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苏科版2024八年级上册
第三章 勾股定理单元测试·巩固卷
试卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
较易 14
适中 9
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.85 判断三边能否构成直角三角形
2 0.85 勾股树（数）问题
3 0.85 以直角三角形三边为边长的图形面积
4 0.85 作角平分线(尺规作图)；用勾股定理解三角形；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
5 0.85 求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
6 0.65 用勾股定理解三角形
7 0.65 绝对值非负性；判断三边能否构成直角三角形；乘方的应用
8 0.65 用勾股定理解三角形
9 0.65 判断三边能否构成直角三角形
10 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形；等腰三角形的性质和判定
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 以直角三角形三边为边长的图形面积
12 0.85 绝对值非负性；判断三边能否构成直角三角形；利用算术平方根的非负性解题
13 0.85 判断三边能否构成直角三角形
14 0.85 勾股定理逆定理的实际应用
15 0.65 勾股定理与网格问题；在网格中判断直角三角形；等边对等角
16 0.65 利用算术平方根的非负性解题；判断三边能否构成直角三角形；绝对值非负性
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 用勾股定理解三角形
18 0.85 判断汽车是否超速(勾股定理的应用)；无理数的大小估算；等腰三角形的性质和判定；含30度角的直角三角形
19 0.85 解决航海问题(勾股定理的应用)
20 0.85 用勾股定理解三角形
21 0.85 用勾股定理解三角形；判断三边能否构成直角三角形
22 0.65 用勾股定理解三角形；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据等角对等边证明等腰三角形
23 0.65 线段垂直平分线的性质；等边对等角；用勾股定理解三角形
24 0.65 用勾股定理解三角形；利用勾股定理的逆定理求解《第三章 勾股定理单元测试·巩固卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B C A A A B D
1．B
本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，∴能组成直角三角形，故此选项符合题意；
、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．
2．B
本题考查的是勾股数，根据勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理且均为正整数的三个数，需逐一验证各选项是否同时满足这两个条件．
A、，不满足勾股定理，故本选项不符合题意；
B、，满足勾股定理且均为正整数，故本选项符合题意；
C、，1，含小数，非正整数，故本选项不符合题意；
D、，，，含分数，非正整数，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．D
本题主要考查了勾股定理，掌握直角三角形的三边关系是解答本题的关键．根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可．
解：∵如图，中，，
∴,
∵，
∴．
故选：D．
4．B
本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，由作图可知是的角平分线，可证，得到，，即得，利用勾股定理得，设，则，在中，利用勾股定理求得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：如图，过点作于，则，
由作图可知，是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：B．
5．C
本题考查了勾股定理，根据，且结合勾股定理列式代入数值计算，即可作答．
解：依题意，
则
∴
∴这棵树在折断前的高度是，
故选：C
6．A
本题考查了勾股定理，连接，在，中，根据勾股定理可得，代入数据计算，即可求解．
解：如图，连接，
依题意，，
在中，，
在中，，
∴
∴
故选：A．
7．A
本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负性．
由非负数的和为0可得各边长，再验证是否满足勾股定理的逆定理即可判断形状．
解：由方程可知，每个非负数项均为0，得：
，，，
解得：，，，
三边分别为9、12、15，
验证勾股定理的逆定理：
满足，故该三角形为直角三角形，
故选：A．
8．A
本题考查了勾股定理， 利用勾股定理计算的长，结合题意可求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．
解：∵，
∴，
，
∴．
9．B
本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可判断，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
B、，能组成直角三角形，故选项符合题意；
C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意；
故选：B．
10．D
此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明，得到，则，则，，，根据得到，即可得答案．
解：∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
故选D．
11．
本题考查了勾股定理，根据勾股定理结合正方形的面积，即可求解．
解：由题意可知，，
那么，
所以正方形的边长为．
故答案为：．
12．/90度
本题考查了绝对值的非负性，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据非负性得出，再把代入，求出，因为，所以，即可作答．
解：∵
∴
则
把代入
∴
∴
∴
∵
即
∴
∴则中最大的角是
故答案为：
13．17
本题主要考查了勾股定理的逆定理．它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，并且第一个都是奇数，并且从3开始的连续奇数，每一组勾股数的第二，第三个数是连续整数，第二个数是第一个数的平方减去一除以二．据此求解即可．
解：①3，4，5中；
②5，12，13中；
③7，24，25中；
④9，40，41中；
…．
∴，
∴，
（负值已舍）．
故答案为：17．
14．/90度
本题考查勾股定理逆定理，根据面积求出，结合勾股定理逆定理求解即可得到答案；
解：∵，，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
故答案为：．
15．/度
本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可．
