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6.受迫振动　共振
题组一　简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
1.（多选）如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是（　　）
A.振动过程中周期变小
B.振动过程中周期不变
C.摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D.摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
2.（多选）一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是（　　）
A.单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B.单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C.单摆振幅减小，频率也随着减小
D.单摆振幅虽然减小，但其频率不变
3.（多选）关于受迫振动，以下说法中正确的是（　　）
A.是在一恒力作用下的振动
B.振动频率可能大于或小于系统的固有频率
C.振动频率一定等于固有频率
D.振动频率一定等于驱动力的频率
4.（多选）如图为水平弹簧振子做阻尼振动的振动图像。下列说法中正确的是（　　 ）
A.振子在A时刻的动能等于B时刻的动能
B.振子在A时刻的势能等于B时刻的势能
C.振子在A时刻的机械能等于C时刻的机械能
D.振子在B时刻的机械能大于C时刻的机械能
题组二　共振的理解及应用
5.为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到使车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可有效降低车速。如果某路面上的减速带的间距为2.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是（　　 ）
A.当汽车以8 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz
B.汽车速度越大，颠簸就越厉害
C.当汽车以5 m/s的速度行驶时颠簸最厉害
D.当汽车以5 m/s的速度行驶时最不颠簸
6.如图所示是用来测量各种发动机转速的转速计原理图。在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为 100 Hz、90 Hz、80 Hz、70 Hz的四个钢片a、b、c、d，将M端与正在转动的电动机接触，发现b钢片振幅很大，其余钢片振幅很小。则（　　）
A.钢片a的振动频率约为100 Hz
B.钢片b的振动频率约为90 Hz
C.钢片c的振动频率约为80 Hz
D.电动机的转速约为90 r/min
7.（多选）如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则稳定后（　　）
A.其他各摆振动周期跟A摆相同
B.其他各摆振动的振幅大小相等
C.其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大
D.B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小
8.如图所示，竖直圆盘可绕水平中心轴O转动，固定在圆盘边缘上的小圆柱P带动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下端连着一个弹簧振子，小球始终在水中，当圆盘静止时，小球阻尼振动的频率约为3 Hz。现使圆盘以4 s的周期匀速转动，当小球振动达到稳定后（　　）
A.小球的振动频率约为3 Hz
B.T型支架的运动是简谐运动
C.T型支架在最高点时所受的合外力向上
D.若圆盘匀速转动的周期变为5 s，稳定后小球的振幅将增大
9.如图所示装置中，已知弹簧振子的固有频率f固＝2 Hz，电动机皮带轮的直径d1是曲轴皮带轮直径d2的。为使弹簧振子的振幅最大，则电动机的转速应为（　　）
A.60 r/min B.120 r/min
C.30 r/min D.240 r/min
10.（多选）某种减噪装置结构如图所示，通过装置的共振可吸收声波。已知其固有频率为f0＝（SI），其中σ为薄板单位面积的质量，L为空气层的厚度。经测试发现它对频率为200 Hz的声音减噪效果最强，若外界声波频率由200 Hz变为300 Hz时，则（　　 ）
A.系统振动频率为200 Hz
B.系统振动频率为300 Hz
C.为获得更好的减噪效果，可仅增大L的大小
D.为获得更好的减噪效果，可仅换用σ更小的薄板
11.（多选）正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动不强烈，切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动，此后飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱，在机器停下来之后，若重新启动机器，使飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到ω0，在这一过程中（　　）
A.机器不一定还会发生强烈的振动
B.机器一定还会发生强烈的振动
C.若机器发生强烈振动，强烈振动可能发生在飞轮角速度为ω0时
D.若机器发生强烈振动，强烈振动时飞轮的角速度肯定不为ω0
12.（多选）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是（　　）
A.若使M振动起来，P不会振动
B.若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s
C.若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大
D.若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
13.“飞力士棒”是德国物理治疗师发明的一种物理康复器材，也是一种有效加强躯干肌肉功能的训练器材。标准型飞力士棒整体结构有中间的握柄和两端负重头，它们用一根PVC软杆连接，质量为508 g，长度为1.525 m，棒的固有频率为4.5 Hz，如图所示，可以使用双手进行驱动，则下列关于飞力士棒的认识正确的是（　　）
A.使用者用力越大“飞力士棒”振动越快
B.随着手振动的频率增大，“飞力士棒”振动的幅度一定越来越大
C.双手驱动该“飞力士棒”每分钟振动270次全振动，会产生共振
D.负重头质量相同，同样材料的PVC杆缩短，“飞力士棒”的固有频率不变
6.受迫振动　共振
1.BC　阻尼振动中，单摆的振幅逐渐减小，周期与振幅无关，振动过程中周期不变，A错误，B正确；因A、B两时刻的位移相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，C正确；由于振动的能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，D错误。
2.AD　单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功，使机械能转化为其他形式的能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，不能确定两个时刻的动能与势能的大小关系，故A正确，B错误；做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，C错误，D正确。
3.BD　受迫振动是系统在外界周期性驱动力作用下的振动，驱动力是周期性的，不可能为恒力；系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，这个频率可能大于、等于或小于固有频率，故B、D正确。
