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山东省潍坊市寒亭区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．据测定，杨絮纤维的直径约为米，数据用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ）
A．对乘坐飞机的乘客进行安检 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞性能
C．了解全班同学的视力情况 D．检测“嫦娥六号”月球探测器零部件的质量
4．如图，已知，，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
5．解关于x，y的方程组下列消元方法正确的是（ ）
A．，消去x B．由②得代入①，消去y
C．，消去x D．由②得代入①，消去y
6．如图，正五边形的对角线与相交于点O，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，直线与相交于点O，为的平分线，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
11．因式分解： ．
12．要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是 ．（写出一个值即可）
13．计算： ．
14．已知等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是 ．
15．甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为 ．
三、解答题
16．计算与化简：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
17．（1）因式分解：．
（2）如图，在半径为R的圆形纸片上，剪去4个半径均为r的圆形．当，时，利用因式分解的知识，计算剩余部分的面积．（用含的式子表示）
18．在一次60秒跳绳的体育测试中，体育老师统计了全班同学的跳绳次数，并绘制了如下不完整的统计图表．
分组
频数 3 4 17 m 8 6 1
请结合以上统计图表，回答下列问题．
(1)这个班有多少名同学参加了测试？
(2)补全频数分布直方图，并求扇形统计图中圆心角的度数；
(3)请根据以上信息，写出你得到的结论．（写出一条即可）
19．阅读证明过程，在横线处将其补充完整，并在括号内填写推理依据．
已知：如图，在中，，直线分别交，和的延长线于点D，E，F．
求证：．
证明：在中，
，（ ）
所以，（ ）
在中，，
所以，
因为，
所以________________，
所以．（ ）
20．为更好地满足学生在暑假期间的阅读需求，某书店在暑假前投入90000元资金购进甲、乙两种图书共1000套，这两种图书的进价和标价如下表所示：
类别 进价（元/套） 标价（元/套）
甲 80 95
乙 105 125
(1)该书店购进甲、乙两种图书各多少套？
(2)在暑假期间，书店将甲种图书按标价销售，乙种图书打折销售，若将这1000套图书全部售完，恰好获得15000元的利润，则书店应将乙种图书按标价的几折销售？
21．如图，直线，将一直角三角板放置在与之间，顶点在直线上，顶点在直线上，．直线分别交，于点，的平分线交直线于点．
(1)试判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若直线，将三角板沿向左平移，点与点不重合，设．求的度数．（用含的代数式表示）
22．如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y．
(1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示）
(2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积；
(3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差．
23．对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式．
【探索发现】
（1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________；
（2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系．
【拓展提升】
（3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式：
________．
（4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式．
参考答案
1．B
解：∵中，，
，
故选：B．
2．A
解：原数需表示为．将小数点向右移动5位至1后，得到，满足．
移动5位相当于原数乘以，因此需用还原，即．
故选A．
3．B
解：A、飞机安检需确保每位乘客安全，必须全面检查，故不适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B、新能源汽车抗撞性能测试具有破坏性，若全面检测会导致所有车辆损毁，因此需通过抽样推断整体性能，故本选项符合题意；
C、全班人数较少，全面调查视力更准确，无需抽样，故本选项不符合题意；
D、探测器零部件质量关乎任务成败，必须逐一检测，不可抽样，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．D
解：如图所示，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
故选： D．
5．C
选项A：将得：，与①相加后为：，即，消去的是y而非x，故A错误．
选项B：由②得代入①，得，方程仍含y，消去的是x，故B错误．
选项C：将得：，得：，两式相减得：，即，消去x，故C正确．
选项D：由②得，故D错误．
故选C．
6．C
解：正五边形每个内角的度数为，
因为正五边形各边相等，所以和均为等腰三角形．
在中，；
同理，在中．
，
故选：C．
7．B
解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
8．D
解：∵，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
解得：，
，
故选：D．
9．B
解：由题意可得，
故选：B．
10．B
解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确；
，则的圆心经过的路程是，故②错误；
根据题意可得点P运动的路径长，
的周长，
即在滚动中自身转了2周，故③正确；
故选：B．
11．
解：
，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
解：由题意，当时，
满足，
但不满足，
故答案为：（答案不唯一）．
13．
解：，
故答案为：．
14．
解：当为腰时，三边为，由三角形的三边关系可知，不能构成三角形，
当为腰时，三边为，符合三角形的三边关系，周长为：．
故答案为：．
15．7
解：甲解得正确结果为，代入方程组，
∴，
∴由②解得，，
乙因为抄错了，解得错误结果为，
∴，即，
∴得，，即，
∴，
故答案为：7 ．
16．(1)
(2)
(3)，
（1）解：
（2）
（3）
当时，
原式
17．（1）；（2）．
解：（1）
．
（2）解：阴影部分面积
，
∵当，时，
∴阴影部分面积．
18．(1)48名
(2)补全频数分布直方图见解析，
(3)的人数最多（不唯一、合理即可）
（1）解：（名）．
答：这个班有48名同学参加了测试．
（2）解：的人数（名）．
补全直方图如下：
扇形统计图中圆心角α的度数为．
（3）解：由频数分布直方图知，的人数最多（答案不唯一）．
19．三角形内角和定理；等式的性质；；等量代换
证明：在中，，（三角形内角和定理）
所以，（等式的性质）
在中，，
所以，
因为，
所以，
所以．（等量代换）．
故答案为：三角形内角和定理；等式的性质；；等量代换．
20．(1)购进甲图书套，购进乙图书套
(2)书店应将乙种图书按标价的九六折销售
（1）解：购进甲图书套，购进乙图书套，
∴，
解得，，
∴购进甲图书套，购进乙图书套；
（2）解：设乙图书打折，
∴，
解得，，即九六折，
∴书店应将乙种图书按标价的九六折销售．
21．(1)，理由见详解
(2)的度数为或
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
如图所示，
同理，，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
22．(1)
(2)阴影部分A的面积为：，阴影部分B的面积为：
(3)当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关，此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差为
（1）解：根据图示中长方形的长边得到，每个小长方形较长一边长为；
（2）解：大长方形的面积为：，
阴影部分A的长为：，宽为：，
∴阴影部分A的面积为：，
阴影部分B的长为：，宽为：，
∴阴影部分B的面积为：；
（3）解：阴影部分A与阴影部分B的面积之差：
，
∵面积之差与x的值无关，
∴，
解得，，
∴当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关，
∴阴影部分A与阴影部分B的面积之差为：．
23．（1）；（2），验证见解析；（3）；（4）．
解：（1）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即．
故答案为：．
（2），验证如下：
由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即，整理得．
（3）由图形可知图形的面积为或，所以．
故答案为：．
（4）由图形可知大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为；
又∵大正方形的面积为，
∴．

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