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2024-2025 学年福建省漳州市双语高级中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = ，集合 = { | 2 3 4 > 0}，则 =( )
A. { | 1 < < 4} B. { | 4 < < 1} C. { | 1 ≤ ≤ 4} D. { | 4 ≤ ≤ 1}
2 = 3

.若复数 1+ ，则 的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
3.已知 , 为单位向量，若| + | | | = 0，则| | =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 0
4.若 = 2 ，sin( ) = ，则 sin( + ) =( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
5.已知点 为双曲线 ： 2 2 = 4 上任意一点，过点 分别作 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，
则四边形 ( 为原点)的面积为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 12
6.在正四棱锥 1 1 1 1中， 1 ⊥ 1.用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体
1 1 1 1， = 1， 1 1 = 2，则几何体 1 1 1 1的体积为( )
A. 2 B. 4 2 7 2 17 26 3 C. 6 D. 9
7.已知函数 ( ) = tan( + 4 )( > 0)，若方程 ( ) = 1 在区间(0, )上恰有 3 个实数根，则 的取值范围
是( )
A. (2,3] B. [2,3) C. (3,4] D. [3,4)
8.已知函数 ( ) = 2 + 2 + + 2，若 = ( 3)， = ( )， = ( )，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ( , 2)，则( )
A. ( ) = B. ( ) =
C. ( ≤ + ) + ( ≤ ) = 1 D. ( ≥ + 2 ) > ( ≤ )
10.已知定义在 上的函数 ( )不恒等于 0， ( ) = 0，且对任意的 ， ∈ ，有 (2 ) + (2 ) = 2 ( +
) ( )，则( )
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A. (0) = 1 B. ( )是偶函数
C. ( )的图象关于点( , 0)中心对称 D. 2 是 ( )的一个周期
11.在 2024 年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以 69.800 分的成绩夺得金牌，这是中国艺
术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由
抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)绕其顶点分别逆时针旋转 90°、180°、270°后所得三条曲线与 围成的(如图阴影
区域)， ， 为 与其中两条曲线的交点，若 = 1，则( )
A. 1开口向上的抛物线的方程为 = 22
B. | | = 4
C. 3直线 + = 截第一象限花瓣的弦长最大值为4
D.阴影区域的面积大于 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.( 4 ) 展开式的常数项是______．
13 +9.已知数列{ }的前 项和 = 2 + ，当 取最小值时， = ______．
14.2024 年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下：
①本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分；
②每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得 6 分，有选错或不选的得 0 分；
③部分选对的得部分分.考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选项，
第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分(相同总分只记录一次)的第 80 百分位数为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足_____．
请在①( )sin( + ) = ( )( + ) 1；②sin( 6 )cos( + 3 ) = 4，这两个中任选一个作为条
件，补充在横线上，并解答问题．
(1)求 ；
(2)若△ 的面积为 5 3, 为 的中点，求 的最小值．
16.(本小题 15 分)
1
某学校食堂有 ， 两家餐厅，张同学第 1 天选择 餐厅用餐的概率为3 .从第 2 天起，如果前一天选择 餐厅
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3 1
用餐，那么次日选择 餐厅用餐的概率为4；如果前一天选择 餐厅用餐，那么次日选择 餐厅用餐的概率为2 .
设他第 天选择 餐厅用餐的概率为 ．
(1)求 2的值及 +1关于 的表达式；
(2)证明数列{ 2 3 }是等比数列，并求出{ }的通项公式．
17.(本小题 15 分)

已知边长为 4 的菱形 (如图 1)，∠ = 3 , 与 相交于点 ， 为线段 上一点，将三角形
沿 折叠成三棱锥 (如图 2)．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若三棱锥 的体积为 8 15，二面角 的余弦值为 10 ，求 的长．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 2： 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点分别为 1， 2，离心率为 2 ，点 为 上一点，△ 1 2周长
为 2 2 + 2，其中 为坐标原点．
(1)求 的方程；
(2)直线 ： = + 与 交于 ， 两点，
( )求△ 面积的最大值；
( )设 = + ，试证明点 在定直线上，并求出定直线方程．
19.(本小题 17 分)
定义：如果函数 ( )在定义域内，存在极大值 ( 1)和极小值 ( 2)，且存在一个常数 ，使 ( 1) ( 2) =
( 1 2)成立，则称函数 ( )为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.已知函数 ( ) =
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1
．
(1) = 5当 2时，判断 ( )是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在 使 ( )的极值差比系数为 2 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3) 3 2 ≤ ≤ 5若 2 2，求 ( )的极值差比系数的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13.3
14.13
15.解：(1)选择条件①，( )sin( + ) = ( )( + )，
则( ) = ( )( + )，
由正弦定理可得( ) = ( )( + )，即 2 + 2 2 = ，
=
2+ 2 2 = 1 ∈ (0, ) = 所以 2 2，由 ，所以 3；
选择条件②，sin( 6 )cos( +
1
3 ) = 4，
sin[ 即 2 (