4.BD　振子做阻尼振动，因此机械能不断减小，D正确，C错误；A、B两时刻关于平衡位置对称，弹性势能相同，B正确；因机械能越来越小，所以B时刻动能小于A时刻动能，A错误。
5.C　当汽车以8 m/s的速度行驶时，汽车振动的频率为f＝＝ Hz＝3.2 Hz，故A错误；当汽车以5 m/s 的速度行驶时，驱动力的周期为T＝＝ s＝0.5 s，所以频率等于f＝＝2 Hz，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体发生共振，振幅最大，显然此时驱动力的频率和汽车的固有频率相同，所以此时汽车颠簸最厉害，故C正确，B、D错误。
6.B　钢片a、b、c、d在电动机转动下做受迫振动，则钢片a、b、c、d的振动频率相同，等于电动机转动的频率。由于b钢片振幅很大，说明b钢片的振动频率接近电动机转动的频率，可见此时钢片a、b、c、d的振动频率都约为90 Hz，电动机转动的频率也约为 90 Hz，则电动机转动的转速n＝f＝90 Hz＝90 r/s。故B正确，A、C、D错误。
7.ACD　A摆振动后迫使水平绳振动，水平绳又迫使B、C、D、E四摆做受迫振动，由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同。驱动力的频率等于A摆的固有频率fA＝＝，其余四摆的固有频率与驱动力的频率关系：fB＝≈1.41fA，fC＝ ≈0.82fA，fD＝≈0.71fA，fE＝＝fA。可见只有E摆的固有频率与驱动力的频率相等，它发生共振现象，其振幅最大，B、C、D三个摆均不发生共振，振幅各异，其中B摆的固有频率与驱动力的频率相差最大，所以它的振幅最小。故A、C、D正确。
8.B　当小球振动达到稳定后，小球的振动频率等于驱动力的频率，即为 Hz＝0.25 Hz，故A错误；当振动达到稳定后，T型支架总是在一定区间上下振动，可知T型支架的运动是简谐运动，故B正确；简谐振动的回复力总是和位移方向相反，可知T型支架在最高点时所受的合外力向下，故C错误；由题意可知，小球的固有频率为3 Hz，若圆盘匀速转动的周期变为5 s，即频率为0.2 Hz，因为小球的频率越接近固有频率时，振幅越大，由3 Hz－0.2 Hz＞3 Hz－0.25 Hz，可知稳定后小球的振幅将减小，故D错误。
9.D　若使振子振幅最大，则曲轴转动频率为 f＝2 Hz，即转速为n2＝2 r/s。由于＝＝，2πr1n1＝2πr2n2，故＝，所以电动机转速为4 r/s，即 240 r/min。故D正确，A、B、C错误。
10.BD　当系统做受迫振动时，振动时的频率等于驱动力的频率，即为300 Hz，故A错误，B正确；由于驱动力的频率大于系统的固有频率，在驱动力的频率一定时，为获得更好的减噪效果，应使系统的固有频率增大，由f0＝（SI）可知，应减小σ或L，故C错误，D正确。
11.BD　飞轮在转速逐渐减小的过程中，机器出现强烈的振动，说明发生共振现象，共振现象产生的条件是驱动力频率等于系统的固有频率，故当机器重新启动时，飞轮转速缓慢增大的过程中，一旦达到共振条件，机器一定还会发生强烈的振动，故A错误，B正确；由题意可知，发生强烈共振时，飞轮的角速度一定小于ω0，故C错误，D正确。
12.CD　若使M振动起来，其他单摆也会振动，做受迫振动，故A错误；受迫振动的周期等于驱动力的周期，故B错误；若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，故C正确；O的周期为3 s，使O振动起来，M做受迫振动，则稳定时M的振动周期为3 s，故D正确。
13.C　使用者用力大小影响的是振幅，与振动快慢没有关系，故A错误；随着手振动的频率增大，“飞力士棒”振动的频率随之增大，但是幅度不一定越来越大，故B错误；双手驱动该“飞力士棒”每分钟振动270次全振动，则驱动力的频率为f＝Hz＝4.5 Hz，与“飞力士棒”的固有频率相等，会产生共振，故C正确；负重头质量相同，同样材料的PVC杆缩短，“飞力士棒”的固有频率会变化，故D错误。
4 / 46.受迫振动　共振
课标要求 素养目标
1.通过实验，认识受迫振动的特点。 2.了解产生共振的条件及其应用 1.知道阻尼振动和受迫振动、共振的概念。（物理观念） 2.知道固有频率、驱动力频率与受迫振动频率之间的区别和联系。 理解共振的条件及共振曲线的意义。（科学思维） 3.能应用共振条件解释日常生活中共振的应用与防止的事例。（科学探究）
知识点一　振动中的能量损失
1.固有振动和固有频率
（1）固有振动：没有　　　　干预的情况下、仅由　　　　自身的性质决定的振动。
（2）固有频率（周期）：　　　　的振动频率（周期）。
2.阻尼振动
（1）定义：　　　　逐渐减小的振动。
（2）阻尼振动图像如图所示。
3.振动系统中能量衰减的两种方式
（1）由于振动系统受到摩擦阻力的作用，使振动系统的机械能逐渐转化为　　　　。
（2）由于振动系统引起邻近介质中各质点的　　　　，使能量向四周辐射，从而自身机械能　　　　。
知识点二　受迫振动　共振现象及其应用
1.受迫振动
（1）驱动力：作用于振动系统的　　　　的外力。
（2）受迫振动：振动系统在　　　　作用下的振动。
（3）受迫振动的频率：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于　　　　的频率，与物体的固有频率　　　　。
2.共振
（1）定义：当驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到　　　　的现象。
（2）共振曲线：如图所示。表示受迫振动的　　　　与　　　　　　的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。
3.共振的应用与防止
（1）应用：要利用共振现象，应尽量使驱动力的频率接近或等于物体的固有频率。如：共振筛、共振转速计等。
（2）防止：要防止共振现象的危害，应尽量使驱动力的频率远离物体的固有频率，而且相差越大越好。如：部队过桥应便步走，桥梁、码头等各种建筑的设计施工中，飞机、汽车、轮船的发动机等机器设备的设计、制造、安装中，都必须防止共振产生危害。
【情景思辨】
　如图所示是家庭用波轮式、滚筒式两款洗衣机的脱水桶展示图，洗衣机在完成衣服脱水程序后，电动机还要转动一小段时间才能停下来，在此过程中发现洗衣机机身的振动会经历如下变化：先是振动幅度越来越大，然后一小会儿振动得很剧烈，再经历机身的振动幅度慢慢减小直至停下来。
　（1）洗衣机工作时电动机的转动会产生周期性驱动力，使机身做受迫振动。（　　）
（2）洗衣机正常脱水时机身振动的幅度较小，是因为电动机转动频率接近洗衣机的固有频率。（　　）
（3）当脱水终止后“机身振动幅度越来越大”，是因为电动机转动的频率越来越接近机身的固有频率。（　　）
（4）机身“有一小会儿振动得很剧烈”是因为电动机转动频率接近或等于机身的固有频率时，机身发生共振现象。（　　）
（5）“机身的振动幅度会慢慢减小”是因为电动机转动频率逐渐接近机身的固有频率。（　　）
要点一　简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
　简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生 条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱 动力作用
频率 固有频率 频率不变 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化 不确定
振动 图像 形状不确定
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱 扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
【典例1】　某物理学习小组制作了一个实验装置，如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动，求：
（1）如果不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在 10 s 内完成了40次全振动。
①如果不计空气阻力和摩擦，振子做什么运动？其固有周期和固有频率各是多少？
