资源简介

2024-2025 学年江苏省镇江市句容市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 ： 3 + 3 + 1 = 0 的倾斜角 为( )
A. 6 B.
2 5
3 C. 3 D. 6
2.设 ， ， 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
3.某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是( )
A. = 0.05 B.评分的众数估值为 70
C.评分的第 25 百分位数估值为 67.5 D.评分的平均数估值为 76
4.一组样本数据 1， 2， 3，…， 8的平均数为 ，标准差为 3.另一组样本数据 1， 2， 3，…， 8， 的平

均数为 ，标准差为 ，则( )

A. = , > 3 B. = , < 3 C. ≠ , > 3 D. ≠ , < 3
5.已知△ 1是边长为 6 的等边三角形，点 是 的中点，点 是线段 上一点，满足 = + 5
，
则 =( )
A. 72 365 B. 5 C.
72
5 D.
36
5
6.直线 4 + 3 12 = 0 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，则∠ ( 为坐标原点)的平分线所在直线的方程
为( )
A. 2 6 = 0 B. + 2 3 = 0
C. + 2 + 3 = 0 D. 2 6 = 0 或 + 2 3 = 0
7.有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片.第一个盒子中有三张分别标号为 1，2，3 的卡片；
第二个盒子中有五张分别标号为 1，2，3，4，5 的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为 1，2，3，4，5，
第 1页，共 8页
6，7 的卡片.现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第 个盒子中取出的卡片的号码为 ( = 1,2,3)，则 1 +
2 + 3为奇数的概率是( )
A. 29 53 57 1105 B. 105 C. 105 D. 2
8.在锐角三角形 中，已知 3 = 4 1 1 1，则 + + 的最小值是( )
A. 3 B. 13 132 C. 3 D. 13
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ∈ (0, ， 2 )

， + > 2，则下列不等关系一定正确的是( )
A. sin( + ) > + B. cos( + ) < +
C. + > 1 D. + < 2
10.在复平面内，复数 1， 2对应的向量分别为 1， 2，则( )
A.若 2 = 2 2 2 2 2 2 21 2，则 1 = 2 B.若 1 = 2 ，则 1 = 2
C.若 1 2 = 0，则 1 2 = 0 D.若 1 2 = 0，则 1 2 = 0
11.已知三棱锥 中， = = = = 3， = = 2， ，
分别是 ， 的中点， 是棱 上(除端点外)的动点，下列选项正确的是( )
A.直线 与 是异面直线
B. = 2 2 7当 时，三棱锥 体积为 9
C. + 的最小值为 17
D.三棱锥 外接球的表面积 11
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知事件 与 相互独立， ( ) = 0.6， ( ) = 0.42，则 ( + ) = ______．
13.如图，圆台 1的轴截面是等腰梯形 ， = = 2 = 4， 为下底面⊙
上的一点，且 = 3 ，则直线 与平面 所成角的正切值为______．
14 .已知平面向量 , , 分别满足| | = 1, | | = 3, = 0， 与 的夹角是6，
则( ) ( )的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在① = 3，② = 3，③ = 3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存
在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
第 2页，共 8页

问题：是否存在△ ，它的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 3 ， = 6，_______？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16.(本小题 15 分)
甲乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每
轮猜对的概率为 ， > .在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．甲和乙在第一
1 1
轮都猜错的概率为6，“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为2．
(1)求 ， ；
(2)求“星队”在前两轮活动中猜对 3 个谜语的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1 ⊥底面 ， 1 = 1 = ， = = 1， ⊥ ， ，
分别为 ， 1 1的中点．
(1)求证：直线 //平面 1 1；
(2)求三棱锥 1的体积．
18.(本小题 17 分)
如图所示，公路 一侧有一块空地△ ，其中 = 6 ， = 6 3 ，∠ = 90°.市政府拟在中间
开挖一个人工湖△ ，其中 ， 都在边 上( , 不与 ， 重合， 在 ， 之间)，且∠ = 30°．
(1)若 在距离 点 4 处，求 的长度；
(2)为节省投入资金，人工湖△ 的面积尽可能小，设∠ = ，试确定 的值，使△ 的面积最小，
并求出最小面积．
第 3页，共 8页
19.(本小题 17 分)
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常
用测量距离的方式有 3 种.设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则欧几里得距离 ( , ) = ( )21 2 + ( 1 22) ；曼
哈顿距离 ( , ) = | 1 2| + | 1 2|，余弦距离 ( , ) = 1 cos( , )，其中 cos( , ) = cos , ；
( 为坐标原点)．
(1) ( 1,2) ( 3 , 4若 ， 5 5 )，求 ， 之间的曼哈顿距离 ( , )和余弦距离 ( , )；
(2)若点 (2,1)， ( , ) = 1，求 ( , )的最大值；
(3)已知点 ， 是直线 ： 1 = ( 1)上的两动点，问是否存在直线 使得 ( , ) = ( , ) ，若存
在，求出所有满足条件的直线 的方程，若不存在，请说明理由．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.88
13. 55
14.4 3 + 6
15.解：选① = 3．
△ 中， = 3 ，即 = 33 ，
= 3 ∴ = 3， ，
2 3
2 2
= +
2 2 + 3 2
2 = 2 =
3
，
2 3 2
3
∴ = 3， = 1， = 1．
选② = 3．
△ 中， = = 6 = 3，∴ = 6．
∵ = 3 ，即 = 3 ，∴ = 2 3．
2 2 2
= + = 36+12
2 3
2 2×6×2 3 = 2 ，
∴ = 2 3．
选③ = 3 .
∵ = 3 ，即 = 3 ，
第 5页，共 8页
又∵ = 3 ，
2 2 2
= + 2 =
3
6 ≠ cos

