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2024-2025 学年湖南省长沙市岳麓实验中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的 1～6 号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且
甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为( )
A. 48 B. 96 C. 128 D. 186
2.若直线 = + 是曲线 ( ) = 2023与 ( ) = +2024 2025 的公切线，则 =( )
A. 1 2023 2025 22025 B. 2024 C. 4047 D. 4047
3.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， ， 分别为 ， 1， 1的中点，则下列结论中正确的
是( )
①直线 1 与直线 垂直；
②直线 1 与平面 平行；
③点 与点 到平面 的距离相等；
④平面 9截正方体所得的截面面积为2．
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
4 1.已知两个单位向量 ， 满足 = 2，则| +
| = ( )．
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
5.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1，点 1关于平面 对称的点为 2，矩形 1 1内(包括边界)
的点 满足 1 ⊥ 2，记直线 与平面 所成线面角为 .当 最大时，过直线 作平面 平行于直线 ，
则此时平面 截正方体所形成图形的周长为( )
A. 2 2 + 2 3 + 2
B. 2 2 + 2 3
C. 2 2 + 2 3 2
D. 2 3 2
6.已知 ( ) = 3 3 ，函数 = ( )的定义域为[ , ]( ， ∈ )， = ( )的值域为[ , ]的子集，则这样
的函数的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个
2
7 { } ∈ (0,1) sin 3 sin
2
.等差数列 的公差 ，且
7
sin( + ) = 1，当 = 10 时，数列{ }的前 项和 取得最小值，3 7
则首项 1的取值范围为( )
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A. ( 5 98 , 16 ) B. [
5 9 5 9
8 , 16 ] C. ( 4 , 8 ) D. [
5 9
4 , 8 ]
8.如图正方体的棱长为 1， ， 分别为所在棱的中点，则四棱锥 的外接球的表面积为( )
A. 16
B. 32
C. 4116
D. 414
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于 ( ) = 2 (2 3 )叙述中正确的是( )
A. 关于点( 6 , 0)对称 B.关于直线 =

6对称
C. 在区间[0, 3 ]上单调 D.函数 ( )

的零点为6 + ( ∈ )
10.已知函数 ( ) = ( 1)2 ln( + 1)，则( )
A. ( )在区间(2,3)内存在零点 B. 0 是 ( )的极小值点
C. ( )在区间(0,1)内存在极大值 D. ( )在区间( 1,0)上单调递减
11.已知 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数.若函数 ( ) = sin| | + | |，函数 ( ) = [ ( )]，则下列说
法正确的是( )
A.函数 ( )是奇函数 B.函数 ( )的值域是{0,1,2}
C.函数 ( ) 的图象关于直线 = 2对称 D.方程2 ( ) = 只有一个实数根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = + 2 + 在 = 1 处取得极大值 1，则 =______．
13.已知 ， ， 均为正实数，函数 ( ) = 2 + ( + 2 ) + ．
(1) ( ) 1 2若 的图象过点(1,2)，则 + 的最小值为______；
(2)若 ( )的图象过点( , + )，且(3 + ) ≥ 恒成立，则实数 的最小值为______．
14.平面直角坐标系中，已知点 ( 1, 1)， (0,3)， (1, )， (1, + 1)，当四边形 的周长最小时，
△ 的外接圆的方程为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在多面体 中，四边形 是正方形， // ， ⊥ ， = 2 ，∠ = 90°， = ，
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为 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： ⊥平面 ；
(3)求二面角 的大小．
16.(本小题 15 分)
如图，在平行四边形 中，∠ = 60°， 为 的中点，且 = ，现将平行四边形沿 折叠成四棱锥
．
(1)已知 为 的中点，求证： ⊥ ；
(2)若平面 ⊥平面 ，求二面角 的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 2 2 ) ．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)当 < 0 时， ( ) < 恒成立，求实数 的取值范围；
+2 +4 2(3)关于 的方程 ( ) = 有两个不相等的正实数解 1， 2，且 3 1 < 1 < 2，求证： 2 1 < 2 2 ．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 ( + 2) 1( ∈ )．
(1)若 = 1 为 ( )的极小值点，求 的取值范围；
(2)若 ( )有唯一的极值 1 1，证明： ≥ 1， ( ) + 1 ≥ ．
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19.(本小题 17 分)
如图，在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ，∠ = ∠ = 30°，点 在棱 上，且 = 3 =
2 = 3 = 6．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)设 是 的中点，点 在棱 上，且 //平面 ，求二面角 的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.9 113
14. 2 + 2 + 3 3 2 = 0
15.证明：(1)设 于 交于点 ，则 为 的中点，连接 ， ，又 为 的中点，
∴ // 1 1且 = 2 ，又 // 且 = 2 ，∴ // 且
= ，
∴四边形 为平行四边形
∴ / / ，而 平面 ，∴ //平面 ;
(2)由四边形 为正方形，有 ⊥ ，又 // ，∴ ⊥
而 ⊥ ，∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，∴ ⊥ ，
又 = ， 为 的中点，∴ ⊥
∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ， ⊥ ，
又 // ，∴ ⊥
又 ⊥ ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ;
(3) ⊥ ，∠ = 90°，∴ ⊥平面 ，
在平面 内过点 作 ⊥ 交 的延长线于 ，则
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∠ 为二面角 的一个平面角，
设 = 1，则 = 2， = 2， = 3，
又 // ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ sin∠ = sin∠ = 2，3
∴ = ∠ = 2，3
tan∠ = = 3，
∴ ∠ = 60°，
∴二面角 为 60°．
16.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ， ，
∵ = = ，∠ = 60°，∴△ 为等边三角形，即△ 为等边三角形，
∴ ⊥ ，
设 = = = ，则 = 3 ， = 2 ，
∴ 2 = 2 + 2，即 ⊥ ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ / / ，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
(2)解：由(1)知， ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
( 1则 2 , 3 , 0)
1
， (0,0, 3 )， ( 2 , 0,0)，2 ( ,
3
2 , 0)，
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∴ = ( 1 3 ，2 , 0, 2 ) = (
1
2 , 3 ,
3
2 )，
= ( , 3 3 ，2 , 2 )
设平面 的法向量为 = ( , , )，
1 3
则 = 0 2
2 = 0

