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山东省德州市陵城区2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题
一、单选题
1．下列各数：3．14，，，，，，其中无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，要把河里的水引导田地处，过点向河岸作垂线，垂足为，沿挖掘渠能使所挖的渠道最短，理由是（ ）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如果点在第四象限，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程组的解满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．某校举办数学节活动，学生可通过参加数学趣味游戏获得积分（百分制），为了了解学生的积分情况，学生会干部在全校随机调查了若干名学生的积分并绘制成如图所示的频数分布直方图，下列说法错误的是（ ）
A．得分在70~80分的人数最多 B．调查总人数为40
C．人数最少的分数段的频数为2 D．得分及格（分）约有12人
8．《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺 设木头长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，以单位长度为边长画一个正方形，以点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
10．若实数使关于的不等式组恰有4个整数解，且使方程组有整数解，则符合条件的所有整数的值正确的是（ ）
A．10，11，12 B．9，12 C．6，9，12 D．9，10，11，12
二、填空题
11．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是 ．
12．已知（是整数），则的值是 ．
13．如图是某小区业主关于垃圾分类知识的了解情况的扇形图，若一共调查了1800名居民，则“基本了解”比“不了解”的居民多 人．
14．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
15．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫作点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到点，若点的坐标为，则点的坐标是 ．
三、解答题
16．计算：
(1)．
(2)
17．解下列不等式（组），并在数轴上表示它的解集；
(1)解不等式；
(2)解不等式组
18．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为，现将三角形平移，使得点变换为点，点，分别是点，的对应点．
(1)请画出平移后的三角形；
(2)点的坐标为_____，点的坐标为_____；若三角形内部有一点，其平移后的对应点为，则点的坐标为_____．
(3)连接，，，求三角形的面积．
19．如图，点A，B，C在同一直线上，已知平分，，，求证．
20．某校开展课后延时服务，计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，由于师资等条件的限制，每人只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：
(1)求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
(2)m＝　 　，n＝　 　；
(3)求扇形统计图中，“摄影”对应扇形圆心角的度数；
(4)若该校共有1200名学生参加课后延时服务，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？
21．某校计划开展研学活动，通过调查得到以下信息．
信息1：
车型 座位数（人/辆） 租金（元/辆）
30座客车 30 300
45座客车 45 400
信息2：若每位老师带35名学生，则有20名学生无老师可带；若每位老师带46名学生，则余下一位老师无学生可带．
请根据以上信息，完成以下任务．
任务1：求出此次活动中老师与学生各有多少人．
任务2：研学活动需租用两种车型客车，每辆车上只有一名老师负责学生安全，每人都必须有座位且不超载．请设计最优租车方案．
22．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动
(1)求点的坐标．
(2)当点移动4秒时，请求出点的坐标．
(3)当点移动到距离轴3个单位长度时，求点移动的时间．
23．综合与实践
问题情境：
数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动、如图1，已知，直角三角板中，，将其顶点A放在直线上，并使边于点D，与相交于点．
（1）试判断边与直线的位置关系并说明理由；
操作探究：
（2）如图2，将图1中三角板的直角顶点放在平行线之间，两直角边，分别与，相交于点E，F，得到和，试探究与的数量关系并说明理由；
深入探究：
（3）受小明启发，同学们继续探究下列问题．
在图2中作线段和，使它们分别平分和的顶角，如图3，请求出的度数．
参考答案
1．C
解：3.14，，，，，，中，无理数有，，，共3个；
故选C.
