资源简介 1.1.2 空间向量的数量积运算1.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两直线的夹角为( )A.30° B.60°C.120° D.150°2.(2024·常州月考)已知|a|=1,且a-b与a垂直,且a与b的夹角为45°,则|b|=( )A.1 B.C.2 D.23.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC=( )A.6 B.6C.12 D.1444.(2024·临沂月考)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是( )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形5.(多选)设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题,其中正确的是( )A.(a·b)·c-(c·a)·b=0 B.|a|-|b|<|a-b|C.(b·a)·c-(c·a)·b一定不与c垂直 D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|26.(多选)(2024·镇江质检)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )A.2· B.2·C.2· D.2·7.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos<a,b>= .8.如图,空间四边形的各边和对角线长均相等,E是BC的中点,则·= ,· ·.(填“<”“=”或“>”)9.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在上的投影向量为 .10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点,求下列向量的数量积:(1)·;(2)·.11.(2024·许昌月考)已知a,b是异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是( )A.30° B.45°C.60° D.90°12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列说法,其中正确的有( )A.(++)2=3 B.·(-)=0C.与的夹角为60° D.正方体的体积为|··|13.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·(++)= .14.(2024·中山月考)如图,正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BD⊥PC;(2)求|+|的值.15.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为( )A.8 B.4 C.2 D.116.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时,求·的最大值.1.1.2 空间向量的数量积运算1.B 设向量a,b的夹角为θ,则cos θ==-,所以θ=120°,则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.2.B ∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos<a,b>=0.∴1-|b|×=0,解得|b|=.3.C 因为=++,所以=+++2·+2·+2·=36+36+36+2×36cos 60°=144,所以PC=12.4.B 因为+-2=(-)+(-)=+,所以(+)·(-)=||2-||2=0,所以||=||,即△ABC是等腰三角形.5.BD A项,∵(a·b)·c是表示与向量c共线的向量,而(c·a)·b是表示与向量b共线的向量,∴A错误;B项,∵a,b是两个不共线的向量,根据三角形任意两边之差小于第三边可得|a|-|b|<|a-b|,∴B正确;C项,∵[(b·a)·c-(c·a)·b]·c=(b·a)·c·c-(c·a)·b·c=0可能成立,∴C错误;D项,∵向量的运算满足平方差公式,∴(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2,∴D正确,故选B、D.6.BC 对于A,2·=2a2cos 120°=-a2,错误;对于B,2·=2·=2a2cos 60°=a2,正确;对于C,2·=·=a2,正确;对于D,2·=·=-·=-a2,错误.7. 解析:将|a-b|=两边平方,得(a-b)2=7.因为|a|=2,|b|=2,所以a·b=.又a·b=|a||b|·cos<a,b>,故cos<a,b>=.8.0 < 解析:由题易知AE⊥BC,所以·=0,而·=(+)·=·(-)+·=||·||·cos 120°-||·||·cos 120°+||·||·cos 120°<0,所以·<·.9. 解析:因为·=(++)·=0+6×6×+62=54,所以向量在上的投影向量为·=.10.解:如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)·=·(+)=b·[(c-a)+b]=|b|2=42=16.(2)·=(+)·(+)=·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.11.C ∵=++,∴·=(++)·=·++·=0+12+0=1,又||=2,||=1.∴cos<,>===.∵异面直线所成的角是锐角或直角,∴a与b所成的角是60°.12.AB 如图,(++)2=(++)2==3,故A正确;·(-)=·=(-++)·=0,故B正确;与的夹角是与夹角的补角,而△ACD1为正三角形,所以与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C错误;正方体的体积为||·||·||,故D错误.