6，

与已知条件 = 6相矛盾，所以问题中的三角形不存在．
(1 )(1 ) = 1
16.解：(1)由题意可得 6 1， (1 ) + (1 ) = 2
1 7
解得 = 3， + = 6，
所以 ， 是方程 2 76 +
1
3 = 0 的两个实根，
又 > 2 1，解得 = 3， = 2；
(2)设 1， 2分别表示甲两轮猜对 1 个，2 个谜语的事件，
1， 2分别表示乙两轮猜对 1 个，2 个谜语的事件，
( 21) = 3 ×
1 + 13 3 ×
2 4 2 2 4
3 = 9， ( 2) = 3 × 3 = 9，
( ) = 1 × 1 + 1 × 1 = 1 ( ) = 1 × 1 = 11 2 2 2 2 2， 2 2 2 4，
设 表示“星队”在前两轮活动中猜对 3 个谜语的事件，
则 ( ) = ( 1 2 ∪ 2 1) = ( 1 2) + ( 2 1) = ( 1) ( 2) + ( 2) ( 1)
= 4 1 4 1 19 × 4 + 9 × 2 = 3．
17.(1)证明：取 1 1的中点 ，连接 ， ，由于 ， 分别为 ， 1 1的中点，
因此 // 1 1，
又 1 1 平面 1 1， 平面 1 1，因此 //平面 1 1，
又 // 1 且 = 1 ，
因此四边形 1是平行四边形，
因此 // 1又 1 平面 1 1， 平面 1 1，
因此 //平面 1 1．
因此平面 //平面 1 1.又 平面 ，
因此直线 //平面 1 1；
(2)因为 = = 1， ⊥ ，
因此 1 = 1 = = 2，
由于 为 中点，因此 1 ⊥ ，又侧面 1 1 ⊥底面 ，
第 6页，共 8页
交线为 ， 1 平面 1 ，
因此 1 ⊥平面 ，连接 ，可知 ， ， 1两两垂直．
由(1)知直线 //平面 1，
1 1 6 1 6
1 = 1 = 1 = 3 1 △ = 3 × 2 × 4 = 24．
18.(1)在△ 中，其中 = 6 ， = 6 3 ，∠ = 90°，

所以 tan∠ = = 3，结合∠ 为锐角，可得∠ = 60°，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 60° = 28，可得 = 2 7 ．
(2)在△ 中，∠ = ，0° < < 60°，
6 3 3
由正弦定理sin∠ = sin∠ ，即 3 = sin(60 + )，可得 = sin(60°+ )，
2
3 3
同理在△ 中，由sin∠ = sin∠ ，求得 = ，
1 1 3 3 3 3 1 27 1
所以△ 的面积 = 2 30° = 2 × sin(60°+ ) × × 2 = 4 × 3+1 2 + 34 4 4 2
= 27 14 × 3+1
，
4 2sin(2 +60°)
根据 0° < < 60°，可得 = 15°时，△ 的面积最小，最小值为 54 27 3．
19.解：(1) ( , ) = | 1 3 4 8+65 | + |2 5 | = 5 =
14
5，
3+8
cos( , ) = cos , = 5 5 5
|
= = ，
|| | 5×1 5
( , ) = 1 cos( , ) = 1 5 = 5 55 5 ；
(2)设 ( , )，由题意得： ( , ) = |2 | + |1 | = 1，
即| 2| + | 1| = 1，而| 2| + | 1| = 1 表示的图形是正方形 ，
其中 (2,0)、 (3,1)、 (2,2)、 (1,1)，
即点 在正方形 的边上运动，
因为 = (2,1)， = ( , )，
可知：当 cos( , ) = cos < , >取到最小值时，即< , >最大，相应的 ( , )有最大值，
第 7页，共 8页
因此，点 有如下两种可能：
①点 为点 ，则 = (2,0)，
cos( , ) = cos < , >= 4 2 52× 5 = 5 ，
②点 在线段 上运动时，
此时 与 = (1,1)同向，取 = (1,1)，
则 cos( , ) = cos < , >= 3 = 3 105× 2 10 ，
3 10 2 5
因为 10 > 5 ，
2 5
所以 ( , )的最大值为 1 5 ；
(3)易知 ( , )min =
|1 |
，
2+1
设 ( , + 1)，
则 ( , ) = ( ) = | | + | + 1|，
当 = 0 时， ( , ) = ( ) = | | + |1|，
则 ( , ) = 1， ( , ) = 1，满足题意，
此时直线 的方程： = 1，
当 ≠ 0 时， ( , ) = ( ) = | | + | + 1|
= | | + | | | 1 |，
1
由分段函数性质可知 ( , )min = min (0), ( ) ，
|1 |
又 (0) = |1 | ≥ ，
2+1
( 1 ) = | 1 | ≥ |1 |且 恒成立， 2+1
当且仅当 = 1 时等号成立，
此时直线 的方程： = ，
综上，满足条件的直线有且只有两条，
直线 的方程分别为 = 1 和 = ．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