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山东省德州市夏津县2024-2025学年下学期八年级数学期末试题
一、单选题
1．要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．某中学八年级一班和二班各选取了20名学生进行安全教育竞赛答题，得分情况经统计整理为如图所示的折线图．请结合图象分析：哪个班级的成绩更稳定（　　）
A．一班 B．二班 C．一样稳定 D．无法判断
3．下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等
4．已知是方程的一个根，则代数式的值为（　　）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
5．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．《算法统宗》是由我国明代数学家程大位编写的数学名著，书中记载到：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐；五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”大概意思是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．若该一次函数的图象不经过第四象限，则m的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
8．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为 （ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（ ）
A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小
B．方程组的解为
C．方程的解为
D．当时，
二、填空题
10．如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ．
11．当 时，是关于的一元二次方程．
12．将一次函数 的图象向下平移2个单位，所得图象的函数表达式为 ．
13．已知，化简 ．
14．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边的中点，过点E作于点于点G，若，则的长为 ．
15．定义：在平面直角坐标系中，直线是平行于轴的一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．那么函数关于直线的“镜面函数”的解析式为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）解方程；．
17．某校八年级为了丰富学生课外生活，举办了文学知识竞赛（10分制，学生得分均为整数）．在这场竞赛中，甲、乙两位同学10次的成绩如下：
甲：7，8，8，7，8，8，10，8，8，8；
乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10．
请根据信息回答问题：
级别 平均数 众数 中位数 方差
甲 8
乙 8 8 0.8
(1)求的值；
(2)现要从甲、乙两位同学中选出一位参加集团学校的文学知识竞赛，你认为应该选哪一位？请说明理由．
18．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．
(1)请求出的长度；
(2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．
19．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
20．已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上．
(1)尺规作图：使用直尺和圆规，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，则菱形的面积为__________．
21．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
22．综合与实践
《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】
实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54
【探索发现】
（1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）
【结论应用】
（2）应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）．
23．活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中．
【初步操作】
（1）将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，求证：四边形是正方形；
【操作探究】
（2）如图③，将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠，使点、分别落在，上的、处，，分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点分别落在点与点处，恰好点在边上，与相交于点，且，若，求线段的长；
【深入研究】
（3）如图④，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．、分别在边上，，点从点单向运动到点的过程中，将矩形纸片沿着折叠，点分别落到点与点处．若边与边交于点，在此过程中，直接写出：
①的最大值为___________；②点运动的路径长为___________．
参考答案
1．D
解：由题可知，，
解得：，
观察选项，只有D符合题意；
故选：D．
2．B
解：观察折线图，二班的波动小，所以二班的成绩更稳定．
故选：B．
3．D
解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；
C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意；
故选：D．
4．A
解：∵是方程的一个根，
∴，即，
将代入代数式，得：．
故选：A．
5．D
解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6．C
解：根据题意，设秋千绳索的长为尺，
则；
故选：C
7．C
解：当时，，当时，，
，，
，
函数值随的值增大而增大，
函数图象不经过第四象限，
，
，，
，
，
，
解得（负值已舍去），
的值为4．
故选：C．
8．D
解：由勾股定理得，
，
即，
∵，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积，
故选：D．
9．D
A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A结论正确，不合题意；
B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B结论正确，不合题意；
C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C结论正确，不合题意；
D．由函数图象可知， 当时，，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
10．
解：∵在中，，，，
∴，
如图，设与交于点O，过O作于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴、
∴当线段长最小，则线段的长最小，
由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小；
∵，
∴，解得：．
∴线段长最小为．
故答案为：．
11．
解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
解：∵一次函数 的图象向下平移2个单位，
∴所得图象的函数表达式为，
故答案为：．
13．1
解：∵，
∴，
故答案为：1．
14．5
解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，对角线相交于点O，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵E是边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
15．
解：设函数上一点，其关于直线的对称点为，则，即．
将代入原函数，得．
∴时，“镜面函数”的解析式为．
综上，“镜面函数”的解析式为．
故答案为：．
16．（1）；（2）
解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴．
17．(1)，，，
(2)选择甲，理由见解析
（1）解：甲：7，7，8，8，8，8， 8，8，8，10，
，，，
乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10，
；
（2）解：选择甲参加市里比赛．
理由如下：
∵甲乙两人的平均数、众数、中位数都相等，
∵方差越小，成绩越平稳，
∴选择甲．
18．(1)的长度为
(2)该车符合安全标准
（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：；
答：的长度为；
（2）解：，
即，
∴是直角三角形，且，
即；
答：该车符合安全标准．
19．(1)
(2)
（1）解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
，
；
（2）解：方程的两个实数根分别为，
，
，
，
，
，
或1，
，
．
20．(1)作图见详解
(2)20
（1）解：下图为所求：
∵四边形是矩形，线段垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵线段垂直平分线段，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，，
∴，
∵，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
21．(1)修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元
(2)修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元
（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得，
解得
答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元．
（2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得，
解得，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时（万元），
答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
22．（1）①图见解析，②一次函数，；（2）①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米，②当箭尺读数为厘米时是点钟．
解：（1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图，
②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，
设这条直线所对应的函数表达式为：，把点，代入得：
，
解得：，
∴一次函数表达式为：，
故答案为：一次函数，；
（2）当时，，
∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米；
当时，则，
解得：，
∴供水时间为15小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，
，
∴当箭尺读数为厘米时是点钟．
23．（1）见解析；（2）；（3）①；②点运动的路径长为．
证明：（1）四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得，
四边形是矩形，是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形；
（2）四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得，
四边形是矩形，
，
；
由折叠的性质可得，
，
又，
，
，
，
；
由折叠的性质可得，
，
设，则，
在Rt中，由勾股定理得，
，
解得，
；
（3）①如图3-1所示，由折叠的性质可得，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
当最小时，有最大值，
当时，有最小值，即此时有最大值，
此时四边形是矩形，
，
；
②如图3-2所示，当点与点重合时，同理可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
；
如图3-3所示，当点恰好与点重合时，
由折叠的性质可得，
，
点运动的路径长为．

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