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2024-2025 学年辽宁省朝阳市建平高中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = 3 1( 是虚数单位)的共轭复数 在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的 1000 米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、
丁对应的决定系数 2分别为 0.14，0.17，0.72，0.45，则拟合效果最好的模型是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.设抛物线的方程为 = 4 2，则其准线方程为( )
A. = 1 116 B. = 1 C. = 16 D. = 1
4.以 ， 分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若 ( ) = 0.2， ( ) = 0.1， ( | ) +
( | ) = 0.75，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为( )
A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05
5.记单调递增的等差数列{ }的前 项和为 ，若 1 = 2 且 1 5 = 2 3，则 10 =( )
A. 70 B. 65 C. 55 D. 50
6.已知 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A.若 ， ， // ， // ，则 //
B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 // ， ， ∩ = ，则 //
7.直线 + 1 = 0 被圆 2 + 2 + 2 8 = 0 截得的最短的弦长为( )
A. 10 B. 2 3 C. 4 D. 92
8.如图，已知正三棱柱 1 1 1的底面边长为 4 3，侧棱长为 2 5，点 在侧面 1 1 上，若 ⊥ 1，
则 的最小值为( )
A. 2
B. 2 2
C. 3
D. 72
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.在△ 中， = 3， = 1， = 6，则△ 的面积可以是( )
A. 32 B. 1 C.
3
3 D.
3
4
10
2
.设椭圆 ： 2 +
2 = 1 的左右焦点为 1， 2， 是 上的动点，则下列结论正确的是( )
A. | 1| + | 2| = 2 2
B. = 6离心率 2
C. △ 1 2面积的最大值为 2
D.以线段 1 2为直径的圆与直线 + 2 = 0 相切
11 +2.已知函数 ( ) = 3+4，下列说法正确的是( )
A.函数 ( )在( ∞, 1)上单调递增
B.函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减
C.函数 ( ) 1的极小值为3
D.若 ( ) = 有 3 个不等实根 1， 2， 3，则 1 + 2 + 3 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ }的前 项和为 ，且 5 = 3， 10 = 9，则 15 = ______．
13.已知 ( )6的展开式中含 2的项的系数为 192，则 =______．
14.设函数 ( ) = ln( + ) ( , ∈ )，若 ( ) ≤ 0 恒成立，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 34， = 2 ．
(1)求 的值；
(2)若 = 6，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进
行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答 3 个问题，第一题考查对公司的了解，答对得 2
分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得 2 分，答错不得分．
(1)若一共有 200 人应聘，他们的笔试得分 服从正态分布 (60,144)，规定 ≥ 84 为达标，求进入面试环
节的人数大约为多少(结果四舍五入保留整数)；
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(2) 1 1某进入面试的应聘者第一题答对的概率为2，后两题答对的概率均为3，每道题是否答对互不影响，求该
应聘者的面试成绩 的数学期望．
附：若 ～ ( , 2)( > 0)，则 ( < < + ) ≈ 0.683， ( 2 < < + 2 ) ≈ 0.954， ( 3 <
