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2024-2025 学年黑龙江省佳木斯八中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足(1 ) = 3 2 ，则 的虚部为( )
A. 52 B.
5
2 C.
1
2 D.
5
2
2.已知向量 = (2,3)， = ( 1, )，若向量 2 与向量 共线，则 =( )
A. 3 B. 13 132 2 C. 13 D. 4
3.在某次测量中得到的 样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若 样本数据恰好是 样本数据每个都
减 5 后所得数据，则 、 两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.平均数 B.标准差 C.众数 D.中位数
4.从 1，2，3，4，5 中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是 3 的倍数的概率为( )
A. 3 B. 320 10 C.
2
5 D.
1
5
5.某市有 15 个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为 20 万，标准差为 ，后来经核实，
发现甲、乙两处景点的旅游人数统计有误，甲景点的旅游人数实际为 20 万，被误统计为 15 万，乙景点的
旅游人数实际为 18 万，被误统计为 23 万，更正后重新计算，得到的标准差为 1，则 与 1的大小关系为( )
A. = 1 B. < 1 C. > 1 D.不能确定
6.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )
A.若 ⊥ ， // ， // ，则 ⊥
B.若 ⊥ ， ， ⊥ ，则 //
C.若 ⊥ ， ，则 ⊥
D.若 ⊥ ， ， ，则 ⊥
7 1 1.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为3 , 2，则密码被破译的概率为( )
A. 16 B.
2
3 C.
5
6 D. 1
8.如图，等边三角形 中， 为边 的中点， ⊥ 于 .将△ 沿 翻折至△ 1 的位置，连结 1C.
那么在翻折过程中：
①总有 ⊥ 1 成立；
②存在某个位置，使 1 ⊥ ；
③在线段 1 上，存在异于两端点的 点，使线段 的长度始终保持不变．
其中所有正确结论的编号是( )
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A.①② B.①③ C.②③ D.以上选项都不对
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 100 个数据的 75%分位数是 9.3，则下列说法不正确的是( )
A.这 100 个数据中一定是 75 个数小于或等于 9.3
B.把这 100 个数据从小到大排列后，9.3 是第 75 个数据
C.把这 100 个数据从小到大排列后，9.3 是第 75 个数据和第 76 个数据的平均数
D.把这 100 个数据从小到大排列后，9.3 是第 75 个数据和第 74 个数据的平均数
10.设 1， 2， 3为复数， 1 ≠ 0.下列命题中正确的是( )
A.若| 2| = | 3|，则 2 =± 3 B.若 1 2 = 1 3，则 2 = 3

C.若 2 = 3，则| 1 2| = | 1 3| D.若 1 22 = | 1| ，则 1 = 2
11.下列命题中，正确的是( )
A.在△ 中， > ，则 >
B.在锐角△ 中，不等式 > 恒成立
C.在△ 中，若 = ，则△ 必是等腰直角三角形
D.在△ 中，若 = 60°， 2 = ，则△ 必是等边三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.向量 是单位向量，| | = 2， ⊥ ，则| + | =______．
13.正三棱柱 1 1 1的底面边长和高均为 2，点 为侧棱 1的中点，连接 ， ，则 1 与平面
所成角的正弦值为______．
14.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千
九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地
北面若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人，这三面要征调 300 人，而北面征调 108 人(用分层随机抽
样的方法)，则北面共有______人.
四、解答题：本题共 3 小题，共 27 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 9 分)
计算：
(1)(1 + 3 ) + ( 2 + ) + (2 3 )；
(2)(4 )(6 + 2 ) (7 )(4 + 3 )；
(3) 7+ 3+4 ．
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16.(本小题 9 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ⊥平面 ．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： ⊥ ．
17.(本小题 9 分)
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，
获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…[4,4.5]分成 9 组，制
成了如图所示的频率分布直方图．
(Ⅰ)求直方图中 的值；
(Ⅱ)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数．
(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5
13. 32
14.8100
15.(1)(1 + 3 ) + ( 2 + ) + (2 3 ) = 1 2 + 2 + (3 + 1 3) = 1 + ．
(2)(4 )(6 + 2 ) (7 )(4 + 3 )
= 24 + 8 6 2 2 (28 + 21 4 3 2)
= 26 + 2 (31 + 17 )
= 5 15 ．
(3) 7+ = (7+ )(3 4 ) = 25 25 3+4 (3+4 )(3 4 ) 25 = 1 ．
16.证：(1)在四棱锥 中，底面 为菱形，
所以 // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面
(2)连结 . ∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥
∵底面 为菱形，
∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，
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∴ ⊥平面 ，又 平面
∴ ⊥
17.解：( )由频率和为 1，(0.08 + 0.16 + + 0.40 + 0.52 + + 0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 1，
整理，得 1.4 + 2 = 2，解得 = 0.30．
( )由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于 3 吨的频率为(0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 0.12，
又样本容量为 30 万，
所以样本中月均用水量不低于 3 吨的户数为 30 × 0.12 = 3.6 万．
(Ⅲ)根据频率分布直方图得；0.08 × 0.5 + 0.16 × 0.5 + 0.30 × 0.5 + 0.40 × 0.5 = 0.47 < 0.5，
0.47 + 0.5 × 0.52 = 0.73 > 0.5，
所以中位数应在(2,2.5]组内，设中位数为 ，
由 0.08 × 0.5 + 0.16 × 0.5 + 0.30 × 0.5 + 0.4 × 0.5 + 0.5 × ( 2) = 0.5，
解得 = 2.06，
所以中位数是 2.06．
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