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2024-2025 学年辽宁省丹东市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = {1,2,3,4,5}，集合 = {1,4}， = {2,5}，则 ∪ ( ) =( )
A. {2,3,5} B. {1,3,4} C. {1,2,4,5} D. {2,3,4,5}
2 4.不等式 1 ≥ 2 解集是( )
A. { | 2 ≤ ≤ 1} B. { | ≤ 2} C. { | 2 ≤ < 1} D. { | > 1}
3.已知随机变量 服从正态分布 ( , 2)，若 ( ≥ 1) = 0.5， ( ≤ 0.6) = 0.3，则 ( ≤ 1.4) =( )
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.2

4.由如表所示的变量 ， 之间的一组数据，得到 ， 之间的线性回归方程为 = 0.5 + 10.5，则( )
6 8 10 12
7 5.5 4.5
A.点(8, )一定在回归直线上 B. 每增加 1 个单位， 大约增加 0.5 个单位
C. = 7 D. 与 是正相关的
5.已知各项均为正数的数列{ }中， 1 = 2， +1 = + 2，则 20 =( )
A. 400 B. 600 C. 800 D. 1000
6.已知命题 ： > > 0 1 1， ： 1 < 1，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.记 是等差数列{ }的前 项和， 3 = 4， 6 = 12，则 8 =( )
A. 4 B. 16 C. 83 3 D. 8
8 ( ) = 1.已知函数 在[ , ]
1
上的值域为[0, 2 ]，则 的取值范围是( )
A. [ 2, + ∞) B. (1, 2] C. [ , + ∞) D. (1, ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }，{ }均为等比数列，且项数相同，则( )
A.数列{ 2 }是等比数列 B.数列{ + }是等比数列
C.数列{ }是等比数列 D.数列{ }是等比数列
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10.设正实数 ， 满足 + = 1，则( )
A. 1 1有最大值为2 B.
2 + 2有最小值为2
C. 4 + 1 有最小值为 5 D. + 1 + + 2有最大值为 2 2
11.已知 = 2 是函数 ( ) = ( 1)( 2)( )的极值点，则( )
A. = 2 是 ( )的极小值点 B.直线 = 0 是曲线 = ( )的切线
C.当 1 < < 2 时， ( ) < 0 D. ( )有两个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.当 ∈ 时，3 + 5 + 7 + … + (2 + 3) = ______．
13.甲盒子中装有 7 个小球，其中 3 个红球，2 个白球，2 个黑球，乙盒子中装有 6 个小球，其中 2 个红球，
3 个白球，1 个黑球，先从甲盒子中取 2 个小球放入乙盒子中，再从乙盒子中取出 1 个小球，则这个小球
是红球的概率为______．
14.已知函数 ( ) = 3 2 的零点为 0，则 0 = ______．0
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为了了解阅读量多少与幸福感强弱的关系，一个调查机构得到如下调查数据：
幸福感强幸福感弱总计
阅读量多 54 18
阅读量少 36 78
总计 90 60 150
(1)求 ， 的值；
(2)根据调查数据回答，在犯错误的概率不超过 1%的前提下可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关吗？
(3)在所有被调查的人中，从阅读量多的人中随机抽取一人，从阅读量少的人中随机抽取一人，求幸福感强
的人数的期望．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，
( 2
≥ ) 0.050 0.010 0.0010
0 3.841 6.635 10.828
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16.(本小题 15 分)
记 是数列{ }的前 项和， 1 = 1， 3 = 6，且数列{ }是等差数列．
(1)求{ }的通项公式；
, 为奇数,
(2)设若 = 1 求数列{ }的前 2 项和 , 2
．
为偶数 +2
