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2025-2026学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》
自主学习同步练习题（附答案）
一、单选题
1．一元二次方程的根是（ ）
A．， B． C． D．，
2．若关于的一元二次方程的一个实数解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
3．若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（ ）
A． B． C． D．
6．用因式分解法解方程时，可将该方程转化为两个一元一次方程，这两个方程是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
7．设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．当 时，代数式与的值相等．
9．关于的一元二次方程有一个根为，则 ．
10．若，则的值为 ．
11．方程的根为
12．已知方程的解是，，则方程的解是 ．
13．若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ．
14．一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
三、解答题
15．用因式分解法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
16．选择合适的方法解下列方程：
(1)．
(2)．
17．小李与小王两位同学解方程的过程如下框：
小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程．
18．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．依照上面的方法，解下列方程：
(1)
(2)
19．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7，求的值．
20．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：的两根为，．因为2是的倍，所以是整根方程．
(1)求证：方程是整根方程；
(2)若存在正整数，使关于的一元二次方程是整根方程，且关于的一元二次方程有实数根，求的值．
参考答案
1．解：，
，
，
∴，；
故选A．
2．解：∵关于的一元二次方程的一个实数解为，
∴，
解得，
∴的值为，
故选：．
3．解：∵，
∴，
∴原方程化为：，
因式分解得：，
解得：，
故选：B．
4．解：A、由方程解得，故不符合题意；
B、由方程解得，故符合题意；
C、由方程解得，故不符合题意；
D、由方程解得，故不符合题意；
故选B．
5．解：∵和是方程的两个根，
∴，
即，
∴多项式可以分解因式为，
故选：．
6．解：∵，
∴，
∴，
∴和，
故选：A．
7．解：∵，
∴，
整理得：，即，
解得：．
故选：C．
8．解：由题意，得
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
9．解： 是一元二次方程，
，
解得：，
一元二次方程有一个根为，
，
，
分解因式得：，
或，
解得：或(舍去)，
故答案为： ．
10．解：设，则，
整理可得：，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
11．解：，
∴，
设，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴或，
∴当时，
，
∴无实数根，
当时，
解得：，，
故答案为：，．
12．解：∵方程的解是，，
∴方程的解为或，
解得：，，
故答案为：，．
13．解：∵方程的两根为，，
∴方程的两根满足关系式，
∴．
故答案为：．
14．解：，
整理得：，
，
解得：，，
当时，，不能构成三角形，
当时，三角形的周长为，
故答案为：．
15．（1）解：，
原方程可变形为：，
或．
，．
（2）解：
原方程可变形为：，
．
．
（3）解：，
原方程可变形为：，
或
，．
（4）解：
原方程可变形为：，
，
即．
或．
，．
16．（1）解：
∴或
∴，；
（2）解：
则
∴
∴
∴或
∴，．
17．解：×；×
解：
，．
18．（1）解：，
或，
所以，；
（2），
或，
所以，．
19．（1）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为
，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：由（1）已证：这个方程有两个不相等的实数根，
∵等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7，
∴是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
整理得：，
解得或，
①当时，这个一元二次方程为，
解得或，此时等腰三角形三边的长分别为，符合题意；
②当时，这个一元二次方程为，
解得或，此时等腰三角形三边的长分别为，符合题意；
综上，的值为5或7．
20．（1）证明：，
，，
是3的倍，
是整根方程；
（2）解：
，，
总有实数根，
，
解得：，
正整数，使得关于的一元二次方程是整根方程，
时，的根为，，不是整根方程，
时，的根为，，是整根方程，
．

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