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第二十四章《圆》检测卷(试卷)
2025-2026学年九年级数学上册(人教版)
(时间: 120 分钟, 满分: 120分)
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
1.小明没有圆规，他用如图所示的方法成功画出了圆，他画圆时 ( )
A.保持圆心的位置不变 B.保持圆的半径不变
C.保持圆心的位置和圆的半径均不变 D.圆心的位置可以改变
2.下列说法中，错误的是( )
A.直径相等的两个圆是等圆
B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C.不在同一直线上的三点确定一个圆
D.在同圆或等圆中，能重合的两条弧叫作等弧
3.如图,AB 是⊙O 的直径, 若∠AOC=40°,则∠CPD 的度数为 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
如图,在⊙O中,弦AB,CD 相交于点 P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B 的度数
为( )
A.32° B.42° C.48° D.52°
5.如图，用一个直角三角板经过两次画图找到了圆形工件的圆心O，这种方法应用的理是 ( )
A.垂径定理 B.勾股定理
C.直径所对的圆周角是直角 D.90°的圆周角所对的弦是直径
6.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,连接AC,若AC=AD,∠B=108°,则∠CAD 的度数( )
A.30° B.35° C.36° D.40°
7.如图,在⊙O 中,弦 半径OC 经过弦AB 的中点,且∠B=30°.⊙O 所在的平面内有一点 P ,若OP=5,则点 P 与⊙O 的位置关系为 ( )
A.点 P 在⊙O上 B.点 P 在⊙O 内
C.点 P 在⊙O外 D.无法确定
8.如图,⊙O是△ABC 的外接圆,AB 是直径,⊙D 是△ABC 的内切圆,则∠ADB 的度数为( )
A.120° B.135° C.145° D.150°
9.以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O，过点C 作直线切半圆于点F，交AD 边于点E,若△CDE 的周长为12,则直角梯形ABCE 的周长为 ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
10.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙M 的内接正六边形ABCDEF 的边AB 在x轴的正半轴上，顶点 F 在y轴的正半轴上，将正六边形ABCDEF 绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转 45°，则经过第2026 次旋转后顶点 D 的坐标为 ( )
二、填空题(本题共5 小题，每小题3分，共15 分)
11.若用反证法证明“圆的切线垂直于过切点的半径”，第一步是提出假设：
12.若一个圆锥的底面圆半径为4 cm，侧面积为20πcm ，则它的母线长为 cm.
13.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BE 是⊙O 的直径,连接AE,OD,若∠BCD =2∠BAD,则∠DOE 的度数为 .
14.如图,在矩形ABCD 中,AB=4,AD=2.以点 A 为圆心,AD 的长为半径作弧交AB 于点E，再以AB 为直径作半圆，与 交于点F，则图中阴影部分的面积为 .
15.如图,在等腰Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=2 ,D是AC 边上的一动点，连接BD，以AD 为直径的圆交BD 于点E，连接AE，则线段CE 长度的最小值为 。
三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(10分)如图,在等边 中， 于点 D，判断以点 D 为圆心，下列r为半径的⊙D 与直线AB 的位置关系：
17.(8分)如图,⊙O的直径AB 经过其弦CD 的中点E,F 是 上的一点，AF 与CD 的延长线交于点G，求证：
18.(8分)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径DE 与母线AD 的长度之比为1：2.制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 将扇形AEF 围成圆锥时,AE,AF 恰好重合.
(1)求这种等腰三角形材料的顶角 的大小；
(2)若圆锥底面圆的直径DE 为5cm ，求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.(结果保留π)
19.(8分)某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚.如图是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧形，圆心为点 O，跨度AB(弧所对的弦)的长为8米，拱高CD(弧的中点到弦的距离)为2 米.
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端(点B)1米处竖立支撑杆 EF，求支撑杆 EF 的高度.
20.(8分)如图,直线AB 与⊙O 相切于点B,射线AO 与⊙O交于点C,D,连接BC,BD.
(1)求证:
(2)若 求 的长.
(10分)如图,在 中， 点 O 在 AB 上,以 OB 为半径的⊙O
分别与边AB,BC 交于点 D,E,过点 E 作. 于点F.
(1)求证:EF 为⊙O 的切线;
(2)若AC 与⊙O 相切于点G, 求⊙O 的半径.
22.(10分)在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知 C 是弦AB 上的一点，请根据以下步骤完成这个引理的作图过程：
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作线段 AC 的垂直平分线DE，交 于点D，垂足为E；
②以点 D 为圆心，DA 的长为半径作弧，交AB于点F(F，A 两点不重合)，连接BF.
(2)引理的结论为 请将证明过程补充完整.
证明:连接DA,DC,DF,DB.
∵DE 是线段AC 的垂直平分线，
又∵四边形ABFD 为圆的内接四边形，
又
.
又∵AD=FD,
∴ = .
∴∠ABD=∠DBF.
∴△BCD≌△BFD(AAS).∴BC=BF.
23.(13分)如图①,已知⊙O 是 的外接圆， 的平分线DC 交AB 于点M，交⊙O于点C,连接AC,BC.
