1.1.2 空间向量的数量积运算(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第一册

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1.1.2 空间向量的数量积运算(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)选择性必修 第一册

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1.1.2 空间向量的数量积运算
1.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两直线的夹角为(  )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.(2024·常州月考)已知|a|=1,且a-b与a垂直,且a与b的夹角为45°,则|b|=(  )
A.1 B.
C.2 D.2
3.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC=(  )
A.6         B.6
C.12 D.144
4.(2024·临沂月考)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是(  )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
5.(多选)设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题,其中正确的是(  )
A.(a·b)·c-(c·a)·b=0 B.|a|-|b|<|a-b|
C.(b·a)·c-(c·a)·b一定不与c垂直 D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
6.(多选)(2024·镇江质检)如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是(  )
A.2· B.2·
C.2· D.2·
7.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos<a,b>=    .
8.如图,空间四边形的各边和对角线长均相等,E是BC的中点,则·=    ,·   ·.(填“<”“=”或“>”)
9.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在上的投影向量为    .
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点,求下列向量的数量积:
(1)·;
(2)·.
11.(2024·许昌月考)已知a,b是异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是(  )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列说法,其中正确的有(  )
A.(++)2=3 B.·(-)=0
C.与的夹角为60° D.正方体的体积为|··|
13.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·(++)=    .
14.(2024·中山月考)如图,正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC;
(2)求|+|的值.
15.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为(  )
A.8 B.4 C.2 D.1
16.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时,求·的最大值.
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.B 设向量a,b的夹角为θ,则cos θ==-,所以θ=120°,则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.
2.B ∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos<a,b>=0.∴1-|b|×=0,解得|b|=.
3.C 因为=++,所以=+++2·+2·+2·=36+36+36+2×36cos 60°=144,所以PC=12.
4.B 因为+-2=(-)+(-)=+,所以(+)·(-)=||2-||2=0,所以||=||,即△ABC是等腰三角形.
5.BD A项,∵(a·b)·c是表示与向量c共线的向量,而(c·a)·b是表示与向量b共线的向量,∴A错误;B项,∵a,b是两个不共线的向量,根据三角形任意两边之差小于第三边可得|a|-|b|<|a-b|,∴B正确;C项,∵[(b·a)·c-(c·a)·b]·c=(b·a)·c·c-(c·a)·b·c=0可能成立,∴C错误;D项,∵向量的运算满足平方差公式,∴(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2,∴D正确,故选B、D.
6.BC 对于A,2·=2a2cos 120°=-a2,错误;对于B,2·=2·=2a2cos 60°=a2,正确;对于C,2·=·=a2,正确;对于D,2·=·=-·=-a2,错误.
7. 解析:将|a-b|=两边平方,得(a-b)2=7.因为|a|=2,|b|=2,所以a·b=.又a·b=|a||b|·cos<a,b>,故cos<a,b>=.
8.0 < 解析:由题易知AE⊥BC,所以·=0,而·=(+)·=·(-)+·=||·||·cos 120°-||·||·cos 120°+||·||·cos 120°<0,所以·<·.
9. 解析:因为·=(++)·=0+6×6×+62=54,所以向量在上的投影向量为·=.
10.解:如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.
(1)·=·(+)=b·[(c-a)+b]=|b|2=42=16.
(2)·=(+)·(+)=·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.
11.C ∵=++,∴·=(++)·=·++·=0+12+0=1,又||=2,||=1.∴cos<,>===.∵异面直线所成的角是锐角或直角,∴a与b所成的角是60°.
12.AB 如图,(++)2=(++)2==3,故A正确;·(-)=·=(-++)·=0,故B正确;与的夹角是与夹角的补角,而△ACD1为正三角形,所以与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C错误;正方体的体积为||·||·||,故D错误.故选A、B.
13. 解析:因为G为△ABC的重心,所以=+=+(+)=+[(-)+(-)]=++.因为棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,所以·=·=·=0,所以·(++)=(++)·(++)=++=×22+×32+×12=.
14.解:(1)证明:∵=+,
∴·=(+)·=·+·=||||cos 60°+||||cos 120°=a2-a2=0.∴BD⊥PC.
(2)∵+=++,
∴|+|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2,∴|+|=a.
15.D ·=·(+)=+·,∵AB⊥平面BP2P8P6,∴⊥,∴·=0,∴·=||2=1,则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1.
16.解:如图所示,设球心为O,连接PO,则当弦MN的长度最大时,MN为球的直径,
由向量线性运算可知·=(+)·(+)=+·+·+·=+·(+)+·,
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则球的半径为1,
+=0,·=-1,
所以+·(+)+·=-1,
而||∈[1,],所以-1∈[0,2],即·∈[0,2],
所以·的最大值为2.
2 / 21.1.2 空间向量的数量积运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间向量的夹角,掌握空间向量的数量积 数学抽象、数学运算
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 直观想象
3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题 数学运算、逻辑推理
  如果一个物体在力F的作用下产生位移S,那么力F所作的功W=F·S=|F||S|cos θ,为了在数学中体现“功”这样一个标量,我们引入了“数量积”的概念.
【问题】 (1)空间向量的数量积的定义是什么?
(2)空间向量数量积有哪些运算律?与平面向量数量积的运算律一样吗?
                                            
