1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第一册

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1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第一册

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第2课时 共线向量与共面向量
1.下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是(  )
A.+= B.-=
C.= D.||=||
2.若向量a,b,c不共面,则下列选项中的三个向量不共面的是(  )
A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c
C.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a
3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是(  )
A.有相同起点的向量 B.等长的向量
C.共面向量 D.不共面向量
4.已知O是平面内任意一点,α是任意角,则下列等式一定可以判定A,B,C三点共线的是(  )
A.=sin α+cos α B.=sin2α+cos2α
C.=sin α-cos α D.=sin2α-cos2α
5.(多选)下列命题是真命题的是(  )
A.若点A,B,C,D在一条直线上,则与是共线向量
B.若点A,B,C,D不在一条直线上,则与一定不是共线向量
C.若与是共线向量,则点A,B,C,D一定在一条直线上
D.若与是共线向量,则点A,B,C一定在一条直线上
6.(多选)(2024·杭州月考)下列条件中,点P与A,B,C三点一定共面的是(  )
A.=+
B.=++
C.=++
D.+++=0
7.已知空间向量e1,e2不共线,则使ke1+e2与e1+ke2共线的k=    .
8.(2024·佛山月考)设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则k=    .
9.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则和+的关系是    向量.(填“平行”“相等”或“相反”)
10.(2024·南平质检)如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c,在AC1上和BC上分别有一点M和N,且=k,=k,其中0≤k≤1.求证:,a,c共面.
11.给出下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中真命题的个数是(  )
A.0 B.1
C.2 D.3
12.(多选)若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则结论正确的有(  )
A.P∈直线AB B.P 直线AB
C.O,A,B,P四点共面 D.P,A,B三点共线
13.(2024·龙岩月考)已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不同为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n=    .
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,证明:A1,G,C三点共线.
15.(2024·济南月考)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心,点P为正方体表面及其内部的点,若点P满足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,则满足条件的所有点P构成的图形的面积是    .
16.如图所示,已知A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面.
第2课时 共线向量与共面向量
1.C 对于空间中的任意向量,都有+=,选项A错误;若-=,则+=,而+=,据此可知=,即B,C两点重合,选项B错误;=,则A,B,C三点共线,选项C正确;||=||,则线段AB的长度与线段BC的长度相等,不一定有A,B,C三点共线,选项D错误.故选C.
2.C 向量a,b,c不共面,A项,b-c=2b-(b+c),因此三个向量共面;B项,a+b+c=(a+b)+c,因此三个向量共面;C项,若a+b,a-c,c共面,则存在实数s,t,使得a+b=s(a-c)+tc,故b=(s-1)a+(t-s)c,这与a,b,c不共面矛盾,故三个向量不共面;D项,a-b=2a-(a+b),因此三个向量共面.故选C.
3.C 如图所示,向量,,显然不是有相同起点的向量,A不正确;由该平行六面体不一定是正方体可知,这三个向量不一定是等长的向量,B不正确;又因为-==,所以,,共面,C正确,D不正确.故选C.
4.B =x+y中,当x+y=1时,A,B,C三点共线.因为sin2α+cos2α=1,所以选项B可以判定A,B,C三点共线.
5.AD 对选项A,由点A,B,C,D在一条直线上,可得,的方向相同或相反,所以与一定是共线向量,故A为真命题;对选项B,由点A,B,C,D不在一条直线上,则,的方向不确定,所以不能判断与是否为共线向量,故B为假命题;对选项C,,两向量所在的直线是否有公共点不确定,所以四点不一定在同一条直线上,故C为假命题;对选项D,由,两向量所在的直线至少有一个公共点A,且与是共线向量,所以三点一定共线,故D为真命题.故选A、D.
6.AB 由=+得点A,B,C共线,故P,A,B,C共面;对于B,++=1,故P,A,B,C共面;对于C、D,显然不满足,故C、D错误.故选A、B.
