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2.2 一元二次方程的解法
第二章 一元二次方程
2.2.1 配方法
第1课时 根据平方根的意义解一元二次方程
1.理解一元二次方程降次的转化思想。
2.会利用直接开平方法对形如： x2 =p与 (mx+n) =p(p≥0)的一元二次方程。
3.会用直接开平方法解简单的一元二次方程。
4.使学生了解“换元、转化、类比”等重要的数学思想在解方程中的应用。
学习目标
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程10×6x2=1500，
由此可得
x2=25
根据平方根的意义，得
即x1= 5，x2=－5.
x=±5，
可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
探究新知
一般地,对于形如 x2=p(p≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得 ,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法
思考1 当 p=0时,方程 x2=p的解又怎样？
此时方程有两个相等的解x1=x2=0.
思考2 当 p<0时,方程 x2=p 的解又怎样？
此时方程无解.
归纳：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
归纳新知
例1. 利用直接开平方法解下列方程:
(1) 2x2=12；
(2) x2－900=0.
解：
（1） x2=6，
直接开平方，得
x=± ,
∴x1=30, x2=－30.
∴ x1= , x2=－ .
（2）移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=± 30，
典例精析
2.
如何解下列方程：
解：
－
把x+3看作整体，将方程左边“降次”，
转化为两个一元
一次方程
1.
想一想
例2 解下列方程：
（x－ ）2 = （ －1）2 ；
解析：两边都是完全平方形式，可直接开平方.
解：直接开平方，得
∴原方程的解为
x=-
概念
步骤
基本思路
关键要把方程化成x2=p(p ≥0)或（x+n)2=p（p ≥0).
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
直接开平方法
利用平方根的定义求方程的根的方法
课堂小结
巩固练习
知识点1　一元二次方程的根的概念
1.下列是方程x2－x－6＝0的根的是(　　)
A.x＝－4　 B.x＝－3
C.x＝3　 D.x＝2
C
2.若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根，则m的值为____.
5
3.(2024·南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为______.
－4
知识点2　根据平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程
4.一元二次方程x2－16＝0的两个根是(　　)
A.x1＝4，x2＝－4　 B.x1＝8，x2＝－8
C.x1＝2，x2＝－8 D.x1＝8，x2＝－2
A
5.若关于x的方程x2＝a－5有解，则a的取值范围是(　　)
A.a＝5 B.a＞5
C.a≥5 D.a≠5
C
6.解下列方程：
(1)9x2＝25；
解：将二次项系数化为1，得x2＝.
根据平方根的意义，得x＝或x＝－，
解得x1＝，x2＝－.
6.解下列方程：
(2)49－4x2＝0.
解：移项，得－4x2＝－49.
将二次项系数化为1，得x2＝.
根据平方根的意义，得x＝或x＝－，
解得x1＝，x2＝－.
知识点3　根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)的一元二次方程
7.已知一元二次方程(x＋6)2＝9可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋6＝3，则另一个一元一次方程
为(　　)
A.x－6＝－3 B.x＋6＝－9
C.x＋6＝9 D.x＋6＝－3
D
8.解下列方程：
(1)(x＋3)2＝2；
解：等号两边同时乘2，得(x＋3)2＝4.
根据平方根的意义，得x＋3＝2或x＋3＝－2，
解得x1＝－1，x2＝－5.
8.解下列方程：
(2)(6x－1)2－25＝0.
解：移项，得(6x－1)2＝25.
根据平方根的意义，得6x－1＝5或6x－1＝－5，
解得x1＝1，x2＝－.
9.【新考法·过程性学习】阅读下列解题过程：
根据平方根的意义解一元二次方程4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0.
解：移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2.①
根据平方根的意义，得2(2x－1)＝5(x＋1)，②
解得x＝－7.③
(1)上述解题过程从_____(填序号)开始出错，原因是__________
__________________；
②
漏掉了
2(2x－1)＝－5(x＋1)
9.【新考法·过程性学习】阅读下列解题过程：
根据平方根的意义解一元二次方程4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0.
解：移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2.①
根据平方根的意义，得2(2x－1)＝5(x＋1)，②
解得x＝－7.③
(2)请写出正确的解答过程.
解：正确的解答过程如下：
移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2.
根据平方根的意义，得2(2x－1)＝5(x＋1)或2(2x－1)＝
－5(x＋1)，
解得x1＝－7，x2＝－.
10.一个简单的数值运算程序如图所示，由此可知输入的x的值为(　　)
A.＋1 B.－＋1
C.＋1或－＋1 D.无法确定
C
11.(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　　)
A.2 B.－2
C.2或－2 D.
A
12.若(x2＋y2－3)2＝16，则x2＋y2的值为____.
7
13.若在关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，a，b，c满足a＋b＋c＝0和a－b＋c＝0，则方程的根是______________.
x1＝1，x2＝－1
14.【整体思想】若关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的两个根分别是x1＝1，x2＝4(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的根是_______________.
x1＝－1，x2＝2
15.解下列方程：
(1)(2x－2)2－16＝0；
解：移项，得(2x－2)2＝16.
方程两边同乘3，得(2x－2)2＝48.
根据平方根的意义，得2x－2＝4或2x－2＝－4，
解得x1＝1＋2，x2＝1－2.
15.解下列方程：
(2)x2－6x＋9＝(5－2x)2.
解：原方程可化为(x－3)2＝(5－2x)2.
根据平方根的意义，得x－3＝5－2x或x－3＝－(5－2x)，
解得x1＝，x2＝2.
16.若m是方程x2－2x－1＝0的根，求m2＋的值.
解：∵x＝m是方程x2－2x－1＝0的根，
∴m2－2m－1＝0，即m2－1＝2m，
∴m2＋＝(m－)2＋2＝()2＋2＝()2＋2＝22＋2＝6.
17.【新考法·新定义】阅读材料，解答下列问题：
对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数.
例如，min{1，2}＝1，max{1，2}＝2.
(1)若min{(x－1)2，x2}＝1，求x的值；
解：min{(x－1)2，x2}＝1可分两种情况讨论：
①当min{(x－1)2，x2}＝(x－1)2时，(x－1)2＜x2，(x－1)2＝1，
∴x－1＝1或x－1＝－1，
解得x1＝2，x2＝0(不符合题意，舍去)；
②当min{(x－1)2，x2}＝x2时，(x－1)2＞x2，x2＝1，
解得x1＝1(不符合题意，舍去)，x2＝－1.
综上所述，x的值为2或－1.
17.【新考法·新定义】阅读材料，解答下列问题：
对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数.
例如，min{1，2}＝1，max{1，2}＝2.
(2)若max{(x－1)2，x2}＝9，求x的值.
解：max{(x－1)2，x2}＝9可分两种情况讨论：
①当max{(x－1)2，x2}＝x2时，(x－1)2＜x2，x2＝9，
解得x1＝－3(不符合题意，舍去)，x2＝3；
②当max{(x－1)2，x2}＝(x－1)2时，(x－1)2＞x2，(x－1)2＝9，
∴x－1＝－3或x－1＝3，
解得x1＝－2，x2＝4(不符合题意，舍去).
综上所述，x的值为3或－2.

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