知识点一 空间向量的夹角
1.如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则    叫做向量a,b的夹角,记作   .
2.向量a,b的夹角<a,b>的范围是    ,如果<a,b>=,那么向量a,b互相   ,记作   .
【想一想】
1.当<a,b>=0和<a,b>=π时,向量a与b有什么关系?
2.<a,b>,<-a,b>,<a,-b>,<-a,-b>,它们有什么关系?
知识点二 空间向量的数量积
1.定义:已知两个非零向量a,b,则      叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=      .
2.性质:(1)当 a≠0,b≠0时 , a ⊥ b      ;
(2)a·a=       =   =a2;
(3)a·e=|a|cos<a,e>(其中e为单位向量);
(4)若a,b为非零向量,则cos<a,b>=;
(5)特别地,零向量与任意向量的数量积为0.
3.运算律:(1)(λa)·b=     ,λ∈R;
(2)交换律:a·b=    ;
(3)分配律:(a+b)·c=      .
提醒 (1)向量a,b的数量积记为a·b,而不能表示为a×b或ab;(2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法结合律,即a·b=a·c /b=c,(a·b)·c /a·(b·c).
知识点三 投影向量
作法 图形表示 符号表示
向量a在向量b上的投影向量 将向量a,b(直线l)平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量c c=|a|·cos<a,b>
向量a在直线l上的投影向量
向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量
【想一想】
 在投影向量的公式中,是向量b的单位向量,可以省去吗?
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量的数量积为0.(  )
(2)向量a在向量b上的投影向量c=|a|cos<a,b>.(  )
(3)向量a在平面β上的投影是一个向量.(  )
2.已知空间向量a,b,|a|=2,|b|=,a·b=-2,则<a,b>=    .
3.(2024·济宁月考)如图所示,空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a,点E,F分别是AB,AD的中点,则·=    .
题型一 空间向量数量积的运算
【例1】 如图,已知正四面体OABC的棱长为1.求:
(1)·;
(2)(+)·(+).
通性通法
求空间向量数量积的步骤
(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清;
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角余弦值的乘积;
(3)代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.
【跟踪训练】
1.(2024·扬州月考)如图,在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中,·=(  )
A.2 B.1 C.2 D.
2.(2024·温州月考)已知向量a,b,|a|=6,|b|=8,<a,b>=120°,则a在b上的投影向量为    ,b在a上的投影向量为    .
题型二 利用数量积解决夹角问题
【例2】 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是    .
通性通法
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
提醒 注意两向量的夹角与两异面直线所成角的区别.
【跟踪训练】
 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,<,>=(  )
A.30°      B.60° C.90° D.120°
题型三 利用数量积求线段长度
【例3】 已知正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,求EF的长.
通性通法
利用数量积求线段长度的步骤
(1)将线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
(3)利用|a|=得所求长度.
【跟踪训练】
 (2024·宿迁月考)已知空间向量a,b,c两两夹角为60°,其模都为1,则|a-b+2c|=(  )
A.   B.5   C.6   D.
题型四 利用数量积证明垂直问题
【例4】 已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OG⊥BC.
通性通法
利用数量积证明垂直问题的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题;
(2)用已知向量表示所证向量;
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0;
(4)将向量问题回归到几何问题.
【跟踪训练】
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量的夹角为45°的是(  )
A.与
B.与
C.与
D.与
2.已知单位向量a,b满足|a|=|a+b|,则(a+b)·b=(  )
A.         B.1
C. D.0
3.在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠ABC=,<,>=,PA=2,AB=1,BC=3,则PC=(  )
A. B.2
C. D.1
4.如图,在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OA⊥BC.