故选A、B.13. 解析:因为G为△ABC的重心,所以=+=+(+)=+[(-)+(-)]=++.因为棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,所以·=·=·=0,所以·(++)=(++)·(++)=++=×22+×32+×12=.14.解:(1)证明:∵=+,∴·=(+)·=·+·=||||cos 60°+||||cos 120°=a2-a2=0.∴BD⊥PC.(2)∵+=++,∴|+|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2,∴|+|=a.15.D ·=·(+)=+·,∵AB⊥平面BP2P8P6,∴⊥,∴·=0,∴·=||2=1,则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1.16.解:如图所示,设球心为O,连接PO,则当弦MN的长度最大时,MN为球的直径,由向量线性运算可知·=(+)·(+)=+·+·+·=+·(+)+·,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则球的半径为1,+=0,·=-1,所以+·(+)+·=-1,而||∈[1,],所以-1∈[0,2],即·∈[0,2],所以·的最大值为2.2 / 21.1.2 空间向量的数量积运算新课程标准解读 核心素养1.了解空间向量的夹角,掌握空间向量的数量积 数学抽象、数学运算2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 直观想象3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题 数学运算、逻辑推理 如果一个物体在力F的作用下产生位移S,那么力F所作的功W=F·S=|F||S|cos θ,为了在数学中体现“功”这样一个标量,我们引入了“数量积”的概念.【问题】 (1)空间向量的数量积的定义是什么?(2)空间向量数量积有哪些运算律?与平面向量数量积的运算律一样吗? 知识点一 空间向量的夹角1.如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则 叫做向量a,b的夹角,记作 .2.向量a,b的夹角<a,b>的范围是 ,如果<a,b>=,那么向量a,b互相 ,记作 .【想一想】1.当<a,b>=0和<a,b>=π时,向量a与b有什么关系?2.<a,b>,<-a,b>,<a,-b>,<-a,-b>,它们有什么关系?知识点二 空间向量的数量积1.定义:已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b= .2.性质:(1)当 a≠0,b≠0时 , a ⊥ b ;(2)a·a= = =a2;(3)a·e=|a|cos<a,e>(其中e为单位向量);(4)若a,b为非零向量,则cos<a,b>=;(5)特别地,零向量与任意向量的数量积为0.3.运算律:(1)(λa)·b= ,λ∈R;(2)交换律:a·b= ;(3)分配律:(a+b)·c= .提醒 (1)向量a,b的数量积记为a·b,而不能表示为a×b或ab;(2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法结合律,即a·b=a·c /b=c,(a·b)·c /a·(b·c).知识点三 投影向量作法 图形表示 符号表示向量a在向量b上的投影向量 将向量a,b(直线l)平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量c c=|a|·cos<a,b>向量a在直线l上的投影向量向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量【想一想】 在投影向量的公式中,是向量b的单位向量,可以省去吗?1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)零向量与任意向量的数量积为0.( )(2)向量a在向量b上的投影向量c=|a|cos<a,b>.( )(3)向量a在平面β上的投影是一个向量.( )2.已知空间向量a,b,|a|=2,|b|=,a·b=-2,则<a,b>= .3.(2024·济宁月考)如图所示,空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a,点E,F分别是AB,AD的中点,则·= .题型一 空间向量数量积的运算【例1】 如图,已知正四面体OABC的棱长为1.求:(1)·;(2)(+)·(+).通性通法求空间向量数量积的步骤(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清;(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角余弦值的乘积;(3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.【跟踪训练】1.(2024·扬州月考)如图,在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中,·=( )A.2 B.1 C.2 D.2.(2024·温州月考)已知向量a,b,|a|=6,|b|=8,<a,b>=120°,则a在b上的投影向量为 ,b在a上的投影向量为 .题型二 利用数量积解决夹角问题【例2】 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是 .通性通法利用数量积求夹角或其余弦值的步骤提醒 注意两向量的夹角与两异面直线所成角的区别.