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专题09 平面解析几何
知识点一 直线与圆
1．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
3．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
1（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
2．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ．
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
知识点二 圆锥曲线的定义及应用
1．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ．
1．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
2．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
4．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
知识点三 离心率
1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2 B．5 C． D．
4．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
知识点四 弦长
1．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
知识点五 圆锥曲线的标准方程
1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
知识点六 轨迹方程
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
知识点六 直线与圆锥曲线的位置关系
1．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
3．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
知识点七 解析几何解答题
1．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点．
(1)若的焦点，求离心率e；
(2)若，且上存在一点P，满足，求m；
(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．
2．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.
3．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小．
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求．
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
2．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若的离心率为2，求.
(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
3．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
5．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
1．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.
(1)写出的直角坐标方程；
(2)若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
5（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
知识点一 直线与圆
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·广东惠州·模拟预测）已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ）
A．0 B．±1 C． D．
知识点二 圆锥曲线的定义及应用
1．（2025·山东烟台·三模）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ）．
A．的面积的最大值为12
B．的平分线必过椭圆的中心
C．若，则
D．设，椭圆C上存在点P，使得
2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．的周长为
C． D．的内切圆半径为
知识点三 离心率
1．（2025·广东梅州·一模）已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为 ．
3．（2025·河北邢台·三模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，且满足，，则的离心率为 .
知识点四 弦长
1．（2025·广东）已知双曲线，直线分别与的左、右支交于两点，为坐标原点，若的面积为，则直线的方程为 .
2．（2025海南）过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是 ．
知识点五 圆锥曲线的标准方程
1．（2025·北京）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津）设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.（2025·陕西）已知椭圆的左 右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4.（2025·山西）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·福建）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
知识点六 轨迹方程
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
知识点七 解析几何解答题
1（2025·河南信阳·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交于两点（在轴上方)，的周长为，当时，的面积为.
(1)求的方程；
(2)若的离心率不大于，半径为的圆与的延长线，的延长线及线段均相切.
（i）当时，求；
（ii）求的最大值.
2．（2025·四川成都·一模）过点作直线与抛物线交于，两点.
(1)设为坐标原点，求的值；
(2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程；
(3)过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等.
3．（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.
4．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M的轨迹方程C；
(2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围．
5．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，
①证明：；
②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围．
6．（24-25湖北武汉·期末）已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程；
(3)已知点，又有不同的两点，，直线，分别与曲线C交于点P，Q，过T作直线PQ的垂线，垂足H.探究的最小值，若存在则求出该最小值；若不存在则说明理由.
7．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，，分别为左右顶点.点是直线上异于点的动点，直线交椭圆的另一点为点.
(1)求的值；
(2)直线与交于点，求证：.
8．（2025·广东佛山·三模）设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积．
9．（2025·北京海淀·三模）椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积；
(3)若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标．
10．（2025·广西柳州·模拟预测）圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点作互相垂直的两条直线与曲线相交于两点，与曲线相交于两点，线段的中点分别为M，N．
（ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最小值.
11．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AP，AQ的斜率之和；
(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.
12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为椭圆上一点，的离心率为．
(1)求的方程；
(2)已知，若过点的直线交于另一点，且．
（ⅰ）若在第一象限，求直线的斜率；
（ⅱ）求的方程．
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专题09 平面解析几何
知识点一 直线与圆
1．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
2．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ．
【答案】2
【解析】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，
圆的半径为，圆心到直线的距离为，
故，解得；
故答案为：2.
3．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【解析】设曲线上一点为，则，则，
，方程为：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
1（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，的最小，
此时.
故选：C
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.

故选：C
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【解析】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，
则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，
结合对称性可得所求概率.
故选：C.