1.1.2 空间向量的数量积运算
【基础知识·重落实】
知识点一
1.∠AOB <a,b> 2.[0,π] 垂直 a⊥b
想一想
1.提示:当<a,b>=0时,a与b同向;当<a,b>=π时,a与b反向.
2.提示:<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>,<-a,-b>=<a,b>.
知识点二
1.|a||b|cos<a,b> |a||b|cos<a,b>
2.(1)a·b=0 (2)|a||a|cos<a,a>
|a|2 3.(1)λ(a·b) (2)b·a
(3)a·c+b·c
想一想
 提示:不可以,因为投影向量是向量,不是数,用其表示该向量的方向,所以不可以省去.
自我诊断
1.(1)√ (2)×  (3)√
2. 解析:cos<a,b>==-,∴<a,b>=.
3.-a2 解析:因为点E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以,的夹角为120°,所以·=||·||cos 120°=-a2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:在正四面体OABC中,||=||=||=1,
<,>=<,>=<,>=60°.
(1)·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=.
(2)(+)·(+)
=(+)·(-+-)
=(+)·(+-2)
=+2·-2·+-2·
=12+2×-2×1×1×cos 60°+12-2×1×1×cos 60°=1+1-1+1-1=1.
跟踪训练
1.A 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥AD1,所以·=·=(+)·=·+·=0+×2×cos 45°=2.故选A.
2.-b -a 解析:由题可得与向量a,b同方向的单位向量分别为,,由|a|=6,|b|=8,<a,b>=120°,根据投影向量的定义,则a在b上的投影向量为|a|cos<a,b>·==-b,b在a上的投影向量为|b|cos<a,b>==-a.
【例2】 90° 解析:不妨设正三棱柱的棱长为2,∵=-,=+,∴cos<,>==
=0,故异面直线AB1和BM所成角的大小是90°.
跟踪训练
 B 不妨设正方体的棱长为1,则·=(+)·(+)=(+)·(+)=·++·+·=0++0+0==1,又∵||=,||=,∴cos<,>===,∴<,>=60°.
【例3】 解:
如图所示,设=a,=b,=c,
由题意知|a|=|b|=|c|=2,
且<a,b>=60°,<a,c>=<b,c>=90°.
因为=++=-++=-a+b+c,
所以||2=a2+b2+c2+2(-a·b+b·c-a·c)=×22+×22+22+2×(-)×2×2cos 60°=1+1+4-1=5,所以EF=.
跟踪训练
 A ∵|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,∴a·b=b·c=a·c=,a2=b2=c2=1,∴|a-b+2c|==
===.
【例4】 证明:连接ON(图略),设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,
又设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|.
又=(+)
=[+(+)]
=(a+b+c),=c-b.
∴·=(a+b+c)·(c-b)
=(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c)
=(|a|2·cos θ-|a|2·cos θ-|a|2+|a|2)=0.
∴⊥,即OG⊥BC.
跟踪训练
证明:在△ADB中,∠DAB=60°,AB=2AD,
由余弦定理得,BD=AD,所以AD2+BD2=AB2,
所以DA⊥BD,则·=0.
由PD⊥底面ABCD,知PD⊥BD,则·=0.
又=+,
所以·=(+)·=·+·=0,即PA⊥BD.
随堂检测
1.A 与的夹角为45°.与的夹角为135°,与的夹角为90°,与的夹角为180°,故选A.
2.D ∵a,b是单位向量,∴a2=b2=1.∵|a|=|a+b|,∴a2+2a·b+b2=1,故a·b=-,∴(a+b)·b=a·b+b2=-+=0.
3.C 由已知得=++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=22+12+32+2×2×1×(-)+2×2×3×(-)+2×1×3×(-)=3,所以||=.故选C.
4.证明:因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,
所以△OAC≌△OAB,所以∠AOC=∠AOB.
又·=·(-)=·-·=||·||cos ∠AOC-||·||·cos∠AOB=0,
所以⊥,即OA⊥BC.
5 / 5(共68张PPT)
1.1.2 
空间向量的数量积运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间向量的夹角,掌握空间向量的数量积 数学抽象、
数学运算
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 直观想象
3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问
题 数学运算、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 S ,那么力 F 所作的功 W
= F · S =| F || S | cos θ,为了在数学中体现“功”这样一个标
量,我们引入了“数量积”的概念.
【问题】 (1)空间向量的数量积的定义是什么?
(2)空间向量数量积有哪些运算律?与平面向量数量积的运算律一
样吗?
                                              