，即 ，
= 0 1
2 + 3
3
2 = 0
令 = 3，则 = 0， = 1，∴ = ( 3, 0,1)，
同理可得，平面 的法向量为 = ( 3, 1,1)，
∴ cos < >= = 3+1， | | | | =
2 5
5 ， 2× 5
由图可知二面角 为锐二面角，
故二面角 的余弦值为2 5．
5
17.解：(1)由函数 ( ) = ( 2 2 ) ，
求导可得 ′( ) = ( 2 2) = ( + 2)( 2) ，
令 ′( ) < 0，得 2 < < 2，令 ′( ) > 0，得 < 2或 > 2，
所以 ( )的单调递增区间为( ∞, 2), ( 2, + ∞)，
单调递减区间为( 2, 2)；
(2)当 < 0 时， ( ) < 等价于 < ( ) = ( 2) ，
设 ( ) = ( 2) ( ≤ 0)，则 ′( ) = ( 1) < 0，
所以 ( )在( ∞,0)上单调递减，所以 ≤ (0) = 2．
(3)当 < 0 时， ( ) = ( 2 2 ) = [( 1)2 1] > 0，
由(1)可知， ( )在( 2, + ∞)上单调递增，在(0, 2)上单调递减，
作出函数 ( )的大致图象，如图：
因为 (0) = (2) = 0，所以 < 0，所以 3 1 < 1 < 2 < 2 < 2．
由 ′(1) = ，且切点(1, )，则曲线 = ( )在 = 1 处的切线为 1： = ，
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同理可得曲线 = ( )在 = 2 处的切线为 2： = 2 2 4 2，
设 ( ) = ( ) ( ) = ( 2 2 ) + ( 3 1 < < 2)，所以 ′( ) = ( 2 2) + ，
设 ( ) = ( 2 2) + ( 3 1 < < 2)，则 ′( ) = ( 2 + 2 2) = [( + 1)2 3] > 0，
所以 ( )在( 3 1, 2)上单调递增，
因为 (1) = 0，所以 ∈ (1, 2)时， ( ) > 0； ∈ ( 3 1,1)时， ( ) < 0，
所以 ( )在(1, 2)上单调递增，在( 3 1,1)上单调递减，
所以 ( ) ≥ (1) = 0，当且仅当 = 1 时取等号，
所以 ( ) ≥ 在 ∈ ( 3 1, 2)上恒成立，
设直线 = 与直线 1交点的横坐标为 ′1，则 ′1 = ，则 ′1 = ，则 = ( 1) = ′1 ≥ 1，