②如果考虑空气阻力和摩擦，振子做什么运动？其振动的周期和频率各是多少？
（2）如果同学以转速8 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其振动周期和频率各是多少？
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
易错警示
（1）阻尼振动中振动系统的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小；但是不改变振动的周期和频率。
（2）受迫振动的频率（周期）决定于驱动力的频率（周期），与固有频率（周期）无关。
1.小朋友玩秋千时，秋千自由摆动的振幅越来越小，下列说法正确的是（　　）
A.机械能守恒
B.能量正在消失
C.总能量守恒，机械能减小
D.只有动能和势能的相互转化
2.一单摆做阻尼振动的位移—时间图像如图所示，比较摆球在P与N时刻的下列物理量，正确的是（　　）
A.速率vP＝vN　　 　 B.受到的拉力FP＞FN
C.重力势能EpP＞EpN D.机械能EP＜EN
要点二　共振的理解及应用
【探究】唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨一种叫磬的乐器，如图所示。奇怪的是磬在无人弹拨时经常自发鸣响，无缘无故地发出嗡嗡的声音，磬无故而鸣，使和尚大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽作怪，结果忧虑成疾，病倒在床。一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑，正在说话时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声。和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了。和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈。请思考：
（1）磬为什么会不敲自鸣呢？
（2）和尚的朋友悄悄用钢锉在磬上锉了几处之后，为什么磬再也不会无故发声？
【归纳】
1.对共振条件的理解
（1）从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
（2）从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
2.对共振曲线的理解
（1）共振曲线的意义：反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频率的关系，如图所示。
（2）f0的意义：表示做受迫振动物体的固有频率。
（3）规律：①当f＝f0时，发生共振，振幅最大；
②当f＜f0时，f增大，振幅增大；
③当f＞f0时，f增大，振幅减小；
（4）结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小。
角度1　共振曲线的理解
【典例2】　如图所示为“双峰值”的共振曲线。
（1）若两个“峰值”表示在地球上同一地点的两个不同单摆的共振曲线，求两个单摆的摆长之比。
（2）若两个“峰值”表示同一单摆分别在地球和另一个星球上的共振曲线，求地球和该星球表面的重力加速度之比。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
规律方法
分析共振问题的方法
（1）在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率，此时振动的振幅最大。
（2）在分析有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解。
角度2　共振的应用
【典例3】　把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是88 r/min。为使共振筛的振幅增大，以下做法可行的是（　　）
A.降低输入电压或减小筛子质量
B.降低输入电压或增加筛子质量
C.增大输入电压或减小筛子质量
D.增大输入电压或增加筛子质量
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示，松果采摘机利用机械臂抱紧树干，通过采摘振动头振动而摇动树干，使得松果脱落。下列说法正确是（　　）
A.工作中，树干的振动频率等于采摘振动头的振动频率
B.采摘振动头振动频率越高，则落果的效果越好
C.采摘振动头振动频率越高，则树干的振动幅度越大
D.采摘振动头停止振动，则树干的振动频率逐渐减小
2.图（a）为演示单摆共振的装置，实验时依次让不同的单摆先摆起来，观察单摆P（图中未标出）能达到的最大振幅A和稳定时的振动频率f，并描点记录在图（b）中，用光滑曲线连接各点得到如图（b）所示曲线。取重力加速度g＝π2 m/s2，则
（1）单摆P的固有频率约为多少？
（2）装置（a）中有多少个单摆的摆长约为1.0 m？
（3）当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆摆长约为多少？
1.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.单摆的自由振动属于固有振动
B.弹簧振子受迫振动时，其振动的频率等于驱动力的频率
C.驱动力频率接近或等于固有频率时，弹簧振子会产生共振现象
D.弹簧振子做阻尼振动时，振子振动的频率不断减小
2.如图所示，“洗”是古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，现代亦有许多仿制的工艺品，倒些清水在其中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，到一定节奏时还会溅起层层水花，下列关于“洗”的说法正确的是（　　）
A.手掌摩擦得越快则溅起的水花越高
B.溅起水花的原因是由于手推动了“洗”
C.该种现象属于受迫振动
D.盆中的嗡嗡声是手与“洗”摩擦产生的声音
3.如图所示为路面共振破碎机，用于旧水泥路面破碎。破碎机工作锤头上装有专用传感器，感应路面的振动反馈，由电脑自动调节振动频率，激发锤头下水泥路面局部范围产生共振，使路面内部颗粒间的摩擦阻力迅速减小而崩溃，从而将水泥路面击碎。结合你所学的知识判断以下说法正确的是（　　）
A.锤头周期性击打路面过程中，传感器接收到的频率就是水泥路面振动的固有频率
B.锤头周期性击打水泥路面停止工作后，水泥路面振动的固有频率随着振幅减小而减小
C.调节振动锤头的振动频率等于水泥路面的固有频率时，水泥路面发生共振
D.水泥路面发生共振时，水泥的内部颗粒所做的运动一定是简谐振动
4.下表记录了某受迫振动的振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则（　　）
驱动力频率/Hz 30 40 50 60 70 80
受迫振动振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3
A.f固＝60 Hz
B.60 Hz＜f固＜70 Hz
C.50 Hz＜f固≤60 Hz
D.以上三个都不对
5.蜘蛛虽有8只眼睛，但视力很差，完全靠触觉来捕食和生活，它的腿能敏捷地感觉到落在丝网上的昆虫对丝网造成的振动。当丝网的振动频率为f＝200 Hz左右时，丝网振动的振幅最大，最大振幅为0.5 cm。已知该丝网共振时，蜘蛛能立即捕捉到丝网上的昆虫位置。则对于落在丝网上的昆虫
（1）当其翅膀振动的频率为多少时，蜘蛛能立即捕捉到它的位置？
（2）当其翅膀振动的频率为250 Hz时，该丝网的振幅是否小于0.5 cm？
6.受迫振动　共振
【基础知识·准落实】
知识点一
1.（1）外力　系统　（2）固有振动　2.（1）振幅　3.（1）内能　（2）振动　减少
知识点二
1.（1）周期性　（2）驱动力　（3）驱动力　无关　2.（1）最大值　（2）振幅A　驱动力频率f
情景思辨
（1）√　（2）×　（3）√　（4）√　（5）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　（1）①简谐运动　0.25 s　4 Hz　②阻尼振动　0.25 s