解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得：
，，，
∴且，
∴是等腰直角三角形，．
故答案为：
16．
本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键．
解：∵，
∴，，，
解得，，，
∵，
∴是直角三角形，
∴的面积，
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理．
（1）在中，根据勾股定理进行计算即可；
（2）在中根据勾股定理进行计算即可．
（1）解：在中，于点D，
故在中，
；
（2）在中，于点D，
故在中，
．
18．没有超速，见解析
本题考查了30度的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作于点H．结合，得，即，运用勾股定理列式得，再证明是等腰直角三角形，然后算出的长度，以及小车平均速度，再进行比较，即可作答．
解：没有超速，理由如下：
过点C作于点H．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴小车平均速度，
∵
∴
∴，
∴此车没有超速．
19．12 海里/小时
本题考查了勾股定理的应用，在图形中找出直角三角形是解题的关键．
计算得出，从而说明是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，再求乙船的航速．
由题知，， 海里， 海里，
由勾股定理得， 海里，
乙船的航速是 海里/小时．
20．施工队天能挖完
本题考查勾股定理的应用，根据题意可得，再利用勾股定理得出，继而即可求解．
解：由题意知，，
米，米，
米，
故（天），
答：施工队天能挖完．
21．
该题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，根据题意求出，再根据勾股定理逆定理得出，再求解即可．
解：如图，连接．
∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∴．
则放置菊花盆栽区域的面积为：
．
22．(1)见详解
(2)
本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用AASAAS证明两个三角形全等”是解本题的关键．
（1）先证明，，进而即可得到结论；
（2）连接，利用勾股定理先求出，进而即可求解．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
23．(1)
(2)
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，可得，根据求出，于是得到结论；
（2）连接，设，则，，根据勾股定理得出，列出方程即可得到结论．
（1）解：，
理由：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
设，则，，
，
，
，
，
，
解得：，
即．
24．(1)直角三角形；理由见解析
(2)
本题主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设，则，然后在中根据勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求出x，进一步即可求出的长，从而求得的周长．
（1）解：是直角三角形；理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，则
∴的周长．2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷
第一章 勾股定理单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．7，24，25 C．3，3，5 D．
2．下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A．3，4，6 B．9，12，15 C．，1 D．，，
3．如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，．则（ ）
A．5 B．12 C．15 D．16
4．如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距，则这棵树在折断前的高度是（ ）．
A． B． C． D．
6．小明家的花洒装置示意图如图所示，花洒安装在距离地面厘米的处，花洒的长度为厘米．当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置与墙面之间的距离为厘米，则水流的长度为（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
7．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形
8．如图，在中，，点D在上，，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．8
9．下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（ ）
A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18
10．如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（ ）
A．1 B．12 C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为 ．
12．已知的三边满足，则中最大的角是 ．
13．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律， ．
14．如图所示，在四边形中，，，于E，，则的度数等于 ．

15．如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ．
16．若是的三边，且，则的面积为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，于点D，，，．
(1)求的长；
(2)求的长；
18．学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，）
19．如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？
20．如图，在修一条东西走向的公路时遇到一座小山，于是要修一条隧道．已知、、三点在同一条直线上．为了在小山的两侧、同时施工，过点作一条南北走向的直线l（即直线l，在直线l上取一点，使得米，经测量米．若施工队每天共挖米，求施工队几天能挖完？
21．菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，，．求放置菊花盆栽区域的面积．
22．如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，求线段的长．
24．如图，在中，，是边上的一点，，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的周长．

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