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山东省泰安市肥城市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，应进行全面调查
B．企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行抽样调查
C．“小强一次掷出5颗质地均匀的骰子，5颗全是5点朝上”是不可能事件
D．“连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上”是随机事件
4．从长度分别为的三条线段中任选2条，与长度为的线段首尾相连，则能连成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．解不等式组时，在同一条数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．我国古代数学著作增删算法统宗中有这么一首诗，其大意是：今有绢与布30匹，卖得570贯钱；2匹绢价45贯，3匹布价50贯，欲问绢、布各有多少？设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．定义新运算，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，分别平分，，于点．若的面积是75，则的周长为（ ）
A． B．25 C． D．50
9．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程：
已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线，使得． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接． ②作的平分线． ③以点为圆心长为半径画弧，交射线于点． ④作直线． 直线就是所求作的直线．
上述的方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等
10．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处．
①如图1，当点落在边上时，；
②如图2，当点落在内部时，；
③如图3，当点落在上方时，；
④当时，或，以上结论正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．因式分解： ．
12．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ．
13．已知关于的不等式组只有两个整数解，则的取值范围是 ．
14．如图，已知，，，则的大小为 ．
15．如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，则 ．
三、解答题
16．解下列方程组或不等式（组）
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．将下列各式因式分解：
(1)
(2)．
(3)
(4)
18．如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求：
(1)转动转盘，转出的数字不大于5的概率；
(2)小追和小梦一起做游戏，现有两张分别写有4和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小追说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”，小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于13，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由．
19．如图，在中，交于点，点在上，过点作交于点，点在上，连接．请判断与是否互补，并说明理由．
20．如图所示，．求证：
(1)．
(2)若，求的大小．
21．暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种童装T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元．
(1)求甲、乙两种恤每件的进价分别是多少元？
(2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购买两种T恤的总费用不超过6540元，并且购买的甲种恤的数量的三倍不超过乙种恤的数量，请你通过计算，确定服装店购买甲、乙两种恤的购买方案．
22．直线，与的角平分线交于点，的延长线交于点，过点作，交延长线于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在线段上，点在线段上，且平分，连接．若，求的度数：
23．【基础回顾】
（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点．
山东省泰安市肥城市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C D D B D C C
1．A
【详解】A、方程是整式方程，含两个未知数和，且和的次数均为1，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
B、方程中，项的次数为2（和的次数之和），不符合二元一次方程的条件，故本选项不符合题意；
C、方程含有分式，不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、 方程仅含一个未知数，且的次数为2，不符合二元一次方程的条件，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．B
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，是因式分解，符合题意；
C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、等式错误，右边展开为，与左边不符，不符合题意；
故选：B．
3．D
【详解】A. 要了解一批灯泡的使用寿命，检测具有破坏性，应采用抽样调查，全面调查会损坏所有灯泡，故A错误．
B. 企业招聘面试需对应聘者逐一考察，应进行全面调查，而非抽样调查，故B错误．
C. 掷5颗骰子全为5点朝上虽概率极小，但可能发生，属于随机事件，而非不可能事件，故C错误．
D. 连续抛硬币2次，可能结果包括两次反面（无正面）也可能一正一反，因此“必有1次正面”可能发生也可能不发生，属于随机事件，故D正确．
故选：D
4．C
【详解】解：①若选择和的线段，
∵，
∴不能与长度为的线段连成三角形；
②若选择和的线段，
∵，
∴不能与长度为的线段连成三角形；
③若选择和的线段，
∵，
∴能与长度为的线段连成三角形．
综上，共有3种等可能情况，符合条件的情况只有1种，其概率为．
故选：C．
5．D
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴该不等式组无解，
在数轴上表示为：
．
故选：D
6．D
【详解】解：根据“2匹绢价45贯，3匹布价50贯”得：绢价为贯每匹，布价为贯每匹．
根据“绢与布30匹”可得：；
根据“卖得570贯钱”可得：；
联立可得：．
故选：D．
7．B
【详解】解：由题意得：，
解得：，
因此，的取值范围是，
故选：B．
8．D
【详解】解：如图，连接，过点O作于，作于，
∵，分别平分，，于点D，，
∴，，
∵的面积是75，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为50，
故选：D．
9．C
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故选：C ．
10．C
【详解】解：①如图1，当点落在边上时，
根据折叠性质可得，
∴，故①正确；
②如图2，当点落在内部时，
根据折叠性质可得
∴
，故②正确；
③如图3，当点落在上方时，；
根据折叠性质可得
∴
，故③正确；
④当时，

∵，
∴，
∵，
∴，
根据折叠性质可得，
∴，
∴；
当时，

∵，
∴
∵，
∴，
根据折叠性质可得，，
∴，
∴，
∴；
综上或；故④错误；
故选：C．
11．
【详解】解：
故答案为：．
12．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴把代入得：，
解得：，
∴直线与直线相交于点，
∴方程组的解是，
故答案为：．
13．/
【详解】解：，
由①得，
由②得，
∴，
∵原不等式组有且只有两个整数解，
∴的整数值为，，
∴．
故答案为：．
14．/60度
【详解】解：，，，
∴，，
∴．
故答案为：．
15．
【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：，
原方程组可变为，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（3）解：，
原不等式可变为：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：；
（4）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．(1)
(2)公平；理由见解析
【详解】（1）解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，不大于5的结果有4种，
转出的数字不大于5的概率；
（2）解：公平；理由如下：
转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能构成等腰三角形的结果有2种，
（能构成等腰三角形）；
构成的三角形的周长小于13的结果有2种，
（构成的三角形的周长小于13），
这个游戏规则对双方公平．
19．与互补，见解析
【详解】解：与互补，理由如下：
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，即与互补．
20．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元
(2)一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二、购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三、购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件．
【详解】（1）解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元；
（2）解；设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，
由题意得，
解得，
m为整数，
当时，，
当时，，
当时，，
一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二、购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三、购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件．
22．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
∴，
平分，平分，
，，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：设，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
23．（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）证明见解析
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，的数量关系是：，证明如下：
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是的中点．

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