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3.简谐运动的回复力和能量
　
题组一　简谐运动的回复力
1.关于简谐运动所受的回复力，下列说法正确的是（　　 ）
A.回复力一定是弹力
B.回复力大小一定与位移大小成正比，且两者方向相同
C.回复力一定是物体所受的合力，大小与位移成正比，方向与位移方向相反
D.回复力的方向一定指向平衡位置
2.关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是（　　）
A.k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B.k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C.根据k＝－，可以认为k与F成正比
D.表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动
3.有一个在y轴方向上做简谐运动的物体，其振动图像如图所示。下列关于图甲、乙、丙、丁的判断正确的是（选项中v、F、a分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度）（　　）
A.甲可作为该物体的v -t图像
B.乙可作为该物体的F -t图像
C.丙可作为该物体的F -t图像
D.丁可作为该物体的a -t图像
题组二　简谐运动的能量
4.（多选）弹簧振子在水平方向上做简谐运动过程中有以下说法，其中正确的是（　　）
A.振子在平衡位置时，动能最大，势能最小
B.振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D.在任意时刻，动能与势能之和保持不变
5.如图甲所示，光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，忽略弹簧质量。小球以点O为平衡位置，在A、B两点之间做往复运动，取向右为正方向，小球的位移x随时间t的变化关系如图乙所示。下列说法中正确的是（　　）
A.t＝0.5 s时，小球在O点左侧5 cm处
B.t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球的速度相同
C.t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球的加速度相同
D.t＝0.5 s到t＝1.5 s过程中，系统的势能在逐渐增加
6.如图所示，在轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则（　　 ）
A.弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零
B.弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C.弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小
D.弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒
题组三　简谐运动对称性的拓展应用
7.（多选）如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动（不计阻力），O为平衡位置，则下列判断正确的是（　　）
A.m做简谐运动，OC＝OB
B.m做简谐运动，OC≠OB
C.回复力F＝－kx
D.回复力F＝－3kx
8.（多选）如图所示，一质量为M的木质框架放在水平桌面上，框架上悬挂一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端拴接两个质量均为m的铁球（铁球离框架下端足够远，两球间用轻杆相连），系统处于静止状态。用手向下拉一小段距离后释放铁球，两铁球便上下做简谐运动，框架保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A.铁球在振动的过程中，速度相同时，弹簧的弹性势能也相同
B.若两铁球在最低点时，A、B球之间断开，则A球继续做简谐振动，振幅不变
C.铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力的功率一直增大
D.在框架不会离开桌面的前提下，两铁球的振幅最大为
9.如图所示，在粗细均匀的一根木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离（木筷下端未离开水面）后放手，木筷就在水中上下振动。不考虑振动过程中的能量损失，则（　　）
A.木筷的振动不是简谐运动
B.木筷振动的回复力为水对木筷的浮力
C.木筷在振动过程中所受的合力与振动位移成正比
D.木筷振动到最低点时底端距水面的距离为振幅
10.（多选）如图所示，轻质弹簧下挂重为 300 N 的物体A时，弹簧伸长了3 cm，再挂上重为200 N的物体B时，弹簧又伸长了2 cm，现将A、B间的细线烧断，使A在竖直平面内振动，则（　　）
A.最大回复力为500 N，振幅为5 cm
B.最大回复力为200 N，振幅为2 cm
C.只减小A的质量，振动的振幅变小
D.只减小B的质量，振动的振幅变小
11.（2023·山东济宁高二期末）如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为m的小球（可视为质点），小球在竖直方向上做简谐运动，弹簧对小球的拉力F随时间t变化的图像如图乙所示。已知弹簧弹性势能的表达式为Ep＝kx2，x为弹簧的形变量，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　 ）
A.小球的振幅为
B.小球的最大加速度为2g
C.小球的最大动能为
D.在振动过程中，弹簧的弹性势能和小球的动能总和不变
12.（多选）（2020·山东高考11题）如图所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时（未着地），A对水平桌面的压力刚好为零。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态。以下判断正确的是（　　）
A.M＜2m
B.2m＜M＜3m
C.在B从释放位置运动到最低点的过程中，B所受合力对B先做正功后做负功
D.在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
3.简谐运动的回复力和能量
1.D　回复力不一定是弹力，也不一定是物体所受的合力，故A、C错误；回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，一定指向平衡位置，故B错误，D正确。
2.B　对于其他简谐运动来说，k不是劲度系数，而是一个比例系数，x为质点离开平衡位置的位移，A错误，B正确；该系数由系统本身结构决定，与力F和位移x无关，C错误；“－”只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力，D错误。
3.C　在位移图像中，图线切线的斜率表示物体的速度，故图乙可作为v-t图像，A、B错误；由F＝－kx可知，回复力的图像与位移图像的相位相反，故丙可作为F-t图像，C正确；又由F＝ma可知a与F的图像形状相同，丙也可作为a-t图像，D错误。
4.ABD　振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，故B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以系统机械能守恒，故D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，故A正确；振幅的大小与振子所处的位置无关，故C错误。