7.±1 解析:若ke1+e2,e1+ke2共线,则ke1+e2=λ(e1+ke2),又由e1,e2不共线,得解得k=±1.
8.-8 解析:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,∵A,B,D三点共线,∴与共线,即存在λ∈R,使得=λ.∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2.∵e1,e2不共线,∴解得k=-8.
9.平行 解析:如图,取AC的中点G,连接EG,GF,则=+=+=(+),所以2=+,从而∥(+).
10.证明:因为=k=kb+kc,=+=a+k=a+k(-a+b)=(1-k)a+kb,
所以=-=(1-k)a+kb-kb-kc=(1-k)a-kc.
由共面向量定理可知,,a,c共面.
11.B ①显然是真命题;||a|-|b||=|a+b|或|a|+|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,故②是假命题;对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),当且仅当x+y+z=1时,P,A,B,C四点共面,故③是假命题.
12.ACD 因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,即-=n(-),即=n,所以与共线.又,有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈直线AB.因为=m+n,故O,A,B,P四点共面.故选A、C、D.
13.0 解析:∵A,B,C三点共线,∴存在实数k,使得=k,∵=-,=-,∴-=k(-),化简整理得-(k+1)+k=0.∵λ+m+n=0,①当k=-1时,比较系数得m=0且λ=-n,∴λ+m+n=0;②当k=0时,比较系数得n=0,λ=-m,∴λ+m+n=0;③当k≠0且k≠-1时,可得==,得m=(-k-1)λ,n=kλ.由此可得λ+m+n=λ+(-k-1)λ+kλ=0,综上所述,λ+m+n=0.
14.证明:连接GB,GD,GC1(图略),
因为=++=++.
又G为△BC1D的重心,所以++=0,
又=+,
=+,
=+,
所以3=++,
即=(++)=,
所以∥,即A1,G,C三点共线.
15. 解析:因为点P满足=m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以A,M,N,P四点共面,又因为点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,连接MN,AB1,则MN∥AB1,所以△AB1C即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面,故P点可以是正方体表面上线段AB1,B1C,AC上及其围成的三角形内部的点.所以所有点P构成的图形的面积为×××sin 60°=.
16.证明:连接MN,NP,PQ,NQ(图略).易知=,=,
∴=2,=2.
=(+)=(+++)=(+).(*)
∵A,B,C三点共线及A1,B1,C1三点共线,
∴存在实数λ,ω,使得=λ=2λ,=ω=2ω,
代入(*)式,得=(2λ+2ω)=λ+ω,
∴=λ+(ω+1),∴,,共面.
又,,过同一点N,
∴M,N,P,Q四点共面.
2 / 2第2课时 共线向量与共面向量
李老师下班回家,先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m,再向东行驶1 500 m,最后乘电梯上升15 m到5楼的住处.在这个过程中,李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示).
【问题】 以上三个位移是同一个平面内的向量吗?为什么?
                      
                      
知识点一 共线向量
1.两个空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使    .
2.直线的方向向量
(1)定义:在直线l上取      ,把与向量a    的非零向量称为直线l的方向向量;
(2)空间直线的确定:空间直线可以由其上一点和它的      确定.
提醒 (1)0与空间任意向量a都是共线向量;(2)向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉,否则实数λ可能不唯一.
知识点二 共面向量
1.定义:如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l      ,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的    ,叫做共面向量.
2.向量共面的充要条件
如果两个向量a,b    ,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使      .
【想一想】
 向量共面是不是向量在同一平面内?
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若A,B,C三点共线,则与共线.(  )
(2)向量与向量是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上.(  )
(3)若p=xa+yb,则p与a,b共面.(  )
(4)若p与a,b共面,则p=xa+yb.(  )
2.已知非零空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(  )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
3.(2024·商丘月考)若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则(  )
A.m,n,p共线 B.m与p共线
C.n与p共线 D.m,n,p共面
题型一 空间向量共线问题
角度1 共线向量的证明
【例1】 如图,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,则与是否共线?