【跟踪训练】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,<,>=( )A.30° B.60° C.90° D.120°题型三 利用数量积求线段长度【例3】 已知正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,求EF的长.通性通法利用数量积求线段长度的步骤(1)将线段用向量表示;(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;(3)利用|a|=得所求长度.【跟踪训练】 (2024·宿迁月考)已知空间向量a,b,c两两夹角为60°,其模都为1,则|a-b+2c|=( )A. B.5 C.6 D.题型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OG⊥BC.通性通法利用数量积证明垂直问题的步骤(1)把几何问题转化为向量问题;(2)用已知向量表示所证向量;(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0;(4)将向量问题回归到几何问题.【跟踪训练】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量的夹角为45°的是( )A.与B.与C.与D.与2.已知单位向量a,b满足|a|=|a+b|,则(a+b)·b=( )A. B.1C. D.03.在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠ABC=,<,>=,PA=2,AB=1,BC=3,则PC=( )A. B.2C. D.14.如图,在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OA⊥BC.1.1.2 空间向量的数量积运算【基础知识·重落实】知识点一1.∠AOB <a,b> 2.[0,π] 垂直 a⊥b想一想1.提示:当<a,b>=0时,a与b同向;当<a,b>=π时,a与b反向.2.提示:<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>,<-a,-b>=<a,b>.知识点二1.|a||b|cos<a,b> |a||b|cos<a,b>2.(1)a·b=0 (2)|a||a|cos<a,a>|a|2 3.(1)λ(a·b) (2)b·a(3)a·c+b·c想一想 提示:不可以,因为投影向量是向量,不是数,用其表示该向量的方向,所以不可以省去.自我诊断1.(1)√ (2)× (3)√2. 解析:cos<a,b>==-,∴<a,b>=.3.-a2 解析:因为点E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以,的夹角为120°,所以·=||·||cos 120°=-a2.【典型例题·精研析】【例1】 解:在正四面体OABC中,||=||=||=1,<,>=<,>=<,>=60°.(1)·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=.(2)(+)·(+)=(+)·(-+-)=(+)·(+-2)=+2·-2·+-2·=12+2×-2×1×1×cos 60°+12-2×1×1×cos 60°=1+1-1+1-1=1.跟踪训练1.A 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥AD1,所以·=·=(+)·=·+·=0+×2×cos 45°=2.故选A.2.-b -a 解析:由题可得与向量a,b同方向的单位向量分别为,,由|a|=6,|b|=8,<a,b>=120°,根据投影向量的定义,则a在b上的投影向量为|a|cos<a,b>·==-b,b在a上的投影向量为|b|cos<a,b>==-a.【例2】 90° 解析:不妨设正三棱柱的棱长为2,∵=-,=+,∴cos<,>===0,故异面直线AB1和BM所成角的大小是90°.跟踪训练 B 不妨设正方体的棱长为1,则·=(+)·(+)=(+)·(+)=·++·+·=0++0+0==1,又∵||=,||=,∴cos<,>===,∴<,>=60°.【例3】 解:如图所示,设=a,=b,=c,由题意知|a|=|b|=|c|=2,且<a,b>=60°,<a,c>=<b,c>=90°.因为=++=-++=-a+b+c,所以||2=a2+b2+c2+2(-a·b+b·c-a·c)=×22+×22+22+2×(-)×2×2cos 60°=1+1+4-1=5,所以EF=.跟踪训练 A ∵|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,∴a·b=b·c=a·c=,a2=b2=c2=1,∴|a-b+2c|=====.【例4】 证明:连接ON(图略),设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,又设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|.又=(+)=[+(+)]=(a+b+c),=c-b.∴·=(a+b+c)·(c-b)=(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c)=(|a|2·cos θ-|a|2·cos θ-|a|2+|a|2)=0.∴⊥,即OG⊥BC.跟踪训练证明:在△ADB中,∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得,BD=AD,所以AD2+BD2=AB2,所以DA⊥BD,则·=0.由PD⊥底面ABCD,知PD⊥BD,则·=0.又=+,所以·=(+)·=·+·=0,即PA⊥BD.随堂检测1.A 与的夹角为45°.与的夹角为135°,与的夹角为90°,与的夹角为180°,故选A.2.D ∵a,b是单位向量,∴a2=b2=1.