3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

4．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ．
【答案】
【解析】圆化为标准方程为：，
圆的面积为，圆的半径为，
，解得．
故答案为：
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
知识点二 圆锥曲线的定义及应用
1．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ．
【答案】
【解析】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，
故答案为：.
1．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
【答案】
【解析】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，
代入抛物线方程，得，解得，
则点到轴的距离为．
故答案为：．
2．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【解析】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
故答案为：.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
4．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ．
【答案】
【解析】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
知识点三 离心率
1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，，所以，
即，所以，
故选：B．
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，
由题知，，
于是，则，
即.
故选：D
3．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即离心率为2.
故选：
4．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【解析】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，
故A正确；
对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，
设，则，故，故，
由A得，故即，故B错误；
方法二：因为，因为双曲线中，，
则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，
则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，
方法三：在利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
对于C，方法一：因为，故，
由B可知，
故即，
故离心率，故C正确；
方法二：因为，则，则，故C正确；
对于D，当时，由C可知，故，
故，故四边形为，
故D正确，
故选：ACD.
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，因此，而，所以.
故选：A
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【解析】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
知识点四 弦长
1．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】对，令，则，
所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.
故选：C
2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】法一：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
联立，得，
易知，则，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
又
，
，
所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去，得，
易知，则，
所以
，
综上，，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
当直线的斜率存在时，，
，
所以，
则；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
1．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
【答案】/
【解析】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
知识点五 圆锥曲线的标准方程
1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，
，由，求得，
因为，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
则由得，
由得，
则，
由双曲线第一定义可得：，，
所以双曲线的方程为.
故选：A
1．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
2．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
知识点六 轨迹方程
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【解析】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
知识点六 直线与圆锥曲线的位置关系
1．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】联立，化简并整理得：，
由题意得或，
解得或无解，即，经检验，符合题意.
故答案为：（或，答案不唯一）.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
3．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，即，
由题可得，
当时，，有，则，不符合要求，舍去；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，
故有，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

