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2024-2025 学年青海省海南州高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = 3 1 在区间[2,4]上的平均变化率为( )
A. 28 B. 14 C. 28 D. 56
2.设随机变量 ～ (10,0.4)，则 ( )的值为( )
A. 1.2 B. 1.8 C. 2.4 D. 3.6
3.已知( + ) 的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则 =( )
A. 11 B. 10 C. 12 D. 13
4.某校举办运动会，某班级打算从 5 名男生与 4 名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则
不同的选派方法数为( )
A. 20 B. 35 C. 50 D. 60
5.在某项测试中，测量结果 服从正态分布 (1, 2)( > 0)，若 (0 < < 1) = 0.3，则 ( < 2) =( )
A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6
6.已知函数 ( ) = 4 有极值点，则实数 的取值范围为( )
A. (1,2) B. (2, + ∞) C. (2 2, + ∞) D. (4, + ∞)
7.某校从高一、高二、高三中各选派 8 名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中
女生人数分别为 4，5，6，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名
女同学来自高三年级的概率为( )
A. 2 B. 35 5 C.
8 1
15 D. 3
8.函数 ( ) = 2 3 图象上的点到直线 + + 4 = 0 的距离的最小值为( )
A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在二项式( 2)6的展开式中，下列结论正确的是( )
A.常数项为 64 B.含 的系数为 192
C.所有的二项式系数之和为 64 D.所有项的系数之和为 1
10.下列命题中正确的是( )
A.已知一组数据 6，6，7，8，10，12，则这组数据的 50%分位数是 7.5
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B.随机变量 ～ (2, 2)，且 ( > 3) = 0.3，则 (1 < < 2) = 0.2
C.若随机变量 ～ (10, 1 52 )，则 ( ) = 2

D.在回归方程 = 2 + 3 中， 与 具有负线性相关关系
11 1.已知函数 ( ) = 1 + 1 ，则( )
A. ( )在定义域上单调递增
B.曲线 = ( )上任意一点处的切线斜率大于 0
C. ( ) + ( ) = 1
D.函数 ( )有 2 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关
系数分别为 1 = 0.96， 2 = 0.92， 3 = 0.89，则这三人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度
最高．
13 9 49 4.已知 = ln 2， = 6 ， = 7 ，则 ， ， 的大小关系为______. (用“>”连接)
14.由 0，1，2，3，4，5，6 这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列(由高数位
到低数位)，这样的七位数有______个.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中
华民族自古以来的优良传统.某社区进行流动人口统计，随机抽取了 100 人了解他们今年是否回老家祭祖，
得到如下不完整的 2 × 2 列联表：
回老家不回老家总计
50 周岁及以下 55
50 周岁以上 15 40
总计 100
(1)根据统计完成以上 2 × 2 列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中 50 周岁以上的居民今年回老家
祭祖的概率；
(2)能否有 99.9%的把握认为回老家祭祖与年龄有关？
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2 = ( )
2
参考公式： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
参考数据：
( 2
≥ 0)
0.100 0.050 0.010 0.001
0 2.706 3.841 6.635 10.828
16.(本小题 15 分)
已知二项式(2 ) 的展开式中共有 10 项．
(1)求展开式的第 5 项的二项式系数；
(2)求展开式中含 4的项．
17.(本小题 15 分)
一般来说，市场上产品的广告费用与产品的销量存在一定的关系.已知某产品 1 月～4 月的月广告费用 (万
元)与月销量 (万件)的统计数据如下：
月份 1 月 2 月 3 月 4 月
月广告费用 (万元) 3 4 5 6
月销量 (万件) 5 6 8 9
已知 与 线性相关．( 2 ≈ 1.414)
(1)求 关于 的经验回归方程；
(2)求 与 的相关系数 (精确到 0.01)．

参考公式：回归直线方程为 = + ，其中 = =1
= =1 ( )( ) 2 ， = ． =1 2 =1 ( )2

= =1 ( )( )相关系数 ．
=1 ( )2
( )2 =1
18.(本小题 17 分)
我国脱贫攻坚经过 8 年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况
进行持续跟踪，随机抽取了 10 件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，
54，49，57，60，69，已知质量指标不低于 60 分的产品为优质品．
(1)从这 10 件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为 ，求 的分布列和数学期
望；
(2)根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布 ( , 2)，其中 近似为样本质量指标平均
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数， 2近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于 15%.那么这种农产品是否满足生
产合同的要求？请说明理由．
附：若 ～ ( , 2)，则 ( 2 < < + 2 ) = 0.9545， ( < < + ) = 0.6827， 94 ≈ 9.7．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 4 + 2 ( ∈ )．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若 = 2，证明： ( ) + (2 2) ≤ 2( 2 )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.甲
13. > >
14.90
15.解：(1)补全表格如下：
回老家不回老家总计
50 周岁及以下 5 55 60
50 周岁以上 15 25 40
总计 20 80 100
15 3
该社区中 50 周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为40 = 8；
(2) ∵ 2 = 100×(5×25 15×55)
2 1225
20×80×60×40 = 96 ≈ 12.760 > 10.828，
∴有 99.9%的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关．
16.解：(1)因为二项式的展开式中共有 10 项，所以 = 9，
所以第 5 项的二项式系数为 49 = 126；
(2)由(1)知 = 9，记含 4的项为第 + 1 项，

