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2024-2025 学年河南省安阳市深蓝高级中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { ∈ | ≤ 2}， = { 1,0,1}，则集合 ∩ =( )
A. {1} B. {0,1} C. { 1,0,1} D. { 1,0,1,2}
2.已知{ }为等差数列，{ }为等比数列，其中 1 = 1 = 1， 3 = 3 = 3，则( )
A. 4 < 4 B. 4 > 4 C. 5 < 5 D. 5 > 5
3.若抛物线 2 = 2 的准线为直线 ，且 交圆 ： 2 + 2 = 1 于 ， 两点， 为坐标原点，则∠ =( )
A. 5 B. 2 6 3 C.

3 D.

6
4.已知(1 2 ) 的展开式中第 4 项与第 7 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024
5.设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 ∩ = 则“ // ”是“ // 且 // ”的( )
A.充分不必要条件 B.充分必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.有甲乙两个班级共计 105 人进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀统计成绩，
得到如下所示的列联表(参考公式如下)：
2 ( )
2
= ( + )( + )( + )( + )
( 2
≥ ) 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
优秀 非优秀 总计
甲班 10
乙班 30
0.06×0.25 2
已知在全部 105 人中随机抽取 1 人，成绩优秀的概率为 0.0525 = 7，则下列说法正确的是( )
A.列联表中 的值为 30， 的值为 35
B.列联表中 的值为 20， 的值为 45
C.根据列联表中的数据，若按 99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D.根据列联表中的数据，若按 95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
7 { } = 5[9 ( 1.已知数列 的前 项和 ) 2 3 ]，前 项积记为 ，当 取最大值时， 的值为( )
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A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
8 1 1 1 5.设 = 4 , = 2 (sin 8 + cos 8 ), = 4 ln
5
4，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(2 + 1)18 = 0 + 1( + 1) + ( + 1)22 + + 18( + 1)18，则( )
A. 0 = 1 B. 1 + 2 + + 18 = 0
18
C. + + 3 1 180 2 4 + + 18 = 2 D. 18 = 2
10.已知函数 ( ) = 3 + 3 2 + 1( ∈ )，则下列说法正确的是( )
A.若函数 ( )有两个极值点 1， 2，则 1 2 = 0
B.函数 ( )至少有一个极值，且极小值为 1
C. ∈ 使得方程 3 + 3 2 + 1 = 0 有三个不相等的实数根
D.若函数 ( )的极大值点为 1，且 ( 1) = ( 2)( 1 ≠ 2)，则 1 = 2 2
11.已知直线 ： + = 0( , )不同时为 0， ， ∈ )，⊙ ： 2 + 2 = 4，抛物线 ： 2 = 4 的
焦点为 ，则( )
A.直线 与⊙ 恒有两个交点
B.直线 被⊙ 截得的最短弦长为 2 3
C.⊙ 与抛物线 交于 ， 两点，则| | = 4 2
D.当 = = 1 时，直线 与抛物线 交于 ， 两点，则|| | | || = 4 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从两点分布， ( = 1) = 0.56.若 = 4 3，则 ( = 3) = ______．
13
2 2
.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1( 5, 0), 2( 5, 0)，直线 与 轴的交点为
(3 5, 0)，过点 1作 1 ⊥ 于点 ，| 1 | = 4，且 1 的中点 在椭圆 上，则椭圆 的方程为______．
14 10 .已知函数 ( ) = 10 +1 .若方程 ( ) + (3
2) = 10 有 3 个实数根，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
( ) = 1已知函数 +1 , ∈ [0,1]．
(1)证明： ( )在[0,1]上递增；
(2)若 ( ) ≥ 2 4 + 2 对 ∈ [0,1]恒成立，求实数 的范围．
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16.(本小题 15 分)
为了研究高中生每天整理数学错题与数学成绩的关系，我市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级
学生中采用随机抽样的方法抽取了 300 名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，统计得
到部分数据如下：
数学成绩总评优秀情况
整理数学错题情况 合计
数学成绩总评优秀人数数学成绩总评非优秀人数
每天都整理数学错题人数 120
不是每天都整理数学错题人数 90 150
合计 300
(1)完善上面的 2 × 2 列联表，依据 = 0.01 的独立性检验，能否认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数
学错题有关”；
(2)采用分层随机抽样的方法从数学成绩总评优秀的学生中随机抽取 6 名学生，再从这 6 名学生中选 3 名做
进一步访谈，设这 3 人中不是每天都整理数学错题的人数为 ，求 的分布列及数学期望．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )
0.10 0.01 0.001
( 2
≥ ) 2.706 6.635 10.828
17.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 的侧面 是正三角形，底面 是正方形，且侧面 ⊥底面 ， = 4，
为侧棱 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
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18.(本小题 17 分)
设 为等差数列{ }的前 项和，其中 = 1