3 + )]cos( +
) = 1，所以cos23 4 ( +
1
3 ) = 4，
由 ∈ (0, ), < + < 4 3 3 3，则 cos( +
1
3 ) = 2，
+ = 2 = 所以 3 3，则 3；
(2) 1由 = 2 =
1 3
2 × 2 = 5 3，解得 = 20，
又 = + ，
所以
2
= ( + )2
2
= + 2
2
+
1 2= 2 + 2 × 2 × (
1 ) + ( 1 )2 = 2 + 2 2 4
1
2 ≥
1 1
2 = 2
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= 10，
所以| | ≥ 10，当且仅当 = 10, = 2 10时等式成立，
所以 的最小值是 10；
另解：因为 △ = 5 3, 为 中点，
所以 1△ = 2 =
5 3 1
△ 2 = 2
1
2 sin

3，得 = 20，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2
= 2 + 1 2 14 2 ≥ 2
1 12 2 =
1
2 = 10，
所以 ≥ 10，当且仅当 = 10, = 2 10时等式成立，
所以 的最小值是 10．
16.解：(1)设 =“第 天去 餐厅用餐”， =“第 天去 餐厅用餐”，
则 = ∪ ，且 与 互斥．根据题意得
= ( ) = 1 , ( ) = 1 ( ) = 21 1 3 1 1 3 , ( ) = 1 ( )，
( 3 1 +1| ) = 4 , ( +1| ) = 2，
2 = ( 2) = ( 1) ( 2| 1) + ( ) (
1 3 2 1 7
1 2| 1) = 3 × 4 + 3 × 2 = 12，
+1 = ( +1) = ( ) ( +1| ) + (
3 1
) ( +1| ) = 4 + 2 (1 )，
1 1
即 +1 = 4 + 2．
(2) 2 = ( 1 + 1 ) 2 = 1 1 1 +1 3 4 2 3 4 6 = 4 (
2
3 )，
又因为 1
2
3 =
1 2 1 1
3 ≠ 0，所以{ 3 }是以 3为首项，4为公比的等比数列，
2 1 1
所以 3 = (
1
3 ) × ( 4 ) ，
从而 =
2 13 3×4 1．
17. 解：(1)证明：因为四边形 是边长为 4 的菱形，并且∠ = 3，
所以△ ，△ 均为等边三角形，
故 A ⊥ ， ⊥ ，且 = = 2 3，
因为 平面 ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
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(2)设 到平面 的距离为 ，因为等边△ 的边长为 4，
所以三棱锥 的体积为1 × 3 × 42 = 8，所以3 4 = 2 3，
因为 = 2 3，所以 ⊥平面 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2 3, 0), (0,0,2 3)，
设 (0,0, )( > 0)，
因为 ⊥平面 ，所以 1 = (1,0,0)是平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 2 = ( , , )，
又 = ( 2,2 3, 0), = ( 2,0, )，
2 = 2 + 2 3 = 0故 ，
2 = 2 + = 0
取 = 3，则 = 1, = 2 3，
得 2 = ( 3, 1,
2 3 ，
)
因为二面角 的余弦值为 15，
10
| 1 2| 3 15
所以| 1| | |
= =
2 1× 4+12 10 ，
2
解得 = 3或 3 舍去)，2 = 2 (
此时 = 3．2
18.解：(1)设焦距为 2 ，
= 2 ,
依题意得， 2 解得 = 2,
2 + 2 = 2 2 + 2, = 1,
又 2 = 2 + 2，所以 2 = 2 2 = 1，
2
所以 的方程为 22 + = 1．
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(2)( )设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
联立 2 + = 1，得 3 2 + 4 + 2 2 2 = 0，