5.C　水平向右为正，t＝0.5 s时小球处于正方向位移最大处，所以小球在O点右侧10 cm处，A错误；t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球的速度大小相等，方向相反，B错误；t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球所受弹簧弹力指向平衡位置，且弹簧形变量相同，所以小球的加速度相同，C正确；小球运动过程中动能和弹性势能相互转化，t＝0.5 s 到t＝1.5 s过程中，动能先增大后减小，系统的弹性势能先减小后增大，D错误。
6.C　弹簧振子在平衡位置时的速度最大，此时的重力势能为零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零，A、B错误；因为只有重力和弹簧弹力做功，则弹簧振子的动能、重力势能及弹簧的弹性势能总和保持不变，弹簧振子在平衡位置时动能最大，故此时振动系统的势能最小，C正确，D错误。
7.AD　以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力F＝－（k1x＋k2x）＝－3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知OC＝OB＝A，故A、D正确。
8.BD　在关于平衡位置对称的两侧，振子的速度相同时，弹簧的弹性势能不同，故A错误；若两铁球在最低点时，A、B球之间断开，则A球继续做简谐振动，由于在最低点时弹簧的弹性势能一定，则小球的振幅不变，故B正确；铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力减小直到为零，速度从零开始增加，由P＝Fv可知，在最低点时回复力的功率为零，在平衡位置时回复力的功率也为零，在最低点与平衡位置间功率不为零，则回复力的功率先增大后减小，故C错误；若要保证木质框架不会离开桌面，则框架对桌面的最小压力恰好等于0，此时，以框架为研究对象，弹簧对框架向上的作用力等于框架的重力Mg，则轻弹簧处于压缩状态，弹簧的弹力F＝Mg＝kx'，压缩量为x'＝，小铁球处于平衡位置时，弹簧处于伸长状态，伸长量为x＝，所以铁球的振幅为A＝x＋x'＝，故D正确。
9.C　设木筷的截面积为S，质量为m，水的密度为ρ，静止时水下长度为x0，根据平衡条件ρSgx0＝mg，把木筷往上提起一段距离x，根据牛顿第二定律F合＝ρgS（x0－x）－mg，解得F合＝－ρgSx，木筷的振动是简谐运动，A、B错误，C正确；木筷振动到最低点时底端距水面的距离与x0之差为振幅，D错误。
10.BD　轻质弹簧下挂物体A时伸长了3 cm，此时A的位置为A做简谐运动时的平衡位置，若将连接A、B两物体的细线烧断，物体A将做简谐运动，烧断瞬间，A所受合力充当回复力，由于细线烧断前A处于平衡状态，所受细线拉力为200 N，则细线烧断瞬间A所受合力大小为200 N，即最大回复力为200 N，刚烧断细线时物体A的加速度最大，处于最大位移处，故振幅为2 cm，A错误，B正确；细线烧断前，有（mA＋mB）g＝kx1，细线烧断后，A在平衡位置时有mAg＝kx2，振幅为A＝x1－x2＝，可知只减小A的质量，振幅不变，只减小B的质量，振幅变小，C错误，D正确。
11.C　小球的振幅为A＝－＝，A错误；弹簧的弹力最大时，小球的加速度最大，则2mg－mg＝ma，解得a＝g，即小球的最大加速度等于重力加速度，B错误；小球所受的合外力为0，加速度为0时，速度最大，动能最大，则有kx＝mg，解得x＝，根据动能定理有mgx－kx2＝Ekmax，解得Ekmax＝，C正确；由于弹簧与小球组成的系统机械能守恒，所以弹簧的弹性势能和小球动能、重力势能总和不变，D错误。
12.ACD　钩码B释放后做简谐运动，根据简谐运动的对称性，钩码B在最高点加速度大小为g，所以在最低点加速度大小也为g。在最低点对B由牛顿第二定律有F－mg＝ma，得F＝2mg，而B在最低点时物块A对水平桌面的压力刚好为零，可知A左侧轻绳上拉力的竖直分力等于Mg，故M＜2m，A项正确，B项错误；B从释放位置到最低点的过程中，速度先增大后减小，由动能定理可知，合力对B先做正功后做负功，C项正确；由功能关系可知，B从释放到速度最大过程中B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量，D项正确。
1 / 33.简谐运动的回复力和能量
课标要求 素养目标
1.知道回复力的概念。 2.知道简谐运动过程中动能、势能、机械能的概念 1.理解简谐运动的回复力、简谐运动过程中动能、势能、机械能的特点。（物理观念） 2.会分析弹簧振子的受力情况，掌握简谐运动回复力的特征。 会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。（科学思维） 3.会分析物体的振动是否为简谐运动。（科学探究）
知识点一　简谐运动的回复力
1.回复力
（1）定义：使振动物体回到　　　　位置的力。
（2）表达式：F＝　　　，“－”号表示F与x反向。
（3）方向：总是指向　　　　位置。
2.简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成　　　　，并且总是指向　　　　位置，物体的运动就是简谐运动。
知识点二　简谐运动的能量
1.水平弹簧振子的能量变化规律
（1）小球远离平衡位置时，势能　　　　；小球的速度减小，动能　　　　。在最大位移处，　　　　为0，　　　　最大。
（2）小球衡位置时，势能　　　　；小球的速度增大，动能　　　　。在平衡位置处，　　　　最大，　　　　为0。
2.能量特点
（1）理论上可以证明，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，遵守　　　　守恒定律。
（2）实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种　　　　的模型。
（3）对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，　　　　越大，机械能越大。
【情景思辨】
　如图所示，木板固定在桌面上，弹簧的左端固定在木板上，右端连接小球，把小球向右拉离平衡位置一小段距离后释放，小球开始运动。弹簧的质量远小于小球的质量，木板的摩擦力可以忽略不计。
（1）小球会做简谐运动。（　　）
（2）弹簧的弹力与小球重力的合力提供回复力。（　　）
（3）小球经过其平衡位置时势能最大、动能最小。（　　）
（4）弹簧的弹性势能与小球的动能相互转化，而且系统的机械能守恒。（　　）
（5）实际中由于木板的摩擦力作用，小球的振幅越来越小。（　　）
要点一　简谐运动的回复力
【探究】
　如图甲所示为水平方向的弹簧振子，如图乙所示为竖直方向的弹簧振子，如图丙所示为m随M一起振动的系统。请思考：
（1）图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
（2）图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
（3）图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么？m的回复力的来源是什么？
【归纳】
1.回复力的理解
（1）作用效果：使振动物体回到平衡位置。
（2）来源：回复力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
（3）回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。
2.简谐运动的回复力的特点
（1）表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比；
②方向：“－”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