4 Hz　（2）受迫振动　0.125 s　8 Hz
解析：（1）如果不转动把手，用手往下拉振子使振动系统获得一定能量，放手后：
①如果不计空气阻力和摩擦的情况下，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反（F＝－kx），故它做简谐运动，其周期和频率是由它本身的性质决定的，称固有周期（T固）和固有频率（f固），根据题意可得T固＝ s＝0.25 s，f固＝ Hz＝4 Hz。
②如果考虑空气阻力和摩擦，振子在振动过程中要克服摩擦力和阻力做功，消耗机械能，导致其振幅越来越小，故振动为阻尼振动；阻尼作用不改变振动的周期和频率，即T＝0.25 s，f＝4 Hz。
（2）如果同学以转速8 r/s匀速转动把手，振子做受迫振动，振动达到稳定状态后，其振动的频率f（或周期T）等于驱动力的频率（或周期），而跟固有频率（或周期）无关，故弹簧振子的振动频率为f驱＝8 Hz，周期T驱＝ s＝0.125 s。
素养训练
1.C　自由摆动的秋千，振幅越来越小，则振动系统中的能量转化不只是系统内部动能和势能的相互转化，振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行着能量交换，但总能量守恒，系统由于受到阻力，消耗系统机械能，从而使振动的机械能不断减小，故C正确。
2.B　由于单摆在运动过程中要克服阻力做功，振幅逐渐减小，摆球的机械能逐渐减少，所以摆球在P时刻的机械能大于在N时刻的机械能，摆球的势能是由摆球相对于零势能点的高度h和摆球的质量m共同决定的（Ep＝mgh）。单摆摆球的质量是定值，由于P、N两时刻摆球的位移大小相同，故在这两个时刻摆球相对零势能点的高度相同，重力势能也相同，但由于P时刻的机械能大于N时刻的机械能，所以P时刻的动能大于N时刻的动能，根据动能的公式Ek＝mv2，可得速率vP＞vN，故A、C、D错误；由于P、N两时刻摆球的位移大小相同，所以其细线拉力与竖直方向上的夹角也相等，对单摆受力分析，根据牛顿第二定律得F－mgcos θ＝m，解得受到的拉力为FP＞FN，故B正确。
要点二
知识精研
【探究】　提示：（1）磬不敲自鸣是共振现象。磬的固有频率和寺院里钟的振动频率一样，因此每当钟响时，引起磬的共振而发出嗡嗡之声。
（2）和尚的朋友悄悄用钢锉在磬上锉了几处之后，改变了其固有频率，使其固有频率与钟的振动频率不一致了，钟响时不会引起磬的共振而无故发声了。
【典例2】　（1） 25∶4　（2）4∶25
解析：（1）若两个“峰值”表示在地球上同一地点的两个不同单摆的共振曲线，则g相同，
由共振曲线得单摆Ⅰ的固有频率fⅠ＝0.2 Hz，
则固有周期TⅠ＝5 s，
单摆Ⅱ的固有频率fⅡ＝0.5 Hz，
则固有周期TⅡ＝2 s，
由单摆的周期公式T＝2π得两个单摆的摆长之比lⅠ∶lⅡ＝∶＝25∶4。
（2）若两个“峰值”表示同一单摆分别在地球和另一个星球上的共振曲线，则摆长l一定，由单摆的周期公式T＝2π得地球和该星球表面的重力加速度之比gⅠ∶gⅡ＝∶＝4∶25。
【典例3】　A　根据题意，在某电压下电动偏心轮的转速是88 r/min，则f＝ Hz≈1.47 Hz，由题图乙可知筛子的固有频率为f0＝0.8 Hz＜f，由于驱动力的频率大于筛子的固有频率，故要使振幅变大，可以减小驱动力的频率，或增大筛子的固有频率，即可以降低输入电压或减小筛子的质量。故A正确。
素养训练
1.A　工作中，树干做的是受迫振动，其振动频率等于采摘振动头的振动频率，故A正确；采摘振动头振动频率和树干的固有频率相同时，振幅最大，落果效果最好，故B、C错误；采摘振动头停止振动，则树干的振动频率不变，振幅逐渐减小，故D错误。
2.（1）0.5 Hz　（2）两个　（3）0.25 m
解析：图（b）为单摆P的共振曲线，振幅最大时对应的频率0.5 Hz接近或等于其固有频率；单摆P振幅最大时，先振动的单摆与P的固有周期相近或相同，P的固有周期约为2.0 s，由T＝2π可求得其摆长约为1.0 m，说明装置中至少有两个单摆的摆长约为1.0 m；当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆的固有频率也为1.0 Hz，由T＝2π，可得摆长约0.25 m。
【教学效果·勤检测】
1.ABC　单摆的自由振动属于固有振动，故A正确；振子受迫振动时，其振动的频率等于驱动力的频率，故B正确；驱动力频率接近或等于固有频率时，振子会产生共振现象，故C正确；阻尼振动时，振子的振幅逐渐减小，但频率仍等于固有频率，故D错误。
2.C　用手摩擦盆耳，溅起水花是因为“洗”做受迫振动造成的，当其摩擦的频率等于“洗”的固有频率，使其达到共振时，溅起的水花最高，并不是手掌摩擦得越快溅起的水花越高。盆中的嗡嗡声是“洗”振动时产生的声音。故A、B、D错误，C正确。
3.C　不管系统的固有频率如何，它做受迫振动的频率总等于周期性驱动力的频率，所以传感器接收到的频率是锤头击打路面的频率，故A错误；系统的固有频率与是否受到外力作用无关，锤头周期性击打水泥路面停止工作后，水泥路面振动的固有频率不变，故B错误；根据共振发生的条件可知当振动锤头的振动频率等于水泥路面的固有频率时，水泥路面发生共振，故C正确；做简谐运动的物体受到的回复力是振动系统内部的相互作用力，水泥路面发生共振时，其受到外力作用，所以此时水泥的内部颗粒所做的运动不是简谐振动，故D错误。
4.C　从如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大。并可以从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越小。比较各组数据知f驱在50～60 Hz范围内时，振幅变化最小，因此 50 Hz＜f固≤60 Hz，故C正确。
5.（1）200 Hz左右　（2）小于
解析：当昆虫翅膀振动的频率与丝网的振动频率相等时，即翅膀振动的频率f'＝f＝200 Hz时，蜘蛛能立即捕捉到它的位置；根据周期与频率之间的关系得T＝＝ s＝0.005 s，当昆虫翅膀振动的周期为0.005 s左右时，蜘蛛能立即捕捉到它的位置；当昆虫翅膀振动的频率为250 Hz左右时，没有发生共振，故该丝网的振幅小于0.5 cm。
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6.受迫振动　共振
课标要求 素养目标
1.通过实验，认识受迫振动的特点。 2.了解产生共振的条件及其应用 1.知道阻尼振动和受迫振动、共振的概念。
（物理观念）
2.知道固有频率、驱动力频率与受迫振动频率
之间的区别和联系。
理解共振的条件及共振曲线的意义。（科学思维）
3.能应用共振条件解释日常生活中共振的应用
与防止的事例。（科学探究）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　振动中的能量损失
1. 固有振动和固有频率
（1）固有振动：没有 干预的情况下、仅由 自身
的性质决定的振动。
（2）固有频率（周期）： 的振动频率（周期）。
外力　
系统　
固有振动　
2. 阻尼振动
（1）定义： 逐渐减小的振动。
（2）阻尼振动图像如图所示。
振幅　
3. 振动系统中能量衰减的两种方式
（1）由于振动系统受到摩擦阻力的作用，使振动系统的机械能逐
渐转化为 。
（2）由于振动系统引起邻近介质中各质点的 ，使能量向
四周辐射，从而自身机械能 。
内能　
振动　
减少　
知识点二　受迫振动　共振现象及其应用
1. 受迫振动
（1）驱动力：作用于振动系统的 的外力。
（2）受迫振动：振动系统在 作用下的振动。
（3）受迫振动的频率：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的
频率等于 的频率，与物体的固有频率 。
周期性　
驱动力　
驱动力　
无关　
2. 共振
（1）定义：当驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，物体做
受迫振动的振幅达到 的现象。
（2）共振曲线：如图所示。表示受迫振动的 与
的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。
最大值　
