资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台专题10 平面向量知识点一 坐标运算1．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则【答案】【解析】，因为，则，则，解得.则，则.故答案为：.2．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：（m/s）），则真风为（ ）级数 名称 风速大小（单位：m/s)2 轻风 1.6~3.33 微风 3.4~5.44 和风 5.5~7.95 劲风 8.0~10.7A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风【答案】A【解析】由题意及图得，视风风速对应的向量为：，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：，∴，，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A.1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因为，所以，所以即，故，故选：D.2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C【解析】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.3．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．【答案】15【解析】，，解得．故答案为：15．1．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】向量满足，所以.故选：B2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，则，，所以.故选：B.3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．4．（2023·上海·高考真题）已知,，求【答案】4【解析】由题意得故答案为：4知识点二 数量积1．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则【答案】 ；【解析】如图，因为，所以，所以．因为D为线段的中点，所以；又因为，所以，，所以所以，所以．故答案为：；.1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.2．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．【答案】【解析】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.知识点三 取值范围1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故选：D.1．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．【答案】【解析】若，则，又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；故.不妨设，则，不妨设，，则，则，则，由，，则，故.故答案为：.2．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．【答案】【解析】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.2．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．【答案】【解析】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故答案为：；. 知识点一 坐标运算1．（2025·湖北·模拟预测）已知向量，若，则（ ）A．8 B．4 C．2 D．【答案】A【解析】，由得，解得．故选：A．2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量，，若，则y的值为（ ）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由，则，解得.故选：D.3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量则在上的投影向量为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】因，则，，故在上的投影向量为.故选：D.4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以. 故选：C.5．（2025·四川广安·模拟预测）已知向量，，若向量满足且，则向量的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，根据题意有：， 解方程组得： ，因此.故选：A.6．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则向量，则在的投影向量为，故选:A．7．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，......故选：C.知识点二 数量积1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，则，解得，于是，故.故选：B2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量满足，，则（ ）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【解析】因为，，所以，可得，则.故选：D.3．（2025·甘肃白银·二模）已知，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选：A.4．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（ ）A． B．C．8 D．【答案】A【解析】由已知条件可知，，因此．故．故选：A5．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知为的高，且，则（ ）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】因为为的高，所以,故选：A.6．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，以所在直线为轴，为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，由题意可得，，，，则，设，由得，，所以所以，所以，所以.故选：A.知识点三 取值范围1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（ ）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】由题意，可得，故，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故选：A2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，是单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】因为，是单位向量，且，所以，又因为，所以，设，，，则，所以，因为，所以，可得，化简得，配方得，表示以为圆心，为半径的圆，圆心到原点的距为，则的最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，即为.故选：B.3．（2025·四川广安·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故，而，则，；因为角， 设，，代入正弦定理化简得：，则由， 两边平方得展开计算得：，；由，则有，，则，则，因为，，，故，所以，即当且仅当，等号成立.故选：C.21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台专题10 平面向量知识点一 坐标运算1．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则2．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：（m/s）），则真风为（ ）级数 名称 风速大小（单位：m/s)2 轻风 1.6~3.33 微风 3.4~5.44 和风 5.5~7.95 劲风 8.0~10.7A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）A． B． C．1 D．22．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件3．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．1．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）A． B． C．0 D．12．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（ ）A． B． C． D．3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）A． B．C． D．4．（2023·上海·高考真题）已知,，求知识点二 数量积1．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）A． B． C． D．12．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）A． B． C． D．2．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）A． B．3 C． D．53．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．知识点三 取值范围1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．1．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．2．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）A． B．C． D．2．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．知识点一 坐标运算1．（2025·湖北·模拟预测）已知向量，若，则（ ）A．8 B．4 C．2 D．2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量，，若，则y的值为（ ）A． B． C．2 D．3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量则在上的投影向量为（ ）A． B．C． D．4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若，则（ ）A． B． C． D．5．（2025·四川广安·模拟预测）已知向量，，若向量满足且，则向量的坐标为（ ）A． B． C． D．6．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）A． B． C． D．7．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（ ）A． B． C． D．知识点二 数量积1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（ ）A． B． C． D．2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量满足，，则（ ）A．4 B．2 C．1 D．3．（2025·甘肃白银·二模）已知，若，则（ ）A． B． C． D．4．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（ ）A． B．C．8 D．5．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知为的高，且，则（ ）A． B．2 C． D．6．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）A． B． C． D．知识点三 取值范围1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（ ）A．2 B．1 C． D．2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，是单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ）A．2 B． C． D．13．（2025·四川广安·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（ ）A． B． C． D．21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题10 平面向量（原卷版）.docx 专题10 平面向量（解析版).docx
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