（2）表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
3.简谐运动的加速度的特点
根据牛顿第二定律得a＝＝－x。
（1）大小：与位移大小成正比。
（2）方向：与位移方向相反。
【典例1】　如图所示，水平面光滑，A、B两物体叠放在一起，A、B的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，使物体A、B振动，A、B始终保持相对静止。试证明物体A的振动是简谐运动。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【拓展训练1】
　对于【典例1】中的物体A，下列给定的四幅图中能正确反映振动过程中其所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置位移x关系的图像为（　　）
【拓展训练2】
假设【典例1】中物体A、B质量分别为0.5 kg和1 kg，弹簧劲度系数为100 N/m，A、B间的动摩擦因数为0.3，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要使A、B一起振动（不发生相对滑动），取重力加速度大小g＝10 m/s2，弹簧始终在弹性限度内，则振动的最大振幅为（　　）
A.1.5 cm B.3 cm
C.4.5 cm D.9 cm
规律总结
判断一个振动是否为简谐运动的方法
（1）运动学方法：对物体的位移分析，如果位移—时间表达式满足x＝Asin（ωt＋φ）或x -t图像满足正（余）弦规律，即可判断为简谐运动。
（2）动力学方法：对物体进行受力分析，物体所受到的回复力满足F＝－kx，即可判断为简谐运动。
（3）加速度方法：根据牛顿第二定律或运动学知识，求解物体的加速度，如果满足a＝－k'x，即可判断为简谐运动。
要点二　简谐运动的能量
【归纳】
1.简谐运动的能量
（1）简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。
（2）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有机械能损耗，它将永不停息地振动下去。
（3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。
2.简谐运动中各物理量的变化规律
物体做简谐运动时，它偏离平衡位置的位移x、回复力F及加速度a、速度v、动能Ek、势能Ep、振动系统的能量E的变化规律：
x F a v Ek Ep E
远离平衡位 置的运动 增大 增大 增大 减小 减小 增大 不变
最大位移处 最大 最大 最大 零 零 最大 不变
衡位 置的运动 减小 减小 减小 增大 增大 减小 不变
平衡位置 零 零 零 最大 最大 最小 不变
【典例2】　（多选）如图所示为一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O。若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是（　　）
A.振幅不变 B.振幅减小
C.最大动能不变 D.最大动能减小
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.一弹簧振子振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置，若振子从最大位移处经过时的加速度大小和动能分别为a1和E1，若振子从最大位移处经过路程为时加速度大小和动能分别为a2和E2，则a1、a2和E1、E2的大小关系为（　　）
A.a1＞a2，E1＞E2 B.a1＜a2，E1＞E2
C.a1＜a2，E1＜E2 D.a1＞a2，E1＜E2
2.（2023·河北邯郸市高二月考）如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知（　　）
A.在0.1 s时，由于位移为零，所以弹簧振子的能量为零
B.在0.2 s时，弹簧振子具有最大势能
C.在0.35 s时，弹簧振子的能量尚未达到最大值
D.在0.4 s时，振子的动能最大
要点三　简谐运动对称性的拓展应用
　　在有些力学综合问题中，物体的运动有时会涉及简谐运动，由于简谐运动是“变加速往复”直线运动，无法直接使用匀变速直线运动的公式进行有关定量计算，如果能“巧用”简谐运动的“对称性”规律，可以做到快捷解题，收到事半功倍的效果。
【典例3】　如图甲所示，某儿童玩具由卡通人物、轻质弹簧和发光小球三部分组成，这三部分自上而下紧密连接在一起。将卡通人物固定在空中某处，用手托住小球竖直向上移动，使弹簧处于压缩状态，如图乙所示。现由静止释放小球，已知释放瞬间小球的加速度大小为g（g为重力加速度），空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内，则小球（　　）
A.向下运动过程中机械能保持不变
B.向下运动过程中机械能逐渐减少
C.释放瞬间，弹簧弹力为小球重力的倍
D.运动到最低处时，弹簧弹力为小球重力的倍
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.（多选）如图所示，竖直轻质弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面放置一质量为M的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，则（　　）
A.当振动到最低点时，B对A的压力最大
B.当B振动到最高点时，B对A的压力最小
C.当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
D.当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
2.（多选）如图所示，一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO的中点。已知OC＝h，弹簧的劲度系数为k，某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动，则从此时刻开始的半个周期内，对质量为m的物体，下列说法正确的是（　　）
A.重力势能减少了2mgh
B.回复力做功为2mgh
C.回复力的冲量大小为2mv
D.通过A点时回复力的大小为2kh
1.（多选）一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，（t2－t1）＜，如图所示，则（　　）
A.t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反
B.在t1～t2时间内，小球的加速度先减小后增大
C.在t1～t2时间内，小球的动能先增大后减小
D.在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大
2.在竖直方向上做简谐运动的弹簧振子，当振子的速度相等时，下列物理量一定相同的是（　　）
A.弹性势能 B.位移
C.势能 D.加速度
3.如图所示，水平弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，O为平衡位置。下列说法正确的是（　　）
A.振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
B.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
C.振子在往复运动过程中机械能守恒
D.振子在B点加速度最小
4.下列关于简谐运动回复力的说法正确的是（　　）
A.回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B.回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