知识点七 解析几何解答题
1．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点．
(1)若的焦点，求离心率e；
(2)若，且上存在一点P，满足，求m；
(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由题意知，，则，
由右焦点，可知，则，
故离心率.
（2）由题意，
由得，，
解得，代入，
得，又，解得.
（3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为，
则，解得，
由得中点坐标为，
故直线，显然直线过椭圆内点，
故直线与椭圆恒有两不同交点，
设，
由消得，
由韦达定理得，
因为为钝角，则，且，
则有，
所以，
即，解得，
又，
故，即的取值范围是.
2．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意，设椭圆的半焦距为，
则左焦点，右顶点，离心率，即，
因为为上一点，设，
又直线的斜率为，则，即，
所以，解得，则，即，
因为的面积为，，高为，
所以，解得，
则，，
所以椭圆的方程为.
.
（2）由（1）可知，，，
易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即，
联立，消去得，，
因为直线与椭圆有唯一交点，所以，
即，则，解得，则，
所以直线的方程为，
联立，解得，则，
以下分别用四种方法证明结论：
法一：则，
所以，
，
则，又，
所以，即平分.
法二：所以，，，
由两直线夹角公式，得，，
则，又，
所以，即平分.
法三：则，，
故，
又，
所以，即平分.
法四：则，
所以直线的方程为，即，
则点到直线的距离为，
又点到直线的距离也为，
所以平分.
3．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，，
故椭圆E的方程为；
（2）联立，消去得，，
整理得，①，
又，所以，，
故①式可化简为，即，所以，
所以直线与椭圆相切，为切点.
设，易知，当时，由对称性可知，．
故设，易知，
联立，解得，
联立，解得，
所以
，
，
故．
法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，．
故设，
联立，解得，
联立，解得，
若，则，
由对称性，不妨取，则，
，，所以，
同理，当时，，
当时，则，，,
又，所以，
所以
，
，
则，即，
所以.
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，
故，故椭圆方程为：.
（2）
由题设直线的斜率不为0，故设直线，，
由可得，
故即，
且，
故，
解得，
故.
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
【答案】(1)
(2)(ⅰ) (ⅱ)
【解析】（1）由题可知,，所以，解得，
故椭圆C的标准方程为；
（2）(ⅰ)设，易知，
法一：所以，故，且．
因为，，所以，
即，解得，所以，
所以点的坐标为.
法二：设，则，所以
，，故
点的坐标为.
(ⅱ)因为,,由,可得
,化简得,即,
所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）,
为到圆心的距离加上半径,
法一：设,所以
,当且仅当时取等号,
所以.
法二：设，则，
，当且仅当时取等号,
故.
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
【答案】(1)
(2)直线的方程为或.
【解析】（1）由题意得，解得，
所以.
（2）法一：，则直线的方程为，即，
，由（1）知，
设点到直线的距离为，则，
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点，
设该平行线的方程为：，
则，解得或，
当时，联立，解得或，
即或，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，联立得，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为或.
法二：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，则，解得或，
即或，以下同法一.
法三：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，其中，则有，
联立，解得或，
即或，以下同法一；
法四：当直线的斜率不存在时，此时，
，符合题意，此时，直线的方程为，即，
当线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立椭圆方程有，则，其中，即，
解得或，，，
令，则，则
同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
则，解得，
此时，则得到此时，直线的方程为，即，
综上直线的方程为或.
法五：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当的斜率存在时，设，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直线距离，
或，均满足题意，或，即或.
法六：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当直线斜率存在时，设，
设与轴的交点为，令，则，
联立，则有，
，
其中，且，
则，
则，解得或，经代入判别式验证均满足题意.
则直线为或，即或.
2．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若的离心率为2，求.
(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)当时，；
(3)的最大值为.
【解析】（1）由双曲线的方程知，，
因为离心率为2，所以，得.
（2）当时，双曲线，且.
因为点在第一象限，所以为钝角.
又为等腰三角形，所以.
设点，且，则
得，所以.
（3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称.
设，则.
由直线不与轴垂直，可设直线的方程为.
联立直线与双曲线的方程得
消去，得，
且，即，得.
，
由，得，
所以，即，
整理得，
所以，
整理得，所以.
又，所以，解得，
所以，又，
故的取值范围是，故的最大值为.
3．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，从而，
所以椭圆方程为，离心率为；
（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，
若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，
所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
5．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，使得恒成立.
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距，
所以，故，
故，所以，，故椭圆方程为：.
（2）
若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，
由可得，
故且
而，
故
，
因为恒成立，故，解得.
若过点的动直线的斜率不存在，则或，
此时需，两者结合可得.
综上，存在，使得恒成立.
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）
由已知有，故的方程为.
当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.
解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.
故，从而，.
（2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.
展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.
从而根据韦达定理，另一根，相应的.
所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.
所以.
这就得到，.
所以
.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
方法二：因为，，，则，
由于，作差得，
，利用合比性质知，
因此是公比为的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
而又有，，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明的取值是与无关的定值，所以.
方法二：由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
这就得到，
以及.
两式相减，即得.
移项得到.
故.
而，.
所以和平行，这就得到，即.
方法三：由于，作差得，
变形得①，
同理可得，
由（2）知是公比为的等比数列，令则②，
同时是公比为的等比数列，则③，
将②③代入①，
即，从而，即.
1．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，

易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.
(1)写出的直角坐标方程；
(2)若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，即，可得，
整理得，表示以为圆心，半径为1的圆，
又因为，
且，则，则，
故.
（2）因为（为参数，），
整理得，表示圆心为，半径为2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线过，则，解得；
若直线，即与相切，则，解得，
若直线与均没有公共点，则或，
即实数的取值范围.

4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.

5（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.
(2).
【解析】（1）如图，

由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】（1）设,则，两边同平方化简得，
故.
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，

则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则，易知
则令,
令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
故,即.
当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,
得证.
法二：不妨设在上，且，