通性通法
判断两个非零向量共线的方法
  判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
角度2 三点共线的证明
【例2】 (2024·福州月考)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F在对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线.
通性通法
证明空间三点P,A,B共线的方法
(1)=λ(λ∈R);
(2)对空间任一点O,=+t(t∈R);
(3)对空间任一点O,=x+y(x+y=1).
【跟踪训练】
1.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k=    .
2.(2024·金华月考)如图所示,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且=,=.求证:四边形EFGH是梯形.
题型二 空间向量共面问题
角度1 空间向量共面的证明
【例3】 对于任意空间四边形ABCD,E,F分别是AB,CD的中点.试证:与,共面.
通性通法
  向量共面的判定方法:充分利用题目条件将其中一个向量表示成另两个不共线向量的线性组合,即若p=xa+yb(a,b不共线),则向量p,a,b共面.
角度2 四点共面的证明
【例4】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N∈AC,且AN∶NC=2∶1,求证:A1,B,N,M四点共面.
通性通法
四点共面的证明方法
(1)先证三向量共面,即=x+y,又三向量有公共点P,则P,A,B,C四点共面;
(2)若存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得对于空间中任一点O和不共线的三点A,B,C,有=x+y+z,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面.
【跟踪训练】
1.(2024·宁波质检)已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点.若由=++λ可确定点P与A,B,C共面,则λ=(  )
A. B.
C. D.
2.已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若点M满足=++.
(1)判断向量,,是否共面;
(2)判断M是否在平面ABC内.
1.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(  )
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量
2.下列命题中正确的是(  )
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面
C.若两个非零空间向量与满足+=0,则∥
D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
3.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(  )
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
4.已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,若点P分别满足下列关系,试判断点P是否与点A,B,C共面.
(1)+2=6-3;
(2)+=4-.
第2课时 共线向量与共面向量
【基础知识·重落实】
知识点一
1.a=λb 2.(1)非零向量a 平行
(2)方向向量
知识点二
1.平行或重合 向量
2.不共线 p=xa+yb
想一想
 提示:不一定,共面向量所在的直线可能相交、平行或异面.
自我诊断
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.A ∵=+=2a+4b=2,∴A,B,D三点共线.
3.D 由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又知m与n不共线,所以m,n,p共面.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:法一 ∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,
∴=++
=++. ①
又∵=+++
=-+--, ②
①+②得2=,
∴∥,即与共线.
法二 ∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,
∴=-=(+)-=(+)-(+)
=(-)=(-)=.
∴∥,即与共线.
【例2】 证明:设=a,=b,=c,
因为=2,=,
所以=,=,
所以==b,
=(-)=(+-)=a+b-c,
所以=-=a-b-c=.
又=++=-b-c+a=a-b-c,
所以=,又EF,EB有公共点E,所以E,F,B三点共线.
跟踪训练
1.1 解析:=++=(e1+ke2)+(5e1+4e2)+(e1+2e2)=7e1+(k+6)e2.设=λ,则7e1+(k+6)e2=λ(e1+ke2),∴解得k=1.
2.证明:∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴=,=,
则=-=-==(-)

=(-)=,
∴∥且||=||≠||.
又点F不在直线EH上,
∴四边形EFGH是梯形.
【例3】 证明:如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,则=++, ①
=++. ②
又E,F分别是AB,CD的中点,
故有=-,=-. ③
将③代入②中,并与①相加,
得2=+,
所以=+,
即与,共面.
【例4】 证明:设=a,=b,=c,则=b-a,
∵M为DD1的中点,∴=c-a.
又∵AN∶NC=2∶1,∴==(b+c).
∴=-=(b+c)-a=(b-a)+(c-a)=+.
∴,,为共面向量.
又三向量有相同的起点A1,∴A1,B,N,M四点共面.