∵|a|=|a+b|,∴a2+2a·b+b2=1,故a·b=-,∴(a+b)·b=a·b+b2=-+=0.3.C 由已知得=++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=22+12+32+2×2×1×(-)+2×2×3×(-)+2×1×3×(-)=3,所以||=.故选C.4.证明:因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以△OAC≌△OAB,所以∠AOC=∠AOB.又·=·(-)=·-·=||·||cos ∠AOC-||·||·cos∠AOB=0,所以⊥,即OA⊥BC.5 / 5(共68张PPT)1.1.2 空间向量的数量积运算新课程标准解读 核心素养1.了解空间向量的夹角,掌握空间向量的数量积 数学抽象、数学运算2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 直观想象3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题 数学运算、逻辑推理目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 S ,那么力 F 所作的功 W= F · S =| F || S | cos θ,为了在数学中体现“功”这样一个标量,我们引入了“数量积”的概念.【问题】 (1)空间向量的数量积的定义是什么?(2)空间向量数量积有哪些运算律?与平面向量数量积的运算律一样吗? 知识点一 空间向量的夹角1. 如图,已知两个非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ,作 = a ,= b ,则 叫做向量 a , b 的夹角,记作 .∠ AOB < a , b> 2. 向量 a , b 的夹角< a , b >的范围是 ,如果< a , b >= ,那么向量 a , b 互相 ,记作 .[0,π] 垂直 a ⊥ b 【想一想】1. 当< a , b >=0和< a , b >=π时,向量 a 与 b 有什么关系?提示:当< a , b >=0时, a 与 b 同向;当< a , b >=π时, a 与 b反向.2. < a , b >,<- a , b >,< a ,- b >,<- a ,- b >,它们有什么关系?提示:<- a , b >=< a ,- b >=π-< a , b >,<- a ,- b>=< a , b >.知识点二 空间向量的数量积1. 定义:已知两个非零向量 a , b ,则 叫做 a , b 的数量积,记作 a · b .即 a · b = .2. 性质:(1)当 a≠0,b≠0时 , a ⊥ b ;(2) a · a = = = a2;(3) a · e =| a | cos < a , e >(其中 e 为单位向量);(4)若 a , b 为非零向量,则 cos < a , b >= ;(5)特别地,零向量与任意向量的数量积为0.| a || b | cos < a , b> | a || b | cos <a , b > a · b =0 | a || a | cos < a , a > | a |2 3. 运算律:(1)(λ a )· b = ,λ∈R;(2)交换律: a · b = ;(3)分配律:( a + b )· c = .提醒 (1)向量 a , b 的数量积记为 a · b ,而不能表示为 a ×b 或 ab ;(2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法结合律,即 a · b = a · c / b = c ,( a · b )· c / a ·( b · c ).λ( a · b ) b · a a · c + b · c 知识点三 投影向量作法 图形表示 符号表示向量 a 在向量 b上的投影向量 将向量 a , b (直线l )平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量 b (直线 l 的方向向量)共线的向量 c向量 a 在直线 l上的投影向量 作法 图形表示 符号表示向量 a 在平面β上的投影向量【想一想】在投影向量的公式中, 是向量 b 的单位向量,可以省去吗?提示:不可以,因为投影向量是向量,不是数,用其表示该向量的方向,所以不可以省去.1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)零向量与任意向量的数量积为0. ( √ )(2)向量 a 在向量 b 上的投影向量 c =| a | cos < a , b >.( × )(3)向量 a 在平面β上的投影是一个向量. ( √ )√×√2. 已知空间向量 a , b ,| a |=2,| b |= , a · b =-2,则<a , b >= .解析: cos < a , b >= =- ,∴< a , b >= . 3. (2024·济宁月考)如图所示,空间四边形 ABCD 每条边和对角线长都为 a ,点 E , F 分别是 AB , AD 的中点,则 · = .- a2 解析:因为点 E , F 分别是 AB , AD 的中点,所以 EF ∥ BD ,所以的夹角为120°,所以 · =| |·| | cos 120°=- a2.典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 空间向量数量积的运算【例1】 如图,已知正四面体 OABC 的棱长为1.求:(1) · ;解:在正四面体 OABC 中,| |=| |=| |=1,< >=< >=< >=60°.(1) · =| || | cos ∠ AOB =1×1× cos 60°= .(2)( + )·( + ).