2．A
解：根据题意，小河可以抽象为一条直线，点到直线的所有连线中，垂线段最短，
故选：A．
3．A
A． ，计算正确；
B． ，原式错误；
C． ，原式错误；
D．，原式错误；
故选：A．
4．D
解：∵点P（m，1-2m）在第四象限，
∴m＞0，1-2m＜0，
解得：m＞，
故选：D．
5．B
解：
②-①，得：x-y=1-k，
∵x-y=3，
∴1-k=3，
解得：k=-2，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解法：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．本题用整体代入的方法达到了简便计算的目的．
6．B
解：由数轴可知：，
∴；故选项A不成立；
；故选项B成立；
；故选项C不成立；
；故选项D不成立；
故选B．
7．D
解：A、得分在70～80分的人数最多，正确，本选项不符合题意．
B、调查总人数为，正确，本选项不符合题意．
C、人数最少的分数段的频数为2，正确，本选项不符合题意．
D、得分及格（分）约有人，不是12人，故选项错误，符合题意．
故选D．
8．C
解：设木头长尺，绳子长尺，
由题意得：，
故选：C．
9．C
解：点到的距离，
∵点在原点左侧，
∴点表示的数是，
故选：C ．
10．B
解：解不等式，得，
解不等式，得，
要求恰好有4个整数解，即整数解为，，，0，
故需满足，
解得，
∴整数m的可能值为9，10，11，12，
解方程组得：，
要求x和y均为整数，则m必须是3的倍数．
∴符合条件的m为9和12，
故选：B．
11．25°/25度
解：，
，
三角形是等腰直角三角形，
，
故答案是：25°．
12．或或或0或1或2或3
解：∵，
∴，
∵x是整数，
∴x的值是或或或0或1或2或3，
故答案为：或或或0或1或2或3．
13．675
解：“基本了解”居民占比为，人数为人，
“不了解”居民比为，人数为人，
“基本了解”比“不了解”的居民多人，
故答案为：675．
14．24
解：由题意，空白部分是矩形，长为6﹣2＝4（cm），宽为4﹣1＝3（cm），
∴阴影部分的面积＝6×4×2﹣2×4×3＝24（cm2），
故答案为：24．
15．
解：若点的坐标为，
则点的伴随点的坐标为，即，
点A2的伴随点的坐标为，即，
点的伴随点的坐标为，即，
点的伴随点的坐标为，即，
点的伴随点的坐标为，即，
……
观察发现，每4个点为一个循环周期，点的坐标依次为、、、，
，
点的坐标是，
故答案为：．
16．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：化简，得，
，得，
解得：，
把代入②，得，
∴．
17．(1)；数轴见解析
(2)；数轴见解析
（1）解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
将解集表示在数轴上，如图所示：
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上，如图所示：
18．(1)见解析；
(2)，，；
(3).
（1）解：如下图所示，
由图可知点的坐标是，点的坐标是，
点向右平移了个单位长度，向下平移了个单位长度，
向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
把点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到点，
把点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到点，
连接点、、，得到即为所求；
（2）由可知点的坐标为，点的坐标为，
由可知向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到，
设点的坐标为，
则有，
解得：，
点的坐标为，
故答案为：，，；
（3）解：如下图所示，
在长为，宽为的矩形中，
的面积为．
19．见解析
证明：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)150，图见解析
(2)36、16
(3)129.6°
(4)192人
（1）参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150（人），
航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人），
补全图形如下：
（2）根据题条件有：
，，
即m＝36、n＝16，
故答案为：36、16；
（3）根据扇形统计图的知识可知，
“摄影”对应扇形圆心角的度数是：摄影人数所占比例乘以360°，
即：；
（4）∵在抽样中，围棋人数占比为16%，
∴估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生为：1200×16%＝192（人），
即估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生人数为192人．
21．任务1：此次活动中老师有6人，学生有230人；任务2：租用2辆30座客车，租用4辆45座客车的租金最少
解：任务1：设此次活动中老师有人，
由题意，得，
解得．
学生人数为：（人）
答：此次活动中老师有6人，学生有230人．
任务2：设租用辆30座客车，则租用辆45座客车，租金为元．
根据题意，得，解得：，
随的增大而减小
当，时，有最小值．
答：租用2辆30座客车，租用4辆45座客车的租金最少．
22．(1)
(2)
(3)秒或秒
（1）解：∵a、b满足，
∴，
解得，
∴点B的坐标是；
（2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，
∴点移动4秒时，点P的路程：，
∵
∴当点P移动4秒时，在线段上，
即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是；
（3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，存在两种情况：
第一种情况，当点P在上时，
点P移动的时间是：（秒），
第二种情况，当点P在上时．
点P移动的时间是：（秒），
综上分析可知：在移动过程中，当点P到y轴的距离为3个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒．
23．（1），理由见解析
（2），理由见解析
（3）
解：（1），理由如下：
∵
∴，
∵，
，
．
（2），理由如下：
过点作直线，如图2，
∵，
，
，
，
∴，
，
；
（3），理由如下：
如图3，过点作，
则，
，，
，，
由（2）知：，
，
和分别平分 和，
，，
，
，即；

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