17.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = + + 1．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若方程 ( ) = 有唯一解，求 的值．
18.(本小题 17 分)
中国科学院及其下属机构正在积极推广人工智能( )赋能教学的相关研究和实践工作，为了让学生更好的适
应 学习环境，某校决定面向全校学生采取自愿报名参加 知识普及的培训活动，并在培训后进行相关知
识的测试.已知该校男女生比例近似为 1：1，共有 60%的男生报名参加了培训，培训后进行的首次测试数据
统计如下：
①按参加人数统计，首次测试通过率为 70%；
②按全校总人数统计，通过首次测试人数占总人数的 48%．
(1)在参加培训的学生中随机抽取 2 人，求通过首次测试人数 的分布列；
(2)在全校随机抽取一名学生，已知该生通过了首次测试的条件下，求他刚好是男生的概率；
(3)假设每轮通过测试的概率不变且每次测试相互独立，参加培训的学生最多可参加 次测试，只要有 2 次
通过，则获得“ 小能手”称号，若 次测试结束后也未通过 2 次，则不能获得此称号，王同学参加了培训，
求王同学能获得“ 小能手”称号的概率( ≥ 2，结果用含 的式子表示)．
19.(本小题 17 分)
1 1
已知函数 ( ) = (1 ) + 3．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 ( )恰有两个零点 1， 2，且 1 < 2
(ⅰ)求 的取值范围；
(ⅱ) + 证明： ′( 1 22 ) < 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2 + 4 + 3
13. 514
14.13
15.(1)由列联表得 = 54 + 18 = 72， = 60 18 = 42；
2
(2)由列联表得 2 = 150×(54×42 18×36)90×60×72×78 ≈ 12.981 > 6.635，
所以在犯错误的概率不超过 1%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关；
(3)由题设 可取 0，1，2，
( = 0) = 18 × 4272 78 =
7 54 42 18 36 27 54 36 9
52， ( = 1) = 72 × 78 + 72 × 78 = 52， ( = 2) = 72 × 78 = 26，
所以 ( ) = 0 × 752 + 1 ×
27
52 + 2 ×
9
26 =
63
52．
16.(1)因为 1 = 1 = 1， 3 = 6 {

，设等差数列 }
1
的公差为 ，则 33 = 1 + 2 = 2，解得 = 2，
2
所以 = 1 +
1
2 ( 1) =
+1 +
2 ，即 = 2 ，
当 ≥ 2 时， = 1 = ，当 = 1 时， 1 = 1 成立，故 = ．
(2)由题意可得 2 = 1 + 2 + 3 + + 2
= ( 1 + 3 + . . . + 2 1) + ( 2 + 4 + . . . + 2 )
1 1 1
= [1 + 3 + . . . + (2 1)] + [2× 4 + 4 × 6 + . . . + 2 × 2( + 1) ]
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= 2
1 1 1 1 1 1
+ 4 (1 2 + 2 3+ . . . + + 1 )
= 2 + 4( +1)．
17.(1)当 = 1 时， ( ) =
1
+ 1，则 ′( ) =
2
2 ，
所以 ′(1) = 2，又 (1) = 0，
所以所求切线方程为 = 2( 1)，即 = 2 2．
(2) + 方程 + 1 = 有唯一解等价于
= 0 有唯一正数解，
令 ( ) = ， ′( ) = ( + 1) 1 1 = ( + 1)(
1 )，
1
易知函数 ( ) = 在(0, + ∞)上单调递增，
1 1
而 ( 2 ) = 2 2 < 0, (1) = 1 > 0
1
，则 1 ∈ ( 2 , 1)，使 ( 1) = 0，即
1 = 1 1 = 1，1
当 0 < < 1时， ′( ) < 0；当 > 1时， ′( ) > 0，
函数 ( )在(0, 1)上单调递减，在( 1, + ∞)上单调递增， ( ) = ( 1) = 1 1 1 1 = 1 ，
依题意，函数 ( )有唯一零点，因此 1 = 0，解得 = 1，
所以 = 1．
18.(1)根据题意得 (2,0.7)，
所以 的分布列为 ( = ) = 2 × (0.7) × (0.3)2 ， = 0，1，2；
(2)设 ：学生通过首次测试， ：刚好是男生，
( | ) = ( ) 0.5×0.6×0.7 7所以 ( ) = 0.48 = 16．
(3)法 1：设王同学第 ( ≥ 2)轮测试获得通过 2 次的概率为 = 1 2 2 1 × 0．7 × 0．3 ，即 = 0.49 × (