振幅A　
驱动力
频率f　
3. 共振的应用与防止
（1）应用：要利用共振现象，应尽量使驱动力的频率接近或等于
物体的固有频率。如：共振筛、共振转速计等。
（2）防止：要防止共振现象的危害，应尽量使驱动力的频率远离
物体的固有频率，而且相差越大越好。如：部队过桥应便步
走，桥梁、码头等各种建筑的设计施工中，飞机、汽车、轮
船的发动机等机器设备的设计、制造、安装中，都必须防止
共振产生危害。
【情景思辨】
　如图所示是家庭用波轮式、滚筒式两款洗衣机的脱水桶展示图，洗
衣机在完成衣服脱水程序后，电动机还要转动一小段时间才能停下
来，在此过程中发现洗衣机机身的振动会经历如下变化：先是振动幅
度越来越大，然后一小会儿振动得很剧烈，再经历机身的振动幅度慢
慢减小直至停下来。
（1）洗衣机工作时电动机的转动会产生周期性驱动力，使机身做受
迫振动。 （　√　）
（2）洗衣机正常脱水时机身振动的幅度较小，是因为电动机转动频
率接近洗衣机的固有频率。 （　×　）
√
×
（3）当脱水终止后“机身振动幅度越来越大”，是因为电动机转动
的频率越来越接近机身的固有频率。 （　√　）
（4）机身“有一小会儿振动得很剧烈”是因为电动机转动频率接近
或等于机身的固有频率时，机身发生共振现象。 （　√　）
（5）“机身的振动幅度会慢慢减小”是因为电动机转动频率逐渐接
近机身的固有频率。 （　×　）
√
√
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
　简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生 条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱
动力作用
频率 固有频率 频率不变 驱动力频率
简谐运动 阻尼振动 受迫振动
振幅 不变 减小 大小变化不确定
振动 图像 形状不确定
实例 弹簧振子振动，单摆
做小角度摆动 敲锣打鼓发出的
声音越来越弱 扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
【典例1】　某物理学习小组制作了一个实验装置，
如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转
动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动，求：
（1）如果不转动把手，而用手往下拉振子，然后
放手让振子上下振动，测得振子在 10 s 内完成了40
次全振动。
①如果不计空气阻力和摩擦，振子做什么运动？其固有周期和
固有频率各是多少？
②如果考虑空气阻力和摩擦，振子做什么运动？其振动的周期
和频率各是多少？
答案： ①简谐运动　0.25 s　4 Hz　②阻尼振动　0.25 s　4 Hz　
解析： 如果不转动把手，用手往下拉振子使振动系统获得一定能量，放手后：
①如果不计空气阻力和摩擦的情况下，振子因所受回复力与位
移成正比，方向与位移方向相反（F＝－kx），故它做简谐运
动，其周期和频率是由它本身的性质决定的，称固有周期（T
固）和固有频率（f固），根据题意可得T固＝ s＝0.25 s，f固＝
Hz＝4 Hz。
②如果考虑空气阻力和摩擦，振子在振动过程中要克服摩擦力
和阻力做功，消耗机械能，导致其振幅越来越小，故振动为阻
尼振动；阻尼作用不改变振动的周期和频率，即T＝0.25 s，f＝4
Hz。
（2）如果同学以转速8 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做
什么运动？其振动周期和频率各是多少？
答案： 受迫振动　0.125 s　8 Hz
解析：如果同学以转速8 r/s匀速转动把手，振子做受迫振动，振
动达到稳定状态后，其振动的频率f（或周期T）等于驱动力的
频率（或周期），而跟固有频率（或周期）无关，故弹簧振子
的振动频率为f驱＝8 Hz，周期T驱＝ s＝0.125 s。
易错警示
（1）阻尼振动中振动系统的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小；但是
不改变振动的周期和频率。
（2）受迫振动的频率（周期）决定于驱动力的频率（周期），与固
有频率（周期）无关。
1. 小朋友玩秋千时，秋千自由摆动的振幅越来越小，下列说法正确的
是（　　）
A. 机械能守恒
B. 能量正在消失
C. 总能量守恒，机械能减小
D. 只有动能和势能的相互转化
解析： 　自由摆动的秋千，振幅越来越小，则振动系统中的能
量转化不只是系统内部动能和势能的相互转化，振动系统是一
个开放系统，与外界时刻进行着能量交换，但总能量守恒，系
统由于受到阻力，消耗系统机械能，从而使振动的机械能不断
减小，故C正确。
2. 一单摆做阻尼振动的位移—时间图像如图所示，比较摆球在P与N时
刻的下列物理量，正确的是（　　）
A. 速率vP＝vN B. 受到的拉力FP＞FN
C. 重力势能EpP＞EpN D. 机械能EP＜EN
解析： 　由于单摆在运动过程中要克服阻力做功，振幅逐渐减
小，摆球的机械能逐渐减少，所以摆球在P时刻的机械能大于在N时
刻的机械能，摆球的势能是由摆球相对于零势能点的高度h和摆球
的质量m共同决定的（Ep＝mgh）。单摆摆球的质量是定值，由于
P、N两时刻摆球的位移大小相同，故在这两个时刻摆球相对零势能
点的高度相同，重力势能也相同，但由于P时刻的机械能大于N时刻
的机械能，所以P时刻的动能大于N时刻的动能，根据动能的公式Ek
＝mv2，可得速率vP＞vN，故A、C、D错误；由于P、N两时刻摆球的位移大小相同，所以其细线拉力与竖直方向上的夹角也相等，对单摆受力分析，根据牛顿第二定律得F－mgcos θ＝m，解得受到的拉力为FP＞FN，故B正确。
要点二　共振的理解及应用
【探究】
　唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨一种叫磬的乐器，如
图所示。奇怪的是磬在无人弹拨时经常自发鸣响，
无缘无故地发出嗡嗡的声音，磬无故而鸣，使和尚
大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽
作怪，结果忧虑成疾，病倒在床。一天，和尚向前
来探望他的朋友诉说了内心的忧虑，正在说话时，
寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声。和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了。和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈。请思考：
（1）磬为什么会不敲自鸣呢？
提示： 磬不敲自鸣是共振现象。磬的固有频率和寺院里钟
的振动频率一样，因此每当钟响时，引起磬的共振而发出嗡嗡
之声。
（2）和尚的朋友悄悄用钢锉在磬上锉了几处之后，为什么磬再也不
会无故发声？
提示： 和尚的朋友悄悄用钢锉在磬上锉了几处之后，改变
了其固有频率，使其固有频率与钟的振动频率不一致了，钟响
时不会引起磬的共振而无故发声了。
【归纳】
1. 对共振条件的理解
（1）从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方
向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱
动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物
体的振幅增加，从而振幅达到最大。
（2）从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱
动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增
大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才
不再增加。
2. 对共振曲线的理解
（1）共振曲线的意义：反映了物体做受迫振动的振幅与驱动力频
率的关系，如图所示。
（2）f0的意义：表示做受迫振动物体的固有频率。
（3）规律：①当f＝f0时，发生共振，振幅最大；