跟踪训练
1.A ∵A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点,且由=++λ可确定点P与A,B,C共面,∴++λ=1,解得λ=.故选A.
2.解:(1)∵++=3,
∴-=(-)+(-),
∴=+=--,
∴向量,,共面.
(2)由(1)知向量,,共面,∵它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,∴M,A,B,C四点共面,即M在平面ABC内.
随堂检测
1.A 由共面向量定理可知,三个向量a,b,2a-b为共面向量.
2.C A中,若b=0,则a与c不一定共线;B中,共面向量的定义是平行于同一平面的向量,表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面;C中,因为+=0,所以=-,所以与共线,故∥正确;D中,若b=0,a≠0,则不存在唯一的实数λ,使a=λb.
3.A ∵+=+,∴=.∴∥且||=||.∴四边形ABCD为平行四边形.
4.解:(1)∵+2=6-3,
∴6=+2+3,
∴=++.
∵++=1,
∴点P与点A,B,C共面.
(2)∵+=4-,
∴=4--.
∵4-1-1≠1,∴点P与点A,B,C不共面.
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第2课时 
共线向量与共面向量
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
李老师下班回家,先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m,再向东
行驶1 500 m,最后乘电梯上升15 m到5楼的住处.在这个过程中,李老
师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图
所示).
【问题】 以上三个位移是同一个平面内的向量吗?为什么?
                                              
                                             
 
知识点一 共线向量
1. 两个空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量 a , b ( b ≠0), a ∥ b 的充要条件是存在实数
λ,使 .
a =λ b  
2. 直线的方向向量
(1)定义:在直线 l 上取 ,把与向量 a 的
非零向量称为直线 l 的方向向量;
(2)空间直线的确定:空间直线可以由其上一点和它的
确定.
提醒 (1)0与空间任意向量 a 都是共线向量;(2)向量共
线的充要条件中的 b ≠0不可去掉,否则实数λ可能不唯一.
非零向量 a  
平行 
方向向
量 
知识点二 共面向量
1. 定义:
如图,如果表示向量 a 的有向线段 所在的直线 OA 与直线 l
,那么称向量 a 平行于直线 l .如果直线 OA 平行于平面α
或在平面α内,那么称向量 a 平行于平面α.平行于同一个平面的
,叫做共面向量.

行或重合 

量 
2. 向量共面的充要条件
如果两个向量 a , b ,那么向量 p 与向量 a , b 共面的充
要条件是存在唯一的有序实数对( x , y ),使 .
不共线 
p = xa + yb  
【想一想】
 向量共面是不是向量在同一平面内?
提示:不一定,共面向量所在的直线可能相交、平行或异面.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若 A , B , C 三点共线,则 与 共线. ( √ )
(2)向量 与向量 是共线向量,则点 A , B , C , D 必在同一
条直线上. ( × )
(3)若 p = xa + yb ,则 p 与 a , b 共面. ( √ )
(4)若 p 与 a , b 共面,则 p = xa + yb . ( × )

×

×
2. 已知非零空间向量 a , b ,且 = a +2 b , =-5 a +6 b ,
=7 a -2 b ,则一定共线的三点是(  )
A. A , B , D B. A , B , C
C. B , C , D D. A , C , D
解析:  ∵ = + =2 a +4 b =2 ,∴ A , B , D 三点
共线.
3. (2024·商丘月考)若 a 与 b 不共线,且 m = a + b , n = a - b , p
= a ,则(  )
A. m , n , p 共线 B. m 与 p 共线
C. n 与 p 共线 D. m , n , p 共面
解析:  由于( a + b )+( a - b )=2 a ,即 m + n =2 p ,即 p
= m + n ,又知 m 与 n 不共线,所以 m , n , p 共面.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量共线问题
角度1 共线向量的证明
【例1】 如图,四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形,且不共面,
M , N 分别是 AC , BF 的中点,则 与 是否共线?