1) × 0．3 2，
则王同学能获得“ 小能手”的概率为 ，则 = 2 + 3 + + ，
= 0.49 × 0.30 + 0.49 × 2 × 0.31 + 0.49 × 3 × 0.32 + + 0.49 × ( 1) × 0.3 2，
0.3 = 0.49 × 0.31 + 0.49 × 2 × 0.32 + 0.49 × 3 × 0.33 + + 0.49 × ( 1) × 0.3 1，
则 0.7 = 0.49 × 0.30 + 0.49 × 0.31 + 0.49 × 0.32 + + 0.49 × 0.3 2 0.49 × ( 1) × 0.3 1，
1 0．3 1
所以 = 0.7 × 0.7 0.7 × ( 1) × 0．3
1，
所以 = 1 (0.7 + 0.3) × 0.3 1，则王同学能获得“ 小能手”的概率为 = 1 (0.7 + 0.3) × 0.3 1．
法 2：设一次也未通过的事件记为 ，只通过一次的事件记为 ，
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若王同学前 1 次均为通过，则王同学不用参加第 次测试，故 ( ) = 0 0．70 0．3 1 = 0．3 1 1 ，
若王同学只通过 1 次测试，则通过的这一次在前 1 次中的某次，故 ( ) = 1 1 0．71 0．3 1 =
0.7( 1)0．3 1，
则王同学能获得“ 小能手”的概率为 = 1 0.7( 1)0.3 1 0.3 1 = 1 (0.7 + 0.3) × 0.3 1．
19.(1)因为函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，
( ) = 1 + 1 = ( +1)( 1)因此 ′ 2 2 ，
当 < 0 时， ′( ) > 0，
则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 > 0 时， ∈ (0, 1 )时， ′( ) > 0
1
， ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0，
则 ( ) (0, 1 1在 )上单调递增，在 ∈ ( , + ∞)上单调递减，
综上所述，
当 < 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 > 0 时， ( )在(0, 1 1 )上单调递增，在 ∈ ( , + ∞)上单调递减．
(2)(ⅰ)由(1)知， ( )有两个零点的必要条件是 > 0，
( 1且 ) = ( 1)
1
+ 2 > 0，
令 ( ) = ( 1) 1 + 2，
则 ′( ) = 1 +
1
2，
1 1
令 ( ) = ′( ) = + 2，
则 ( ) = ( 1)( +2)′ 3 ，
可得 ′( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增， ′(1) = 0，
因此 ′( ) ≥ ′(1) = 0，
则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，且 (1) = 0，
因此 ( ) > 0，
则有 > 1，
1
因为 (1) = 2 < 2 2 = 0，
( 1 2 ) = ( 1)
2 2 2 + 3 < ( 1)(
1
)
2 2 + 3 = 2
1
< 0，
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2
( 1对于 = 2 + 且 > 1，有 =
2
′ 1
1 ( 1)
2 = 2 < 0)，
1
因此 = 2 + 在(1, + ∞)上单调递减，
则 < 2 1 1 + 1 = 0，
因此 2 = 2 < 1 恒成立，
即 2 < 2 1 )，
2
( ) 1 1 1因此 有两个零点， 1 ∈ ( 2 , )， 2 ∈ ( , 1)，
故 的取值范围为(1, + ∞)．
(ⅱ) + 证明：由(1)知， ′( 1 22 ) < 0，
+
可得 1 22 ∈ (
1
, + ∞)，
令 ( ) = ( ) ( 2 )，
2则 ′( ) = ′( ) + ′( ) = (1 )[
+1 ( +2 )
2 + (2 )2 ]，
由(ⅰ)知， > 1，0 < < 1，
∈ (0, 1 ) 1 > 0 ( +2 )则 时， ， (2 )2 > 0，
因此 ′( ) > 0，则 ( ) 1在(0, )上单调递增， ( 1) < (
1
) = 0，
因此 ( 1) < (
2
2)， ( 2) < (
2
1)，
2 1
因为 1， 2 ∈ ( , + ∞)，
2
因此 2 > 1，
1+ 则 2 > 12 ，
故 ( ′ 1+ 22 ) < 0．
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