解:( + )·( + )=( + )·( - + - )=( + )·( + -2 )= +2 · -2 · + -2 ·=12+2× -2×1×1× cos 60°+12-2×1×1× cos 60°=1+1-1+1-1=1.通性通法求空间向量数量积的步骤(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清;(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角余弦值的乘积;(3)代入 a · b =| a || b | cos < a , b >求解.【跟踪训练】1. (2024·扬州月考)如图,在棱长为 的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中, · =( )A. 2 B. 1解析: 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中, AB ⊥平面 AA1 D1 D ,所以 AB ⊥ AD1,所以 · = · =( + )· =· + · =0+ ×2× cos 45°=2.故选A. - b - a 解析:由题可得与向量 a , b 同方向的单位向量分别为,由| a |=6,| b |=8,< a , b >=120°,根据投影向量的定义,则 a 在 b 上的投影向量为| a | cos < a , b >· ==- b , b 在 a 上的投影向量为| b | cos < a , b > ==- a .题型二 利用数量积解决夹角问题【例2】 如图,已知正三棱柱 ABC - A1 B1 C1的各棱长都相等, M 是侧棱 CC1的中点,则异面直线 AB1和 BM 所成角的大小是 .90° 解析:不妨设正三棱柱的棱长为2,∵ = - = +,∴ cos < >= ==0,故异面直线 AB1和 BM 所成角的大小是90°.通性通法利用数量积求夹角或其余弦值的步骤提醒 注意两向量的夹角与两异面直线所成角的区别.【跟踪训练】 如图,在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中,< , >=( )A. 30° B. 60°C. 90° D. 120°解析: 不妨设正方体的棱长为1,则 · =( +)·( + )=( + )·( + )= · ++ · + · =0+ +0+0= =1,又∵||= ,| |= ,∴ cos < >= == ,∴< >=60°.题型三 利用数量积求线段长度【例3】 已知正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱) ABC - A1 B1 C1的各棱长都为2, E , F 分别是 AB , A1 C1的中点,求 EF 的长.解:如图所示,设 = a , = b , = c ,由题意知| a |=| b |=| c |=2,且< a , b >=60°,< a , c >=< b , c >=90°.因为 = + + =- + + =- a + b + c ,所以| |2= a2+ b2+ c2+2(- a · b + b · c - a · c )= ×22+ ×22+22+2×(- )×2×2 cos 60°=1+1+4-1=5,所以 EF = .通性通法利用数量积求线段长度的步骤(1)将线段用向量表示;(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;(3)利用| a |= 得所求长度.【跟踪训练】 (2024·宿迁月考)已知空间向量 a , b , c 两两夹角为60°,其模都为1,则| a - b +2 c |=( )B. 5C. 6解析: ∵| a |=| b |=| c |=1,< a , b >=< b , c >=< c , a >=60°,∴ a · b = b · c = a · c = , a2= b2= c2=1,∴| a -b +2 c |= == = = .题型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 已知空间四边形 OABC 中,∠ AOB =∠ BOC =∠ AOC ,且OA = OB = OC , M , N 分别是 OA , BC 的中点, G 是 MN 的中点,求证: OG ⊥ BC .证明:连接 ON (图略),设∠ AOB =∠ BOC =∠ AOC =θ,又设 = a , = b , = c ,则| a |=| b |=| c |.又 = + )== ( a + b + c ), = c - b .∴ · = ( a + b + c )·( c - b )= ( a · c - a · b + b · c - b2+ c2- b · c )= (| a |2· cos θ-| a |2· cos θ-| a |2+| a |2)=0.∴ ⊥ ,即 OG ⊥ BC .通性通法利用数量积证明垂直问题的步骤(1)把几何问题转化为向量问题;(2)用已知向量表示所证向量;(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0;(4)将向量问题回归到几何问题.【跟踪训练】如图所示,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ DAB=60°, AB =2 AD , PD ⊥底面 ABCD . 求证: PA ⊥ BD .证明:在△ ADB 中,∠ DAB =60°, AB =2 AD ,由余弦定理得, BD = AD ,所以 AD2+ BD2= AB2,所以 DA ⊥ BD ,则 · =0.由 PD ⊥底面 ABCD ,知 PD ⊥ BD ,则 · =0.又 = + ,所以 · =( + )· = · + · =0,即 PA ⊥BD .1. 如图所示,在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中,下列各组向量的夹角为45°的是( )解析:A 的夹角为45°. 