3.简谐运动的回复力和能量
【基础知识·准落实】
知识点一
1.（1）平衡　（2）－kx　（3）平衡　2.正比　平衡
知识点二
1.（1）增大　减小　动能　势能　（2）减小　增大　动能
势能　2.（1）机械能　（2）理想化　（3）振幅
情景思辨
（1）√　（2）×　（3）×　（4）√　（5）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）弹簧的弹力提供回复力。
（2）弹簧的弹力与小球的重力的合力提供回复力。
（3）m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供；m的回复力由M对m的静摩擦力提供。
【典例1】　见解析
解析：设A、B整体在平衡位置右侧某处时位移为x，其加速度为a，取向右为正方向。由牛顿第二定律得kx＝－（mA＋mB）a，
对A，由牛顿第二定律得物体A所受静摩擦力Ff＝mAa
解得Ff＝mAa＝－kx＝－k'x
所以物体A的振动是简谐运动。
【拓展训练1】
　B　由【典例1】的分析可知物体A所受摩擦力Ff＝mAa＝－kx，B正确。
【拓展训练2】
　C　对A、B整体，振幅最大时有kAm＝（mA＋mB）·am，隔离物体A分析，当振幅最大时，两木块间的摩擦力达到最大静摩擦力，则有Ffm＝μmAg＝mAam，联立解得Am＝4.5 cm，故C正确，A、B、D错误。
要点二
知识精研
【典例2】　AC　振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不变，选项C正确，D错误。
素养训练
1.D　弹簧振子从最大位移处往平衡位置运动，速度增大，加速度减小，故时间内运动的路程小于，即其距离平衡位置的距离大于A，距离平衡位置越远，加速度越大，速度越小，因此a1＞a2，E1＜E2，故D正确。
2.B　弹簧振子做简谐运动，弹簧振子的能量不变，不为零，选项A错误；在0.2 s时位移最大，弹簧振子具有最大势能，选项B正确；弹簧振子的能量不变，在0.35 s时弹簧振子的能量与其他时刻相同，选项C错误；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，选项D错误。
要点三
知识精研
【典例3】　D　小球在向下运动的过程中受重力和弹簧的弹力，弹簧的弹力先做正功后做负功，小球的机械能先增大后减小，故A、B错误；释放的瞬间由牛顿第二定律可知mg＋F弹＝ma，由题意可知a＝g，可得F弹＝mg，故C错误；不计空气阻力，小球做的是简谐运动，根据简谐运动对称性特点，在最下端的位置加速度与最上端的加速度大小应该相等，方向相反，由牛顿第二定律可知F弹－mg＝ma，代入数据得F弹＝mg，故D正确。
素养训练
1.AB　A、B一起做简谐运动，B做简谐运动的回复力是由B的重力和A对B的作用力的合力提供。做简谐运动的物体在最大位移处时有最大回复力，即具有最大的加速度am，在最高点和最低点加速度大小相等，最高点时加速度向下，最低点时加速度向上，由牛顿第二定律对B，在最高点时有mg－F高＝mam，得F高＝mg－mam，在最低点时有F低－mg＝mam，得F低＝mg＋mam，经过平衡位置时，加速度为零，A对B的作用力F平＝mg。所以选项A、B正确，C、D错误。
2.ACD　由简谐运动的对称性可知，从C点开始经过半个周期，物体运动到C点关于平衡位置对称的位置，即到达O点下方h处，重力做功为2mgh，重力势能减少了2mgh，故A正确；物体的回复力由重力与弹簧弹力的合力充当，由于初、末速度大小相等，由动能定理可知，半个周期内回复力做功为零，故B错误；经过半个周期后，振子的速度反向，取竖直向上为正方向，则由动量定理得，回复力的冲量为I＝－mv－mv＝－2mv，故C正确；通过A点时的回复力为F＝－kx＝－2kh，故D正确。
【教学效果·勤检测】
1.ABC　由题图可知t1、t2时刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正确；在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速度先减小后增大，B正确；在t1～t2时间内，小球的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确；简谐运动的系统机械能守恒，D错误。
2.C　竖直方向上做简谐运动的弹簧振子，系统机械能守恒，当振子的速度相等，即动能相等时，系统重力势能与弹性势能之和相等，即势能相等；振子受重力和弹簧弹力作用，平衡位置二力平衡，速度相等时弹簧长度有两个可能值，故弹性势能、位移、加速度不一定相同，故选C。
3.B　振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力作用，故A错误；振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置，故B正确；振子在往复运动过程中，是振子的动能和弹簧的弹性势能相互转化，所以振子和弹簧这个系统机械能守恒，故C错误；振子在平衡位置O点加速度最小，在A、B两点的加速度最大，故D错误。
4.B　回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，D错误。
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3.简谐运动的回复力和能量
课标要求 素养目标
1.知道回复力
的概念。 2.知道简谐运
动过程中动
能、势能、
机械能的概
念 1.理解简谐运动的回复力、简谐运动过程中动能、势
能、机械能的特点。（物理观念）
2.会分析弹簧振子的受力情况，掌握简谐运动回复力
的特征。
会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情
况，知道简谐运动中机械能守恒。（科学思维）
3.会分析物体的振动是否为简谐运动。（科学探究）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　简谐运动的回复力
1. 回复力
（1）定义：使振动物体回到 位置的力。
（2）表达式：F＝ ，“－”号表示F与x反向。
（3）方向：总是指向 位置。
2. 简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移
的大小成 ，并且总是指向 位置，物体的运动就是
简谐运动。
平衡　
－kx　
平衡　
正比　
平衡　
知识点二　简谐运动的能量
1. 水平弹簧振子的能量变化规律
（1）小球远离平衡位置时，势能 ；小球的速度减小，动
能 。在最大位移处， 为0， 最大。
（2）小球衡位置时，势能 ；小球的速度增大，动
能 。在平衡位置处， 最大， 为0。
增大　
减小　
动能　
势能　
减小　
增大　
动能　
势能　
2. 能量特点
（1）理论上可以证明，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能
与势能之和都是一定的，遵守 守恒定律。
（2）实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种
的模型。
（3）对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统， 越
大，机械能越大。
机械能　
理
想化　
振幅　
【情景思辨】
　如图所示，木板固定在桌面上，弹簧的左端固定在木板上，右端连
接小球，把小球向右拉离平衡位置一小段距离后释放，小球开始运
动。弹簧的质量远小于小球的质量，木板的摩擦力可以忽略不计。
（1）小球会做简谐运动。 （　√　）
（2）弹簧的弹力与小球重力的合力提供回复力。 （　×　）
（3）小球经过其平衡位置时势能最大、动能最小。 （　×　）
√
×
×
（4）弹簧的弹性势能与小球的动能相互转化，而且系统的机械能守
恒。 （　√　）