②当f＜f0时，f增大，振幅增大；
③当f＞f0时，f增大，振幅减小；
（4）结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振
动的振幅越大，反之振幅越小。
角度1　共振曲线的理解
【典例2】　如图所示为“双峰值”的共振曲线。
（1）若两个“峰值”表示在地球上同一地点的两个不同单摆的共振
曲线，求两个单摆的摆长之比。
答案： 25∶4　
解析： 若两个“峰值”表示在地球上同一地点的两个不同
单摆的共振曲线，则g相同，
由共振曲线得单摆Ⅰ的固有频率fⅠ＝0.2 Hz，
则固有周期TⅠ＝5 s，
单摆Ⅱ的固有频率fⅡ＝0.5 Hz，
则固有周期TⅡ＝2 s，
由单摆的周期公式T＝2π得两个单摆的摆长之比lⅠ∶lⅡ＝
∶＝25∶4。
（2）若两个“峰值”表示同一单摆分别在地球和另一个星球上的共
振曲线，求地球和该星球表面的重力加速度之比。
答案： 4∶25
解析：若两个“峰值”表示同一单摆分别在地球和另一个星球上
的共振曲线，则摆长l一定，由单摆的周期公式T＝2π得地球
和该星球表面的重力加速度之比gⅠ∶gⅡ＝∶＝4∶25。
规律方法
分析共振问题的方法
（1）在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力
的频率等于固有频率，此时振动的振幅最大。
（2）在分析有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理
模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进
行求解。
角度2　共振的应用
【典例3】　把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏
心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如
图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏
心轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某
电压下偏心轮的转速是88 r/min。为使共振筛的振幅增大，以下做法
可行的是（　　）
A. 降低输入电压或减小筛子质量
B. 降低输入电压或增加筛子质量
C. 增大输入电压或减小筛子质量
D. 增大输入电压或增加筛子质量
解析：根据题意，在某电压下电动偏心轮的转速是88 r/min，则f＝
Hz≈1.47 Hz，由题图乙可知筛子的固有频率为f0＝0.8 Hz＜f，由于驱
动力的频率大于筛子的固有频率，故要使振幅变大，可以减小驱动力
的频率，或增大筛子的固有频率，即可以降低输入电压或减小筛子的
质量。故A正确。
1. 如图所示，松果采摘机利用机械臂抱紧树干，通过采摘振动头振动
而摇动树干，使得松果脱落。下列说法正确是（　　）
A. 工作中，树干的振动频率等于采摘振动头的振动
频率
B. 采摘振动头振动频率越高，则落果的效果越好
C. 采摘振动头振动频率越高，则树干的振动幅度越大
D. 采摘振动头停止振动，则树干的振动频率逐渐减小
解析： 　工作中，树干做的是受迫振动，其振动频率等于采摘振
动头的振动频率，故A正确；采摘振动头振动频率和树干的固有频
率相同时，振幅最大，落果效果最好，故B、C错误；采摘振动头
停止振动，则树干的振动频率不变，振幅逐渐减小，故D错误。
2. 图（a）为演示单摆共振的装置，实验时依次让不同的单摆先摆起
来，观察单摆P（图中未标出）能达到的最大振幅A和稳定时的振动
频率f，并描点记录在图（b）中，用光滑曲线连接各点得到如图
（b）所示曲线。取重力加速度g＝π2 m/s2，则
（2）装置（a）中有多少个单摆的摆长约为1.0 m？
答案：两个　
（1）单摆P的固有频率约为多少？
答案：0.5 Hz　
答案：0.25 m
（3）当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆摆长约为多少？
解析：图（b）为单摆P的共振曲线，振幅最大时对应的频率
0.5 Hz接近或等于其固有频率；单摆P振幅最大时，先振动的
单摆与P的固有周期相近或相同，P的固有周期约为2.0 s，由T
＝2π可求得其摆长约为1.0 m，说明装置中至少有两个单摆
的摆长约为1.0 m；当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先
振动的单摆的固有频率也为1.0 Hz，由T＝2π，可得摆长约
0.25 m。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 单摆的自由振动属于固有振动
B. 弹簧振子受迫振动时，其振动的频率等于驱动力的频率
C. 驱动力频率接近或等于固有频率时，弹簧振子会产生共振现象
D. 弹簧振子做阻尼振动时，振子振动的频率不断减小
解析： 　单摆的自由振动属于固有振动，故A正确；振子受迫
振动时，其振动的频率等于驱动力的频率，故B正确；驱动力频率
接近或等于固有频率时，振子会产生共振现象，故C正确；阻尼振
动时，振子的振幅逐渐减小，但频率仍等于固有频率，故D错误。
2. 如图所示，“洗”是古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，现代亦有
许多仿制的工艺品，倒些清水在其中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就
会发出嗡嗡声，到一定节奏时还会溅起层层水花，下列关于“洗”
的说法正确的是（　　）
A. 手掌摩擦得越快则溅起的水花越高
B. 溅起水花的原因是由于手推动了“洗”
C. 该种现象属于受迫振动
D. 盆中的嗡嗡声是手与“洗”摩擦产生的声音
解析： 　用手摩擦盆耳，溅起水花是因为“洗”做受迫振动造成
的，当其摩擦的频率等于“洗”的固有频率，使其达到共振时，溅
起的水花最高，并不是手掌摩擦得越快溅起的水花越高。盆中的嗡
嗡声是“洗”振动时产生的声音。故A、B、D错误，C正确。
3. 如图所示为路面共振破碎机，用于旧水泥路面破碎。破碎机工作锤
头上装有专用传感器，感应路面的振动反馈，由电脑自动调节振动
频率，激发锤头下水泥路面局部范围产生共振，使路面内部颗粒间
的摩擦阻力迅速减小而崩溃，从而将水泥路面击碎。结合你所学的
知识判断以下说法正确的是（　　）
A. 锤头周期性击打路面过程中，传感器接收到的频率就是水泥路面振动的固有频率
B. 锤头周期性击打水泥路面停止工作后，水泥路面振动的固有频率随着振幅减小而减小
C. 调节振动锤头的振动频率等于水泥路面的固有频率时，水泥路面发生共振
D. 水泥路面发生共振时，水泥的内部颗粒所做的运动一定是简谐振动
解析： 　不管系统的固有频率如何，它做受迫振动的频率总等于
周期性驱动力的频率，所以传感器接收到的频率是锤头击打路面的
频率，故A错误；系统的固有频率与是否受到外力作用无关，锤头
周期性击打水泥路面停止工作后，水泥路面振动的固有频率不变，
故B错误；根据共振发生的条件可知当振动锤头的振动频率等于水
泥路面的固有频率时，水泥路面发生共振，故C正确；做简谐运动
的物体受到的回复力是振动系统内部的相互作用力，水泥路面发生
共振时，其受到外力作用，所以此时水泥的内部颗粒所做的运动不
是简谐振动，故D错误。
4. 下表记录了某受迫振动的振动系统的振幅随驱动力频率变化的关
系，若该振动系统的固有频率为f固，则（　　）
驱动力 频率/Hz 30 40 50 60 70 80
受迫振动 振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3
A. f固＝60 Hz B. 60 Hz＜f固＜70 Hz
C. 50 Hz＜f固≤60 Hz D. 以上三个都不对
解析： 　从如图所示的共振曲线可判断出f驱与
f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越
接近，受迫振动的振幅越大。并可以从中看出f
驱越接近f固，振幅的变化越小。比较各组数据知
f驱在50～60 Hz范围内时，振幅变化最小，因此
50 Hz＜f固≤60 Hz，故C正确。