                                             
 
知识点一 空间向量的夹角
1. 如图,已知两个非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ,作 = a ,
= b ,则 叫做向量 a , b 的夹角,记作
.
∠ AOB  
< a , b
> 
2. 向量 a , b 的夹角< a , b >的范围是 ,如果< a , b >
= ,那么向量 a , b 互相 ,记作 .
[0,π] 
垂直 
a ⊥ b  
【想一想】
1. 当< a , b >=0和< a , b >=π时,向量 a 与 b 有什么关系?
提示:当< a , b >=0时, a 与 b 同向;当< a , b >=π时, a 与 b
反向.
2. < a , b >,<- a , b >,< a ,- b >,<- a ,- b >,它们有
什么关系?
提示:<- a , b >=< a ,- b >=π-< a , b >,<- a ,- b
>=< a , b >.
知识点二 空间向量的数量积
1. 定义:已知两个非零向量 a , b ,则
叫做 a , b 的数量积,记作 a · b .即 a · b =
.
2. 性质:(1)当 a≠0,b≠0时 , a ⊥ b ;
(2) a · a = = = a2;
(3) a · e =| a | cos < a , e >(其中 e 为单位向量);
(4)若 a , b 为非零向量,则 cos < a , b >= ;
(5)特别地,零向量与任意向量的数量积为0.
| a || b | cos < a , b
> 
| a || b | cos <
a , b > 
a · b =0 
| a || a | cos < a , a > 
| a |2 
3. 运算律:(1)(λ a )· b = ,λ∈R;
(2)交换律: a · b = ;
(3)分配律:( a + b )· c = .
提醒 (1)向量 a , b 的数量积记为 a · b ,而不能表示为 a ×
b 或 ab ;(2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法结合
律,即 a · b = a · c / b = c ,( a · b )· c / a ·( b · c ).
λ( a · b ) 
b · a  
a · c + b · c  
知识点三 投影向量
作法 图形表示 符号表示
向量 a 在向量 b
上的投影向量 将向量 a , b (直线
l )平移到同一个平
面α内,利用平面上
向量的投影,得到
与向量 b (直线 l 的
方向向量)共线的
向量 c
向量 a 在直线 l
上的投影向量 作法 图形表示 符号表示
向量 a 在平面β
上的投影向量
【想一想】
在投影向量的公式中, 是向量 b 的单位向量,可以省去吗?
提示:不可以,因为投影向量是向量,不是数,用其表示该向量的方
向,所以不可以省去.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)零向量与任意向量的数量积为0. ( √ )
(2)向量 a 在向量 b 上的投影向量 c =| a | cos < a , b >.
( × )
(3)向量 a 在平面β上的投影是一个向量. ( √ )

×

2. 已知空间向量 a , b ,| a |=2,| b |= , a · b =-2,则<
a , b >= .
解析: cos < a , b >= =- ,∴< a , b >= .
 
3. (2024·济宁月考)如图所示,空间四边形 ABCD 每条边和对角线长
都为 a ,点 E , F 分别是 AB , AD 的中点,则 · = .
- a2 
解析:因为点 E , F 分别是 AB , AD 的中点,所以 EF ∥ BD ,所以
的夹角为120°,所以 · =| |·| | cos 120°=
- a2.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量数量积的运算
【例1】 如图,已知正四面体 OABC 的棱长为1.求:
(1) · ;
解:在正四面体 OABC 中,| |=| |=
| |=1,< >=< >=< >=60°.
(1) · =| || | cos ∠ AOB =1×1× cos 60°= .
(2)( + )·( + ).
解:( + )·( + )
=( + )·( - + - )
=( + )·( + -2 )
= +2 · -2 · + -2 ·
=12+2× -2×1×1× cos 60°+12-2×1×1× cos 60°=1+1-1
+1-1=1.
通性通法
求空间向量数量积的步骤
(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清;
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角余弦值
的乘积;
(3)代入 a · b =| a || b | cos < a , b >求解.
【跟踪训练】
1. (2024·扬州月考)如图,在棱长为 的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中, · =(  )
A. 2 B. 1
解析:  在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中, AB ⊥平面 AA1 D1 D ,所
以 AB ⊥ AD1,所以 · = · =( + )· =
· + · =0+ ×2× cos 45°=2.故选A.