（5）实际中由于木板的摩擦力作用，小球的振幅越来越小。
（　√　）
√
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　简谐运动的回复力
【探究】
　如图甲所示为水平方向的弹簧振子，如图乙所示为竖直方向的弹簧
振子，如图丙所示为m随M一起振动的系统。请思考：
（1）图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
提示： 弹簧的弹力提供回复力。
（2）图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么？
提示： 弹簧的弹力与小球的重力的合力提供回复力。
（3）图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么？m的回复力
的来源是什么？
提示： m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供；m的回复力
由M对m的静摩擦力提供。
【归纳】
1. 回复力的理解
（1）作用效果：使振动物体回到平衡位置。
（2）来源：回复力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力
提供，还可以由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一
定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
（3）回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，
不能再“额外添加”回复力。
2. 简谐运动的回复力的特点
（1）表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比；
②方向：“－”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总
是指向平衡位置。
（2）表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系
数，而不一定是弹簧的劲度系数。
3. 简谐运动的加速度的特点
根据牛顿第二定律得a＝＝－x。
（1）大小：与位移大小成正比。
（2）方向：与位移方向相反。
【典例1】　如图所示，水平面光滑，A、B两物体叠放在一起，A、
B的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，使物体A、B振动，
A、B始终保持相对静止。试证明物体A的振动是简谐运动。
答案：见解析
解析：设A、B整体在平衡位置右侧某处时位移为x，其加速度为a，
取向右为正方向。由牛顿第二定律得kx＝－（mA＋mB）a，
对A，由牛顿第二定律得物体A所受静摩擦力Ff＝mAa
解得Ff＝mAa＝－kx＝－k'x
所以物体A的振动是简谐运动。
【拓展训练1】
　对于【典例1】中的物体A，下列给定的四幅图中能正确反映振动过
程中其所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置位移x关系的图像为（　　）
解析： 　由【典例1】的分析可知物体A所受摩擦力Ff＝mAa＝－
kx，B正确。
【拓展训练2】
假设【典例1】中物体A、B质量分别为0.5 kg和1 kg，弹簧劲度系数为
100 N/m，A、B间的动摩擦因数为0.3，认为最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，要使A、B一起振动（不发生相对滑动），取重力加速度大小g
＝10 m/s2，弹簧始终在弹性限度内，则振动的最大振幅为（　　）
A. 1.5 cm B. 3 cm
C. 4.5 cm D. 9 cm
解析： 　对A、B整体，振幅最大时有kAm＝（mA＋mB）·am，隔离
物体A分析，当振幅最大时，两木块间的摩擦力达到最大静摩擦力，
则有Ffm＝μmAg＝mAam，联立解得Am＝4.5 cm，故C正确，A、B、D
错误。
规律总结
判断一个振动是否为简谐运动的方法
（1）运动学方法：对物体的位移分析，如果位移—时间表达式满足x
＝Asin（ωt＋φ）或x -t图像满足正（余）弦规律，即可判断为简
谐运动。
（2）动力学方法：对物体进行受力分析，物体所受到的回复力满足F
＝－kx，即可判断为简谐运动。
（3）加速度方法：根据牛顿第二定律或运动学知识，求解物体的加
速度，如果满足a＝－k'x，即可判断为简谐运动。
要点二　简谐运动的能量
【归纳】
1. 简谐运动的能量
（1）简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系
统，振幅越大，能量越大。
（2）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，
只要没有机械能损耗，它将永不停息地振动下去。
（3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化
为势能。
2. 简谐运动中各物理量的变化规律
物体做简谐运动时，它偏离平衡位置的位移x、回复力F及加速度
a、速度v、动能Ek、势能Ep、振动系统的能量E的变化规律：
x F a v Ek Ep E
远离平衡位 置的运动 增大 增大 增大 减小 减小 增大 不变
最大位移处 最大 最大 最大 零 零 最大 不变
衡位置的
运动 减小 减小 减小 增大 增大 减小 不变
平衡位置 零 零 零 最大 最大 最小 不变
【典例2】　（多选）如图所示为一水平弹簧振子在A、B间做简谐运
动，平衡位置为O。若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的
上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是（　　）
A. 振幅不变 B. 振幅减小
C. 最大动能不变 D. 最大动能减小
解析：振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即
为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅
保持不变，选项A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不
变，选项C正确，D错误。
1. 一弹簧振子振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位
置，若振子从最大位移处经过时的加速度大小和动能分别为a1和
E1，若振子从最大位移处经过路程为时加速度大小和动能分别为a2
和E2，则a1、a2和E1、E2的大小关系为（　　）
A. a1＞a2，E1＞E2 B. a1＜a2，E1＞E2
C. a1＜a2，E1＜E2 D. a1＞a2，E1＜E2
解析： 　弹簧振子从最大位移处往平衡位置运动，速度增大，加
速度减小，故
A，距离平衡位置越远，加速度
越大，速度越小，因此a1＞a2，E1＜E2，故D正确。
2. （2023·河北邯郸市高二月考）如图所示为某个弹簧振子做简谐运
动的振动图像，由图像可知（　　）
A. 在0.1 s时，由于位移为零，所以弹簧振子的能
量为零
B. 在0.2 s时，弹簧振子具有最大势能
C. 在0.35 s时，弹簧振子的能量尚未达到最大值
D. 在0.4 s时，振子的动能最大
解析： 　弹簧振子做简谐运动，弹簧振子的能量不变，不为
零，选项A错误；在0.2 s时位移最大，弹簧振子具有最大势能，
选项B正确；弹簧振子的能量不变，在0.35 s时弹簧振子的能量
与其他时刻相同，选项C错误；在0.4 s时振子的位移最大，动能
为零，选项D错误。
要点三　简谐运动对称性的拓展应用
　　在有些力学综合问题中，物体的运动有时会涉及简谐运动，由于