5. 蜘蛛虽有8只眼睛，但视力很差，完全靠触觉来捕食和生活，它的
腿能敏捷地感觉到落在丝网上的昆虫对丝网造成的振动。当丝网的
振动频率为f＝200 Hz左右时，丝网振动的振幅最大，最大振幅为
0.5 cm。已知该丝网共振时，蜘蛛能立即捕捉到丝网上的昆虫位
置。则对于落在丝网上的昆虫
（1）当其翅膀振动的频率为多少时，蜘蛛能
立即捕捉到它的位置？
答案： 200 Hz左右　
（2）当其翅膀振动的频率为250 Hz时，该丝网的振幅是否小于0.5
cm？
答案： 小于
解析：当昆虫翅膀振动的频率与丝网的振动频率相等时，即
翅膀振动的频率f'＝f＝200 Hz时，蜘蛛能立即捕捉到它的位
置；根据周期与频率之间的关系得T＝＝ s＝0.005 s，当昆
虫翅膀振动的周期为0.005 s左右时，蜘蛛能立即捕捉到它的
位置；当昆虫翅膀振动的频率为250 Hz左右时，没有发生共
振，故该丝网的振幅小于0.5 cm。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一　简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
1. （多选）如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的
是（　　）
A. 振动过程中周期变小
B. 振动过程中周期不变
C. 摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D. 摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 　阻尼振动中，单摆的振幅逐渐减小，周期与振幅无
关，振动过程中周期不变，A错误，B正确；因A、B两时刻的位移
相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，C正确；由于振动的
能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
2. （多选）一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是
（　　）
A. 单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B. 单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C. 单摆振幅减小，频率也随着减小
D. 单摆振幅虽然减小，但其频率不变
1
2
3
4
5
6
7
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12
13
解析： 　单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功，使机械
能转化为其他形式的能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相
互转化，不能确定两个时刻的动能与势能的大小关系，故A正确，
B错误；做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无
关，所以其频率不变，C错误，D正确。
1
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13
3. （多选）关于受迫振动，以下说法中正确的是（　　）
A. 是在一恒力作用下的振动
B. 振动频率可能大于或小于系统的固有频率
C. 振动频率一定等于固有频率
D. 振动频率一定等于驱动力的频率
解析： 　受迫振动是系统在外界周期性驱动力作用下的振动，
驱动力是周期性的，不可能为恒力；系统做受迫振动时，振动稳定
后的频率等于驱动力的频率，这个频率可能大于、等于或小于固有
频率，故B、D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. （多选）如图为水平弹簧振子做阻尼振动的振动图像。下列说法中
正确的是（　　）
A. 振子在A时刻的动能等于B时刻的动能
B. 振子在A时刻的势能等于B时刻的势能
C. 振子在A时刻的机械能等于C时刻的机械能
D. 振子在B时刻的机械能大于C时刻的机械能
解析： 　振子做阻尼振动，因此机械能不断减小，D正确，C错
误；A、B两时刻关于平衡位置对称，弹性势能相同，B正确；因机
械能越来越小，所以B时刻动能小于A时刻动能，A错误。
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题组二　共振的理解及应用
5. 为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面
稍微拱起以达到使车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可
有效降低车速。如果某路面上的减速带的间距为2.5 m，一辆固有频
率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是（　　）
A. 当汽车以8 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz
B. 汽车速度越大，颠簸就越厉害
C. 当汽车以5 m/s的速度行驶时颠簸最厉害
D. 当汽车以5 m/s的速度行驶时最不颠簸
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解析： 　当汽车以8 m/s的速度行驶时，汽车振动的频率为f＝＝
Hz＝3.2 Hz，故A错误；当汽车以5 m/s 的速度行驶时，驱动力的
周期为T＝＝ s＝0.5 s，所以频率等于f＝＝2 Hz，当驱动力的频
率等于物体的固有频率时，物体发生共振，振幅最大，显然此时驱
动力的频率和汽车的固有频率相同，所以此时汽车颠簸最厉害，故
C正确，B、D错误。
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6. 如图所示是用来测量各种发动机转速的转速计原理图。在同一铁支
架MN上焊有固有频率依次为 100 Hz、90 Hz、80 Hz、70 Hz的四个
钢片a、b、c、d，将M端与正在转动的电动机接触，发现b钢片振幅
很大，其余钢片振幅很小。则（　　）
A. 钢片a的振动频率约为100 Hz
B. 钢片b的振动频率约为90 Hz
C. 钢片c的振动频率约为80 Hz
D. 电动机的转速约为90 r/min
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解析： 　钢片a、b、c、d在电动机转动下做受迫振动，则钢片a、
b、c、d的振动频率相同，等于电动机转动的频率。由于b钢片振幅
很大，说明b钢片的振动频率接近电动机转动的频率，可见此时钢
片a、b、c、d的振动频率都约为90 Hz，电动机转动的频率也约为
90 Hz，则电动机转动的转速n＝f＝90 Hz＝90 r/s。故B正确，A、
C、D错误。
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7. （多选）如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相
同，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟
着振动起来，则稳定后（　　）
A. 其他各摆振动周期跟A摆相同
B. 其他各摆振动的振幅大小相等
C. 其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大
D. B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小
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解析： 　A摆振动后迫使水平绳振动，水平绳又迫使B、C、
D、E四摆做受迫振动，由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动