依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
直线的方程为，
则联立得，
，则
则，
同理，
令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
，
但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则,从而
故
①当时,
②当 时,由于,从而,
从而又,
故,由此
，
当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.
.
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
知识点一 直线与圆
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】定点在圆的外部，
，化简得，
k的取值范围：或，
所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2025·广东惠州·模拟预测）已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ）
A．0 B．±1 C． D．
【答案】C
【解析】圆的圆心坐标是，半径为2.
因为圆上恰有三个点到直线距离等于1，
所以圆心O到直线：的距离d为1，即，得.
故选：C.
知识点二 圆锥曲线的定义及应用
1．（2025·山东烟台·三模）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ）．
A．的面积的最大值为12
B．的平分线必过椭圆的中心
C．若，则
D．设，椭圆C上存在点P，使得
【答案】ACD
【解析】由题设有椭圆的长半轴长，短半轴长，
半焦距，故，
对于A，当为短轴顶点时，的面积的最大，
此时面积为，故A正确；
对于B，若的平分线必过椭圆的中心，
因为，则此时为等腰三角形，故，
故此时为短轴顶点，故当不为短轴顶点时，的平分线不过椭圆的中心，
故B错误；
对于C，因为，故，
由余弦定理可得，
故，故，
所以，故，故C正确；
对于D，设，则，
故，
所以，
而，故，
所以即，故，
所以，因为，故符号该不等式，
故椭圆C上存在点P，使得，故D正确；
故选：ACD.
2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．的周长为
C． D．的内切圆半径为
【答案】BCD
【解析】对于A选项，在椭圆中，，，，
，则、，
设点，，，故选项A错误；
对于B选项，由椭圆的定义可知，
的周长为，故选项B正确；
对于C选项，设，，可得，
由余弦定理可得
，
所以，
所以，解得，故选项C正确，
对于D选项，设的内切圆半径为，
则，
，故选项D正确.
故选：BCD.
知识点三 离心率
1．（2025·广东梅州·一模）已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得：，，，
线段的垂直平分线方程为，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，
所以圆心坐标为，圆的半径为，
所以经过A，B，F三点的圆的圆的方程为，
在圆上，所以，
整理得：，所以，所以，
化为：，由，解得．
故选：B．
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【解析】设，依题意可设，所以，则，
由等面积可得，化简得，
又，所以，，
因为，点P在双曲线上，且，所以P在双曲线的右支上，
所以，
则，解得，所以的坐标为，
代入双曲线方程中，得，解得，
所以离心率为．
所以双曲线C的离心率为.
故答案为：
3．（2025·河北邢台·三模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，且满足，，则的离心率为 .
【答案】
【解析】因为，可设，则，
又因为，在中，由余弦定理有，
即，解得，
由双曲线定义得，即，解得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
知识点四 弦长
1．（2025·广东）已知双曲线，直线分别与的左、右支交于两点，为坐标原点，若的面积为，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】联立，消去，得，
令，，则，，
，，解得，
由直线过定点，故，
，
解得或（舍去），，直线的方程为.
故答案为：.
2．（2025海南）过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
由题意得．
因为点在的右支上，
所以设直线的方程为．
与联立，得，，
设，则，
所以．易知点到直线的距离．
由线段的中点与线段的中点重合，得四边形是平行四边形，
其面积．由，得，
所以，所以．
故答案为：.
知识点五 圆锥曲线的标准方程
1．（2025·北京）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又，
所以，得到，所以双曲线的方程为，
故选：D.
2．（2025·天津）设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，

由及双曲线、直线的对称性可知，，
则由双曲线定义可知，
所以，，
所以，
解得，
因为，所以，
所以，
由余弦定理可知，
所以，，
所以双曲线方程为：
故选：C
3.（2025·陕西）已知椭圆的左 右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接，依题意，知是线段的中点，，
又是线段的中点，所以，，
因为，所以，
因为点在椭圆上，结合椭圆的定义，
，得，
解得（舍去），所以，
所以椭圆的方程为.
故选：C.
4.（2025·山西）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，设椭圆的方程为，由在上，得，
显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而，
又，于是，，因此，解得，
所以椭圆 的标准方程是.
故选：B
5．（2025·福建）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆的焦点为，，
所以设椭圆的方程为：,
设，，，
则，因为，
所以，所以，
所以，又因为，
所以，所以，
所以，所以或，
因为在上，所以，即，
解得：或，因为椭圆的焦点在轴上，
所以.故的方程为.
故选：D.