解:法一 ∵ M , N 分别是 AC , BF 的中点,且四边形 ABCD 和
ABEF 都是平行四边形,
∴ = + +
= + + . ①
又∵ = + + +
=- + - - , ②
①+②得2 = ,
∴ ∥ 共线.
法二 ∵ M , N 分别是 AC , BF 的中点,且四边形 ABCD 和 ABEF 都
是平行四边形,
∴ = - = + )- = + )-
+ )
= - )= - )= .
∴ ∥ 共线.
通性通法
判断两个非零向量共线的方法
  判断或证明两向量 a , b ( b ≠0)共线,就是寻找实数λ,使 a =
λ b 成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标
向量化简或用同一组向量表达.
角度2 三点共线的证明
【例2】 (2024·福州月考)如图所示,在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1
中, E 在 A1 D1上,且 =2 , F 在对角线 A1 C 上,且 =
.求证: E , F , B 三点共线.
证明:设 = a , = b , = c ,
因为 =2 = ,
所以 = = ,
所以 = = b ,
= - )= + - )= a + b - c ,
所以 = - = a - b - c = .
又 = + + =- b - c + a = a - b - c ,
所以 = ,又 EF , EB 有公共点 E ,所以 E , F , B 三点共线.
通性通法
证明空间三点 P , A , B 共线的方法
(1) =λ (λ∈R);
(2)对空间任一点 O , = + t ( t ∈R);
(3)对空间任一点 O , = x + y ( x + y =1).
【跟踪训练】
1. 设 e1, e2是空间两个不共线的向量,已知 = e1+ ke2, =5 e1
+4 e2, =- e1-2 e2,且 A , B , D 三点共线,则实数 k
= .
解析: = + + =( e1+ ke2)+(5 e1+4 e2)+( e1+
2 e2)=7 e1+( k +6) e2.设 =λ ,则7 e1+( k +6) e2=λ
( e1+ ke2),∴解得 k =1.
1 
2. (2024·金华月考)如图所示,已知四边形 ABCD 是空间四边形,
E , H 分别是边 AB , AD 的中点, F , G 分别是边 CB , CD 上的
点,且 = , = .求证:四边形 EFGH 是梯形.
证明:∵ E , H 分别是 AB , AD 的中点,
∴ = = ,
则 = - = - =
= - )=
= - )= ,
∴ ∥ 且| |= | |≠| |.
又点 F 不在直线 EH 上,∴四边形 EFGH 是梯形.
题型二 空间向量共面问题
角度1 空间向量共面的证明
【例3】 对于任意空间四边形 ABCD , E , F 分别是 AB , CD 的中
点.试证: 与 , 共面.
证明:如图,在空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是
AB , CD 上的点,则 = + + , ①
= + + . ②
又 E , F 分别是 AB , CD 的中点,
故有 =- =- . ③
将③代入②中,并与①相加,
得2 = + ,
所以 = + ,
即 共面.
通性通法
  向量共面的判定方法:充分利用题目条件将其中一个向量表示成
另两个不共线向量的线性组合,即若 p = xa + yb ( a , b 不共线),
则向量 p , a , b 共面.
角度2 四点共面的证明
【例4】 如图,在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中, M 为 DD1的中点, N
∈ AC ,且 AN ∶ NC =2∶1,求证: A1, B , N , M 四点共面.
证明:设 = a , = b , = c ,则 = b - a ,
∵ M 为 DD1的中点,∴ = c - a .
又∵ AN ∶ NC =2∶1,∴ = = ( b + c ).
∴ = - = ( b + c )- a = ( b - a )+ ( c - a )
= + .
∴ 为共面向量.
又三向量有相同的起点 A1,∴ A1, B , N , M 四点共面.