< + 3 ) ≈ 0.997．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， 是 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若 = 2， = 1， = 3，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1 过点 (3,4)，左、右顶点分别为 ， ，直线 与直线 的斜率之和为 3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点 2的直线 交双曲线右支于 ， ( 在第一象限)两点， 2 = 3 2 ， 是双曲线上一点，
△ 的重心在 轴上，求点 的坐标．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 12
2 ( ∈ )， ( ) = 2 + 1．
(1)求 ( )的极值；
(2)若 ( )恰有 3 个零点，求 的取值范围；
(3)若 ( ) = ( ) 2 在定义域上单调，求整数 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.21
13.2
14. 1
15. 3 3解：(1)因为 = ， = 2 ，所以 = 2 ，
2 2 2
因为 = 4，所以 = 3 × 2 = 3 ．
(2)因为 = 6，所以 = 4．
因为 < ，所以 < ， 为锐角，
2
因为 = 3 ，所以 =
7
3 ．
= sin( + ) = + = 2 × 7所以 2 3 +
2
2 ×
2
3 =
2+ 14
6 ．
△ 1 1 2+ 14故 的面积为2 = 2 × 6 × 4 × 6 = 4 + 2 14．
16.解：(1)因为 服从正态分布 (60,144)，所以 = 60， = 12，84 = + 2 ，
所以 ( ≥ 84) = 1 ( 2 < < +2 ) 1 0.9542 ≈ 2 = 0.023，
进入面试的人数 ～ (200,0.023)， ( ) = 200 × 0.023 = 4.6，
因此进入面试大约为 5 人；
(2)由题意可知， 的可能取值为 0，2，4，6，
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则 ( = 0) = (1 1 1 2 22 ) × (1 3 ) = 9，
( = 2) = 12 × (1
1 )23 + (1
1
2 ) ×
1
3 × (1
1 4
3 ) × 2 = 9，
( = 4) = 12 ×
1 1 1 1 1 1 5
2 × 3 × (1 3 ) + (1 2 ) × 3 × 3 = 18，
( = 6) = 12 ×
1 1 1
3 × 3 = 18，
所以 ( ) = 0 × 29 + 2 ×
4 5 1 7
9 + 4 × 18 + 6 × 18 = 3．
17.(1)证明：如图，连接 ，与 相交于点 ，
因为四边形 为矩形，对角线 ， 相交于点 ，则 = ，
又因为 是 的中点，则 = ，
因为 = ， = ，则 // ，
因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)因为平面 ⊥平面 ， ⊥ ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
则以 ， 所在的直线分别为 轴， 轴，过点 ，在平面 内作 的垂线为 轴，建立如图所示空间直
角坐标系．
由 = 3， = 2， ⊥ ，可得∠ = 6，可得点
3 3
的坐标为( 2 , 2 , 0)，
3 7
各点坐标如下： (0,0,0)， (0,2,0)， (0,0,1)， (0,2,1)， ( 4 , 4 , 0)，
3 3
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，由 = (0,2,0)， = ( 2 , 2 , 1)，

则 ⊥
= 2 1 = 0
，则 3 3 ， ⊥ = 2 1 2 1 + 1 = 0
取 1 = 2， 1 = 0， 1 = 3，
可得平面 的一个法向量为 = (2,0, 3)，
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设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
由 = (0,2,1) 3 7， = ( 4 , 4 , 0)，

则 ⊥
= 2 2 + 2 = 0
，则
⊥
，
= 34 +
7
2 4 2 = 0
取 2 = 7， 2 = 3， 2 = 2 3，
可得平面 的一个法向量为 = ( 7, 3, 2 3)，
又由 = 14 6 = 20，| | = 7，| | = 8，
有 cos < , >= 20 5 78 7 = 14 ，
故平面 与平面 5 7的夹角的余弦值为 14 ．
18.解：(1)易知双曲线 的左、右顶点分别为 ( , 0)， ( , 0)，
所以 4 4 24 + = 3+ + 3 = 9 2 = 3，
解得 2 = 1，
因为点 (3,4)在双曲线上，
16
所以 9 2 = 1，
解得 2 = 2，
2
则双曲线方程为 2 ；2 = 1
(2)设直线 的方程为 = + 3， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 3
联立 2 ，消去 并整理得2 (2
2 1) 2 + 4 3 + 4 = 0，