知识点六 轨迹方程
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，，由为的中点，则，即，
由点在圆上，则，即，
化简可得.
故选：D.
知识点七 解析几何解答题
1（2025·河南信阳·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交于两点（在轴上方)，的周长为，当时，的面积为.
(1)求的方程；
(2)若的离心率不大于，半径为的圆与的延长线，的延长线及线段均相切.
（i）当时，求；
（ii）求的最大值.
【答案】(1)或；
(2)（i）；（ii）
【解析】（1）由题意,
的周长为，
所以，
设，
因为当时，的面积为，
所以，即
又，
所以，
将①代入化简得②
①②联立得或
当时，为的上顶点，
所以，则，
所以的方程为，检验符合题意
当时，，
，
所以，所以，
所以的方程为，检验符合题意；
故C的方程为或；
（2）因为的离心率不大于，
所以椭圆的方程为，
设圆分别切延长线，延长线和线段于点，
则
，
又，所以，
即，故H与重合.
（i）又圆的半径为，
则在中，，
所以；
（ii）当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
在中，，
所以，
则，
即直线的斜率，
即，所以，
联立，整理得，
则，
所以
，
又，所以，
所以，
令，
则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值为，
当直线的斜率不存在时，易求得，
∴，
∴的最大值为.
2．（2025·四川成都·一模）过点作直线与抛物线交于，两点.
(1)设为坐标原点，求的值；
(2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程；
(3)过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等.
【答案】(1)5
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）
由题意，直线不与轴重合，设的方程.
代入，并整理得.
由，得或.
设点，，则，.
所以.
（2）由弦长公式，得.
线段的中点到轴的距离.
又，故.
由，得，解得（均满足）.
所以直线的方程为.
（3）设点，，同理可得.
又直线的斜率.
由，，得.
设点，由，，三点共线，得.
化简，得.
又直线的斜率，故.
所以，故与的面积相等.
3．（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以右焦点为到渐近线的距离为，
因为双曲线的离心率为，所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）如图，
设，，
联立，得，
则，，，
所以，
，
因为以线段为直径的圆经过点，所以，
所以，即，
所以，
化简得，即，
因为，，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
4．（2025·海南海口·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3．
(1)求点M的轨迹方程C；
(2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】1）设点，，则，，
所以，化简得，
所以点M的轨迹方程为．
（2）当直线l斜率不存在时，可设，．
则，，
将其代入双曲线方程得，
又，解得，此时，
当直线l斜率存在时，设其方程为，设，，
联立，.
由韦达定理：，.
则
，
化简得，此时，
所以
，
当时，此时，当时，此时，
，，故，
因此，综上可得．
5．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，
①证明：；
②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【解析】（1），得，
将带入椭圆方程有，解得，．
所以椭圆方程为．
（2）设，，
由，得，
，（*）
①由于，
所以．
将（*）带入得，化简得．
②设的中点为，因为，所以，
不妨设，，
到直的距离为，，
．
由，得点坐标为，
则，
由点为椭圆上点，，
得，即，
所以，
所以．
综上，四边形面积的取值范围为．
6．（24-25湖北武汉）已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程；
(3)已知点，又有不同的两点，，直线，分别与曲线C交于点P，Q，过T作直线PQ的垂线，垂足H.探究的最小值，若存在则求出该最小值；若不存在则说明理由.
【答案】(1)椭圆：，双曲线：
(2)
(3)不存在.，理由见解析
【解析】（1）对于椭圆，已知焦点坐标为，
则，.
对于双曲线，渐近线方程为，所以，即.
联立，将代入得，解得，，
所以椭圆的方程为，双曲线的方程为.
（2）联立，消去y得.
因为直线l与椭圆有唯一公共点M，所以，
化简得.
设，由韦达定理，则.
当时，无不同的两点A，B，与题意不符；
当时，过点M且与l垂直的直线方程为.
可得，，即，
代入得：，
故点N的轨迹方程；
（3）设直线PQ方程：，，，
联立，
其中由韦达定理得：
，，
由，
即，
由于直线PQ不过点T，故化简得，
故
，
此时直线，恒过定点，
由于，故点H在以TS为直径的圆上，圆心，半径，
所以等号成立时，，
经过点，而点不在曲线C上，故的最小值不存在.