所以 1 ≥ ′1 = ．
2
同理可得 2 <
+4
′2 = 2 ，2
< = +4
2 +2 +4 2
所以 2 1 ′2 ′1 2 2 ( ) = 2 ，得证． 2
18.(1) ′( ) = + = ( + 1) ( + 1) = ( + 1)( )．
①当 ≤ 0 时， > 0，令 ′( ) < 0，可得 < 1，令 ′( ) > 0，可得 > 1，
所以 ( )在( ∞, 1)上单调递诚，在( 1, ∞)上单调递增，所以 = 1 为 ( )的极小值点，符合题意；
②当 > 0 时，由 ′( ) = 0，得 = 1 或 = ．
(ⅰ)当 0 < < 1 时， < 1，令 ′( ) > 0，可得 < 或 > 1，令 ′( ) < 0，可得 < < 1，
所以 ( )在( ∞, )上单调递增，在( , 1)上单调递减，在( 1, + ∞)上单调递增，所以 = 1 为 ( )
的极小值点，符合题意；
(ⅱ) = 1当 时， ′( ) ≥ 0 恒成立，所以 ( )在 上单调递增，无极值点，不符合题意；
(ⅲ)当 > 1 时， > 1，令 ′( ) > 0，可得 < 1 或 > ，令 ′( ) < 0，可得 1 < < ，
所以 ( )在( ∞, 1)上单调递增，在( 1, )上单调递诚，在( , + ∞)上单调递增，所以 = 1 为 ( )
的极大值点，不符合题意．
综上， 的取值范围是( ∞, 1 )．
(2) (1) ≤ 0 ( 1) 1 + 1证明：根据 可知 ， 为唯一的极值，所以 2 1 = 1，所以 = 0．
所以即证 ≥ 1， ≥ 0．
设 ( ) = ，则 ′( ) = ( + 1) ，
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设 ( ) = ′( )，则 ′( ) = ( + 2) + ，
设 ( ) = ′( )，则 ′( ) = ( + 3) + ，
当 ∈ ( 1, + ∞)时， + 3 > 0， > 0， > 0，
所以( + 3) + > 0，即 ′( ) > 0，
所以 ( )在( 1, + ∞)上单调递增．
′(0) = 2 > 0 ( 1) = 1， ′ 1，又 1 >

4 =
2
2 > 2，
所以 ′( 1) < 0，所以 0 = ( 1,0)，使 ′( 0) = 0．
因此当 ∈ ( 1, 0)时， ′( ) < 0，当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) > 0．
得 ′( )在( 1, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
又 ′( 1) = 1 < 0， ′(0) = 1 1 = 0，
因此当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) < 0，当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0．
所以 ( )在( 1,0)上单调递减，在(0, + ∞)上单调递增，得 ( ) = (0) = 0，
所以 ≥ 0，从而原命题得证．
19.证明：(1)由 = 3 = 2 = 3 = 6 得 = 2， = 3， = 2 3， = = 4，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 30° = 4，∴ 2 + 2 = 2，则 ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
解：(2) ∵ //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，故 EF// ，
而 是 的中点，故 EF 为△ 中位线，得 = = 2，
又 = 6，故 G 为 中点，
由(1)可知 ⊥平面 ，以点 为坐标原点，以 、 所在直线分别为 、 轴，过点 且垂直于平面
的直线作 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 (2,0,0)、 (0,2 3, 0)、 (1, 3, 0)、 (0,0,0)，
设点 (0, , )，其中 > 0， > 0， = (0, 2 3, 0)， = (0, 2 3, )，
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cos∠ =
2 3(2 3 ) 3 3
所以
| | |
= 2 3×3 = 2 ，解得 = 2 ，|
| | = ( 3 3 )2 + 2 = 3 3 3 3则 2 ，解得 = 2，故点 (0, 2 , 2 )，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)， = (2,0,0)， = (0,
3 , 32 2 )，
则 = 0
2 1 = 0
，即 3 3 ，取 = 3，可得 = (0, 3, 1)， = 0 2 1 + 2
1
1 = 0
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)， = (1, 3, 0)，
= 0 2 + 3 2 = 0则 ，即
= 0 3 3
，取 2 = 3，可得 = (3, 3, 1)，
2 2 + 2 2 = 0
所以 cos < , >= 4 2 13| | | | = 2× 13 = 13 ．
由图可知，二面角 2 13的平面角为锐角，故二面角 的余弦值为 13 ．
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