简谐运动是“变加速往复”直线运动，无法直接使用匀变速直线运动
的公式进行有关定量计算，如果能“巧用”简谐运动的“对称性”规
律，可以做到快捷解题，收到事半功倍的效果。
【典例3】　如图甲所示，某儿童玩具由卡通人物、轻质弹簧和发光
小球三部分组成，这三部分自上而下紧密连接在一起。将卡通人物固
定在空中某处，用手托住小球竖直向上移动，使弹簧处于压缩状态，
如图乙所示。现由静止释放小球，已知释放瞬间小球的加速度大小为
g（g为重力加速度），空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内，则
小球（　　）
A. 向下运动过程中机械能保持不变
B. 向下运动过程中机械能逐渐减少
解析：小球在向下运动的过程中受重力和弹簧的弹力，弹簧的弹力先
做正功后做负功，小球的机械能先增大后减小，故A、B错误；释放
的瞬间由牛顿第二定律可知mg＋F弹＝ma，由题意可知a＝g，可得F
弹＝mg，故C错误；不计空气阻力，小球做的是简谐运动，根据简谐运动对称性特点，在最下端的位置加速度与最上端的加速度大小应该相等，方向相反，由牛顿第二定律可知F弹－mg＝ma，代入数据得F弹＝mg，故D正确。
1. （多选）如图所示，竖直轻质弹簧下端固定在水平面上，上端连一
质量为M的物块A，A的上面放置一质量为M的物块B，系统可在竖
直方向做简谐运动，则（　　）
A. 当振动到最低点时，B对A的压力最大
B. 当B振动到最高点时，B对A的压力最小
C. 当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
D. 当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
解析： 　A、B一起做简谐运动，B做简谐运动的回复力是由B的
重力和A对B的作用力的合力提供。做简谐运动的物体在最大位移
处时有最大回复力，即具有最大的加速度am，在最高点和最低点加
速度大小相等，最高点时加速度向下，最低点时加速度向上，由牛
顿第二定律对B，在最高点时有mg－F高＝mam，得F高＝mg－mam，在最低点时有F低－mg＝mam，得F低＝mg＋mam，经过平衡位置时，加速度为零，A对B的作用力F平＝mg。所以选项A、B正确，C、D错误。
2. （多选）如图所示，一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物
体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO
的中点。已知OC＝h，弹簧的劲度系数为k，某时刻物体恰好以大
小为v的速度经过C点并向上运动，则从此时刻开始的半个周期内，
对质量为m的物体，下列说法正确的是（　　）
A. 重力势能减少了2mgh
B. 回复力做功为2mgh
C. 回复力的冲量大小为2mv
D. 通过A点时回复力的大小为2kh
解析： 　由简谐运动的对称性可知，从C点开始经过半个周
期，物体运动到C点关于平衡位置对称的位置，即到达O点下方h
处，重力做功为2mgh，重力势能减少了2mgh，故A正确；物体的回
复力由重力与弹簧弹力的合力充当，由于初、末速度大小相等，由
动能定理可知，半个周期内回复力做功为零，故B错误；经过半个
周期后，振子的速度反向，取竖直向上为正方向，则由动量定理
得，回复力的冲量为I＝－mv－mv＝－2mv，故C正确；通过A点时
的回复力为F＝－kx＝－2kh，故D正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
　　
1. （多选）一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平
衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相
等、方向相同，（t2－t1）＜，如图所示，则（　　）
A. t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相
等、方向相反
B. 在t1～t2时间内，小球的加速度先减小后增大
C. 在t1～t2时间内，小球的动能先增大后减小
D. 在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大
解析： 　由题图可知t1、t2时刻小球的加速度大小相等，方向相
反，A正确；在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速
度先减小后增大，B正确；在t1～t2时间内，小球的速度先增大后减
小，所以动能先增大后减小，C正确；简谐运动的系统机械能守
恒，D错误。
2. 在竖直方向上做简谐运动的弹簧振子，当振子的速度相等时，下列
物理量一定相同的是（　　）
A. 弹性势能 B. 位移
C. 势能 D. 加速度
解析： 　竖直方向上做简谐运动的弹簧振子，系统机械能守恒，
当振子的速度相等，即动能相等时，系统重力势能与弹性势能之和
相等，即势能相等；振子受重力和弹簧弹力作用，平衡位置二力平
衡，速度相等时弹簧长度有两个可能值，故弹性势能、位移、加速
度不一定相同，故选C。
3. 如图所示，水平弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，
O为平衡位置。下列说法正确的是（　　）
A. 振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
B. 振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
C. 振子在往复运动过程中机械能守恒
D. 振子在B点加速度最小
解析： 　振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力作用，故A
错误；振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置，故B
正确；振子在往复运动过程中，是振子的动能和弹簧的弹性势能相
互转化，所以振子和弹簧这个系统机械能守恒，故C错误；振子在
平衡位置O点加速度最小，在A、B两点的加速度最大，故D错误。
4. 下列关于简谐运动回复力的说法正确的是（　　）
A. 回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B. 回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C. 回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D. 回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
解析： 　回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的
力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A
错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平
衡位置的位移方向相反，C错误；回复力的方向总是指向平衡位
置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相
同，D错误。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一　简谐运动的回复力
1. 关于简谐运动所受的回复力，下列说法正确的是（　　）
A. 回复力一定是弹力
B. 回复力大小一定与位移大小成正比，且两者方向相同
C. 回复力一定是物体所受的合力，大小与位移成正比，方向与位移方向相反
D. 回复力的方向一定指向平衡位置
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解析： 　回复力不一定是弹力，也不一定是物体所受的合力，故