力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同。驱动力的频
率等于A摆的固有频率fA＝＝，其余四摆的固有频率与驱动
力的频率关系：fB＝≈1.41fA，fC＝ ≈0.82fA，fD＝
≈0.71fA，fE＝＝fA。可见只有E摆的固有频率与驱动力的频率相等，它发生共振现象，其振幅最大，B、C、D三个摆均不发生共振，振幅各异，其中B摆的固有频率与驱动力的频率相差最大，所以它的振幅最小。故A、C、D正确。
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8. 如图所示，竖直圆盘可绕水平中心轴O转动，固定在圆盘边缘上的
小圆柱P带动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下端连着一个
弹簧振子，小球始终在水中，当圆盘静止时，小球阻尼振动的频率
约为3 Hz。现使圆盘以4 s的周期匀速转动，当小球振动达到稳定后
（　　）
A. 小球的振动频率约为3 Hz
B. T型支架的运动是简谐运动
C. T型支架在最高点时所受的合外力向上
D. 若圆盘匀速转动的周期变为5 s，稳定后小球的振幅
将增大
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解析： 　当小球振动达到稳定后，小球的振动频率等于驱动力的
频率，即为 Hz＝0.25 Hz，故A错误；当振动达到稳定后，T型支
架总是在一定区间上下振动，可知T型支架的运动是简谐运动，故B
正确；简谐振动的回复力总是和位移方向相反，可知T型支架在最
高点时所受的合外力向下，故C错误；由题意可知，小球的固有频
率为3 Hz，若圆盘匀速转动的周期变为5 s，即频率为0.2 Hz，因为
小球的频率越接近固有频率时，振幅越大，由3 Hz－0.2 Hz＞3 Hz
－0.25 Hz，可知稳定后小球的振幅将减小，故D错误。
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9. 如图所示装置中，已知弹簧振子的固有频率f固＝2 Hz，电动机皮带
轮的直径d1是曲轴皮带轮直径d2的。为使弹簧振子的振幅最大，则
电动机的转速应为（　　）
A. 60 r/min B. 120 r/min
C. 30 r/min D. 240 r/min
解析： 　若使振子振幅最大，则曲轴转动频率为 f＝2 Hz，即转速
为n2＝2 r/s。由于＝＝，2πr1n1＝2πr2n2，故＝，所以电动机
转速为4 r/s，即 240 r/min。故D正确，A、B、C错误。
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10. （多选）某种减噪装置结构如图所示，通过装置的共振可吸收声
波。已知其固有频率为f0＝（SI），其中σ为薄板单位面积的质
量，L为空气层的厚度。经测试发现它对频率为200 Hz的声音减噪
效果最强，若外界声波频率由200 Hz变为300 Hz时，则（　　）
A. 系统振动频率为200 Hz
B. 系统振动频率为300 Hz
C. 为获得更好的减噪效果，可仅增大L的大小
D. 为获得更好的减噪效果，可仅换用σ更小的薄板
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解析： 　当系统做受迫振动时，振动时的频率等于驱动力的频
率，即为300 Hz，故A错误，B正确；由于驱动力的频率大于系统
的固有频率，在驱动力的频率一定时，为获得更好的减噪效果，
应使系统的固有频率增大，由f0＝（SI）可知，应减小σ或L，
故C错误，D正确。
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11. （多选）正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机
器的振动不强烈，切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小
段时间内机器却发生了强烈的振动，此后飞轮转速继续变慢，机
器的振动也随之减弱，在机器停下来之后，若重新启动机器，使
飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到ω0，在这一过程中（　　）
A. 机器不一定还会发生强烈的振动
B. 机器一定还会发生强烈的振动
C. 若机器发生强烈振动，强烈振动可能发生在飞轮角速度为ω0时
D. 若机器发生强烈振动，强烈振动时飞轮的角速度肯定不为ω0
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解析： 　飞轮在转速逐渐减小的过程中，机器出现强烈的振
动，说明发生共振现象，共振现象产生的条件是驱动力频率等于
系统的固有频率，故当机器重新启动时，飞轮转速缓慢增大的过
程中，一旦达到共振条件，机器一定还会发生强烈的振动，故A错
误，B正确；由题意可知，发生强烈共振时，飞轮的角速度一定小
于ω0，故C错误，D正确。
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12. （多选）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、
乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的
细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足
够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判
断正确的是（　　）
A. 若使M振动起来，P不会振动
B. 若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s
C. 若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大
D. 若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
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解析： 　若使M振动起来，其他单摆也会振动，做受迫振动，
故A错误；受迫振动的周期等于驱动力的周期，故B错误；若使P
振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，
稳定时M比N的振幅大，故C正确；O的周期为3 s，使O振动起
来，M做受迫振动，则稳定时M的振动周期为3 s，故D正确。
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13. “飞力士棒”是德国物理治疗师发明的一种物理康复器材，也是
一种有效加强躯干肌肉功能的训练器材。标准型飞力士棒整体结
构有中间的握柄和两端负重头，它们用一根PVC软杆连接，质量
为508 g，长度为1.525 m，棒的固有频率为4.5 Hz，如图所示，可
以使用双手进行驱动，则下列关于飞力士棒的认识正确的是（　）
A. 使用者用力越大“飞力士棒”振动越快
B. 随着手振动的频率增大，“飞力士棒”振动的
幅度一定越来越大
C. 双手驱动该“飞力士棒”每分钟振动270次全振
动，会产生共振
D. 负重头质量相同，同样材料的PVC杆缩短，“飞力士
棒”的固有频率不变
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解析： 　使用者用力大小影响的是振幅，与振动快慢没有关系，
故A错误；随着手振动的频率增大，“飞力士棒”振动的频率随之
增大，但是幅度不一定越来越大，故B错误；双手驱动该“飞力士
棒”每分钟振动270次全振动，则驱动力的频率为f＝Hz＝4.5
Hz，与“飞力士棒”的固有频率相等，会产生共振，故C正确；
负重头质量相同，同样材料的PVC杆缩短，“飞力士棒”的固有
频率会变化，故D错误。
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