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5.4三角函数图像及其性质题型总结
题型一、三角函数的定义域
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
题型二、图像法求三角函数最值或值域
4．函数的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．5
5．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A．，2 B．，2 C．， D．，
题型三、换元法求三角函数最值或值域
7．已知函数，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为
8．函数的值域是( )
A． B． C． D．
9．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
题型四、三角函数的单调区间问题
10．函数的单调递减区间是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型五、三角函数的对称性问题
13．已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
14．函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
15．若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型六、三角函数的奇偶性问题
16．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
17．函数是（ ）
A．奇函数，且最小值为 B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最小值为
18．若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心
19．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．的图象关于直线对称
C． D．在上单调递减
20．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的图象可由的图像向左平移个单位长度得到
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在区间上单调递减
21．下列关于函数的说法，不正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．点为其图象的一个对称中心
D．定义域为
题型八、求三角函数解析式
22．将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
23．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
24．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的解析式可以为
C．函数在上的值域为
D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是
题型九、三角函数图像的伸缩变换
25．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
26．已知曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则曲线为（ ）
A． B．
C． D．
27．要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点（ ）
A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位
B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位
D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位
题型十、利用图像平移求函数解析式或参数值
28．已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
29．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型十一、三角函数与恒等式变换交汇问题
30．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型十一、三角函数与恒等式变换交汇问题
31．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求函数和的解析式；
(2)求函数的单调递增区间和对称中心；
(3)求函数在区间上的值域．
32．已知.
(1)求的值及函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解集.
33．已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为.
(1)求的解析式，并写出的单调递减区间；
(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域.
5.4三角函数图像及其性质题型总结答案
题型一、三角函数的定义域
1．函数的定义域是（ D ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，
对于函数有，可得，
解得，
故函数的定义域为.故选：D.
2．函数的定义域为（ A ）
A． B．
C． D．
【详解】对于函数，
令，即，解得，
所以函数的定义域为.故选：A
3．函数的定义域为（ D ）
A． B．
C． D．
【详解】由，可得.故选：D.
题型二、图像法求三角函数最值或值域
4．函数的最大值是（ C ）
A． B．3 C． D．5
【详解】，由正弦函数的值域可得其最大值为.故选：C
5．函数的值域为（ C ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，所以，则，
故，故的值域为.故选:C.
6．函数的最小正周期和最大值分别为（ C ）
A．，2 B．，2 C．， D．，
【详解】，
所以该函数的最小正周期为，最大值为故选：C.
题型三、换元法求三角函数最值或值域
7．已知函数，则（ C ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【详解】函数，
而，则时，，当时，.故选：C
8．函数的值域是( C ).
A． B． C． D．
【详解】由题意可知：，
由于，所以当时，函数，当时，函数，
所以函数的值域为.故选：C.
9．函数的值域是（ B ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，
由，故，
即.故选：B.
题型四、三角函数的单调区间问题
10．函数的单调递减区间是（ A ）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】已知，
令，，得，，
所以函数的单调递减区间为，.故选：.
11．已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（ A ）
A． B．
C． D．
【详解】由题意可得，，
解得且，，
又，则，，则，
故且，故.故选：A.
12．已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（ A ）
A． B．
C． D．
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得．
所以，
由，得，
解得．故选：A．
题型五、三角函数的对称性问题
13．已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（ D ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的对称性，求出对称中心的表达式，结合题意验证值即可求解.
【详解】函数的对称中心为：，
即，因为为函数的对称中心，
令，解得，当时，.故选：D
14．函数图象的一个对称中心为（ A ）
A． B． C． D．
【详解】令，可得.
所以当时，，故满足条件.故选：A
15．若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ C ）
A． B． C． D．
【详解】因为，
则由，，可得函数的图象的对称中心的横坐标为，，
又，所以当时，取的最小值，故选：C
题型六、三角函数的奇偶性问题
16．函数是（ D）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【详解】，
所以函数的最小正周期为，
又，所以为偶函数.故选：D.
17．函数是（ B ）
A．奇函数，且最小值为 B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最小值为
【详解】由题意，函数的定义域为，
则，
故函数为偶函数，
因为，
且，
所以当时，函数的最小值为.故选：B.