通性通法
四点共面的证明方法
(1)先证三向量共面,即 = x + y ,又三向量有公共点 P ,
则 P , A , B , C 四点共面;
(2)若存在唯一的有序实数组( x , y , z ),使得对于空间中任一
点 O 和不共线的三点 A , B , C ,有 = x + y + z ,
且 x + y + z =1成立,则 P , A , B , C 四点共面.
【跟踪训练】
1. (2024·宁波质检)已知 A , B , C 三点不共线, O 是平面 ABC 外一
点.若由 = + +λ 可确定点 P 与 A , B , C 共面,则λ
=(  )
解析:  ∵ A , B , C 三点不共线, O 是平面 ABC 外一点,且由
= + +λ 可确定点 P 与 A , B , C 共面,∴ + +λ
=1,解得λ= .故选A.
2. 已知 A , B , C 三点不共线, O 为平面 ABC 外一点,若点 M 满足
= + + .
(1)判断向量 , , 是否共面;
解: ∵ + + =3 ,
∴ - =( - )+( - ),
∴ = + =- - ,
∴向量 共面.
(2)判断 M 是否在平面 ABC 内.
解:由(1)知向量 共面,∵它们有共同的起
点 M ,且 A , B , C 三点不共线,∴ M , A , B , C 四点共
面,即 M 在平面 ABC 内.
1. 对于空间的任意三个向量 a , b ,2 a - b ,它们一定是(  )
A. 共面向量 B. 共线向量
C. 不共面向量 D. 既不共线也不共面的向量
解析:  由共面向量定理可知,三个向量 a , b ,2 a - b 为共
面向量.
2. 下列命题中正确的是(  )
A. 若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线
B. 向量 a , b , c 共面,即它们所在的直线共面
D. 若 a ∥ b ,则存在唯一的实数λ,使 a =λ b
解析:  A中,若 b =0,则 a 与 c 不一定共线;B中,共面向量的
定义是平行于同一平面的向量,表示这些向量的有向线段所在的直
线不一定共面;C中,因为 + =0,所以 =- ∥ 正确;D中,若 b =0, a ≠0,则不存在
唯一的实数λ,使 a =λ b .
3. 设有四边形 ABCD , O 为空间任意一点,且 + = + ,
则四边形 ABCD 是(  )
A. 平行四边形 B. 空间四边形
C. 等腰梯形 D. 矩形
解析:  ∵ + = + ,∴ = .∴ ∥ 且|
|=| |.∴四边形 ABCD 为平行四边形.
4. 已知 A , B , C 三点不共线,点 O 是平面 ABC 外的任意一点,若点
P 分别满足下列关系,试判断点 P 是否与点 A , B , C 共面.
(1) +2 =6 -3 ;
解:∵ +2 =6 -3 ,
∴6 = +2 +3 ,
∴ = + + .
∵ + + =1,
∴点 P 与点 A , B , C 共面.
(2) + =4 - .
解:∵ + =4 - ,
∴ =4 - - .
∵4-1-1≠1,∴点 P 与点 A , B , C 不共面.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列条件,能说明空间不重合的 A , B , C 三点共线的是(  )
解析:  对于空间中的任意向量,都有 + = ,选项A错
误;若 - = + = + =
= ,即 B , C 两点重合,选项B错误; =
,则 A , B , C 三点共线,选项C正确;| |=| |,则
线段 AB 的长度与线段 BC 的长度相等,不一定有 A , B , C 三点共
线,选项D错误.故选C.
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2. 若向量 a , b , c 不共面,则下列选项中的三个向量不共面的是
(  )
A. b - c , b , b + c B. a + b , c , a + b + c
C. a + b , a - c , c D. a - b , a + b , a
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解析:  向量 a , b , c 不共面,A项, b - c =2 b -( b + c ),
因此三个向量共面;B项, a + b + c =( a + b )+ c ,因此三个向
量共面;C项,若 a + b , a - c , c 共面,则存在实数 s , t ,使得 a
+ b = s ( a - c )+ tc ,故 b =( s -1) a +( t - s ) c ,这与 a ,
b , c 不共面矛盾,故三个向量不共面;D项, a - b =2 a -( a +
b ),因此三个向量共面.故选C.