7．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，，分别为左右顶点.点是直线上异于点的动点，直线交椭圆的另一点为点.
(1)求的值；
(2)直线与交于点，求证：.
【答案】(1)9
(2)证明见解析
【解析】（1）
法一：设，则直线，
与椭圆方程联立，得，
则由 ，
且，故，则.
所以.
法二：设，则
则直线的方程为：，令，代入即得.
所以.
（2）因为，
所以，要证，只需证，即证.
对应（1）中的法一：因为，，，，
所以
，
于是.
或者：因直线，直线，即，
联立，解得.
因为
，所以.
对应（1）的法二：因为，
所以，要证，只需证，即证.
因为，，，，
所以，
于是.
8．（2025·广东佛山·三模）设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解法1：的面积，解得，
因此左右焦点坐标为，
，因此，
故椭圆的标准方程为；
解法2：的面积，解得，即①
把代入椭圆有②
①②联立解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）解法1：设直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程
，消去得，
因此③，
由于，因此，即，
于是，整理得，
代入③得，即，因此，
因此直线一定过，
由得直线方程为，
联立直线与椭圆方程，消去，解得：，
因此的面积
；
解法2：由于，因此，
因为，即，因此，
直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程，解得，
因此直线的方程为，故的坐标，
因此的面积
.
9．（2025·北京海淀·三模）椭圆的左、右焦点分别为，点P为椭圆E上动点．当P点在长轴端点时， ；当P点在短轴端点时，．过作直线的垂线，过作直线的垂线，直线的交点为Q．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若四边形为平行四边形，求平行四边形的面积；
(3)若点P在第一象限，点Q在椭圆E上，求点P坐标．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【解析】（1）由题意，当P点在长轴端点时，取，则 ①，
当P点在短轴端点时，取，则 ②，
由②得，故代入①，可得，，
故椭圆E的标准方程为.
（2）
如图1，若四边形为平行四边形，又，则，即为矩形，
设，则，又，则，
于是，故平行四边形的面积为.
（3）
如图2，设，则，且，
因且，故，则；
因，则因，故，则.
由联立解得：，
因点Q在椭圆E上，则得，将代入化简得：，
解得，，即点P坐标为.
10．（2025·广西柳州·模拟预测）圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点作互相垂直的两条直线与曲线相交于两点，与曲线相交于两点，线段的中点分别为M，N．
（ⅰ）试问直线MN是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最小值.
【答案】(1)；
(2)（i）是，定点为；（ii）.
【解析】（1）设圆心为，则半径为，所以圆的方程为：，
令得，令得或（舍去），
所以，所以的方程为；
（2）（ⅰ）由题意有直线的斜率存在，设直线的方程为，则直线的方程为，
所以，所以，
设，所以，，
又，所以，同理得，
所以，
所以直线的方程为：，
化简整理有：，令，得，即，
所以直线过定点；
（ⅱ）由（ⅰ）有，，直线的方程为，
所以，
点到直线的距离为，
所以面积为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最小值为.
11．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AP，AQ的斜率之和；
(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由双曲线的左顶点，则，
由双曲线的渐近线，则，即，
所以双曲线.
（2）设，由，已知直线斜率存在，
则直线方程可设为，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
联立，消去可得，
由，则，，
又因为，，所以
，代入，，
可得，
所以直线的斜率之和为.
（3）设，，，
联立，解得，同理可得，
联立，解得，同理可得，
所以，，
因为，所以为外接圆的切线，且，
所以，由，，
则化简可得，当时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为椭圆上一点，的离心率为．
(1)求的方程；
(2)已知，若过点的直线交于另一点，且．
（ⅰ）若在第一象限，求直线的斜率；
（ⅱ）求的方程．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】（1）由点在椭圆上，得，
由的离心率为，得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）设直线的倾斜角为，则，
，解得，
所以直线的斜率为.
（ⅱ）显然直线的斜率存在，设其方程为，
由消去得：，则点，
由，得，解得，
，，
而，
则，整理得，解得，
所以直线的方程为.
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