= +
由 = 16 2 4 × 3 × (2 2 2) > 0，解得 2 < 3，
2
所以 1 + 2 =
4
3 ,
2 2
1 2 = 3 ，
2
所以| | = ( 1 22) + ( 21 2) = 2 × ( 1 + )2 4 =
2
2 1 2 3 × 24 8
2 = 4 3 3 ，
而点 到直线 ： + = 0 | |的距离为 = 2，
1 4 3 2 2 2
所以△ | | 2的面积 = 2 × 3 × 2 = 3 × (3
2) 2 ≤ 2 × (3 )+ 23 2 = 2 ，
当且仅当 3 2 = 2，即 =± 6 22 时，△ 的面积取得最大值 2 ．
( )设 ( , )，
= +
因为 = + ，所以( , ) = ( 1 + 2, 1 + 2)，即
1 2
= ，1 + 2
+ = 4 因为 1 2 3 ，所以 1 + 2 = 1 + 2 + 2 =
2
3 ，
= 4
所以 3 ，
= 2 3
1
所以 = 2 ，
故点 1在定直线 = 2 ．
19. 5解：(1)当 = 2时， ( )是极值可差比函数，理由如下：
= 5 1 5当 2时， ( ) = 2 ( > 0)，
所以 ′( ) = 1 + 1 5 = (2 1)( 2) 2 2 2 2 ，
当 ∈ (0, 12 ) ∪ (2, + ∞)时， ′( ) > 0；当 ∈ (
1
2 , 2)时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0, 1 12 )和(2, + ∞)上单调递增，在( 2 , 2)上单调递减，
( ) 1 5 3 3 5所以 的极大值为 ( 2 ) = 2 2 2，极小值为 (2) = 2 2 2，
( 1所以 2 ) (2) = (2
10
3 2)(
1
2 2)，因此 ( )是极值可差比函数．
2
(2) ( )的定义域为(0, + ∞), ′( ) = 1 + 1 +1 2 ，即 ′( ) = 2 ，
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假设存在 ，使得 ( )的极值差比系数为 2 ，则 1， 2是方程 2 + 1 = 0 的两个不等正实根，
= 2 4 > 0
1 + 2 = ，解得 > 2，不妨设 1 < 2，则 2 > 1，
1 2 = 1
由于 ( 1) (
1
2) = 1 1 ( 2
1
1
2)
2
= ( 1 2)(1 +
1
)
1
1 2 2
= 2( ) 1 = (2 ln 11 2 )( 1 2)，2 1 2 2
1
所以 2 = 2 1 ln ，从而 ln
1 = 1，
1 2 2 1 2 2
得 2
1
2 2 = 0, ( )2
2 2
令 ( ) = 1 2 ( > 1), ( ) =
2 +1 = ( 1)′ 2 2 > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，有 ( ) > (1) = 0，
因此( )式无解，即不存在 使 ( )的极值差比系数为 2 ．
(3)由(2) 知极值差比系数为 2 1 1
ln
2
，
2
2 1+ 即 2 1 ln ，不妨设 0 < 1 < 2，1 2 2
+1
令 = 1 , ∈ (0,1)，极值差比系数可化为 2 1 ，2
2 = ( 1+ 2)
2
=
1
+
2
+ 2 = +
1
+ 2，1 2 2 1
3 2
又 2 ≤ ≤
5 1 1
2，解得4 ≤ ≤ 2，
2 +1
令 ( ) = 2 +1 1 1 1 ( 4 ≤ ≤ 2 ), ′( ) =

( 1)2 ，
1 2
设 ( ) = 2 + (
1
4 ≤ ≤ 1),
2 1 2 1
′( ) = 2 1 = 2
= ( 1)
2 1 1 1
2 ≤ 0 所以 ( )在[ 4 , 1]上单调递减，当 ∈ [ 4 , 1]时， ( ) ≥ ( 2 ) > (1) = 0，
从而 ′( ) > 0，
( ) [ 1 , 1 1 1所以 在 4 2 ]上单调递增，所以 ( 4 ) ≤ ( ) ≤ ( 2 )，
2 10即 3 2 ≤ ( ) ≤ 2 3 2．
( ) 10故 的极值差比系数的取值范围为[2 3 2,2 3 2]．
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