- b  
- a  
解析:由题可得与向量 a , b 同方向的单位向量分别为
,由| a |=6,| b |=8,< a , b >=120°,根据投影向
量的定义,则 a 在 b 上的投影向量为| a | cos < a , b >· =
=- b , b 在 a 上的投影向量为| b | cos < a , b > =
=- a .
题型二 利用数量积解决夹角问题
【例2】 如图,已知正三棱柱 ABC - A1 B1 C1的各棱长都相等, M 是
侧棱 CC1的中点,则异面直线 AB1和 BM 所成角的大小是 .
90° 
解析:不妨设正三棱柱的棱长为2,∵ = - = +
,∴ cos < >= =
=0,故异面直线 AB1和 BM 所成角的大小是90°.
通性通法
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
提醒 注意两向量的
夹角与两异面直线所
成角的区别.
【跟踪训练】
 如图,在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中,< , >=(  )
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
解析:  不妨设正方体的棱长为1,则 · =( +
)·( + )=( + )·( + )= · +
+ · + · =0+ +0+0= =1,又∵|
|= ,| |= ,∴ cos < >= =
= ,∴< >=60°.
题型三 利用数量积求线段长度
【例3】 已知正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱) ABC - A1 B1 C1
的各棱长都为2, E , F 分别是 AB , A1 C1的中点,求 EF 的长.
解:如图所示,设 = a , = b , = c ,
由题意知| a |=| b |=| c |=2,
且< a , b >=60°,< a , c >=< b , c >=90°.
因为 = + + =- + + =
- a + b + c ,
所以| |2= a2+ b2+ c2+2(- a · b + b · c - a · c )= ×22+ ×22+22+2×(- )×2×2 cos 60°=1+1+4-1=5,所以 EF = .
通性通法
利用数量积求线段长度的步骤
(1)将线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
(3)利用| a |= 得所求长度.
【跟踪训练】
 (2024·宿迁月考)已知空间向量 a , b , c 两两夹角为60°,其模都
为1,则| a - b +2 c |=(  )
B. 5
C. 6
解析:  ∵| a |=| b |=| c |=1,< a , b >=< b , c >=
< c , a >=60°,∴ a · b = b · c = a · c = , a2= b2= c2=1,∴| a -
b +2 c |= =
= = = .
题型四 利用数量积证明垂直问题
【例4】 已知空间四边形 OABC 中,∠ AOB =∠ BOC =∠ AOC ,且
OA = OB = OC , M , N 分别是 OA , BC 的中点, G 是 MN 的中点,
求证: OG ⊥ BC .
证明:连接 ON (图略),设∠ AOB =∠ BOC =∠ AOC =θ,
又设 = a , = b , = c ,
则| a |=| b |=| c |.
又 = + )=
= ( a + b + c ), = c - b .
∴ · = ( a + b + c )·( c - b )
= ( a · c - a · b + b · c - b2+ c2- b · c )
= (| a |2· cos θ-| a |2· cos θ-| a |2+| a |2)=0.
∴ ⊥ ,即 OG ⊥ BC .
通性通法
利用数量积证明垂直问题的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题;
(2)用已知向量表示所证向量;
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0;
(4)将向量问题回归到几何问题.
【跟踪训练】
如图所示,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ DAB
=60°, AB =2 AD , PD ⊥底面 ABCD . 求证: PA ⊥ BD .
证明:在△ ADB 中,∠ DAB =60°, AB =2 AD ,
由余弦定理得, BD = AD ,所以 AD2+ BD2= AB2,
所以 DA ⊥ BD ,则 · =0.
由 PD ⊥底面 ABCD ,知 PD ⊥ BD ,则 · =0.
又 = + ,
所以 · =( + )· = · + · =0,即 PA ⊥
BD .
1. 如图所示,在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中,下列各组向量的夹角为
45°的是(  )
解析:A  的夹角为45°. 的夹角为135°,
的夹角为90°, 的夹角为180°,故选A.
2. 已知单位向量 a , b 满足| a |=| a + b |,则( a + b )· b =
(  )
B. 1
D. 0
解析:  ∵ a , b 是单位向量,∴ a2= b2=1.∵| a |=| a +
b |,∴ a2+2 a · b + b2=1,故 a · b =- ,∴( a + b )· b = a · b
+ b2=- + =0.
3. 在三棱锥 P - ABC 中,∠ PAB =∠ ABC = ,< , >= ,