，且 1 =

+1
( ∈ )．
(1)求常数 的值，并写出{ }的通项公式；
(2)记 =

3 ，数列{ }
3 1
的前 项和为 ，若对任意的 ≥ ( ∈ )，都有4 < 4 ，求常数 的最小值．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ：4 + = 1 的左顶点为 ( 2,0)，动直线 与椭圆 交于不同的两点 ， (不与点 重合)，点
在以 为直径的圆上，点 关于原点 的对称点为 ．
(Ⅰ)求椭圆 的方程及离心率；
(Ⅱ)求证：直线 过定点；
(Ⅲ)(ⅰ)求△ 面积的最大值；
(ⅱ)若△ 为直角三角形，求直线 的方程．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.44
2 2
13. 9 +

4 = 1
14.(0, 6 3 )
15.(1)任取 1， 2 ∈ [0,1]，且 1 < 2，
所以 ( ) ( ) = 1 1 2 11 2 1+1 2+1
= ( 1 1)( 2+1) ( 2 1)( 1+1) = 2( 1 2)( 1+1)( 2+1) ( 1+1)( 2+1)
，
又因为 0 ≤ 1 < 2 ≤ 1，所以 1 2 < 0，( 1 + 1)( 2 + 1) > 0．
所以 ( 1) ( 2) < 0，所以 ( )在[0,1]上递增；
(2)由(1)可知： ( ) = (0) = 1，
又因为 ( ) 2 ≥ 4 + 2，
所以 1 ≥ 2 4 + 2，所以 ∈ [1,3]．
16.解(1)由已知列联表如下：
数学成绩总评优秀情况
整理数学错题情况 合计
数学成绩总评优秀人数数学成绩总评非优秀人数
每天都整理数学错题人数 120 30 150
不是每天都整理数学错题人数 60 90 150
合计 180 120 300
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2 = 300×(120×90 60×30)
2
150×150×180×120 = 50 > 6.635，
依据 = 0.01 的独立性检验，有 99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”；
(2)随机抽取的 6 名学生中，每天都整理数学错题的有 4 人，不是每天都整理数学错题的有 2 人，
所以 的可能值依次为 0，1，2，
3 ( = 0) = 4 = 1，
36 5
2 1
( = 1) = 4 23 =
3
，
6 5
1 2
( = 2) = 4 23 =
1
，
6 5
的分布列为：
0 1 2
1 3 1
5 5 5
( ) = 1 × 3 15+ 2 × 5 = 1．
17.(1)证明：如图，连接 交 于 ，连接 ，
因为底面 是正方形，所以 为 中点，又 为侧棱 的中点，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)取 的中点为 ，连接 ，
易知 ⊥ ，且 = 2 3，
又平面 ⊥底面 ，平面 ∩底面 = ，
所以 ⊥平面 ，
所以三棱锥 的体积为：
= =
1
3 =
1 × 13 2 × 4 × 4 × 2 3 =
16 3．
3
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18.(1) = 1 , = 1 + 1由题意可得 2 3 ．
因为数列{ }是等差数列，2 2 = 1 + 3，
2 = 2 + 1 1所以 ，解得 = 2，
所以公差 = 2 1 = 2 1 = 1，
所以 = 1 + ( 1) = ．
(2)由(1) 知 = 3 = 3 ，
1 2 3
所以 = 3 + 32 + 33 + … +

3 ①，
1 1 2 3 1
所以3 = 32 + 33 + 34 + … + 3 + 3 +1②，
1(1 1 )
① 2 1 1 1 1 1 2 +3②，得 = 3 33 3+ 32 + 33 + … + 3 3 +1 = 1 1
3 +1 = 2 2 3 +1，
3
所以 3 2 +3 = 4 4 3 ，
3 1
若对任意的 ≥ ( ∈ )，都有4 < 4 ，
(2 +3)
得 3 < 1 对任意的 ≥ ( ∈ )都成立．
设 = (2 +3) 3 ，
( +1)(2 +5)则 +1 = 3 +1 ．
4 2 2 +5
因为 +1 = 3 1 < 0，所以 +1 < ，即数列{ }为递减数列．
又 1 =
5
3 > 1,
14
2 = 9 > 1, 3 = 1，
所以当 ≥ 4 时，恒有 < 1，故 = 4．
2 219.(Ⅰ) 解：因为椭圆 ： 4 + = 1 的左顶点为 ( 2,0)，
所以 4 = 4，所以 = 1，

