝cos (2π－α)＝cos α＝±，故B符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，
故sin β＝±，即C不符合条件；D中，cos (2π－β)＝cos [2π－(π－α)]＝cos (π＋α)＝－cos α＝±，故D符合条件．故选ABD．]
题号
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13．(2021·北京高考)若点P(cos θ，sin θ)关于y轴的对称点为Q，则θ的一个取值为_______________．
(答案不唯一)　[由题意可知
结合诱导公式可知θ＋＝π－θ＋2kπ，k∈Z，解得θ＝＋kπ，k∈Z．即符合题意的θ可取．]
(答案不唯一)　
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14．已知<α<，cos ＝m(m≠0)，求的值．
[解]　∵＝π，∴－α＝π－，
∵<α<，∴<α＋<π，∴sin ＝＝，∴tan ＝tan
＝－tan ＝－．
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15．设k为整数，化简：．
[解]　法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
则原式＝＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1．所以原式＝－1．
法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos [(k－1)π－α]＝cos [(k＋1)π＋α]＝－cos (kπ＋α)，sin [(k＋1)
π＋α]＝－sin (kπ＋α)，
sin (kπ－α)＝－sin (kπ＋α)．
所以原式＝＝－1．
[点评]　由于诱导公式随k的变化而变化，故需要对k分类讨论．
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谢 谢！课时分层作业(四十六)　公式二、公式三和公式四
一、选择题
1．sin 1 050°的值为(　　)
A．－ 　 B．
C．－ 　 D．
2．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点则cos (π－θ)的值为(　　)
A．－　　 B．－
C． 　 D．
3．已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos (α－π)的值是(　　)
A． 　 B．－
C．± 　 D．
4．已知tan ，则tan 等于(　　)
A． 　 B．－
C． 　 D．－
5．(多选)已知△ABC的内角A，B，C，下列式子中正确的有(　　)
A．sin (B＋C)＝sin A
B．cos (B＋C)＝cos A
C．tan (B＋C)＝tan A
D．sin2A＋cos2(B＋C)＝1
二、填空题
6．已知sin(π－α)＝，则cos (α－2 025π)＝________．
7．若tan (5π＋α)＝m，则的值为________．
8． 的值为________．
三、解答题
9．设角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边上有一点P，且tan α＝－．
(1)求a及sin α，cos α的值；
(2)求的值．
10．在△ABC中，A＝，则sin A－cos (B＋C)的值为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．2
11．“A＋B＝π”是“sin A＝sin B”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是(　　)
A．sin β＝ 　 B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝ 　 D．cos (2π－β)＝－
13．(2021·北京高考)若点P(cos θ，sin θ)关于y轴的对称点为Q，则θ的一个取值为________．
14．已知<α<，cos ＝m(m≠0)，求的值．
15．设k为整数，化简：．
课时分层作业(四十六)
1．A　[sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－．故选A．]
2．C　[由题意可知cos θ＝－，cos(π－θ)＝－cos θ＝－．故选C．]
3．B　[sin(π＋α)＝－sin α＝，即sin α＝－，
因为α是第四象限角，所以cos α＝，
所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－．故选B．]
4．B　[因为tan(－α)，
又tan(，所以tan(．]
5．AD　[依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；
cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B错误；
tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－tan A，C错误；
sin2A＋cos2(B＋C)＝sin2A＋cos2A＝1，D正确．故选AD．]
6．±　[∵sin(π－α)＝，∴sin α＝，
∴cos(α－2 025π)＝－cos α＝±．]
7．　[因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，
所以原式＝．]
8．－2　[原式＝
＝
＝－2．]
9．解：(1)∵tan α＝，∴a＝－4．
又P(，－，|OP|＝1，
∴sin α＝y＝－，cos α＝x＝．
(2)原式＝．
10．B　[∵A＝，A＋B＋C＝π，
∴sin A－cos(B＋C)＝sin A－cos(π－A)
＝．故选B．]
11．A　[若A＋B＝π，则A＝π－B，sin A＝sin(π－B)＝sin B；但sin A＝sin B时，A＝B＋2kπ，k∈Z或A＝π－B＋2kπ，k∈Z，故“A＋B＝π”是“sin A＝sin B”的充分不必要条件．故选A．]
12．ABD　[∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，
∴sin α＝，若α＋β＝π，则β＝π－α．
A中，sin β＝sin(π－α)＝sin α＝，故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝cos(2π－α)＝cos α＝±，故B符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，
又sin2β＋cos2β＝1，
故sin β＝±，即C不符合条件；
D中，cos(2π－β)＝cos[2π－(π－α)]＝cos(π＋α)＝－cos α＝±，故D符合条件．故选ABD．]
13．(答案不唯一)　[由题意可知
结合诱导公式可知θ＋＝π－θ＋2kπ，k∈Z，
解得θ＝＋kπ，k∈Z．即符合题意的θ可取．]
14．解：∵(α＋－α)＝π，∴，
∵，∴<π，
∴sin(α＋，
∴tan(]
＝－tan(α＋
＝－．
15．解：法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
则原式＝
＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1．所以原式＝－1．
法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝＝－1．
[点评]　由于诱导公式随k的变化而变化，故需要对k分类讨论．
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