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3. 在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中,向量 , , 是(  )
A. 有相同起点的向量 B. 等长的向量
C. 共面向量 D. 不共面向量
解析:  如图所示,向量 显
然不是有相同起点的向量,A不正确;由该平
行六面体不一定是正方体可知,这三个向量不
一定是等长的向量,B不正确;又因为 -
= = 共
面,C正确,D不正确.故选C.
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4. 已知 O 是平面内任意一点,α是任意角,则下列等式一定可以判定
A , B , C 三点共线的是(  )
解析:   = x + y 中,当 x + y =1时, A , B , C
三点共线.因为 sin 2α+ cos 2α=1,所以选项B可以判定 A ,
B , C 三点共线.
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5. (多选)下列命题是真命题的是(  )
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解析:  对选项A,由点 A , B , C , D 在一条直线上,可得
一定是共线向量,故A为
真命题;对选项B,由点 A , B , C , D 不在一条直线上,则 是否为共线向量,故B为
假命题;对选项C, 两向量所在的直线是否有公共点不确
定,所以四点不一定在同一条直线上,故C为假命题;对选项D,
由 两向量所在的直线至少有一个公共点 A ,且 是
共线向量,所以三点一定共线,故D为真命题.故选A、D.
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6. (多选)(2024·杭州月考)下列条件中,点 P 与 A , B , C 三点一
定共面的是(  )
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解析:  由 = + 得点 A , B , C 共线,故 P , A ,
B , C 共面;对于B, + + =1,故 P , A , B , C 共面;对于
C、D,显然不满足,故C、D错误.故选A、B.
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7. 已知空间向量 e1, e2不共线,则使 ke1+ e2与 e1+ ke2共线的 k
= .
解析:若 ke1+ e2, e1+ ke2共线,则 ke1+ e2=λ( e1+ ke2),又由
e1, e2不共线,得解得 k =±1.
±1 
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8. (2024·佛山月考)设 e1, e2是空间两个不共线的向量,已知 =2
e1+ ke2, = e1+3 e2, =2 e1- e2,且 A , B , D 三点共线,
则 k = .
解析:由已知得 = - =(2 e1- e2)-( e1+3 e2)= e1-
4 e2,∵ A , B , D 三点共线,∴ 共线,即存在λ∈R,使得
=λ .∴2 e1+ ke2=λ( e1-4 e2)=λ e1-4λ e2.∵ e1, e2不共
线,∴解得 k =-8.
-8 
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9. 在空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB , CD 的中点,则 和
+ 的关系是 向量.(填“平行”“相等”或“相
反”)
解析:如图,取 AC 的中点 G ,连接 EG , GF ,则
= + = + = + ),所
以2 = + ∥( + ).
平行 
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10. (2024·南平质检)如图所示,已知斜三棱柱 ABC - A1 B1 C1
中, = a , = b , = c ,在 AC1上和 BC 上分别有一
点 M 和 N ,且 = k , = k ,其中0≤ k ≤1.求
证: , a , c 共面.
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证明:因为 = k = kb + kc , = + = a + k =
a + k (- a + b )=(1- k ) a + kb ,
所以 = - =(1- k ) a + kb - kb - kc =(1- k ) a -
kc .
由共面向量定理可知, , a , c 共面.
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11. 给出下列命题:①若 A , B , C , D 是空间任意四点,则有 +
+ + =0;②| a |-| b |=| a + b |是 a , b 共线的
充要条件;③对空间任意一点 O 与不共线的三点 A , B , C ,若
= x + y + z (其中 x , y , z ∈R),则 P , A , B ,
C 四点共面.其中真命题的个数是(  )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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解析:  ①显然是真命题;|| a |-| b ||=| a + b |或|
a |+| b |=| a + b |是 a , b 共线的充要条件,故②是假命
题;对空间任意一点 O 与不共线的三点 A , B , C ,若 = x
+ y + z (其中 x , y , z ∈R),当且仅当 x + y + z =1时,
P , A , B , C 四点共面,故③是假命题.