18．若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ A ）
A． B． C． D．
【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，
所以的最小正周期，又，所以，
所以，则，又为奇函数且，
所以，所以，
所以的最小值为.故选：A
题型七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心
19．已知函数，则下列结论正确的是（D ）
A．是奇函数 B．的图象关于直线对称
C． D．在上单调递减
【详解】对于A，由题意可得，故不是奇函数，则A错误.
对于B，因为，
所以的图象不关于直线对称，故B错误.
对于C，若，则图象的对称中心为，
而，故不是函数图象的对称中心，故C错误；
对于D，由，得，
而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确.故选：D.
20．已知函数，则下列结论错误的是（ D ）
A．的图象可由的图像向左平移个单位长度得到
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在区间上单调递减
【详解】对于A，的图像向左平移可得，故A正确；
对于B，时，，函数关于直线对称，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将代入，则，故C正确；
对于D，，因函数在上单调递减，在上单调递增，故在区间上不单调递减，故D错误.故选：D.
21．下列关于函数的说法，不正确的是（ D ）
A．最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．点为其图象的一个对称中心
D．定义域为
【详解】对函数：
由，，，所以函数的定义域为：；
由，所以函数的最小正周期为；
由，，，
所以函数在，上单调递增，当时，单调增区间为；
因为，所以点为函数的一个对称中心.
综上可知：D是错误的.故选：D
题型八、求三角函数解析式
22．将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为（ A ）
A． B．
C． D．
【详解】将图像向左平移个单位，
得到．故选：A．
23．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（ B ）
A． B．
C． D．
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象；
再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，可得的图象.
故选：B.
24．在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ B ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的解析式可以为
C．函数在上的值域为
D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是
【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得，
又，即，可得，
所以，故B正确；
对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误；
对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误；
对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误.故选：B.
题型九、三角函数图像的伸缩变换
25．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ D）
A．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【详解】因，则可把函数的图象向左平移个单位，即得函数的图象，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即得函数的图象.故选：D.
26．已知曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则曲线为（ D ）
A． B．
C． D．
【详解】把上各点的横坐标缩短到原来的得到曲线的函数解析式为，
纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线．故选：D．
27．要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点（ D ）
A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位
B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位
D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位
【详解】解：，
所以只需将的图象所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位.
故选：D.
题型十、利用图像平移求函数解析式或参数值
28．已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（ A ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】设函数的最小正周期为，因为函数在上单调，
则，可得，又，所以，，
因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称．
则，即，
因为，所以或6，满足条件，A正确．故选：A
29．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（B ）
A． B． C． D．
【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，
得到函数的图象，再将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象.
当时，，因为函数在上单调递减，
所以，，解得，，
当时，；当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意.
故实数的取值范围为.故选：B.
题型十一、三角函数与恒等式变换交汇问题
30．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ B ）
A． B．
C． D．
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
，，
函数在上没有零点，
，解得，
，令得，；令得， ，
的取值范围是.故选：B.
题型十一、三角函数与恒等式变换交汇问题
31．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求函数和的解析式；
(2)求函数的单调递增区间和对称中心；
(3)求函数在区间上的值域．
【详解】（1）由图象可知，设函数的最小正周期为，
所以，解得，
所以，所以，
又的图象过点，所以，
所以，解得，
又，所以，所以．
将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到，
再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到.
（2）令，，解得，，
即函数的单调递增区间为（），
令，，解得，，
所以函数的对称中心为（）.
（3）当时，，所以，
所以，即函数在区间上的值域为．
32．已知.
(1)求的值及函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的解集.
【详解】（1）因为，
所以，
故.
由，，
解得，.
所以函数的单调递增区间为，.
（2）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得：，
再将的图象横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得.
所以函数，
由，得：，.
解得，，
所以函数的解集为，.
33．已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为.
(1)求的解析式，并写出的单调递减区间；
(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域.
【详解】（1）因为函数的一个零点为0，所以，即，得，
因为，所以.
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以.
因为，，所以，所以函数的解析式为，
由，，解得，，
所以的单调递减区间为.
（2）把的图象向右平移个单位得到，
再将向上平移个单位得到，所以，
因为，所以.
当时，即时，，
当时，即时，，
所以函数在的值域为.

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