的夹角为135°,的夹角为90°, 的夹角为180°,故选A.2. 已知单位向量 a , b 满足| a |=| a + b |,则( a + b )· b =( )B. 1D. 0解析: ∵ a , b 是单位向量,∴ a2= b2=1.∵| a |=| a +b |,∴ a2+2 a · b + b2=1,故 a · b =- ,∴( a + b )· b = a · b+ b2=- + =0.3. 在三棱锥 P - ABC 中,∠ PAB =∠ ABC = ,< , >= ,PA =2, AB =1, BC =3,则 PC =( )B. 2D. 1解析: 由已知得 = + + ,所以| |2=( ++ )2=| |2+| |2+| |2+2 · +2· +2 · =22+12+32+2×2×1×(- )+2×2×3×(-)+2×1×3×(- )=3,所以| |= .故选C.4. 如图,在空间四边形 OABC 中, OB = OC , AB = AC ,求证: OA ⊥ BC .证明:因为 OB = OC , AB = AC , OA = OA ,所以△ OAC ≌△ OAB ,所以∠ AOC =∠ AOB .又 · = ·( - )= · - · =| |·|| cos ∠ AOC -| |·| |· cos ∠ AOB =0,所以 ⊥ ,即 OA ⊥ BC .知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 已知两异面直线的方向向量分别为 a , b ,且| a |=| b |=1,a · b =- ,则两直线的夹角为( )A. 30° B. 60°C. 120° D. 150°解析:B 设向量 a , b 的夹角为θ,则 cos θ= =- ,所以θ=120°,则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.123456789101112131415162. (2024·常州月考)已知| a |=1,且 a - b 与 a 垂直,且 a 与 b 的夹角为45°,则| b |=( )A. 1D. 2解析: ∵ a - b 与 a 垂直,∴( a - b )· a =0,∴ a · a - a · b=| a |2-| a || b | cos < a , b >=0.∴1-| b |× =0,解得| b |= .123456789101112131415163. 如图,已知 PA ⊥平面 ABC ,∠ ABC =120°, PA = AB = BC =6,则 PC =( )B. 6C. 12 D. 144解析: 因为 = + + = + ++2 · +2 · +2 · =36+36+36+2×36 cos 60°=144,所以 PC =12.123456789101112131415164. (2024·临沂月考)设平面上有四个互异的点 A , B , C , D ,已知( + -2 )·( - )=0,则△ ABC 是( )A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形解析: 因为 + -2 =( - )+( - )= + + )·( - )=| |2-||2=0,所以| |=| |,即△ ABC 是等腰三角形.123456789101112131415165. (多选)设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题,其中正确的是( )A. ( a · b )· c -( c · a )· b =0B. | a |-| b |<| a - b |C. ( b · a )· c -( c · a )· b 一定不与 c 垂直D. (3 a +2 b )·(3 a -2 b )=9| a |2-4| b |212345678910111213141516解析: A项,∵( a · b )· c 是表示与向量 c 共线的向量,而( c · a )· b 是表示与向量 b 共线的向量,∴A错误;B项,∵ a , b是两个不共线的向量,根据三角形任意两边之差小于第三边可得|a |-| b |<| a - b |,∴B正确;C项,∵[( b · a )· c -( c · a )· b ]· c =( b · a )· c · c -( c · a )· b · c =0可能成立,∴C错误;D项,∵向量的运算满足平方差公式,∴(3 a +2 b )·(3 a -2b )=9| a |2-4| b |2,∴D正确,故选B、D.123456789101112131415166. (多选)(2024·镇江质检)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为 a ,点 E , F , G 分别是 AB , AD , DC 的中点,则下列向量的数量积等于 a2的是( )12345678910111213141516解析: 对于A,2 · =2 a2 cos 120°=- a2,错误;对于B,2 · =2 · =2 a2 cos 60°= a2,正确;对于C,2· = · = a2,正确;对于D,2 · = · =-· =- a2,错误.123456789101112131415167. 已知 a , b 是空间两个向量,若| a |=2,| b |=2,| a - b |= ,则 cos < a , b >= .解析:将| a - b |= 两边平方,得( a - b )2=7.因为| a |=2,| b |=2,所以 a · b = .又 a · b =| a || b |· cos < a , b >,故 cos < a , b >= . 123456789101112131415168. 如图,空间四边形的各边和对角线长均相等, E 是 BC 的中点,则· = , · · .