A、C错误；回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相
反，一定指向平衡位置，故B错误，D正确。
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2. 关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是
（　　）
A. k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B. k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
D. 表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动
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解析： 　对于其他简谐运动来说，k不是劲度系数，而是一个比例
系数，x为质点离开平衡位置的位移，A错误，B正确；该系数由系
统本身结构决定，与力F和位移x无关，C错误；“－”只表示回复
力与位移反向，回复力有时是动力，D错误。
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3. 有一个在y轴方向上做简谐运动的物体，其振动图像如图所示。下
列关于图甲、乙、丙、丁的判断正确的是（选项中v、F、a分别表
示物体的速度、受到的回复力和加速度）（　　）
A. 甲可作为该物体的v -t图像
B. 乙可作为该物体的F -t图像
C. 丙可作为该物体的F -t图像
D. 丁可作为该物体的a -t图像
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解析： 　在位移图像中，图线切线的斜率表示物体的速度，故图
乙可作为v-t图像，A、B错误；由F＝－kx可知，回复力的图像与位
移图像的相位相反，故丙可作为F-t图像，C正确；又由F＝ma可知a
与F的图像形状相同，丙也可作为a-t图像，D错误。
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题组二　简谐运动的能量
4. （多选）弹簧振子在水平方向上做简谐运动过程中有以下说法，其
中正确的是（　　）
A. 振子在平衡位置时，动能最大，势能最小
B. 振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C. 振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D. 在任意时刻，动能与势能之和保持不变
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解析： 　振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为
零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，故B正确；在
任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以系统机械能守恒，故D正确；
到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，故A正确；振
幅的大小与振子所处的位置无关，故C错误。
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5. 如图甲所示，光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧，弹簧一端固
定，另一端连接在小球上，忽略弹簧质量。小球以点O为平衡位
置，在A、B两点之间做往复运动，取向右为正方向，小球的位移x
随时间t的变化关系如图乙所示。下列说法中正确的是（　　）
A. t＝0.5 s时，小球在O点左侧5 cm处
B. t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球的速度相同
C. t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球的加速度相同
D. t＝0.5 s到t＝1.5 s过程中，系统的势能在逐渐增加
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解析： 　水平向右为正，t＝0.5 s时小球处于正方向位移最大处，
所以小球在O点右侧10 cm处，A错误；t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球
的速度大小相等，方向相反，B错误；t＝0.25 s和t＝0.75 s时，小球
所受弹簧弹力指向平衡位置，且弹簧形变量相同，所以小球的加速
度相同，C正确；小球运动过程中动能和弹性势能相互转化，t＝0.5
s 到t＝1.5 s过程中，动能先增大后减小，系统的弹性势能先减小后
增大，D错误。
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6. 如图所示，在轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个沿竖直方向振动的
弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，
取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹
簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则（　）
A. 弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零
B. 弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C. 弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小
D. 弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒
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解析： 　弹簧振子在平衡位置时的速度最大，此时的重力势能为
零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零，A、
B错误；因为只有重力和弹簧弹力做功，则弹簧振子的动能、重力
势能及弹簧的弹性势能总和保持不变，弹簧振子在平衡位置时动能
最大，故此时振动系统的势能最小，C正确，D错误。
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题组三　简谐运动对称性的拓展应用
7. （多选）如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，弹簧劲度系数分
别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向
右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动（不计阻力），O为平衡
位置，则下列判断正确的是（　　）
A. m做简谐运动，OC＝OB
B. m做简谐运动，OC≠OB
C. 回复力F＝－kx
D. 回复力F＝－3kx
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解析： 　以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右