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12. (多选)若空间中任意四点 O , A , B , P 满足 = m + n
,其中 m + n =1,则结论正确的有(  )
A. P ∈直线 AB B. P 直线 AB
C. O , A , B , P 四点共面 D. P , A , B 三点共线
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解析:  因为 m + n =1,所以 m =1- n ,所以 =(1-
n ) + n - = n ( - = n
共线.又 有公共起点 A ,所以 P , A , B
三点在同一直线上,即 P ∈直线 AB . 因为 = m + n ,故
O , A , B , P 四点共面.故选A、C、D.
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13. (2024·龙岩月考)已知 A , B , C 三点共线,则对空间任一点
O ,存在三个不同为0的实数λ, m , n ,使λ + m + n =
0,那么λ+ m + n = .
0 
解析:∵ A , B , C 三点共线,∴存在实数 k ,使得 = k ,
∵ = - = - ,∴ - = k ( -
-( k +1) + k =0.∵λ + m
+ n =0,①当 k =-1时,比较系数得 m =0且λ=- n ,∴λ+
m + n =0;②当 k =0时,比较系数得 n =0,λ=- m ,∴λ+ m +
n =0;③当 k ≠0且 k ≠-1时,可得 = = ,得 m =(- k -
1)λ, n = k λ.由此可得λ+ m + n =λ+(- k -1)λ+ k λ=0,综
上所述,λ+ m + n =0.
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14. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中, G 为△ BC1 D 的重心,证明: A1,
G , C 三点共线.
证明:连接 GB , GD , GC1(图略),
因为 = + + = + + .
又 G 为△ BC1 D 的重心,所以 + + =0,
又 = + , = + ,
= + ,所以3 = + + ,
即 = + + )= ,
所以 ∥ ,即 A1, G , C 三点共线.
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15. (2024·济南月考)在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中,点 M
和 N 分别是正方形 ABCD 和 BB1 C1 C 的中心,点 P 为正方体表面及
其内部的点,若点 P 满足 = m + n + k ,其中 m ,
n , k ∈R,且 m + n + k =1,则满足条件的所有点 P 构成的图形
的面积是 .
 
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解析:因为点 P 满足 = m + n +
k ,其中 m , n , k ∈R,且 m + n + k =1,
所以 A , M , N , P 四点共面,又因为点 M 和
N 分别是正方形 ABCD 和 BB1 C1 C 的中心,所以
CN = B1 N , AM = MC ,连接 MN , AB1,则 MN ∥ AB1,所以△ AB1 C 即为经过 A , M , N 三点的平面与正方体的截面,故 P 点可以是正方体表面上线段 AB1, B1 C , AC 上及其围成的三角形内部的点.所以所有点 P 构成的图形的面积为 × × × sin 60°= .
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16. 如图所示,已知 A , B , C 及 A1, B1, C1分别是异面直线 l1, l2上
的三点, M , N , P , Q 分别是线段 AA1, BA1, BB1, CC1的中
点.求证: M , N , P , Q 四点共面.
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证明:连接 MN , NP , PQ , NQ (图略).易知 =
= ,
∴ =2 =2 .
= + )= + + + )= +
).(*)
∵ A , B , C 三点共线及 A1, B1, C1三点共线,
∴存在实数λ,ω,使得 =λ =2λ =ω =2ω

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代入(*)式,得 = (2λ +2ω )=λ +ω ,
∴ =λ +(ω+1) ,∴ 共面.
又 过同一点 N ,
∴ M , N , P , Q 四点共面.
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谢 谢 观 看!

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