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2025年广东省惠州市一中教育集团九年级数学4月月考试卷
一、单选题
1．如图，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，要使得，需要补充的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
4．如图，为线段上的一点，与交于点，，与交于点，交于点，则下列结论中错误的是（　　）

A． B．
C． D．
5．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（ ）
A． B．
C．点A，O，三点在同一条直线上 D．
6．如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（ ）

A． B． C． D．
7．某超市销售一批玩具，平均每天可售出件，每件盈利元．经市场调查发现：每件玩具的售价每上涨元，平均每天的销售量就减少件；每件玩具的售价每下降元，平均每天的销售量就增加件．爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，每件玩具的售价上涨元与下降元平均每天所获得的利润相同，则与满足（ ）
A． B． C． D．
8．如图，岛位于岛的正西方，两岛间的距离为海里，由岛分别测得船位于南偏东和南偏西方向上，则船到岛的距离为（　　）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里
9．设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在矩形中，是边的中点，垂足为点F，连接，有下列四个结论：①；②；③④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．已知，那么 ．
12．如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为米，则可列方程 ．

13．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
14．如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于 ．
15．如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是 cm．
16．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm．
三、解答题
17．已知与相等，求的值．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．如图，中，，，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．经过多长时间的面积是？
20．用计算器求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
(1)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
22．某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）．
(1)设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）；
(2)若休闲区的总面积为，求甬道的宽度；
(3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由．
23．【基础感知】若一元二次方程的两个实数根为a，b且，求的值；
【尝试应用】已知，，…，现将两个实数根分别代入方程得：；得：；
对①式和②式分别乘以和得：；得：；
请根据以上过程算出和的值；
【拓展提升】观察、、之间的数量关系，试给出，，的数量关系，并证明．
24．我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
(1)探究：当a取不同的实数时，求代数式的最小值．
(2)应用：如图．已知线段，M是上的一个动点，设，再以、为一组邻边作长方形．问：当点M在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；否则请说明理由．
参考答案
1．D
解：以点C为坐标原点建立新的坐标系，
点C的坐标是，
点的横坐标为：，
以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，
则点B在以C为坐标原点的坐标系中的横坐标为：，
点B在原坐标系中的横坐标为：，
故选：D
2．D
解：∵，
∴；
由，可以证明，故A不符合题意；
由可得，再由可以证明，故B不符合题意；
由可得，再由，可以证明，故C不符合题意；
由结合已知条件不能证明，故D符合题意；
故选D．
3．D
解：由题意知：，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是所列方程的解，
故选：D．
4．D
解：，且，
，
，故选项B正确，不符合题意；
，
，故选项A正确，不符合题意；
，
，故选项C正确，不符合题意；
由条件无法证明，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
5．A
解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴,，，点A，O，三点在同一条直线上，
∴，
故选项A错误，符合题意，选项B、C、D正确，不符合题意，
故选：A．
6．C
解：∵，
∴．
∵，
∴．
由旋转得，
∴，
解得：．
故选：C．
7．B
设涨价的利润为，则，
降价的利润为元，则，
由题意得：，
∴，
整理得：，
故选：．
8．A
解：如图，作于点，
海里,，，，
，，，
，
解得：海里，
海里，
故选：A．
9．D
解：根据，
得，
故选D．
10．D
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
∵于点F，
∴
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
如图，过D作交于N，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵于点F，，
∴，
∴垂直平分，
∴，故③正确；
，
，
设，
，，，，
故④正确；
正确的个数为4，
故选：D．
11．
解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
解：∵矩形空地长为，宽为，设人行通道的宽度为米，
∴两块相同的矩形绿地的长为，宽为，且面积之和为，
∴，整理得，，
∴设人行通道的宽度为米，列方程．
13．
解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴．
故甲走的步数是．
故答案为：．
14．12
解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于16，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：12．
15．4
解：∵的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
16．24
解：设与交点为E，正方形的边长为x，
则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴这个正方形零件的边长是．
故答案为：24．
17．或
解：根据题意可得：，
整理，得：，
即：，
解得：，，
的值为或．
18．(1)，
(2)，
（1）解：
或
解得：或，
∴原方程的根为：，；
（2）解：
或
解得：或，
∴原方程的根为：，．
19．
解：，，
当运动时间为时，，
，，
根据题意可得，
即，
整理得：，
解得（舍去），
答：经过的面积是．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
21．(1)
(2)5
（1）解：∵平行四边形是菱形，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
当时，方程为，
解得，
即菱形的边长为；
（2）解：∵，的长是方程的两个实数根，的长为2，
∴，2是方程的一个根，
∴，
∴解得，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为5．
22．(1)
(2)甬道的宽度为
(3)不能满足其要求，见解析
（1）解：设甬道宽度为，依题意，
∴；
（2）根据题意得，，
解得（不合题意，舍去）．
答：甬道的宽度为．
（3）假设能满足要求，则，
解得，
因为不符合实际情况，所以不能满足其要求．
23．基础感知：；尝试应用：，；拓展提升：，证明见解析
解：基础感知：∵，
∴，
解得：，，
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴；
尝试应用：由基础感知得：，，
∴，；
（3）猜想：
证明：一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①，
同理可得：②，
由，得：，
∵，，，
∴，即．
24．(1)当时，代数式存在最小值为
(2)当时，存在最大值，最大值为
（1）解：∵，
而，
∴当时，代数式存在最小值为；
（2）设长方形的面积为S，
根据题意得：，
而，
∴当时，S存在最大值9．

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