(填“<”“=”或“>”)0 < 12345678910111213141516解析:由题易知 AE ⊥ BC ,所以 · =0,而 · =( +)· = ·( - )+ · =| |·| |· cos120°-| |·| |· cos 120°+ | |·| |· cos 120°<0,所以 · < · .123456789101112131415169. 如图,已知 PA ⊥平面 ABC ,∠ ABC =120°, PA = AB = BC =6,则向量 在 上的投影向量为 .解析:因为 · =( + + )· =0+6×6× +62=54,所以向量 · = . 1234567891011121314151610. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中, AB = AA1=2, AD =4, E 为侧面AA1 B1 B 的中心, F 为 A1 D1的中点,求下列向量的数量积:(1) · ;解:如图,设 = a , = b , =c ,则| a |=| c |=2,| b |=4, a · b= b · c = c · a =0.(1) · = ·( + )= b ·[ ( c - a )+b ]=| b |2=42=16.12345678910111213141516(2) · .解: · =( + )·( + )=·( a + c )=| c |2-| a |2=22-22=0.1234567891011121314151611. (2024·许昌月考)已知 a , b 是异面直线,点 A , B ∈ a ,点 C ,D ∈ b , AC ⊥ b , BD ⊥ b ,且 AB =2, CD =1,则 a 与 b 所成的角是( )A. 30° B. 45°C. 60° D. 90°12345678910111213141516解析: ∵ = + + ,∴ · =( + +)· = · + + · =0+12+0=1,又| |=2,| |=1.∴ cos < >= = = .∵异面直线所成的角是锐角或直角,∴ a 与 b 所成的角是60°.1234567891011121314151612. (多选)在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中,有下列说法,其中正确的有( )12345678910111213141516解析: 如图,( + + )2=( + + )2= =3 ,故A正确; ·( - )= · =(-+ + )· =0,故B正确; 夹角的补角,而△ ACD1为正三角形,所以 的夹角为60°,故 的夹角为120°,故C错误;正方体的体积为| |·| |·| |,故D错误.故选A、B.1234567891011121314151613. 在四面体 OABC 中,棱 OA , OB , OC 两两垂直,且 OA =1, OB=2, OC =3, G 为△ ABC 的重心,则 ·( + + )= . 12345678910111213141516解析:因为 G 为△ ABC 的重心,所以 = + = ++ )= + - )+( - )]= ++ .因为棱 OA , OB , OC 两两垂直,且 OA =1, OB =2, OC =3,所以 · = · = · =0,所以 ·(+ + )=( + + )·( + + )=+ + = ×22+ ×32+ ×12= .1234567891011121314151614. (2024·中山月考)如图,正四棱锥 P - ABCD 的各棱长都为 a .(1)用向量法证明 BD ⊥ PC ;解: 证明:∵ = + ,∴ · =( + )· = · +· =| || | cos 60°+| || | cos 120°= a2- a2=0.∴ BD ⊥ PC .12345678910111213141516(2)求| + |的值.解:∵ + = + + ,∴| + |2=| |2+| |2+| |2+2· +2 · +2 · = a2+ a2+ a2+0+2 a2 cos 60°+2 a2 cos 60°=5 a2,∴| + |= a .1234567891011121314151615. 如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱, Pi ( i =1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则· ( i =1,2,…,8)的不同值的个数为( )A. 8 B. 4解析:D · = ·( + )= +· ,∵ AB ⊥平面 BP2 P8 P6,∴ ⊥ ,∴ · =0,∴ · =| |2=1,则 · ( i =1,2,…,8)的不同值的个数为1.C. 2 D. 11234567891011121314151616. 若正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2, MN 是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦), P 为正方体表面上的动点,当弦 MN 最长时,求 · 的最大值.解:如图所示,设球心为 O ,连接 PO ,则当弦 MN 的长度最大时, MN 为球的直径,由向量线性运算可知 · =( + )·( + )= + · + · +· = + ·( + )+ · ,正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2,则球的半径为1, + =0, · =-1,所以 + ·( + )+ · = -1,12345678910111213141516而| |∈[1, -1∈[0,2],即 · ∈[0,2],所以 · 的最大值为2.12345678910111213141516谢 谢 观 看! 展开更多...... 收起↑ 资源列表 1.1.2 空间向量的数量积运算.docx 1.1.2 空间向量的数量积运算.pptx 1.1.2 空间向量的数量积运算(练习,含解析).docx