PA =2, AB =1, BC =3,则 PC =(  )
B. 2
D. 1
解析:  由已知得 = + + ,所以| |2=( +
+ )2=| |2+| |2+| |2+2 · +2
· +2 · =22+12+32+2×2×1×(- )+2×2×3×(-
)+2×1×3×(- )=3,所以| |= .故选C.
4. 如图,在空间四边形 OABC 中, OB = OC , AB = AC ,求证: OA ⊥ BC .
证明:因为 OB = OC , AB = AC , OA = OA ,
所以△ OAC ≌△ OAB ,所以∠ AOC =∠ AOB .
又 · = ·( - )= · - · =| |·|
| cos ∠ AOC -| |·| |· cos ∠ AOB =0,
所以 ⊥ ,即 OA ⊥ BC .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知两异面直线的方向向量分别为 a , b ,且| a |=| b |=1,
a · b =- ,则两直线的夹角为(  )
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析:B 设向量 a , b 的夹角为θ,则 cos θ= =- ,所以
θ=120°,则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.
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2. (2024·常州月考)已知| a |=1,且 a - b 与 a 垂直,且 a 与 b 的
夹角为45°,则| b |=(  )
A. 1
D. 2
解析:  ∵ a - b 与 a 垂直,∴( a - b )· a =0,∴ a · a - a · b
=| a |2-| a || b | cos < a , b >=0.∴1-| b |× =0,
解得| b |= .
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3. 如图,已知 PA ⊥平面 ABC ,∠ ABC =120°, PA = AB = BC =6,
则 PC =(  )
B. 6
C. 12 D. 144
解析:  因为 = + + = + +
+2 · +2 · +2 · =36+36+36+2×36 cos 60°
=144,所以 PC =12.
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4. (2024·临沂月考)设平面上有四个互异的点 A , B , C , D ,已知
( + -2 )·( - )=0,则△ ABC 是(  )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
解析:  因为 + -2 =( - )+( - )
= + + )·( - )=| |2-|
|2=0,所以| |=| |,即△ ABC 是等腰三角形.
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5. (多选)设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给
出下列命题,其中正确的是(  )
A. ( a · b )· c -( c · a )· b =0
B. | a |-| b |<| a - b |
C. ( b · a )· c -( c · a )· b 一定不与 c 垂直
D. (3 a +2 b )·(3 a -2 b )=9| a |2-4| b |2
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解析:  A项,∵( a · b )· c 是表示与向量 c 共线的向量,而
( c · a )· b 是表示与向量 b 共线的向量,∴A错误;B项,∵ a , b
是两个不共线的向量,根据三角形任意两边之差小于第三边可得|
a |-| b |<| a - b |,∴B正确;C项,∵[( b · a )· c -
( c · a )· b ]· c =( b · a )· c · c -( c · a )· b · c =0可能成立,∴C错
误;D项,∵向量的运算满足平方差公式,∴(3 a +2 b )·(3 a -2
b )=9| a |2-4| b |2,∴D正确,故选B、D.
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6. (多选)(2024·镇江质检)如图所示,已知空间四边形每条边和
对角线长都为 a ,点 E , F , G 分别是 AB , AD , DC 的中点,则下
列向量的数量积等于 a2的是(  )
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解析: 对于A,2 · =2 a2 cos 120°=- a2,错误;对于
B,2 · =2 · =2 a2 cos 60°= a2,正确;对于C,2
· = · = a2,正确;对于D,2 · = · =-
· =- a2,错误.
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7. 已知 a , b 是空间两个向量,若| a |=2,| b |=2,| a - b |
= ,则 cos < a , b >=    .
解析:将| a - b |= 两边平方,得( a - b )2=7.因为| a |=
2,| b |=2,所以 a · b = .又 a · b =| a || b |· cos < a , b >,
故 cos < a , b >= .
 