(1)求证:
(2)如图②,在图①的基础上作⊙O 的直径CF 交AB 于点E,连接AF,过点 A 作⊙O的切线AH，若 求 的度数；
(3)在(2)的条件下,若 的面积为 与 的面积比为2：9，求CD的长.
参考答案
C 2. B 3. B 4. A 5. D 6. C 7. C8. B9. C10. D
11.圆的切线不垂直于过切点的半径
12.5
13.60°
16.解:过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵等边△ABC 的边长为6 cm, 6 = 3 ( cm), ∠BAD =
(1)∵r=3cm<4.5cm,∴⊙D 与直线AB 相离;
(2)∵r=4.5cm,∴⊙D 与直线AB 相切;
(3)∵r=6.8cm>4.5cm,∴⊙D 与直线AB 相交.
17.证明:连接 AC.∵⊙O 的直径AB 经过其弦CD 的中点 E,
∴ AC = AD, ∴ ∠ACD =∠AFC.又∵四边形 ACDF 是⊙O的内接四边形,∴∠ACD+∠AFD=180°.又∵∠AFD+∠DFG=180°,∴∠ACD=∠DFG.∴∠AFC=∠DFG.
18.解:(1)设∠BAC=n°.由题意得 AD=2DE,∴n=90.∴∠BAC=
90°;
(2)由(1)易得 BC=2AD.∵AD =2DE =2×5=
19.解:(1)设⊙O 的半径为 r 米,则 OC=(r-2) 米. (米).在 Rt△OAC中， 即 解得r=5.答：该圆弧所在圆的半径为5米；
(2)过点 F 作 FH⊥CD 于点H,连接 OF.∵ BE = 1 米,∴CE= BC - BE = 4 - 1 =3(米).∵∠FHC=∠HCE =∠CEF=90°,∴四边形 EFHC为矩形,∴FH =CE =3 米,EF=HC.在 Rt△OFH 中, (米).∵OC=3米,∴HC=1米,∴EF=HC=1米.答:支撑杆 EF 的高度为1米.
20.解:(1)证明:连接OB.∵直线 AB 与⊙O 相切于点 B,∴OB⊥AB.∴ ∠OBA = 90°.∴∠OBC+∠ABC=90°.∵CD为⊙O 的直径,∴∠CBD=90°.∴∠OBC + ∠OBD = 90°. ∴ ∠ABC = ∠OBD.又∵OB=OD,∴∠OBD=∠D.∴∠ABC=∠D;
(2)设OB=OC=r,则OA=OC+AC=r+2.∵在Rt△OAB中, (r+2) ,解得r=2.∴OC=2,OA=4.∴C 为OA 的中点.∴BC= OA=OC=OB.∴△OBC是等边三角形.∴∠AOB=60°.∴BC的长为
21.解:(1)证明:连接 OE.∵OB=OE,AB=AC,∴∠OEB=∠B=∠C.∴OE∥AC.又∵EF⊥AC,∴∠EFA=90°.∴∠OEF=180°-∠EFA=90°.∴OE⊥EF.∵OE 为⊙O的半径,∴EF 为⊙O 的切线;(2)连接 OG.∵AC 与 ⊙O 相切,∴OG⊥AC.∴∠OGF=90°.由(1)可知∠OEF=∠EFG=90°,OE=OG,∴四边形OEFG 为正方形.∴GF=OG.设⊙O的半径为r,则GF=OG=OB=r.∴AG=AC-CF-GF=8-1-r=7-r,OA=AB-OB=AC-OB=8-r.∵在 Rt△AOG 中, 解得r=3(负值已舍去).∴⊙O的半径为3.
22.解:(1)如图所示.
(2)DFB DCB DFB AD DF
23.解:(1)证明:∵DC 平分∠ADB,∴∠ADC=∠BDC.
(2)连接AO 并延长交⊙O 于点 J,连接 CJ,如答图.∴∠AJC=∠ABC,∠AJC+∠CAJ=90°.∵AH 是⊙O的切线,且 AH ∥BC,∴∠CAH =∠ACB,∠CAJ +∠CAH=90°.∴∠AJC=∠CAH.∴∠ABC=∠CAH =∠ACB.∴AB = AC= BC.∴△ABC 是等边三角形,∠ABC = 60°=∠F.∵ FC 是直径,∴∠FAC=90°. (3)∵△ABC 为等边三角形,∠ACF=30°,∴AB⊥CF,∴AE=BE.∵易得 .在Rt△AEO中,设EO=x,则. (负值已舍去).∴⊙O 的半径为6.∴CF =12.过点 D 作 DG⊥AB 于点 G.∵S△ABD = 过点 D 作DP⊥CF于点P,连接OD.∵AB⊥CF,DG⊥AB,∴四边形 PDGE 为矩形.∴PE=DG=2.∴CP=PE+CE=2+9=11.∴OP=CP-OC=11-6=5.在 Rt△OPD中， ∴在Rt△CPD中，根据勾股定理，得

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