2
所以椭圆 的方程为 + 24 = 1，
因为 = 2， = 1，所以 = 3
3
所以椭圆 的离心率为 2 ．
(Ⅱ)证明：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
当 ⊥ 轴时， ( 1, 1)，
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因为点 在以 为直径的圆上，
所以 ⊥ ，所以 = 0，
所以( 2 )2 21 1 = 0，
2
因为 1 24 + 1 = 1，
所以 5 21 + 16 1 + 12 = 0，
6
解方程得 1 = 5或 1 = 2，
因为 不过 ( 2,0)，所以 1 = 2 舍去，
= 6 6所以 1 5，所以直线 的方程为 = 5．
当 与 轴不垂直时，
设 的方程为 = + ( ≠ 0)，
代入椭圆方程化简得(4 2 + 1) 2 + 8 + 4 2 4 = 0，
因为 = 0，
所以( 1 + 2)( 2 + 2) + 1 2 = 0，
所以( 2 + 1) 21 2 + ( + 2)( 1 + 2) + + 4 = 0，
4 2 4
所以( 2 + 1) 4 2+1 + ( + 2)
8 2
4 2+1 + + 4 = 0，
所以 12 2 16 + 5 2 = 0，
所以(6 5 )(2 ) = 0，
所以 = 2 或 = 65 ，
当 = 2 时，
直线 的方程为 = ( + 2)过 ( 2,0)，不合题意，舍去．
= 6当 5 时，直线 的方程为 = ( +
6
5 )
( 6综上，直线 过定点 5 , 0)．
(Ⅲ)解：( )连接 ，因为 为 中点，
1 6 6
所以 △ = 2 △ = 2 × 2 × 5 | 1 2| = 5 | 1 2|，
当 ⊥ 轴时，由(Ⅱ)知 ( 6 4 6 45 , 5 ), ( 5 , 5 )，
所以 △ ==
6
5 × |
4 48
5 × 2| = 25．
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当 1与 轴不垂直时， △ = 2 △ = 2 × 2 ×
6
5 | 1 2| =
6
5 | || 1 2|
= 6
2 2 4 2
5 | | (
2
1 + 2) 4 =
6 | | 4 4 +1 = 24 64 +25 1 2 5 4 2+1 25 4 2+1 ，
令 = 4 2 + 1 > 1，( ∵ ≠ 0)
12 16 2 7 9 2
所以 △ = 25 2 =
12
25 16
7 9 12 1 7 2 = 25 9( + 18 )
2 + 16 + 9 × 7182，
1
因为 0 < < 1，
48
所以 0 < △ < 25，
= 6综上，当直线 ： 5时，△
48
的面积最大，最大值为25．
(Ⅲ)( )因为△ 6为直角三角形，设 ( 5 , 0)，
下面分三种情况讨论：
①当∠ = 90°时，则 = 0，
因为 = ( 61 + 5 , 1),
= ( 1, 1)，
2 + 6
2
所以 1 5 1 + 1
1
4 = 0，所以 15
2
1 + 24 1 + 20 = 0，△< 0，所以无解．
所以∠ 不可能为直角．
②当∠ = 90°时，
当 ⊥ 轴时，
由椭圆的对称性知∠ = 90°，
此时 的方程为 = 65，
当 与 轴不垂直时， = 1，
2 2
又 =
2 1 2+ 1 2 1 1 2 1 +
= 2 2 = 2 1 2 1 4
≠ 1，
所以，此时∠ ≠ 90°．
③当∠ = 90°时，
6
因为 的方程为 = ( + 5 )，
1
因为 = 4，所以
1
= 4 ，
又因为 = 1，所以 = 4 ，
所以直线 的方程为 = 4 ，
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( 2 , 8 得 5 5 )，
( 2 , 8 4 64
2
因 5 5 )在椭圆上，所以25 + 4 × 25 = 4，
解得 =± 64 ，
6 6
所以直线 的方程为 =± 4 ( + 5 )．
6 3 6 6 3 6 6
综上，直线 的方程为 = 4 + 10 , = 4 10 或 = 5．
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