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8. 如图,空间四边形的各边和对角线长均相等, E 是 BC 的中点,则
· = , · · .(填“<”“=”或
“>”)
0 
< 
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解析:由题易知 AE ⊥ BC ,所以 · =0,而 · =( +
)· = ·( - )+ · =| |·| |· cos
120°-| |·| |· cos 120°+ | |·| |· cos 120°<
0,所以 · < · .
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9. 如图,已知 PA ⊥平面 ABC ,∠ ABC =120°, PA = AB = BC =6,
则向量 在 上的投影向量为 .
解析:因为 · =( + + )· =0+6×6× +62=
54,所以向量 · = .
 
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10. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中, AB = AA1=2, AD =4, E 为侧面
AA1 B1 B 的中心, F 为 A1 D1的中点,求下列向量的数量积:
(1) · ;
解:如图,设 = a , = b , =
c ,则| a |=| c |=2,| b |=4, a · b
= b · c = c · a =0.
(1) · = ·( + )= b ·[ ( c - a )+
b ]=| b |2=42=16.
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(2) · .
解: · =( + )·( + )=
·( a + c )=| c |2-| a |2=22-22=0.
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11. (2024·许昌月考)已知 a , b 是异面直线,点 A , B ∈ a ,点 C ,
D ∈ b , AC ⊥ b , BD ⊥ b ,且 AB =2, CD =1,则 a 与 b 所成的
角是(  )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
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解析:  ∵ = + + ,∴ · =( + +
)· = · + + · =0+12+0=1,又| |
=2,| |=1.∴ cos < >= = = .
∵异面直线所成的角是锐角或直角,∴ a 与 b 所成的角是60°.
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12. (多选)在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中,有下列说法,其中正确的
有(  )
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解析:  如图,( + + )2=
( + + )2= =3 ,故A
正确; ·( - )= · =(-
+ + )· =0,故B正确; 夹角的补角,而△ ACD1为正三角形,所以 的夹角为60°,故 的夹角为120°,故C错误;正方体的体积为
| |·| |·| |,故D错误.故选A、B.
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13. 在四面体 OABC 中,棱 OA , OB , OC 两两垂直,且 OA =1, OB
=2, OC =3, G 为△ ABC 的重心,则 ·( + + )
= .
 
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解析:因为 G 为△ ABC 的重心,所以 = + = +
+ )= + - )+( - )]= +
+ .因为棱 OA , OB , OC 两两垂直,且 OA =1, OB =
2, OC =3,所以 · = · = · =0,所以 ·(
+ + )=( + + )·( + + )=
+ + = ×22+ ×32+ ×12= .
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14. (2024·中山月考)如图,正四棱锥 P - ABCD 的各棱长都为 a .
(1)用向量法证明 BD ⊥ PC ;
解: 证明:∵ = + ,
∴ · =( + )· = · +
· =| || | cos 60°+| |
| | cos 120°= a2- a2=0.∴ BD ⊥ PC .
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(2)求| + |的值.
解:∵ + = + + ,
∴| + |2=| |2+| |2+| |2+2
· +2 · +2 · = a2+ a2+ a2+0+2 a2 cos 60°
+2 a2 cos 60°=5 a2,∴| + |= a .
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15. 如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条
侧棱, Pi ( i =1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则
· ( i =1,2,…,8)的不同值的个数为(  )
A. 8 B. 4
解析:D  · = ·( + )= +
· ,∵ AB ⊥平面 BP2 P8 P6,∴ ⊥ ,
∴ · =0,∴ · =| |2=1,则 · ( i =1,2,…,8)的不同值的个数为1.
C. 2 D. 1
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16. 若正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2, MN 是它内切球的一条弦
(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦), P 为正方体表面
上的动点,当弦 MN 最长时,求 · 的最大值.
解:如图所示,设球心为 O ,连接 PO ,则当
弦 MN 的长度最大时, MN 为球的直径,由向
量线性运算可知 · =( + )·
( + )= + · + · +
· = + ·( + )+ · ,正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2,则球的半径为1, + =0, · =-1,所以 + ·( + )+ · = -1,
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而| |∈[1, -1∈[0,
2],即 · ∈[0,2],
所以 · 的最大值为2.
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谢 谢 观 看!

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