2 = 1
此时 = 16( 2 + 1) > 0，
由韦达定理得 1 + =
4 3
2 ， =
4
，
2 2 1 1 2 2 2 1
因为 2 = 3 2 ，
所以 1 = 3 2，
2 4 3 2 =
此时 2
2 1，
3 22 =
4
2 2 1
解得 2 = 111，
此时 3 2 = 4 442 2 2 1 = 9，
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解得 2 =
44，
27
因为△ 的重心在 轴上，
所以 + 1 + 2 = 0，
所以 = 2 2 =
4 33，
9
代入双曲线得 =± 345 ．9
故 ( 345 , 4 33 或 345 4 33 ．9 9 ) ( 9 , 9 )
19.(1)函数 ( ) = 2 + 1 的定义域为(0, + ∞)，
( ) = 2( + 1 ) = 2( + 1)，2( + 1) = 0 = 1 =
1 = 1 ，
又因为 ′( )在(0, + ∞) 1 1上单调递增，所以 ′( )在(0, )小于 0，在( , + ∞)大于 0；
所以 ( ) 1 1在(0, )单调递减，在( , + ∞)单调递增；
所以 ( ) 1 1 1 1的极小值为 ( ) = 2 ln( ) + 1 = 2 ( 1) + 1 =
2
+ 1，无极大值；
(2)函数 ( ) = 1 22 ，
可因式分解为： ( ) = ( 12 )，
显然， = 0 1是一个零点．零点由 = 0 和方程 2 = 的解组成，
令 ( ) = 12
1
，求导： ( ) = 2，
1
令导数为零： = 2 = 2；又因为 ( )在 上单调递增，
所以 ′( )在( ∞, 2)小于 0，在( 2, + ∞)大于 0，
所以 ( )在( ∞, 2)单调递减，在( 2, + ∞)单调递增，
所以 ( ) = ( 2) = 2 1 ( 2) = 1 + 1 2 = 1 2 2 2 2 (1 + 2)，
又 (0) = 1， →→ ∞， ( ) →+∞；当 →+∞， ( ) →+∞；
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( ) = 的解的个数：当 = 1，有两个解： = 0 和一个在( ∞, 2)；
1
当 > 2 (1 + 2)且 ≠ 1，有两个解：一个在( ∞, 2)，一个在( 2, + ∞)；
= 1当 2 (1 + 2)，有一个解( = 2)；
当 < 12 (1 + 2)，无解，
讨论 ( )的零点个数：
= 0 总是零点；
分析：当 = 1， = 0 是二重根(但仍是同一个点)和一个在( ∞, 2)，共两个零点；
> 1当 2 (1 + 2)且 ≠ 1，一个在( ∞, 2)，一个在( 2,0) ∪ (0, + ∞)，再加上 = 0， 共三个零点；
当 = 12 (1 + 2)，有 = 2 与 = 0 两个零点；
当 < 2(1 + 2)，只有一个零点 = 0，
1
因此， ( )恰有三个零点(不同的实根)，当且仅当 > 2 (1 + 2)且 ≠ 1；
(3)函数 ( ) = ( ) 2 = 12
2 2 ，定义域为(0, + ∞)，
求导： ( ) = (1 + ) 2( + 1)，
化简得： ( ) = (1 + ) 2 2，
( )在定义域上单调，有两种情况单调递减与单调递增；
当 ( )在定义域上单调递减时， ( )在定义域上恒小于等于 0，
而 →+∞时， ( ) →+∞，所以这种情况不成立；
所以 ( )只可能在定义域上单调递增；
当 ( )在定义域上单调递减时， ( )在定义域上恒小于等于 0，
而 →+∞时， ( ) →+∞，所以这种情况不成立；
所以 ( )只可能在定义域上单调递增；
所以 ′( ) = (1 + ) 2 2 ≥ 0 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，
即 ≤ (1 + ) 2 2 恒成立，
令 ( ) = (1 + ) 2 2，则只需 ≤ ( ) ，
求导： ( ) = [(1 + )
] 1 2 =
(2 + ) 1 2 = ( + 2)(
1 )，
1
( ) = 1 ，易知( )在(0, + ∞)上单调递增，且 (
1 ) = 122 1 = 2 < 0，
2
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(1) = 1 > 0 1 1，所以存在 0 ∈ ( 2 , 1)，使 ( 0) =
0 = 0，0
所以 ( )在(0, 0)上小于 0，在( 0, + ∞)大于 0；
所以 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)单调递增；
0 = 1
所以 ( ) = ( 0) = (1 + 0) 0 0 2 0 2, 0
1
= 0 0 ，0 0 = 0
代入得 ( ) = (1 + )
1
0
1
0 2( 0) 2 = 0 + 1，0 0
∈ ( 1又 0 2 , 1)
1
，所以 ( ) = 0 + 1 ∈ (1,
3 )，
0 2
又 ≤ ( ) 且 ∈ ，所以 ≤ 1，
故整数 的最大值为 1．
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