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　振幅、周期、频率、相位与三角函数的应用
1．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt．
2．我们听到的声音的函数是
y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x＋…．
3．几个振幅和初相不同但频率相同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频率的正弦波．
【典例】　(多选)音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与正弦函数参数有关．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的是(　　)
A．函数F(x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋＋…＋sin 100x不具有奇偶性
B．函数f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋ 在区间上单调递增
C．若某声音甲的函数近似为f (x)＝sin x＋＋sin 3x＋sin 4x，则声音甲的响度一定比纯音h(x)＝sin 2x的响度大
D．若声音乙的函数近似为g(x)＝sin x＋sin 2x，则声音乙一定比纯音m(x)＝sin 3x低沉
[尝试解答]　_________________________________________________________
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1．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图)．已知噪声的声波曲线y＝A cos (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为(　　)
A．y＝sin x 　 B．y＝cos x
C．y＝－sin x 　 D．y＝－cos x
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2．已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是I1＝，I2＝2sin ，I3＝4sin ，其中ω为常数，t为线圈旋转的时间．求它们合成后的电流瞬时值的函数解析式，并求出这个函数的振幅．
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探究课3　振幅、周期、频率、相位与
三角函数的应用
典例探究
典例　BCD　[F(－x)＝sin (－x)＋sin (－2x)＋＋sin (－4x)＋…＋sin (－100x)＝－F(x)，
所以F(x)为奇函数，A错误；
当x∈时，2x∈，3x∈，4x∈，
故y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x，y＝sin 4x在上均是单调递增的，
故f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x在区间上单调递增，B正确；
h(x)＝sin 2x的振幅为，则f (x)max≥，
所以f (x)的振幅大于h(x)的振幅，故声音甲的响度一定比纯音h(x)的响度大，C正确；
易知g(x)的周期为2π，则其频率为，m(x)的周期为，则其频率为，由<，得声音乙比纯音m(x)低沉，D正确．
故选BCD．]
对点训练
1．A　[因为噪声的声波曲线y＝Acos(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0φ<2π)的振幅为1，则A＝1，周期为2π，则ω1，初相为，即φ，
所以噪声的声波曲线的解析式为y＝cos ＝－sin x，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y＝sin x．故选A．]
2．解：由两角和与差的正弦公式有
I＝I1＋I2＋I3
＝sin ωt＋2sin ＋4sin
＝sin ωt＋2
＝4sin ωt＋cos ωt
＝
＝(sin ωt cos θ＋cos ωt sin θ)
＝sin (ωt＋θ)，
其中tan θ＝，θ在第一象限，
所以合成后的电流瞬时值的函数解析式为I＝sin (ωt＋θ)，且它的振幅是．
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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
探究课3　振幅、周期、频率、相位与三角函数的应用
第五章
三角函数
1．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt．
2．我们听到的声音的函数是
y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x＋…．
3．几个振幅和初相不同但频率相同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频率的正弦波．
【典例】　(多选)音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与正弦函数参数有关．像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的是(　　)
A．函数F(x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋＋…＋sin 100x不具有奇偶性
B．函数f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋ 在区间上单调递增
C．若某声音甲的函数近似为f (x)＝sin x＋＋sin 3x＋sin 4x，则声音甲的响度一定比纯音h(x)＝sin 2x的响度大
D．若声音乙的函数近似为g(x)＝sin x＋sin 2x，则声音乙一定比纯音m(x)＝sin 3x低沉
√
√
√
BCD　[F(－x)＝sin (－x)＋sin (－2x)＋＋sin (－4x)＋…＋sin (－100x)＝－F(x)，
所以F(x)为奇函数，A错误；
当x∈时，2x∈，3x∈，4x∈，故y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x，y＝sin 4x在上均是单调递增的，
故 f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋sin 4x在区间上单调递增，B正确；
h(x)＝sin 2x的振幅为，则 f (x)max≥，
所以 f (x)的振幅大于h(x)的振幅，故声音甲的响度一定比纯音h(x)的响度大，C正确；
易知g(x)的周期为2π，则其频率为，m(x)的周期为，则其频率为，由<，得声音乙比纯音m(x)低沉，D正确．
故选BCD．]
√
1．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图)．已知噪声的声波曲线y＝A cos (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为(　　)
A．y＝sin x 　 B．y＝cos x
C．y＝－sin x 　 D．y＝－cos x
A　[因为噪声的声波曲线y＝A cos (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，
则A＝1，周期为2π，
则ω＝＝1，
初相为，即φ＝，
所以噪声的声波曲线的解析式为y＝cos ＝－sin x，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y＝sin x．故选A．]
2．已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是I1＝，I2＝
2sin ，I3＝4sin ，其中ω为常数，t为线圈旋转的时间．求它们合成后的电流瞬时值的函数解析式，并求出这个函数的振幅．
[解]　由两角和与差的正弦公式有
I＝I1＋I2＋I3
＝sin ωt＋2sin ＋4sin
＝sin ωt＋2
＝4sin ωt＋cos ωt
＝
＝(sin ωt cos θ＋cos ωt sin θ)
＝sin (ωt＋θ)，
其中tan θ＝，θ在第一象限，
所以合成后的电流瞬时值的函数解析式为I＝sin (ωt＋θ)，且它的振幅是．
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