所以 9 9 +1 = 92 ( ) = 92 ( 1) 2，
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8
取2 = 4，解得 = 8，所以 =
8 1
9 92 ( 1)8 2 = 18 4，
故展开式中含 4的项为 18 4．
17. 9 (1)根据题意可得 = 2， = 7，


( )2 = ( 3 )2 + ( 1 )2 + ( 1 )2 =1 2 2 2 + (
3 )22 = 5，

=1 ( )(
3 1
) = ( 2 ) × ( 2) + ( 2 ) × ( 1) +
1 3
2 × 1 + 2 × 2 = 7，

= =1 ( )( ) 7

= = = 7 7 9 7所以 ，
=1 ( )2 5 5
× 2 = 10，

所以 关于 的经验回归方程为 = 75 +
7
10；

(2)因为 2 2 =1 ( ) = ( 2) + ( 1)
2 + 12 + 22 = 10，
(
所以 与 的相关系数为 = =1 )( ) 7 = =
7 2 ≈ 0.99．
=1 ( )2
2 5×10 10
=1 ( )
18.解：(1)我国脱贫攻坚经过 8 年奋斗，取得了重大胜利，为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品
的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了 10 件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，
45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于 60 分的产品为优质品，
因为质量指标分值不低于 60 分的产品为优质品，所以优质品有 3 件，
2 7 1 1 2
则 ( = 0) = 7 = ， ( = 1) = 7 32 15 2 =
7
15， ( = 2) =
3 1
2
= ，
10 10 10 15
所以 的分布列如下：
0 1 2
7 7 1
15 15 15
故 ( ) = 0 × 715 + 1 ×
7
15 + 2 ×
1 3
15 = 5；
(2)这 10 1件农产品的平均数为10 × (38 + 70 + 50 + 45 + 48 + 54 + 49 + 57 + 60 + 69) = 54，
这 10 1件农产品的方差为10 × [(38 54)
2 + (70 54)2 + (50 54)2 + (45 54)2 + (48 54)2 + (54
54)2 + (49 54)2 + (57 54)2 + (60 54)2 + (69 54)2] = 94，
由 94 ≈ 9.7，可令 = 54， = 9.7，
这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：
记这种产品的质量指标分值为 ，由题意可知， ～ (54, 9.72)，
可得 (44.3 < < 63.7) = ( < < + ) = 0.6827，
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有 ( ≥ 60) > ( ≥ 63.7) = 1 0.68272 = 0.15865 > 15%，
所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求．
2
19.解：(1) ( )的定义域为(0, + ∞)， 2 4 +2′( ) = ，
①当 = 0 1时，令 ′( ) = 0， = 2，则 ( )在(0,
1 1
2 )单调递增，在( 2 , + ∞)单调递减，
②当 ≠ 0 时， = 16 16 ，
当△≤ 0 时，即 ≥ 1 时， ( )在(0, + ∞)单调递增，
当 > 0 时， < 0 或 0 < < 1，
此时方程 2 2 4 + 2 = 0 有两个实根 1， 2，
= 1 1 = 1+ 1 1 ， 2 ，
< 0 1 1 1+ 1 当 时， 1 = > 0， 2 = < 0，
则 ( )在(0, 1)单调递增，在( 1, + ∞)单调递减，
当 0 < < 1 1 1 1+ 1 时， 1 = > 0， 2 = > 0，
则 ( )在(0, 1)单调递增，在( 1, 2)单调递减，在( 2, + ∞)单调递增，
综上，当 = 0 1 1时， ( )在(0, 2 )单调递增，在( 2 , + ∞)单调递减；
当 < 0 时， ( )在(0, 1 1 1 1 )单调递增，在( , + ∞)单调递减，
当 ≥ 1 时， ( )在(0, + ∞)单调递增，
当 0 < < 1 ( ) (0, 1 1 ) ( 1 1 , 1+ 1 ) ( 1+ 1 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 , + ∞)单调递增．

(2)证明：当 = 2 时，不等式 ( ) + (2 2) ≤ 2( 2 ) 等价于 2 ≥ 1 +

．
( ) =

令 2， ( ) = 1 +

，
( ) =
( 2) 2
由 ′ 3 ，可得 ( )在(0,2)单调递减，在(2, + ∞)单调递增，∴ ( ) = (2) = 4，
( ) = 1 ( ) (0, ) ( , + ∞) ∴ ( ) = ( ) = 1由 ′ 2 ，可得 在 单调递增，在 单调递减， + 1，
2 > 1 + 1又 4 ，

∴ 2 ≥ 1+ 恒成立．
即 ( ) + (2 2) ≤ 2( 2 )得证．
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