方x处时所受合力F＝－（k1x＋k2x）＝－3kx，因此物体做简谐运
动，由对称性可知OC＝OB＝A，故A、D正确。
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8. （多选）如图所示，一质量为M的木质框架放在水平桌面上，框架上悬挂一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端拴接两个质量均为m的铁球（铁球离框架下端足够远，两球间用轻杆相连），系统处于静止状态。用手向下拉一小段距离后释放铁球，两铁球便上下做简谐运动，框架保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
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A. 铁球在振动的过程中，速度相同时，弹簧的弹性势能也相同
B. 若两铁球在最低点时，A、B球之间断开，则A球继续做简谐振动，振幅不变
C. 铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力的功率一直增大
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解析： 　在关于平衡位置对称的两侧，振子的速度相同时，弹
簧的弹性势能不同，故A错误；若两铁球在最低点时，A、B球之间
断开，则A球继续做简谐振动，由于在最低点时弹簧的弹性势能一
定，则小球的振幅不变，故B正确；铁球从最低点向平衡位置运动
的过程中，回复力减小直到为零，速度从零开始增加，由P＝Fv可
知，在最低点时回复力的功率为零，在平衡位置时回复力的功率也
为零，在最低点与平衡位置间功率不为零，则回复力的功率先增大
后减小，故C错误；
若要保证木质框架不会离开桌面，则框架对桌面的最小压力恰好等于
0，此时，以框架为研究对象，弹簧对框架向上的作用力等于框架的
重力Mg，则轻弹簧处于压缩状态，弹簧的弹力F＝Mg＝kx'，压缩量
为x'＝，小铁球处于平衡位置时，弹簧处于伸长状态，伸长量为x＝
，所以铁球的振幅为A＝x＋x'＝，故D正确。
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9. 如图所示，在粗细均匀的一根木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大
的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离（木筷下端未离开水
面）后放手，木筷就在水中上下振动。不考虑振动过程中的能量损
失，则（　　）
A. 木筷的振动不是简谐运动
B. 木筷振动的回复力为水对木筷的浮力
C. 木筷在振动过程中所受的合力与振动位移成正比
D. 木筷振动到最低点时底端距水面的距离为振幅
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解析： 　设木筷的截面积为S，质量为m，水的密度为ρ，静止时
水下长度为x0，根据平衡条件ρSgx0＝mg，把木筷往上提起一段距离
x，根据牛顿第二定律F合＝ρgS（x0－x）－mg，解得F合＝－ρgSx，
木筷的振动是简谐运动，A、B错误，C正确；木筷振动到最低点时
底端距水面的距离与x0之差为振幅，D错误。
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10. （多选）如图所示，轻质弹簧下挂重为 300 N 的物体A时，弹簧伸
长了3 cm，再挂上重为200 N的物体B时，弹簧又伸长了2 cm，现
将A、B间的细线烧断，使A在竖直平面内振动，则（　　）
A. 最大回复力为500 N，振幅为5 cm
B. 最大回复力为200 N，振幅为2 cm
C. 只减小A的质量，振动的振幅变小
D. 只减小B的质量，振动的振幅变小
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解析： 　轻质弹簧下挂物体A时伸长了3 cm，此时A的位置为A
做简谐运动时的平衡位置，若将连接A、B两物体的细线烧断，物
体A将做简谐运动，烧断瞬间，A所受合力充当回复力，由于细线
烧断前A处于平衡状态，所受细线拉力为200 N，则细线烧断瞬间
A所受合力大小为200 N，即最大回复力为200 N，刚烧断细线时物
体A的加速度最大，处于最大位移处，故振幅为2 cm，A错误，B
正确；细线烧断前，有（mA＋mB）g＝kx1，细线烧断后，A在平
衡位置时有mAg＝kx2，振幅为A＝x1－x2＝，可知只减小A的质
量，振幅不变，只减小B的质量，振幅变小，C错误，D正确。
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11. （2023·山东济宁高二期末）如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧下
端挂一质量为m的小球（可视为质点），小球在竖直方向上做简谐
运动，弹簧对小球的拉力F随时间t变化的图像如图乙所示。已知
弹簧弹性势能的表达式为Ep＝kx2，x为弹簧的形变量，重力加速
度为g。下列说法正确的是（　　）
B. 小球的最大加速度为2g
D. 在振动过程中，弹簧的弹性势能和小球的动能总和不变
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解析： 　小球的振幅为A＝－＝，A错误；弹簧的弹
力最大时，小球的加速度最大，则2mg－mg＝ma，解得a＝g，
即小球的最大加速度等于重力加速度，B错误；小球所受的合
外力为0，
加速度为0时，速度最大，动能最大，则有kx＝mg，解得x＝
，根据动能定理有mgx－kx2＝Ekmax，解得Ekmax＝
，C正确；由于弹簧与小球组成的系统机械能守恒，所
以弹簧的弹性势能和小球动能、重力势能总和不变，D错误。
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12. （多选）（2020·山东高考11题）如图所示，质量为M的物块A放
置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧
通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量
为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释
放，当B下降到最低点时（未着地），A对水平桌面的压力刚好为
零。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止
状态。以下判断正确的是（　　）
A. M＜2m
B. 2m＜M＜3m
C. 在B从释放位置运动到最低点的过程中，B所受合力对B先做正功后做负功
D. 在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
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解析： 　钩码B释放后做简谐运动，根据简谐运动的对称性，
钩码B在最高点加速度大小为g，所以在最低点加速度大小也为g。
在最低点对B由牛顿第二定律有F－mg＝ma，得F＝2mg，而B在最
低点时物块A对水平桌面的压力刚好为零，可知A左侧轻绳上拉力
的竖直分力等于Mg，故M＜2m，A项正确，B项错误；B从释放位
置到最低点的过程中，速度先增大后减小，由动能定理可知，合
力对B先做正功后做负功，C项正确；由功能关系可知，B从释放
到速度最大过程中B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量，
D项正确。
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